David Madore's WebLog: Logicomix, et faut-il 350 pages pour prouver 1+1=2 ?

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(lundi)

Logicomix, et faut-il 350 pages pour prouver 1+1=2 ?

[Couverture de Logicomix]Bertrand Russell est un de mes héros (ou quelque chose de ce genre), et comme je m'intéresse à l'épistémologie des mathématiques, il était logique que je sois au moins intrigué par l'idée d'une bande dessinée dont le principal personnage est Bertrand Russell et dont le thème est la quête des fondements des mathématiques. C'est peut-être surprenant, mais cette BD existe (pour l'instant seulement en anglais) : elle s'appelle Logicomix ; ses auteurs sont grecs, et l'un d'entre eux, Christos Papadimitriou (enfin, Χριστος Παπαδημητριου), chercheur en informatique à Berkeley, m'était d'ailleurs connu comme auteur de plusieurs bons ouvrages sur la théorie de la complexité algorithmique : j'ai été assez étonné de le savoir co-scénariste de cette BD. (Un autre des auteurs est connu pour un roman intitulé Oncle Petros et la Conjecture de Goldbach dans sa traduction française.) Bref, comme un effet Zahir assez peu surprenant fait que j'ai entendu parler plusieurs fois de Logicomix (et en bien !) ces dernières semaines je l'ai achetée.

On aura compris que je la recommande, mais il faut que je précise bien quelque chose : ce n'est pas une BD sur les mathématiques, et ce n'est donc pas en tant que mathématicien que je la recommande (d'ailleurs, en tant que mathématicien, j'ai plutôt quelques reproches à lui faire). Je la recommanderais aussi bien à ma maman, si ma maman aimait les BD. Il ne s'agit pas d'un livre portant sur la logique, donc, mais sur l'histoire de la logique ou plutôt, un chapitre particulier de l'histoire de la logique qui est celui des fondements des mathématiques. Les héros s'appellent Russell, Whitehead, Frege, Cantor, Hilbert, Poincaré, Wittgenstein et Gödel : même si de très brefs passages sont employés à expliquer sommairement une ou deux idées essentielles de logique, de mathématiques ou — comme on se l'imagine avec l'apparition de Wittgenstein dans la liste des personnages — de philosophie, ce n'est pas du tout le propos. Le propos est plutôt d'expliquer ce qui a motivé cette quête des fondements, comment Russell l'a personnellement vécue, et en particulier comment les Principia Mathematica ont été écrits (et le Tractatus Logico-Philosophicus). La dimension humaine est essentielle, par exemple sur l'opposition de Russell à la guerre ou la perte de sa foi, mais surtout dans deux idées : la logique comme façon d'éviter la folie, et la quête des fondements sous forme de mythe de Sisyphe avec quoi les protagonistes n'en ont jamais fini. Ce n'est pas non plus une biographie de Russell (ne serait-ce que parce que ça s'arrête, comme ça commence, en fait, en 1939, donc son engagement contre la guerre du Vietnam n'est pas mentionné). Et évidemment, on pourrait redire des choses sur l'exactitude historique (notamment de la thèse sur la folie des logiciens : par exemple, le fait que Cantor soit devenu fou est d'une part un peu exagéré, et d'autre part sans rapport avec son activité mathématique). Mais assez parlé de la BD elle-même.

[Page des *Principia Mathematica*] Les Principia Mathematica sont peut-être bien le livre le plus abscons[#] de l'univers. Non seulement c'est de la logique formelle aride au possible, mais en plus les notations ne sont plus du tout celles qu'on utilise de nos jours (par exemple, l'ensemble vide — enfin, la classe vide — est noté par un lambda majuscule, un système de points est utilisé là où nous mettrions des parenthèses, le et logique est aussi noté par un point et l'implication par un symbole ⊃), sans même compter les notations spécifiques de l'ouvrage, les abréviations qu'ils utilisent pour « alléger » les démonstrations ou la numérotation un peu déroutante ; et, évidemment, les fondements des mathématiques ont évolué depuis cette première tentative. Que le lecteur non-mathématicien s'imagine donc que la page reproduite ci-contre (et on pourrait en trouver de bien pires) est aussi imperméable à 99% des mathématiciens qu'elle l'est à lui. Il est suggéré dans la BD (je ne sais pas si Russell a vraiment émis cette opinion) que la seule personne qui ait lu le texte était Kurt Gödel ; et, de fait, les Principia sont sans doute autant célèbres pour le fait que c'est sur ce système que Gödel a initialement fondé son théorème d'incomplétude que pour être la première axiomatisation parfaitement rigoureuse de ce qui pourrait en théorie englober l'ensemble des mathématiques.

Par contre, il est vrai que la proposition énoncée sous le numéro *110·643 en haut de la page que je reproduis signifie bien ce qu'elle semble signifier : 1+1=2 (et le commentaire qui suit la démonstration est succulent : the above proposition is occasionally useful). Cette proposition intervient à la page 83 du second tome des Principia (dans la seconde édition), sachant que le premier tome comporte lui-même quelque chose comme 680 pages[#2]. Cela a valu aux Principia une renommée particulière, celle d'être le livre qui prend énormément de pages pour montrer 1+1=2 ; le énormément est parfois placé dans les 350, parce que la proposition *54·43, qui dit essentiellement que si deux ensembles ont chacun un élément et sont disjoints, alors leur union a deux éléments, est située page 362 du premier tome — ou 360 ou 379 selon les éditions — et suivie du commentaire : From this proposition it will follow, when arithmetical addition has been defined, that 1+1=2.

Ceci a malheureusement donné naissance au mythe selon lequel, en logique formelle, pour prouver quelque chose d'aussi évident que 1+1=2, il faut des centaines et des centaines de pages. C'est faux pour plusieurs raisons. D'abord parce que Whitehead et Russell n'avaient pas pour but d'arriver à cette proposition de la façon la plus rapide possible (même dans leur système on aurait pu faire ça de façon beaucoup plus économique). Ensuite, parce que leur système semble impossiblement compliqué aux yeux d'un logicien mathématique moderne[#3] : il est vrai qu'on ne cherche plus tellement à produire des systèmes qui fondent « toutes les mathématiques », mais même dans la mesure où on en choisit un, on peut espérer que la démonstation de 1+1=2 ne sera pas immensément compliquée (s'agissant de ZFC, le système orthodoxe pour fonder les mathématiques, la difficulté sera surtout d'écrire 1+1=2, c'est-à-dire, de définir qui sont ce ‘1’, ce ‘2’ et ce ‘+’ qui interviennent dans cette affirmation ; une fois cela fait, l'énoncé devrait sans doute être assez évident). J'avais lu quelque part un texte qui se voulait un peu sensationnaliste sur la longueur des démonstrations en logique formelle (où il concluait qu'il faudrait des quadrilliards de symboles pour démontrer le théorème des nombres premiers ou je ne sais quoi de ce genre) ; mais j'avais fini par me convaincre que l'auteur parlait probablement de démonstrations dites sans coupures (ce qui signifie, en très très gros, sans utiliser de lemme ou proposition intermédiaire ou quoi que ce soit de ce genre, mais en réécrivant à chaque fois la démonstration complète de ce qui aurait tenu lieu de lemme) : s'il y a des moyens d'éliminer les coupures dans une démonstration, ce moyen fait exploser la taille des démonstrations, c'est même un fait essentiel de la logique, et personne ne veut lire une démonstration sans coupures du théorème des nombres premiers ou même de 1+1=2.

[#] D'accord, on peut toujours trouver pire. Finnegan's Wake, par exemple ? Alors, pour lancer un petit troll, disons que les Principia sont peut-être bien le livre le plus abscons parmi ceux qui ont un sens. ☺ (Plusieurs trolls, d'ailleurs : sur le fait de savoir si Joyce écrivait du pur charabia, et sur celui de savoir si de la logique peut avoir un sens ou autres questions qui auraient irrité Wittgenstein.)

[#2] Enfin, la proposition de loi sur la réforme du healthcare aux États-Unis fait autour de 2000 pages : je ne sais pas ce qui est le plus impressionnant, en fait.

[#3] La théorie ramifiée des types de Russell est assez éloignée de la façon dont on conçoit, de nos jours, les fondements des mathématiques (depuis que Zermelo a convaincu tout le monde de l'opportunité d'une théorie purement du premier ordre, avec une seule sorte d'objets — les ensembles). Pour un point de vue moderne sur la théorie de Russell (et son rapport avec les théories modernes), voir ce texte de Harvey Friedman ; cet article n'est pas mal non plus, pour remettre les choses dans le contexte et expliquer ce qu'est l'axiome de réductibilité.

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