David Madore's WebLog: 2009-11

This WebLog is bilingual, some entries are in English and others are in French. A few of them have a version in either language. Other than that, the French entries are not translations of the English ones or vice versa. Of course, if you understand only English, the English entries ought to be quite understandable without reading the French ones.

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Entries published in November 2009 / Entrées publiées en novembre 2009:

(lundi)

Logicomix, et faut-il 350 pages pour prouver 1+1=2 ?

[Couverture de Logicomix]Bertrand Russell est un de mes héros (ou quelque chose de ce genre), et comme je m'intéresse à l'épistémologie des mathématiques, il était logique que je sois au moins intrigué par l'idée d'une bande dessinée dont le principal personnage est Bertrand Russell et dont le thème est la quête des fondements des mathématiques. C'est peut-être surprenant, mais cette BD existe (pour l'instant seulement en anglais) : elle s'appelle Logicomix ; ses auteurs sont grecs, et l'un d'entre eux, Christos Papadimitriou (enfin, Χριστος Παπαδημητριου), chercheur en informatique à Berkeley, m'était d'ailleurs connu comme auteur de plusieurs bons ouvrages sur la théorie de la complexité algorithmique : j'ai été assez étonné de le savoir co-scénariste de cette BD. (Un autre des auteurs est connu pour un roman intitulé Oncle Petros et la Conjecture de Goldbach dans sa traduction française.) Bref, comme un effet Zahir assez peu surprenant fait que j'ai entendu parler plusieurs fois de Logicomix (et en bien !) ces dernières semaines je l'ai achetée.

On aura compris que je la recommande, mais il faut que je précise bien quelque chose : ce n'est pas une BD sur les mathématiques, et ce n'est donc pas en tant que mathématicien que je la recommande (d'ailleurs, en tant que mathématicien, j'ai plutôt quelques reproches à lui faire). Je la recommanderais aussi bien à ma maman, si ma maman aimait les BD. Il ne s'agit pas d'un livre portant sur la logique, donc, mais sur l'histoire de la logique ou plutôt, un chapitre particulier de l'histoire de la logique qui est celui des fondements des mathématiques. Les héros s'appellent Russell, Whitehead, Frege, Cantor, Hilbert, Poincaré, Wittgenstein et Gödel : même si de très brefs passages sont employés à expliquer sommairement une ou deux idées essentielles de logique, de mathématiques ou — comme on se l'imagine avec l'apparition de Wittgenstein dans la liste des personnages — de philosophie, ce n'est pas du tout le propos. Le propos est plutôt d'expliquer ce qui a motivé cette quête des fondements, comment Russell l'a personnellement vécue, et en particulier comment les Principia Mathematica ont été écrits (et le Tractatus Logico-Philosophicus). La dimension humaine est essentielle, par exemple sur l'opposition de Russell à la guerre ou la perte de sa foi, mais surtout dans deux idées : la logique comme façon d'éviter la folie, et la quête des fondements sous forme de mythe de Sisyphe avec quoi les protagonistes n'en ont jamais fini. Ce n'est pas non plus une biographie de Russell (ne serait-ce que parce que ça s'arrête, comme ça commence, en fait, en 1939, donc son engagement contre la guerre du Vietnam n'est pas mentionné). Et évidemment, on pourrait redire des choses sur l'exactitude historique (notamment de la thèse sur la folie des logiciens : par exemple, le fait que Cantor soit devenu fou est d'une part un peu exagéré, et d'autre part sans rapport avec son activité mathématique). Mais assez parlé de la BD elle-même.

[Page des *Principia Mathematica*] Les Principia Mathematica sont peut-être bien le livre le plus abscons[#] de l'univers. Non seulement c'est de la logique formelle aride au possible, mais en plus les notations ne sont plus du tout celles qu'on utilise de nos jours (par exemple, l'ensemble vide — enfin, la classe vide — est noté par un lambda majuscule, un système de points est utilisé là où nous mettrions des parenthèses, le et logique est aussi noté par un point et l'implication par un symbole ⊃), sans même compter les notations spécifiques de l'ouvrage, les abréviations qu'ils utilisent pour « alléger » les démonstrations ou la numérotation un peu déroutante ; et, évidemment, les fondements des mathématiques ont évolué depuis cette première tentative. Que le lecteur non-mathématicien s'imagine donc que la page reproduite ci-contre (et on pourrait en trouver de bien pires) est aussi imperméable à 99% des mathématiciens qu'elle l'est à lui. Il est suggéré dans la BD (je ne sais pas si Russell a vraiment émis cette opinion) que la seule personne qui ait lu le texte était Kurt Gödel ; et, de fait, les Principia sont sans doute autant célèbres pour le fait que c'est sur ce système que Gödel a initialement fondé son théorème d'incomplétude que pour être la première axiomatisation parfaitement rigoureuse de ce qui pourrait en théorie englober l'ensemble des mathématiques.

Par contre, il est vrai que la proposition énoncée sous le numéro *110·643 en haut de la page que je reproduis signifie bien ce qu'elle semble signifier : 1+1=2 (et le commentaire qui suit la démonstration est succulent : the above proposition is occasionally useful). Cette proposition intervient à la page 83 du second tome des Principia (dans la seconde édition), sachant que le premier tome comporte lui-même quelque chose comme 680 pages[#2]. Cela a valu aux Principia une renommée particulière, celle d'être le livre qui prend énormément de pages pour montrer 1+1=2 ; le énormément est parfois placé dans les 350, parce que la proposition *54·43, qui dit essentiellement que si deux ensembles ont chacun un élément et sont disjoints, alors leur union a deux éléments, est située page 362 du premier tome — ou 360 ou 379 selon les éditions — et suivie du commentaire : From this proposition it will follow, when arithmetical addition has been defined, that 1+1=2.

Ceci a malheureusement donné naissance au mythe selon lequel, en logique formelle, pour prouver quelque chose d'aussi évident que 1+1=2, il faut des centaines et des centaines de pages. C'est faux pour plusieurs raisons. D'abord parce que Whitehead et Russell n'avaient pas pour but d'arriver à cette proposition de la façon la plus rapide possible (même dans leur système on aurait pu faire ça de façon beaucoup plus économique). Ensuite, parce que leur système semble impossiblement compliqué aux yeux d'un logicien mathématique moderne[#3] : il est vrai qu'on ne cherche plus tellement à produire des systèmes qui fondent « toutes les mathématiques », mais même dans la mesure où on en choisit un, on peut espérer que la démonstation de 1+1=2 ne sera pas immensément compliquée (s'agissant de ZFC, le système orthodoxe pour fonder les mathématiques, la difficulté sera surtout d'écrire 1+1=2, c'est-à-dire, de définir qui sont ce ‘1’, ce ‘2’ et ce ‘+’ qui interviennent dans cette affirmation ; une fois cela fait, l'énoncé devrait sans doute être assez évident). J'avais lu quelque part un texte qui se voulait un peu sensationnaliste sur la longueur des démonstrations en logique formelle (où il concluait qu'il faudrait des quadrilliards de symboles pour démontrer le théorème des nombres premiers ou je ne sais quoi de ce genre) ; mais j'avais fini par me convaincre que l'auteur parlait probablement de démonstrations dites sans coupures (ce qui signifie, en très très gros, sans utiliser de lemme ou proposition intermédiaire ou quoi que ce soit de ce genre, mais en réécrivant à chaque fois la démonstration complète de ce qui aurait tenu lieu de lemme) : s'il y a des moyens d'éliminer les coupures dans une démonstration, ce moyen fait exploser la taille des démonstrations, c'est même un fait essentiel de la logique, et personne ne veut lire une démonstration sans coupures du théorème des nombres premiers ou même de 1+1=2.

[#] D'accord, on peut toujours trouver pire. Finnegan's Wake, par exemple ? Alors, pour lancer un petit troll, disons que les Principia sont peut-être bien le livre le plus abscons parmi ceux qui ont un sens. ☺ (Plusieurs trolls, d'ailleurs : sur le fait de savoir si Joyce écrivait du pur charabia, et sur celui de savoir si de la logique peut avoir un sens ou autres questions qui auraient irrité Wittgenstein.)

[#2] Enfin, la proposition de loi sur la réforme du healthcare aux États-Unis fait autour de 2000 pages : je ne sais pas ce qui est le plus impressionnant, en fait.

[#3] La théorie ramifiée des types de Russell est assez éloignée de la façon dont on conçoit, de nos jours, les fondements des mathématiques (depuis que Zermelo a convaincu tout le monde de l'opportunité d'une théorie purement du premier ordre, avec une seule sorte d'objets — les ensembles). Pour un point de vue moderne sur la théorie de Russell (et son rapport avec les théories modernes), voir ce texte de Harvey Friedman ; cet article n'est pas mal non plus, pour remettre les choses dans le contexte et expliquer ce qu'est l'axiome de réductibilité.

(Friday)

Gratuitous Literary Fragment #124 (the Trinity)

What the Christian Trinity means is fairly evident to anyone—anyone except Christians, that is. It is the divine family: a family comprising the Father, the Son and, plainly, the Mother. The all-male clergy mustn't have liked the idea of worshipping a goddess, and indeed now the very word sounds pagan; so about the time when they were busy making up the Nicene creed and kicking Arius and other heretics out of the Church, they managed to seemingly remove the Mother-of-God from the divine Trinity and replace Her with a placeholder, the Holy Ghost. Nobody knows what that Holy Spirit is supposed to be: obviously, as a hypostase, it was just fabricated from a few vague references in the Gospels where the phrase is used as a propitiatory saying when baptising (the blasphemy against the Holy Ghost shall not be forgiven unto men). The real third member of the Trinity, in fact, the most important member of the Trinity, is the Mother. No religion is originally without a female deity. Already the Jews had been deft in suppressing or disguising references to the mother-goddess Asherah, consort of El, in the Torah, though Genesis 1:27 still says that Elohim (אֱלוֹהִים—grammatically plural) created man and woman in their image. Some Protestant branches adore only Jesus and were thus quite successful in extinguishing mariolatry; the Eastern Orthodox churches followed a similar route. But the Catholics? For them, the removal was only seemingly achieved. For they don't pray to the Father—they don't even so much pray to the Son: they pray to the Mother-of-God, and visiting any staunchly Catholic country makes it completely obvious who the third and highest part of the Trinity is: just count the number of Santa Maria this and that. But those are only the dominant sects. Many more must have worshipped the Trinity as it originally stood. In fact, the point is made black on white in the Qur'an (sura 5 verse 116, يٰعِيسَى ٱبْنَ مَرْيَمَءَ أَنْتَ قُلْتَ لِلنَّاسِ ٱتَّخِذُونِي وَأُمِّيَ إِلٰهَيْنِ مِنْ دُونِ ٱللّٰهِ): Christians are accused of being tritheistic because the have put two other Gods beside Allah—Jesus and his Mother. The Qur'an may be mistaken about many things, but on this count it is clearly right.

Je reconnais avoir totalement plagié, en écrivant ça, la thèse que quelqu'un, que je ne dénoncerai pas, m'a tenue récemment (et presque ses paroles, d'ailleurs), même si j'ai complété avec une explication que quelqu'un d'autre m'a faite sur un sujet proche. Dans l'ensemble, considérez que toutes les idées intéressantes ne sont pas de moi et que toutes les erreurs, par contre, ont été ajoutées par moi. (Je trouve l'idée intéressante, même si je ne suis pas complètement convaincu qu'elle soit historiquement si correcte.)

(lundi)

Discours de commémoration du 9 novembre

Klaus Wowereit, Nicolas Sarkozy, Dmitrij Medvedev, Gordon Brown, Hillary Clinton (et par écran interposé, Barack Obama), et évidemment Angela Merkel, ont chacun fait un petit discours pour commémorer le 20e anniversaire de la chute du mur de Berlin[#]. Je trouve qu'ils ont tous été très mauvais. Je ne fais pas référence au fait que le contenu des discours sont convenus au point d'en devenir totalement vides : cela fait partie des règles de l'exercice pour une commémoration, ce serait presque une faute de goût de vraiment dire quelque chose en une telle occasion, et les gens qui se plaignent que c'est creux sont des ignares qui ne savent pas apprécier l'art rhétorique pour ce qu'il est censé être… Mais le but est de faire au moins des phrases jolies et bien tournées (avec la difficulté supplémentaire qu'il ne faut ni dire la même chose que le voisin, ni froisser le président russe en donnant à l'URSS un mauvais rôle), et les dire avec une voix qui fait rêver. On pourrait croire qu'avec le staff que ces gens-là ont, l'un d'eux aurait su produire quelque chose à la hauteur : eh bien non, même en tenant compte des pertes à la traduction simultanée, aucun d'eux n'a rempli son contrat. Même pas Obama, qui est pourtant en général un orateur extraordinaire.

Voici à quoi ressemble un vrai discours, prononcé par quelqu'un qui parle très bien : je suis surpris qu'on n'y ait pas fait la moindre référence, d'ailleurs. Ou même celui-ci dont, quoi qu'on puisse penser de son auteur et de ses idées (et de la thèse que ce discours précis a constribué à la chute de ce mur), il faut reconnaître qu'il est par moments rhétoriquement remarquable.

Je crois que j'aurais préféré entrendre les aînés parler, en fait (mais je n'ai trouvé ni enregistrement ni transcription de cette conférence). Je soupçonne qu'ils sont plutôt meilleurs. (Quoique, finalement… le 9 novembre 1989, ce jour-là non plus, personne n'avait été capable de produire un discours convenable.)

[#] Je sais que 20 est un nombre plus rond que 15, et je sais qu'on est toujours embarrassé (en ce jour qui est, entre autres anniversaires, celui de la proclamation de la république de Weimar) par le souvenir de la Nuit de Cristal du 9 novembre 1938, mais je suis épaté par les kilos qu'on en fait cette semaine alors qu'il y a cinq ans il n'y avait vraiment rien eu du tout.

(lundi)

Déploiement policier

Mon poussinet et moi étions attablés, hier, à un café au croisement des Gobelins, vers le milieu de l'après-midi, quand des policiers ont coupé le boulevard Saint-Marcel (celui qui était devant nous) et neutralisé les Gobelins, et nous avons vu passer, en plusieurs convois, un nombre incroyable de forces de l'ordre (des policiers et des gendarmes, en nombre à peu près égal) : j'estime, même si c'est difficile d'être précis, qu'il devait y en avoir un bon millier (l'ordre de grandeur au moins est bon : cinq convois d'environ 25 véhicules chacun, avec probablement autour de huit policiers ou gendarmes par camionnette). Curieux de savoir quelle manifestation monstre (nous n'avions entendu parler de rien) pouvait nécessiter le déploiement d'autant de troupes, nous avons remonté les Gobelins (qui étaient, donc transformés en parking pour forces de l'ordre comme, nous l'avons vite vu, toutes les autres voies menant à la place). Arrivés place d'Italie (complètement coupée à la circulation), nous découvrons la cause de toute cette agitation : un rassemblement, en effet, qui avait l'air d'être d'un mouvement de sympathie pour les sans-papiers (ils n'avaient quasiment aucune banderole, et guère qu'un haut-parleur qu'on comprenait mal). À tout casser : deux cents personnes sur la place, et encore, je dois compter les badauds en disant ça. Cinq fois plus de policiers plus gendarmes, donc.

Je ne sais pas combien ça coûte, de mobiliser tous ces hommes (un dimanche, qui plus est), et je ne sais pas quels sont les coûts indirects à couper tous les grands axes d'un quartier (boulevard Saint-Marcel, avenue des Gobelins, boulevard de l'Hôpital, boulevard Vincent Auriol, avenue d'Italie, boulevard Blanqui), fût-ce le week-end, mais, même si je n'aime pas jouer les grincheux du combien ça coûte au contribuable, c'était du délire complet pour seize douzaines de péquenots. Soit quelqu'un aux RG a mal prévu le coup et j'espère qu'il va se prendre un bon coup sur les doigs, soit le délire de surencadrement policier de la moindre manifestation a été poussé encore plus loin que son hyperbole habituelle.

(lundi)

De quoi parlent les mathématiques ?

Mathematics may be defined as the subject in which we never know what we are talking about, nor whether what we are saying is true. (Les mathématiques peuvent être définies comme la discipline dans laquelle on ne sait jamais de quoi on parle, ni si ce qu'on dit est vrai.) — Bertrand Russell (Recent Work on the Principles of Mathematics)

Je vais peut-être décevoir (ou au contraire rassurer ?) mon lecteur en avouant que je n'ai aucune intention d'essayer de répondre à la question qui sert de titre à cette entrée ; je vais tout au plus essayer de vulgariser un élément de réponse à une minuscule partie de cette question (ou d'une question proche), sur laquelle on peut dire des choses « techniquement » (c'est-à-dire : logiquement) précises. C'est déjà tout un programme.

[Ajout : cette entrée ultérieure évoque vaguement les mêmes questions, mais sous un angle différent ; je ne sais pas dans quel ordre il vaut mieux les lire.]

La plupart des mathématiciens (et même si ce n'est pas vraiment mon avis, je dois reconnaître qu'il est très répandu) conviendront que l'activité d'un mathématicien est de produire des théorèmes et des démonstrations. Par opposition, disons, aux définitions, exemples ou conjectures, qui forment certainement aussi une partie importante de l'activité en question, mais à laquelle l'opinion dont je parle attribue moins d'importance ou de dignité. Une démonstration est un argument logique plus ou moins formel qui suit certaines règles codifiées pour partir d'axiomes ou d'hypothèses et arriver à une conclusion : un énoncé qui est la conclusion d'une démonstration (connue !) est un théorème (ou une proposition, un lemme, un corollaire, selon sa difficulté, son importance et sa relation logique ou didactique à d'autres énoncés du sujet en cours de développement). Les règles du raisonnement, un peu comme celles des scolastiques d'autrefois (barbara, celarent, darii, ferio), sont supposées assez évidentes pour qu'on doute assez peu qu'elles préservent la vérité lorsqu'elles sont correctement appliquées : si les hypothèses de la démonstration sont vraies alors la conclusion l'est aussi ; donc, tout théorème produit à partir d'axiomes vrais est également vrai.

Mais quels sont les axiomes ? Un certain consensus, apparu au cours du XXe siècle, et maintenant assez fermement enraciné dans, disons, le dogme officiel des mathématiques, est que les axiomes qui fondent les mathématiques sont ceux de la théorie des ensembles de Zermelo-Fraenkel (en abrégé ZFC : le ‘C’ précise l'inclusion de l'axiome du choix, qui n'est pas du tout ce dont j'ai envie de parler à présent), les règles de raisonnement étant celles de la logique du premier ordre. Autrement dit, sauf mention explicite du contraire, ce qu'un mathématicien appelle théorème est un théorème de ZFC, et sa démonstration pourrait être rendue complètement formelle (une manipulation syntaxique fondée sur des règles de réécritures à partir des axiomes de ZFC pour arriver à ce théorème comme conclusion). C'est du moins le dogme officiel parce que, dans la pratique, beaucoup de mathématiciens non logiciens seraient probablement incapables de citer les axiomes de ZFC (ou de d'expliciter les règles de raisonnement de façon formelle et automatique) ; et la tâche d'expliciter complètement la démonstration de n'importe quel théorème modérément compliqué à partir des axiomes fondamentaux et en suivant les règles mécaniques est au mieux titanesque (même si les progrès de la vérification formelle ont montré qu'on pouvait arriver à des choses). Mais le dogme a le bon goût d'éviter des discussions sur les fondements des mathématiques que beaucoup de mathématiciens trouvent oiseuses ; il asseoit les mathématiques sur des bases solides et non dénuées d'élégance (et où, par exemple, la notion d'infini n'a plus rien de mystérieux ou de précaire) :

Aus dem Paradies, das Cantor uns geschaffen, soll uns niemand vertreiben können. (Du paradis que Cantor nous a créé, nul ne doit nous chasser.) — David Hilbert (Über das Unendliche)

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