David Madore's WebLog: Des figures que j'en ai marre de refaire, et des histoires de kaléidoscopes

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(jeudi)

Des figures que j'en ai marre de refaire, et des histoires de kaléidoscopes

[Dessins des systèmes de racines de rang 2]Il y a des des figures que je me retrouve à refaire encore et toujours, à chaque fois que je veux réfléchir à un certain sujet. Parmi ceux que je reproduis avec une fréquence qui finit par devenir vraiment pénible, il y a ceux qui apparaissent ci-contre à droite, et que je me suis enfin de sorti les doigts du c** pour produire en PDF avec TikZ (suivez le lien pour le PDF). Comme je ne suis certainement pas le seul trouver ces figures utiles pour réfléchir, je les mets en ligne. Et du coup, je peux en profiter pour faire un peu de vulgarisation sur ce qu'ils représentent.

Je vais essayer d'expliquer ça sous l'angle de la géométrie euclidienne élémentaire, à travers la question de classifier et de comprendre les kaléidoscopes (simpliciaux). L'intérêt, outre que c'est peut-être plus parlant, est ne pas supposer que qui que ce soit ait lu mon récent rant interminable sur les groupes de Lie (mais en même temps, essayer de dire les choses de manière à quand même éclairer le rant en question). En fait, après coup, je ne suis rendu compte que ce n'était pas forcément une très bonne approche, et que cette entrée ressemble beaucoup à une accumulation de faits qui partent dans tous les sens et qui ne reflètent pas bien (pun unintended) l'élégance du sujet. En plus de ça, comme c'est un sujet que j'ai l'habitude de voir abordé autrement que comme de la géométrie euclidienne, je ne suis pas très sûr de l'ordre dans lequel les faits s'agencent logiquement, et je n'ai pas toujours une idée très claire de la difficulté qu'il y aurait à les démontrer dans une telle approche. Et aussi à cause de ça, il faut que j'avertisse que je n'ai pas vérifié très soigneusement (je veux dire, encore moins que d'habitude…) tous les résultats que j'énonce dans cette entrée, et qu'il est fort possible que j'aie oublié une hypothèse ou une autre pour me raccrocher à là où je veux en venir ; notamment, j'ai failli complètement négliger la « condition supplémentaire » que j'ai finalement trouvé utile d'introduire plus bas dans la définition d'un kaléidoscope. Malgré tout ça, j'espère que ce que je raconte est au moins un peu intéressant.

*

Bref, partons d'une question de géométrie euclidienne, celle d'identifier les simplexes kaléidoscopiques (et on peut dire que c'est ce que mes figures illustrent en dimension 2) : je vais expliquer ce que cela signifie.

Un simplexe, c'est la généralisation évidente en dimension n d'un triangle en dimension 2 et d'un tétraèdre en dimension 3 (remarquez, ce que je vais dire est déjà intéressant en dimension 2 et 3). C'est-à-dire qu'un simplexe est la donnée de n+1 points (en position générale), qu'on appelle les sommets du simplexe (le simplexe lui-même est l'enveloppe convexe de ces points, c'est-à-dire tout ce qui est situé « à l'intérieur » au sens large) ; les facettes du simplexe sont les simplexes de dimension n−1 obtenus en prenant n quelconques des n+1 points (c'est-à-dire en en enlevant exactement un : un simplexe de dimension n a donc exactement n+1 facettes) ; et l'hyperplan supportant la facette est l'hyperplan qui passe par les n points en question. (En dimension 2, les facettes sont donc les arêtes du triangle, et on parle des droites les supportant ; et en dimension 3, ce sont les faces du tétraèdre, et les plans les supportant.)

Maintenant, considérons un tel simplexe : on peut effectuer sa réflexion (= symétrie orthogonale) par rapport à une quelconque de ses facettes (c'est-à-dire, plus exactement, par rapport à l'hyperplan la supportant), et on peut répéter l'opération. Que va-t-il se passer ?

Dans certains cas, il se passe quelque chose de fort sympathique, à savoir qu'on obtient des simplexes qui ne se chevauchent jamais mais qui pavent parfaitement l'espace. Si on est parti, par exemple, dans le plan, d'un triangle équilatéral ou d'un triangle rectangle isocèle (=demi-carré), on obient les deux premières figures de mon document (c'est-à-dire un pavage du plan par des triangles équilatéraux ou des demi-pavés ; ignorer les lignes en pointillés sur la première page). La troisième page correspond au cas où on part d'un triangle d'angles 90°, 60° et 30° (i.e, π/2, π/3 et π/6). Ces cas sont très particulier : en général, on n'obtient pas du tout quelque chose qui marche ; par exemple, si on prend un triangle quelconque dans le plan, on se rend vite compte qu'en répétant des symétries par rapport à ses sommets on va retomber sur des triangles qui se chevauchent et on ne va pas fabriquer un pavage.

Si on obtient effectivement un pavage, et sous une petite condition supplémentaire que je vais décrire un peu plus loin, je dirai que le simplexe de départ (ou, du coup, n'importe lequel des simplexes du pavage) est kaléidoscopique, et que ce qu'on obtient est un kaléidoscope simplicial (parfois j'omettrai la précision simplicial parce que, pour simplifier, je ne vais parler essentiellement que de ça).

On peut s'imaginer que ça a un rapport avec la symétrie, et c'est assurément le cas, mais ce n'est pas forcément exactement le rapport qu'on attend. Le tétraèdre (=simplexe) régulier dans l'espace euclidien de dimension 3, notamment, n'est pas kaléidoscopique (cela résulte du fait que ses angles dièdres valent arccos(1/3)≈71°, qui n'est pas un diviseur de 180°, cf. ci-dessous) ; en fait, non seulement le tétraèdre régulier ne pave pas l'espace, mais il y a un résultat rigolo qui dit que si on empile des tétraèdres réguliers face contre face (c'est-à-dire qu'on le réfléchit de façon répétée), on peut reconstituer la succession de tétraèdres suivie (le chemin de réflexions depuis le tétraèdre initial) à partir de la seule donnée du tétraèdre final. J'avais d'ailleurs fait il y a longtemps une vidéo d'un chemin dans un tétraèdre régulier dont les faces sont des miroirs (mais légèrement teintées en rouge, vert, bleu et blanc, pour qu'on y voie quelque chose) quand on rebondit sur les faces du tétraèdre ou, ce qui revient au même, quand on voyage en ligne droite en réfléchissant à chaque fois le tétraèdre contre la face qu'on traverse. Mais ce n'est pas de ça que je veux parler puisque ce cas, justement, n'est pas kaléidoscopique : je l'évoque juste pour signaler qu'être un solide régulier n'a pas vraiment de rapport avec le fait d'être kaléidoscopique, ou en tout cas pas le rapport évident[#].

[#] Le rapport correct est plutôt ceci : si on prend un solide régulier, inscrit dans une sphère, et qu'on le gonfle jusqu'à la sphère pour donner un pavage de la sphère, puis qu'on considère le triangle dont les sommets sont le centre d'une face, le milieu d'une arête de cette face, et une extrémité de cette arête, alors ce triangle sphérique est kaléidoscopique pour la géométrie sphérique. Par exemple, le tétraèdre régulier correspond à un pavage de la sphère par quatre triangles équilatéraux d'angle 120°=2π/3 à chaque sommet (en géométrie sphérique, c'est possible) ; je ne vais pas vouloir dire que ces triangles- sont kaléidoscopiques pour la géométrie sphérique (cf. juste après), mais si on relie le centre d'un tel triangle au milieu d'un de ses côtés et à une des extrémités du côté, on trouve un nouveau triangle d'angles π/3 (au centre), π/2 (au milieu du côté) et π/3 (au sommet), et ce nouveau triangle — qui ne peut pas non plus exister en géométrie euclidienne — est kaléidoscopique pour la géométrie sphérique. De même, dans le pavage de mon labyrinthe hyperbolique, si on relie le centre d'une case « carrée » au milieu d'un de ses côtés et à une extrémité de ce côté, on trouve un triangle d'angles π/4 (au centre d'une case), π/2 (au milieu du côté) et π/5 (au sommet), qui ne peut pas exister en géométrie euclidienne, mais qui est kaléidoscopique pour la géométrie hyperbolique (puisque mon jeu, justement, se déroule sur un pavage !). Mais, à part dans cette note, si je ne précise pas explicitement, je parle toujours de simplexes euclidiens (et, entre autres, la somme des angles d'un triangle vaut 180°).

*

En fait, il y a une condition supplémentaire que je dois peut-être ajouter pour dire qu'un simplexe est kaléidoscopique : je crois que pour un simplexe dans l'espace euclidien, ajouter cette condition n'est pas, en fait, nécessaire (je veux dire, elle est automatiquement vérifiée), mais si je veux généraliser à d'autres polytopes que le simplexe ou à d'autres géométries que l'euclidienne, je veux l'inclure, pour éliminer des choses comme le pavage du plan par des hexagones ou le pavage de la sphère par quatre triangles sphériques équilatéraux qui s'obtient en gonflant un tétraèdre régulier jusqu'à sa sphère circonscrite (cf. la note précédente), choses que je n'ai pas envie de considérer comme des kaléidoscopes. Même pour ne considérer que des kaléidoscopes de simplexes euclidiens, cette condition est intéressante à énoncer, parce qu'elle décrit des propriétés importantes de ces kaléidoscopes. La condition supplémentaire en question peut s'exprimer de différentes manières qui sont, il me semble, équivalentes :

  • Si on colorie chaque simplexe du kaléidoscope soit en « noir » soit en « blanc » en décidant arbitrairement d'une premier pour le premier et en changeant de couleur à chaque fois qu'on fait une symétrie, alors non seulement les simplexes ne se chevaucheront pas (condition déjà exigée) mais, en outre, le coloriage fonctionnera bien, i.e., on n'essaiera jamais de mettre au même endroit deux simplexes de couleurs opposées au même endroit.
  • L'hyperplan supportant chaque facette de chaque simplexe du kaléidoscope doit être lui-même pavé par des facettes, c'est-à-dire, ne doit pas rencontrer l'intérieur d'un simplexe (dont il serait alors un hyperplan de symétrie interne).
  • Si on marque le simplexe initial du kaléidoscope par exemple en faisant un dessin dessus qui n'ait aucune symétrie, ou en affectant à chacun de ses sommets une couleur différente, et qu'on propage ce marquage au fur et à mesure qu'on construit le kaléidoscope par symétries, alors à chaque fois qu'on retombe sur un simplexe déjà rencontré, le marquage sera compatible.

Il doit être assez évident que ces propriétés échouent dans le cas du pavage du plan par les hexagones (ou dans le cas du pavage de la sphère par quatre triangles équilatéraux).

*

Dans le plan, ce n'est pas très difficile de trouver tous les triangles kaléidoscopiques. Pour commencer, l'angle à n'importe quel sommet doit être de la forme π/m pour un certain m entier (≥2), parce que sinon, en reflétant de façon répétée par rapport aux deux côtés qui s'y rencontrent, on ne va pas revenir au triangle de départ. (Remarquons que la première forme de la condition supplémentaire que je viens de décrire donne le π/m au lieu de 2π/m.) Bref, on a donc trois angles π/m₁, π/m₂ et π/m₃, dont la somme doit valoir π, ce qui impose 1/m₁ + 1/m₂ + 1/m₃ = 1 ; or il est facile de résoudre cette équation : on peut sans perte de généralité supposer m₁≤m₂≤m₃, et on ne peut pas avoir m₁≥4 sinon 1/m₁ + 1/m₂ + 1/m₃ serait ≤¾, ce qui ne laisse que les deux cas m₁=3 et m₁=2 à considérer, dans premier on doit visiblement avoir m₁=m₂=m₃=3, et dans le second il reste encore un tout petit peu de discussion à faire sur la valeur de m₂ mais au final, les seules solutions (m₁,m₂,m₃) sont (3,3,3), (2,4,4) et (2,3,6). Or il s'avère que ces trois solutions fonctionnent bien, c'est-à-dire que le triangle (défini à similitude près) d'angles π/m₁, π/m₂ et π/m₃ est effectivement kaléidoscopique dans chacun de ces trois cas, et ceci donne les trois pages de mon document : le premier est le triangle équilatéral et je vais l'appeler simplexe kaléidoscopique de type A₂˜, le second est le triangle rectangle isocèle (= demi-carré) et je vais l'appeler simplexe kaléidoscopique de type B₂˜, et le troisième n'a pas de nom particulier mais je vais l'appeler simplexe kaléidoscopique de type G₂˜. (Même s'il est plus correct d'utiliser la notation A₂˜, B₂˜ et G₂˜, comme je viens de le faire, pour ces simplexes kaléidoscopiques euclidiens, on les désigne parfois abusivement comme A₂, B₂ et G₂.)

Dans l'espace de dimension 3, on peut remarquer que le raisonnement vaut toujours pour dire que l'angle (« dièdre ») entre deux plans du tétraèdre supposé kaléidoscopique doit être de la forme π/m avec m entier ≥2 ; et plus généralement, en toute dimension, c'est vrai pour l'angle dièdre entre deux facettes du simplexe. Il y a ½n(n+1) angles dièdres entre facettes du simplexe de dimension n, mais il n'est pas évident de trouver des contraintes comme la somme des angles d'un triangle vaut π. On est alors tenté de se poser toute une série de questions :

  • Un simplexe est-il caractérisé (à similitude éventuellement indirecte près, c'est-à-dire, sa forme non-orientée est-elle caractérisée) par la donnée de ses ½n(n+1) angles dièdres ? La réponse est oui (ce n'est pas très difficile).
  • Peut-on caractériser à quelle condition un ensemble de ½n(n+1) angles dièdres donne bien naissance à un simplexe de dimension n ? On peut effectivement faire ça[#2], mais c'est un peu une fausse piste (au sens où le travail est plus facile si on se place d'emblée dans le cas kaléidoscopique ; néanmoins, la question suivante mérite quand même d'être posée).
  • En supposant que le simplexe ayant un certain ensemble d'angles dièdres existe bien, et que ces angles sont tous de la forme π/m pour m entier ≥2, le simplexe en question est-il nécessairement kaléidoscopique ? La réponse est oui (il me semble que ce n'est pas complètement évident).
  • Peut-on lister tous les simplexes kaléidoscopiques d'une dimension donnée ? C'est surtout ce problème-là qui m'intéresse.

[#2] Précisément, si θi,j est une collection de ½n(n+1) angles dièdres entre la facette i et la facette j d'un simplexe euclidien putatif, qu'on prolonge en imposant θj,i = θi,j et θi,i = π (ce qui est passablement logique), considérons la matrice (n+1)×(n+1) dont les entrées sont les −cos(θi,j) (elle est donc symétrique avec des 1 sur la diagonale et des entrées négatives ou nulles en-dehors de la diagonale). Alors le simplexe d'angles dièdres θi,j est réalisable dans l'espace euclidien si et seulement si la conjonction des trois affirmations suivantes est vraie : (a) la matrice en question a un déterminant nul [c'est cette condition qui, pour n=2, équivaut essentiellement à dire que la somme des angles vaut π], (b) chacune des n+1 sous-matrices (symétriques !) obtenues en retirant la i-ième ligne et la i-ième colonne (de même numéro, donc) est positive définie, et (c) chacun des cofacteurs (c'est-à-dire (−1)i+j fois le déterminant de la sous-matrice obtenue en retirant la i-ième ligne et la j-ième colonne, le cas j=i étant déjà couvert par (b)) est positif. Je ne sais pas à qui est dû ce résultat : je l'ai trouvé dans l'article de Luo, On a Problem of Fenchel (Geom. Dedicata 64 (1997), 277–282), mais il l'annonce comme étant bien connu (ce que je soupçonnais assurément) sans donner d'historique.

On doit encore pouvoir résoudre le problème « à la main » en dimension 3. J'avoue que je n'y vois déjà plus rien en dimension 3, mais il existe encore exactement trois tétraèdres kaléidoscopiques, et on peut tous les décrire avec des points d'un cube (disons le cube dont les sommets sont les (±1,±1,±1)) :

  • le simplexe kaléidoscopique de type A₃˜ (ou abusivement, A₃) : il s'agit du tétraèdre dont deux sommets (appelons-les P₀=(1,0,0) et P₂=(−1,0,0)) sont les centres de deux faces opposées du cube, et les deux autres sommets (appelons-les P₁=(0,1,1) et P₃=(0,1,−1)) sont les milieux de ces deux côtés d'une quelconque des quatre autres faces qui ne touchent pas les faces où se trouvent les deux sommets P₀ et P₂ ;
  • le simplexe kaléidoscopique de type B₃˜ (ou abusivement, B₃) : il s'agit du tétraèdre dont un sommet (appelons-le P₃=(0,0,0)) est au centre d'un cube, un autre (appelons-le P₂=(0,0,1)) est au centre d'une des faces de ce cube, et les deux autres (appelons-les P₀=(1,1,1) et P₁=(1,−1,1)) sont les deux extrémités d'un quelconque des côtés de la face en question ;
  • le simplexe kaléidoscopique de type C₃˜ (ou abusivement, C₃) : il s'agit du tétraèdre dont deux sommets (appelons-les P₀=(1,1,1) et P₁=(−1,1,1)) sont les deux extrémités d'une des arêtes du cube, et les deux autres (appelons-les P₂=(−1,−1,1) et P₃=(−1,−1,−1)) sont les deux extrémités d'une arête orthogonale mais non coplanaire à celle-ci (avec la convention que P₁ et P₂ sont les points les plus proches).

La numérotation des sommets est un peu bizarre, mais elle est standard (c'est la numérotation de Bourbaki) ; dans tous les cas, P₀ est une « pointe » du simplexe, un concept que je vais expliquer plus loin. Très honnêtement, je n'arrive à visualiser aucun des trois, ni la raison pour laquelle ils sont kaléidoscopiques. Mais le fait est que ce sont les seuls.

*

De façon plus générale, en dimension n, il existe en général exactement quatre simplexes kaléidoscopiques, notés An˜, Bn˜, Cn˜ et Dn˜, sachant que A₁˜, B₁˜ et C₁˜ coïncident (c'est un segment…), B₂˜ et C₂˜ coïncident, Dn˜ n'est défini[#3] que pour n≥3 et coïncide avec A₃˜ pour n=3, mais pour n≥4 on a bien les quatre ; et à ça s'ajoutent encore cinq simplexes kaléidoscopiques exceptionnels, G₂˜ (qui n'est autre que le triangle d'angles π/2, π/3 et π/6), F₄˜, E₆˜, E₇˜ et E₈˜. Ou, pour dire, les choses autrement, les simplexes kaléidoscopiques distincts sont : An˜ pour n≥1, Bn˜ pour n≥2, Cn˜ pour n≥3, Dn˜ pour n≥4, G₂˜, F₄˜, E₆˜, E₇˜ et E₈˜.

[#3] Enfin, D₂˜ n'est pas particulièrement problématique, en fait, c'est un carré (A₁˜×A₁˜), qui est effectivement kaléidoscopique, mais comme je m'en suis tenu aux simplexes dans ce que j'ai raconté, je l'écarte.

Certains ont déjà vu ça quelque part, bien sûr : c'est exactement la classification des groupes de Lie complexes simples simplement connexes (ou des groupes de Lie réels compacts simples simplement connexes, ça revient au même). C'est une de ces surprises qui ponctuent les mathématiques que deux objets qui ont l'air de ne rien avoir à voir sont classifiés exactement de la même manière ; en fait, cette classification ABCDEFG apparaît à toutes sortes d'endroits où on ne l'attend pas forcément (avec des variations : parfois seulement ADE, et parfois il y a H₃ et H₄ qui se glissent aussi dans l'histoire et G₂ se transforme en toute une famille infinie I₂(m) mais en tout cas ça ressemble beaucoup). Ici, ce n'est pas si mystérieux que ça : j'ai essayé d'expliquer dans mon rant interminable passé pourquoi l'ensemble des classes de conjugaison d'un groupe de Lie réel compact simple simplement connexe est précisément décrit par son « alcôve de Weyl » qui a justement la forme du simplexe en question, et il n'est pas terriblement difficile de montrer que la forme de l'alcôve détermine le groupe ; ce qui est un peu plus mystérieux, c'est que, réciproquement, à tout simplexe correspond un groupe (il y a la question des « constantes de structure » qui reste encore un peu subtile malgré tous les travaux faits dessus).

Je ne vais pas raconter comment on obtient ce résultat (correctement exprimé, ce n'est pas vraiment plus étonnant que l'histoire de classifier les solutions de 1/m₁ + 1/m₂ + 1/m₃ = 1). En fait, ce qu'on sait par les travaux de Coxeter, c'est que tout ça s'inscrit dans un formalisme géométrique élégant qui marche à la fois en géométrie sphérique, euclidienne, hyperbolique ou « indéfinie » ; essentiellement, on peut imposer les angles dièdres π/m avec m≥2 arbitraire qu'on veut au simplexe (y compris m=∞, auquel on peut donner un sens, d'ailleurs c'est plus ou moins ce qu'il faut faire pour faire entrer le segment A₁ dans ce cadre), et ensuite il s'agit de trouver ce qui marche en géométrie sphérique, euclidienne et hyperbolique (le reste étant « indéfini »). Les cas sphérique et euclidien sont intimement liés, ce qui explique que l'étiquetage standard des kaléidoscopes euclidiens soit celui de certains kaléidoscopes sphériques avec un petit tilde au-dessus (ou, comme ce n'est pas facile de faire un tilde au-dessus en HTML, après).

Ajout () : Tant qu'à faire, je peux donner les coordonnées explicites d'au moins certains de ces simplexes kaléidoscopiques (à chaque fois, P₀ sera l'origine) :

  • Pour ce qui est de An˜, il vaut mieux travailler dans un système de n+1 coordonnées euclidiennes, dans l'hyperplan « somme de toutes les coordonnées égale zéro » : dans ce système de coordonnées, on peut prendre pour sommets du simplexe le point Pi (pour 0≤in) ayant i coordonnées toutes égales à (n+1−i)/(n+1) suivi de n+1−i coordonnées toutes égales à −i/(n+1) (la somme fait bien 0).
  • Pour Bn˜, Cn˜ et Dn˜, on prendra n coordonnées euclidiennes. Le plus simple à décrire est sans doute Cn˜ : le point Pi (pour 0≤in) a i coordonnées toutes égales à ½, suivi de ni coordonnées nulles (on pourrait évidemment tout doubler, mais ce choix est peut-être un chouïa plus standard). Pour Bn˜, c'est exactement pareil, sauf que le point P₁ vaut (1,0,0,…,0) au lieu de (½,0,0,…,0). Enfin, pour Dn˜, c'est pareil que Bn˜, sauf que le point Pn−1 est (½,½,…,½,−½) au lieu de (½,½,…,½,0).
  • Pour F₄˜, on prendra P₀ = (0, 0, 0, 0) ; P₁ = (½, ½, 0, 0) ; P₂ = (2/3, 1/3, 1/3, 0) ; P₃ = (3/4, 1/4, 1/4, 1/4) et P₄ = (1,0,0,0).
  • Pour E₈˜, on prendra P₀ = (0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0) ; P₁ = (0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 1) ; P₂ = (1/6, 1/6, 1/6, 1/6, 1/6, 1/6, 1/6, 5/6) ; P₃ = (−1/8, 1/8, 1/8, 1/8, 1/8, 1/8, 1/8, 7/8) ; P₄ = (0, 0, 1/6, 1/6, 1/6, 1/6, 1/6, 5/6) ; P₅ = (0, 0, 0, 1/5, 1/5, 1/5, 1/5, 4/5) ; P₆ = (0, 0, 0, 0, 1/4, 1/4, 1/4, 3/4) ; P₇ = (0, 0, 0, 0, 0, 1/3, 1/3, 2/3) et P₈ = (0, 0, 0, 0, 0, 0, ½, ½).

(Les coordonnées données plus haut pour n=3 étaient choisies pour être plus faciles à visualiser dans ce cas précis, donc elles sont différentes, mais les simplexes sont bien semblables. Je ne donne pas les coordonnées pour G₂˜, E₆˜ et E₇˜ parce que c'est toujours pénible à faire : si on veut des coordonnées rationnelles, comme pour An˜ il faut se placer sur un hyperplan, voire, dans le cas de E₆˜, en codimension 2, et je me tromperais inévitablement en les écrivant.)

*

Pour pouvoir parler plus clairement, il faut que j'introduise un peu de terminologie basique. Les hyperplans supportant une facette quelconque d'un des simplexes du kaléidoscope s'appellent les hyperplans de réflexion ou les miroirs du kaléidoscope : par définition, le kaléidoscope est invariant par réflexion par rapport à chacun de ses miroirs. (Dans mes figures 2D, les miroirs sont ceux qui sont en traits pleins noirs.) Certains miroirs sont parallèles les uns aux autres : j'ai envie de considérer les classes (disons, les familles) de tous les miroirs parallèles à un miroir donné, mais plutôt que faire exactement ça, je vais procéder un tout petit peu différemment. Si H est un miroir, je considère un vecteur α perpendiculaire à H et dont la norme est l'inverse de la distance entre deux miroirs parallèles à H consécutifs (il y a deux tels vecteurs, opposés l'un à l'autre) : un tel vecteur s'appellera une racine, et l'ensemble de toutes les racines s'appelle le système de racines du kaléidoscope. (Dans mes figures, le système de racines est dessiné en bas à gauche, sous le kaléidoscope lui-même, en noir.) J'ai choisi cette description par un vecteur perpendiculaire et de longueur inverse de l'intervalle entre deux miroirs pour utiliser uniquement de la géométrie élémentaire, mais il est sans doute plus satisfaisant, si on préfère, de définir les racines comme les formes linéaires α (sur l'espace vectoriel tangent à l'espace euclidien où vit le kaléidoscope) telles que les hyperplans de réflexion d'une même famille s'écrivent de la forme Hα,k := {x : α(x)=α(o)+k} pour k parcourant ℤ (donc α définit la direction de la famille de miroirs parallèles, et k la position du miroir dans la famille ; ici, o est une origine située sur un quelconque des hyperplans : je vais dire dans un instant qu'on peut choisir une même origine pour toutes les familles).

Un point (forcément un sommet d'un simplexe du kaléidoscope) par lequel passe un hyperplan de chaque famille de miroirs parallèles (i.e., un miroir de chaque direction possible) s'appelle une pointe du kaléidoscope, ou de n'importe quel simplexe dont il est un sommet. (Sur mes figures, les pointes sont marquées par des points rouges.) Un fait crucial est qu'il existe, effectivement, des pointes. En fait, les pointes forment un réseau euclidien, qu'on peut appeler réseau des pointes (le terme standard serait plutôt copoids, mais c'est moche ; le terme de pointe est dû à Conway). Bon, à ce stade-là, il est vraiment utile de choisir une origine : on choisit donc, une fois pour toutes, une pointe o pour origine (ce qui transforme l'espace affine euclidien en un espace vectoriel, et légitime le terme de réseau). Une fois choisie cette origine, si on la marque spécialement et qu'on marque de même tous les sommets qui s'en déduisent par réflexion par les différents miroirs du kaléidoscope, on obtient un nouveau réseau, inclus dans celui des pointes, appelé le réseau des périodes (ou des coracines ; sur mes figures, il est en noir : enfin, comme chaque coracine est en particulier une pointe, il est marqué en entourant en noir les pointes qui sont, en plus, des coracines). L'indice du réseau des périodes dans le réseau des pointes (i.e., le rapport de leurs covolumes, si on veut) est égal au nombre de pointes d'un simplexe (quelconque) du kaléidoscope.

Une fois choisie une origine o (qui soit une pointe), la réunion de tous les simplexes ayant o pour sommet (en marron sur mes figures) forme ce qu'on appelle un domaine fondamental pour le réseau des périodes, c'est-à-dire essentiellement que ce polytope pave l'espace avec exactement une coracine au centre de chaque translaté utilisé pour le pavage.

L'ensemble (infini) de toutes les isométries affines du plan obtenues en composant un nombre quelconque de réflexions par les miroirs du kaléidoscope s'appelle le groupe de Weyl affine (ou de Coxeter-Weyl) du kaléidoscope ; celles qui fixent l'origine o, i.e., les isométries vectorielles parmi elles, et qui peuvent, en fait, s'obtenir en composant un nombre quelconque de réflexions par des miroirs passant par o (ou symétries définies par les racines) s'appelle le groupe de Weyl tout court, ou sphérique s'il faut vraiment lever l'ambiguïté. (Le groupe de Weyl affine est un produit semidirect LW du groupe de Weyl W par le réseau des périodes L.) Le groupe de Weyl affine opère simplement transitivement sur les simplexes du kaléidoscope, c'est-à-dire que donnés deux simplexes, il y a un et un seul élément du groupe de Weyl affine qui envoie l'un sur l'autre ; c'est, en particulier, le cas dans le groupe de Weyl tout court (i.e., pas affine), et le nombre d'éléments de ce dernier est donc égal au nombre de simplexes ayant o pour sommet (sur mes dessins, c'est donc 6, 8 et 12 respectivement).

Je rappelle que j'ai choisi une pointe (= point par lequel passe un miroir de chaque direction possible) o comme origine. Il est aussi utile de choisir un des simplexes ayant o pour sommet et de l'appeler simplexe de référence (ou alcôve de référence ou alcôve de Weyl). Le cône de sommet o engendré par ce simplexe de référence s'appelle la chambre de Weyl (tracée en gris sur mes figures ; le simplexe de référence est celui qui est à la fois dans la chambre de Weyl, en gris, et dans le domaine fondamental, en marron, formé des simplexes ayant o pour sommet).

Je souligne que chaque sommet d'un simplexe quelconque du kaléidoscope est l'image, par une succession de réflexions par des miroirs du kaléidoscope, d'un unique sommet du simplexe de référence. C'est-à-dire que si on étiquette les sommets du simplexe de référence et qu'on propage cet étiquetage par réflexion, alors chaque sommet du kaléidoscope reçoit une étiquette bien définie. (Autrement dit, chaque sommet appartient à l'orbite sous le groupe de Weyl affine d'un unique sommet du simplexe de référence.) C'est quelque chose qui est d'ailleurs un peu contre-intuitif : tous les sommets du kaléidoscope ne se valent pas (je viens d'expliquer qu'il y a autant de « types » de sommets que de sommets du simplexe de référence, i.e., n+1), en revanche, pour ce qui est des miroirs, il est parfaitement possible que tous se valent (c'est ce qui se produit dans les cas A-D-E où il y a un seul « type » de miroirs ; dans les cas B-C-F-G il y en a exactement deux, les « grands » et les « petits », cf. ci-dessous).

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Pour représenter symboliquement un kaléidoscope, on utilise un diagramme de Dynkin [étendu] (ou diagramme de Dynkin affine, ou diagramme de Coxeter-Dynkin [étendu/affine]) construit de la manière suivante. Ses nœuds correspondent aux sommets du simplexe de référence, et on relie deux nœuds par un nombre d'arête indiquant l'angle dièdre formé entre les facettes opposés à ces deux sommets dans le simplexe : les nœuds ne sont pas reliés lorsque les hyperplans sont perpendiculaires, ils sont reliés par une arête simple lorsque les hyperplans forment un angle de π/3, une arête double pour un angle de π/4, et une arête triple pour un angle de π/6 ; de plus, quand dans une famille de miroirs les miroirs consécutifs sont plus rapprochés que dans une autre, on dit que cela correspond à une grande racine et l'autre à une petite racine (cf. la définition ci-dessus des racines comme ayant pour longueur l'inverse de la distance entre deux hyperplans consécutifs) : en reliant deux nœuds par une arête double ou triple, on fait pointer une flèche de la grande vers la petite racine. (Il se trouve qu'il ne peut y avoir que deux tailles de racines différentes, et que ça se produit exactement lorsqu'il y a une arête double ou triple, celle-celi reliant alors une grande et une petite.) Les diagrammes qu'on obtient sont alors ceux donnés par cette figure, le nœud vert indiquant le choix de l'origine o comme sommet du simplexe (et les autres pointes sont toutes celles qui s'en déduisent par une symétrie du diagramme).

Si j'ai parlé de diagramme de Dynkin étendu, c'est parce qu'il y a des diagrammes de Dynkin ordinaires (i.e., pas étendus), qui s'obtiennent simplement en effaçant le nœud correspondant à une pointe. Ce sont généralement ces diagrammes-là qu'on voit dessinés. Ils correspondent à des kaléidoscopes sphériques. Petite digression à ce sujet :

On peut déduire un kaléidoscope sphérique (de dimension un de moins) à partir d'un kaléidoscope euclidien (=: affine) en considérant une petite sphère de centre o et en intersectant les miroirs avec cette sphère, qui deviennent donc des miroirs sur la sphère. Il se trouve que le kaléidoscope euclidien est « quasiment » caractérisé par le kaléidoscope sphérique, et que la « quasi totalité » des kaléidoscopes sphériques s'obtiennent de la sorte (on les dit cristallographiques). Pour être plus précis, les kaléidoscopes simpliciaux sphériques sont : en dimension 1 une famille infinie I₂(m) où m≥2, s'obtenant en découpant un cercle en 2m intervalles égaux, mais certains ont des noms spéciaux : I₂(3) est aussi appelé A₂, et I₂(4) aussi appelé BC₂, et I₂(5) parfois appelé H₂, et I₂(6) aussi appelé G₂ ; plus trois familles infinies An pour n≥1, BCn pour n≥2 et Dn pour n≥4 (l'indice n étant la dimension plus 1), et six cas exceptionnels F₄, E₆, E₇, E₈, H₃ et H₄. Seuls les kaléidoscopes sphériques BCn correspondent à plusieurs kaléidoscopes euclidiens (à savoir Bn˜ et Cn˜). Seuls I₂(m) (pour m=5 ou m≥7) et H₃ et H₄ ne sont pas cristallographiques, i.e., ne correspondent pas à un kaléidoscope euclidien. (S'agissant de H₃, il s'obtient en considérant les plans de symétrie d'un icosaèdre, et H₄ est un analogue en dimension 4.) Les diagrammes de Coxeter correspondants (indiquant l'angle dièdre entre deux facettes d'un simplexe sphérique du kaléidoscope) à ces kaléidoscopes sphériques sont ceux de cette figure (à ceci près qu'elle note Im ce que j'ai appelé plus logiquement I₂(m)) : l'étiquette m sur une arête indique que l'angle dièdre entre les facettes opposées aux sommets correspondant du simplexe est de π/m (et il n'y a pas de flèches, parce que la notion de grande ou petite racine n'a pas de sens ici). Les diagrammes de Dynkin ordinaires peuvent être vus comme une sorte de compromis entre les diagrammes de Coxeter sphériques et les diagrammes de Coxeter-Dynkin euclidiens : en encodant le système de racine, ils ressemblent plus au diagramme de Coxeter du kaléidoscope sphérique, mais ils donnent toute l'information nécessaire pour retrouver le diagramme du kaléidoscope euclidien.

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Il y a encore une chose que je veux évoquer à propos des kaléidoscopes euclidiens, ce sont les « coefficients de la plus haute racine ». Il s'agit d'entiers positifs, l'un pour chaque sommet du simplexe de référence (ou, si on préfère, l'un pour chaque nœud du diagramme de Dynkin étendu), qui ont le don d'apparaître tout le temps dans toutes sortes de contextes. Voici une façon de les définir : je rappelle qu'on a fixé une pointe o comme origine, et un simplexe ayant o pour sommet comme simplexe de référence. Maintenant, à partir de l'origine o si v est un autre sommet du simplexe de référence, on prolonge la demi-droite ov jusqu'à rencontrer une nouvelle pointe, et le nombre de fois qu'on doit parcourir la distance ov est le coefficient mv associé à v ; en particulier, il vaut 1 pour n'importe quel sommet v qui est une pointe, et, par cohérence, on donne aussi la valeur 1 à la pointe o choisie pour origine.

De façon équivalente, si on appelle racine simple la racine définie par l'hyperplan supportant une facette passant par o du simplexe de référence, et orientée de façon à pointer vers l'intérieur de ce simplexe de référence (je rappelle qu'une racine est le vecteur orthogonal à un miroir et de longueur inverse de l'espacement entre deux miroirs parallèles consécutifs), et racine minimale la racine définie par l'hyperplan opposé à o du simplexe de référence, et toujours pointant vers l'intérieur, alors les coefficients dont je viens de parler sont les entiers naturels mα premiers entre eux dans leur ensemble tels que la somme des mα·α vaille 0 (où α parcourt les racines simples et la racine minimale, chacune étant mise en correspondance avec le sommet opposé du simplexe de référence).

Ces coefficients se retrouvent facilement à partir du diagramme de Dynkin (je rappelle que je parle toujours du diagramme de Dynkin « étendu », celui qui a n+1 nœuds, un pour chaque sommet du simplexe de référence) :

  • le coefficient d'une pointe vaut 1 (si on ne se rappelle pas quelles sont les pointes, on peut souvent les retrouver par le fait que les symétries du diagramme opèrent simplement transitivement sur les pointes ; on peut aussi simplement retenir que les coefficients sont des entiers de pgcd valant 1, avec la propriété suivante cela suffit à les caractériser et à retrouver les pointes),
  • le coefficient de chaque nœud v est égal à la moitié de la somme des coefficients de tous les nœuds w adjacents, sauf qu'on compte double ou triple le coefficient de w quand on a une arête double ou triple pointant de w vers v (si elle pointe dans l'autre sens ou si l'arête est simple, le coefficient de w compte normalement).

Les coefficients se retrouvent alors très facilement : dans le cas de An˜ (qui est un (n+1)-cycle) ils valent tous 1 (tous les nœuds sont des pointes) ; dans tout autre cas, on écrit 1 sur une pointe, celle-ci est adjacente à un unique autre nœud, dont le coefficient est donc forcément 2, et on procède ainsi de proche en proche. (Tant qu'on ne rencontre pas d'arête multiple ni de bifurcation dans le diagramme, les coefficients suivent des progressions arithmétiques. Par exemple, dans le diagramme de E₈˜, on se retrouve avec 6 pour le nœud ayant trois voisins, avec les progressions arithmétiques 1-2-3-4-5-6 sur la branche longue, 2-4-6 sur la branche moyenne et 3-6 sur la branche courte qui s'y rejoignent.) Inexplicablement, je ne trouve pas d'image facilement disponible en ligne sur laquelle ces coefficients soient marqués dans chaque cas (ah si, il y a celle-ci, mais elle est franchement moche). Mes figures liées en début de cette entrée donnent les coefficients de A₂˜, B₂˜ (qu'il vaut peut-être mieux appeler C₂˜ d'ailleurs) et G₂˜ à l'extrême fin.

Parmi les nombreuses choses que ces coefficients permettent de calculer, il y a la formule magique donnant l'ordre du groupe de Weyl :

L'ordre du groupe de Weyl est égal au produit des coefficients de la plus haute racine, fois n! (où n+1 est le nombre de nœuds du diagramme de Dynkin étendu), multiplié encore par le nombre de pointes (qui est aussi l'ordre du groupe de symétries du diagramme de Dynkin étendu).

Par exemple, dans le cas de E₈ (enfin, E₈˜, mais pour le groupe de Weyl non-affine on dira plutôt que c'est celui de E₈), on trouve (1×2×3×4×5×6×4×2×3)×(8!)×1 = 696 729 600. Dans le cas de An, on trouve (1×⋯×1)×(n!)×(n+1) = (n+1)!. Dans le cas de F₄, on trouve (1×2×3×4×2)×(4!)×1 = 1152. Dans le cas de Dn (qui a quatre pointes aux endroits évidents, et dont tous les autres coefficients de plus haute racine valent 2), on trouve (1×1×2×⋯×2×1×1)×(n!)×4 = 2n−1·n!.

L'ordre du groupe de Weyl donne le nombre de simplexes qui se rencontrent en o, ou, du coup, en n'importe quelle pointe. Si on veut connaître le nombre de simplexes qui se rencontrent en un autre point v, c'est facile : il suffit d'effacer le nœud correspondant à ce point du diagramme de Dynkin étendu, on obtient ainsi un diagramme de Dynkin ordinaire (= non étendu), en général ayant plusieurs composantes connexe, il existe une unique façon de compléter chacune de ses composantes connexes en un diagramme de Dynkin étendu, on calcule l'ordre du groupe de Weyl de chacun et on prend leur produit (en fait cela correspond à un kaléidoscope non simplicial, mais comme je n'ai parlé que de kaléidoscopes simpliciaux, je fais comme ça), et c'est le nombre recherché. Le rapport entre les deux nombres (le nombre de simplexes se rencontrant en o et le nombre de simplexes se rencontrant en v) donne aussi la densité des points de type v, c'est-à-dire combien il y en a par maille du réseau des périodes.

Quant à la somme h des coefficients de la plus haute racine, c'est encore un nombre très important, le nombre de Coxeter. Entre autres propriétés, le produit nh/2 (où, comme toujours, n+1 est le nombre de nœuds du diagramme de Dynkin étendu) est égal au nombre total de miroirs passant par o (de façon équivalente, nh est le nombre de racines ; par exemple, dans le cas de E₈, h=1+2+3+4+5+6+4+2+3=30 donc il y a 30×8=240 racines).

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Ajout () : Suite à un petit échange sur Twitter, il faut que j'apporte quelques précisions supplémentaires qui peuvent aider à visualiser(?) un peu les choses. • Premièrement, le simplexe kaléidoscopique Cn˜ s'obtient en coupant en deux le simplexe kaléidoscopique Bn˜ (c'est-à-dire qu'un hyperplan qui est hyperplan de symétrie pour Cn˜ devient facette pour Bn˜), et de même Bn˜ s'obtient lui-même en coupant en deux Dn˜. (Sur les coordonnées que j'ai données plus haut, c'est assez évident.) • Deuxièmement, je dois préciser que, si ceci donne l'impression que Bn˜, Cn˜ et Dn˜ sont vaguement pareil, ceci est plus ou moins justifié par le fait qu'il n'y a que deux-trois réseaux des périodes (=coracines) possibles dans l'histoire, à savoir celui de An˜ (qui pour n=2 est aussi celui de G₂˜), celui de Dn˜ (qui est aussi celui de Bn˜ et de Cn˜ et, pour n=4, de F₄˜), et enfin celui de En˜ pour n∈{6,7,8}. (On peut donc dire que ce sont là les kaléidoscopes vraiment différents, et que les différences entre Bn˜, Cn˜ et Dn˜ correspondent juste à différentes façons de découper le même réseau.) Le cas n=3 est dégénéré parce que A₃˜ coïncide avec D₃˜.

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Bon, j'avoue que je ne suis pas très content de ma façon de raconter tout ça, ça fait un peu trop recettes de cuisine. Mais je n'ai pas le courage de donner des preuves (et, pour commencer, de retrouver l'ordre logique dans lequel les choses s'enchaînent), ni même de faire tous les dessins qui seraient utiles pour bien comprendre les choses. Je vais juste renvoyer ceux qui veulent en savoir plus au très bon livre de Richard Kane, Reflection Groups and Invariant Theory (2001).

Ce qu'il faudrait vraiment faire, en revanche, c'est une représentation des trois kaléidoscopes euclidiens en dimension 3 (c'est-à-dire A₃˜, B₃˜ et C₃˜, cf. ci-dessus), un peu comme j'ai fait mes figures en dimension 2, et de façon à permettre aux gens comme moi incapables de voir dans l'espace de s'y retrouver un peu. Et puis, il faudrait aussi que quelqu'un se sorte les doigts du c** et fasse de vrais beaux dessins, dans le même style, des diagrammes de Coxeter ou Dynkin sous toutes leurs formes (ordinaires, étendus, et aussi les étendus-tordus-à-la-Kac dont je n'ai pas parlé ici ; avec la numérotation à la Bourbaki des racines, et avec les coefficients).

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