David Madore's WebLog: 2016-01

Je suis un peu débordé en ce moment par la préparation de deux cours[#] qui commencent dans deux semaines et dont je n'ai pour l'instant que des notes très éparses et inachevées, d'autant plus que j'enseigne autre chose en ce moment. Mais pendant la préparation d'un de ces cours, je suis tombé sur une difficulté mathématique au sujet de laquelle j'aimerais l'avis de mes lecteurs mathématiciens (il doit bien y en avoir) ou amateurs de mathématiques : ce n'est pas que je ne sache pas démontrer quelque chose, mais que je m'étonne de la façon dont je le démontre, et je trouve qu'il y a quelque chose de surprenant dans toute l'histoire. Bref, je vais commenter les ressemblances et différences entre quelques énoncés apparemment très semblables et surtout différentes démonstrations des énoncés en question.

[#] L'un de ces cours concerne la théorie des jeux ; ou plutôt les théories des jeux, parce qu'il y a plusieurs domaines que leurs spécialistes appellent théorie des jeux, selon le type de jeux étudiés, et dont l'intersection est relativement faible : pensez à celle (que je ne sais pas nommer plus précisément) qui cherche des équilibres de Nash et celle (en gros, la théorie combinatoire des jeux) qui cherche à calculer des valeurs de Sprague-Grundy, par exemple, chacune a tendance à se définir comme « la » théorie des jeux, et d'ailleurs ça m'énerve, en tout cas je voudrais parler des deux et de quelques autres encore. Mes notes en cours d'écriture sont ici. L'autre cours concerne les courbes algébriques, pour lequel il va s'agir de remanier profondément un cours de géométrie algébrique (anciennes notes ici) que je donnais déjà.

Voici quatre énoncés mathématiques très simples, en théorie élémentaire des ensembles, que je pourrais regrouper sous le label général de théorèmes de points fixes, et que je vais appeler successivement (P), (P$), (F) et (F$) :

(P) Soit X un ensemble : on note 𝒫(X) son ensemble des parties. Soit Ψ:𝒫(X)→𝒫(X) une application vérifiant les deux propriétés suivantes : (i) Ψ est progressive, c'est-à-dire que Ψ(A)⊇A pour tout A∈𝒫(X), et (ii) Ψ est croissante, c'est-à-dire que si A⊇B alors Ψ(A)⊇Ψ(B). Alors il existe un plus petit A∈𝒫(X) tel que Ψ(A)=A (c'est-à-dire un A tel que Ψ(A)=A et que si A′ vérifie aussi Ψ(A′)=A′ alors A⊆A′).

(P$) [Exactement le même énoncé que (P) sans supposer (i).] Soit X un ensemble : on note 𝒫(X) son ensemble des parties. Soit Ψ:𝒫(X)→𝒫(X) une application vérifiant la propriété suivante : Ψ est croissante, c'est-à-dire que si A⊇B alors Ψ(A)⊇Ψ(B). Alors il existe un plus petit A∈𝒫(X) tel que Ψ(A)=A. [Un peu mieux : il existe un plus petit A tel que Ψ(A)⊆A, et ce A vérifie Ψ(A)=A.]

Pour les deux énoncés suivants, j'ai besoin de rappeler la notion de fonction partielle : si X et Z sont deux ensembles, une fonction partielle X⇢Z est une fonction définie sur une partie de X et à valeurs dans Z ; on peut aussi la voir comme une partie de X×Z (à savoir, le graphe de la fonction) qui soit fonctionnelle au sens où si elle contient à la fois (x,z₁) et (x,z₂) pour le même x∈X alors forcément z₁=z₂. La relation f⊇g entre fonctions partielles signifie alors que la fonction f prolonge la fonction g (i.e., que f est définie partout où g l'est, et qu'alors leurs valeurs coïncident).

(F) [Exactement le même énoncé que (P) avec des fonctions partielles X⇢Z au lieu de parties de X.] Soient X et Z deux ensembles : on note 𝒟 l'ensemble des fonctions partielles X⇢Z. Soit Ψ:𝒟→𝒟 une application vérifiant les deux propriétés suivantes : (i) Ψ est progressive, c'est-à-dire que Ψ(f)⊇f pour tout f∈𝒟, et (ii) Ψ est croissante, c'est-à-dire que si f⊇g alors Ψ(f)⊇Ψ(g). Alors il existe une plus petite f∈𝒟 telle que Ψ(f)=f (c'est-à-dire un f tel que Ψ(f)=f et que si f′ vérifie aussi Ψ(f′)=f′ alors f⊆f′). [Précision : on me fait remarquer à juste titre que cet énoncé est en fait totalement creux (cf. la mise à jour ci-dessous).]

(F$) [Exactement le même énoncé que (F) sans supposer (i), donc exactement le même que (P$) avec des fonctions partielles au lieu de parties.] Soient X et Z deux ensembles : on note 𝒟 l'ensemble des fonctions partielles X⇢Z. Soit Ψ:𝒟→𝒟 une application vérifiant la propriété suivante : Ψ est croissante, c'est-à-dire que si f⊇g alors Ψ(f)⊇Ψ(g). Alors il existe une plus petite f∈𝒟 telle que Ψ(f)=f. [Un peu mieux : il existe un plus petit f tel que Ψ(f)⊆f, et ce f vérifie Ψ(f)=f.]

(Nomenclature : j'appelle (P) et (P$) les énoncés sur les Parties, (F) et (F$) ceux sur les Fonctions partielles, et (P$) et (F$) les énoncés qui vous en donnent plus pour votre argent.) J'espère que j'ai écrit ces énoncés de façon à ce qu'il n'y ait pas le moindre doute sur leur signification formelle. L'objet dont chacun de ces énoncés affirme l'existence peut être qualifié de plus petit point fixe de Ψ.

Commentaires : Le sens intuitif de ces résultats est quelque chose comme le suivant : on a une opération Ψ qui, pour prendre l'exemple de l'énoncé (F), prend une fonction f et l'étend en une fonction peut-être définie sur un peu plus de points, et par ailleurs, Ψ possède une propriété de cohérence, à savoir que si on étend f, on étend aussi le résultat de l'opération Ψ(f) ; alors il existe une « clôture du vide » pour l'opération Ψ, c'est-à-dire qu'en partant de rien, l'opération Ψ vous permet d'arriver à une certaine fonction f à partir de laquelle l'opération Ψ ne la fait plus grandir. Pour donner un exemple d'application de (P$), considérer l'ensemble X=ℕ des entiers naturels, et l'opération Ψ qui à un ensemble A de naturels associe l'ensemble formé des entiers 2, 3 et tous les produits de deux éléments de A : le plus petit point fixe sera alors l'ensemble de tous les entiers qu'on peut fabriquer en multipliant 2 et 3 autant qu'on veut ensemble (à savoir l'ensemble des 2ⁱ·3^j avec au moins un de i et j non-nul, mais peu importe) ; plus généralement, (P) ou (P$) peut servir à montrer l'existence de toutes sortes de « clôtures » sous des opérations variées. Généralement parlant, le concept de plus petit point fixe (ou de point fixe en général) apparaît très souvent en mathématiques, et il existe tout un labyrinthe — mais je crois vraiment que les énoncés que j'ai cités ci-dessus sont parmi les plus naturels.

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L'entrée précédente contenait le bout de phrase

…dans le cadre d'un cours dont j'enseigne à un groupe…

que j'affirme être correcte (j'enseigne à un groupe [d'élèves] de ce cours) mais qui a fait réagir le genre de grincheux dont j'imagine qu'ils doivent lire des blogs sans aucun intérêt pour le fond, par simple plaisir de pinailler sur la grammaire. Penchons-nous donc un instant sur les subordonnées relatives en français. [En vérité, l'avant-dernière phrase est surtout là pour fournir quelques exemples intéressants in situ de subordonnées compliquées : la phrase que j'affirme être correcte et les grincheux dont j'imagine qu'ils doivent lire des blogs blablabla.]

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Je donnais jeudi matin une très courte[#] introduction à la calculabilité, dans le cadre d'un cours intitulé Théorie des Langages (donc un sujet plutôt connexe que contenant) dont j'enseigne à un groupe ; des circonstances anecdotiques (des feutres manquants[#2] au début de la séance, les élèves qui filent pour aller à un partiel à la fin) ont fait que je n'ai pas pu la finir correctement. J'ai donc envoyé des notes écrites[#3] aux élèves, auxquelles je n'ai pas résisté à la tentation d'ajouter quelques compléments en petits caractères. Comme ces notes (qui sont très basiques et passablement informelles même par rapport à ce que j'ai pu raconter sur le sujet sur ce blog) peuvent peut-être intéresser d'autres gens, je les mets en ligne ici. L'approche choisie consiste à ne pas chercher à définir formellement ce qu'est un algorithme (que ce soit par une machine de Turing ou autrement), vu que de toute façon on ne demandera à personne de programmer une machine de Turing, et pédagogiquement il semble que si on formalise un modèle de calcul, cela paralyse les étudiants au point qu'ils ne comprennent plus la notion d'algorithme alors qu'en entrant ils savaient.

[#] Et je trouve véritablement triste que dans une grande école dont l'informatique est une des spécialités, le seul contact que tous les élèves auront avec des notions aussi fondamentales que le problème de l'arrêt ou la notion de problèmes décidable et semi-décidable, c'est une séance d'une heure et demie dans le cadre d'un cours plutôt consacré à autre chose (et sur laquelle il est donc difficile de les interroger à l'examen).

[#2] Obtenir des feutres qui marchent au début de chaque cours peut être une véritable quête du graal.

[#3] Ils ont aussi un poly de cours (il n'a pas l'air d'être disponible publiquement), mais j'ai suivi une présentation différente dans mon exposé, suivant le principe qu'on comprend parfois mieux quand les choses sont expliquées deux fois de façon différente, et du coup j'ai repris mes notations dans ces notes.

Ajout (2024-04-30) : plusieurs années plus tard, j'ai créé un cours à Télécom dont une bonne partie concerne la calculabilité : j'ai fait un bilan de la première année de ce cours dans un billet ultérieur.

⁂

Mais même en racontant des choses très basiques, on peut apprendre des choses ou s'éclaircir les idées. Notamment sur deux points, tous deux plus ou moins liés à l'énumération φ₀,φ₁,φ₂,… des fonctions calculables partielles ℕ⇢ℕ. Il faut comprendre qu'on numéroté les programmes, par exemple par taille puis par ordre lexicographique, et que φ_e(n₁,…,n_k) est le résultat de l'exécution du e-ième programme auquel on fournit les arguments n₁,…,n_k, la valeur étant indéfinie si le programme ne (s'exécute pas correctement ou) ne termine pas. Un point important est qu'il existe un programme universel, c'est-à-dire que la fonction (e,n) ↦ φ_e(n) est elle-même calculable (informatiquement, cela signifie qu'on peut écrire un « interpréteur », qui prend un programme e et un paramètre n et exécute le programme sur cette entrée ; philosophiquement, cela signifie que le fait d'exécuter un algorithme est lui-même algorithmique). Les deux points qui m'avaient un peu échappés sont les suivants :

✱ Le premier point concerne le théorème s-m-n de Kleene. Si h(m,n)=φ_e(m,n) est une fonction calculable des deux variables m,n, alors pour chaque valeur de m elle est calculable dans la variable n : ça c'est plus ou moins une évidence ; mais ce qui l'est moins, c'est qu'on peut algorithmiquement fabriquer un indice s(e,m) pour cette fonction, au sens où φ_s(e,m)(n) = φ_e(m,n) avec s une fonction calculable — c'est ça que dit le théorème s-m-n. Informatiquement, cela signifie qu'il y a une transformation algorithmique (le s en question) qui prend un programme e prenant deux arguments m et n (ou en fait, deux jeux d'arguments), et une valeur à donner au premier, et qui renvoie un nouveau programme s(e,m) où ces arguments ont été fixés à cette valeur. Dans toute formalisme de calcul précis (que ce soit les machines de Turing, ou un langage de programmation réel), c'est plus ou moins évident — dans un langage de programmation fonctionnel, par exemple, cela signifie curryfier la fonction et appliquer à une constante — et la fonction s sera mieux que calculable (elle sera primitive récursive, et certainement beaucoup mieux que ça, parce que ce n'est pas un problème algorithmiquement difficile de substituer une valeur dans un programme !). Mais comme je n'introduisais pas de modèle de calcul précis, je me suis demandé si ça pouvait se démontrer in abstracto, à partir de la simple existence de l'énumération des fonctions calculables partielles et l'existence d'un programme universel.

La réponse est non, il existe des numérotations des fonctions calculables partielles qui vérifient le théorème d'universalité mais pas le théorème s-m-n. Un contre-exemple est fourni en définissant à partir d'une numérotation standard φ_e une nouvelle numérotation ψ_‹v+1,e›(0)=v (et ψ_‹v,e›(0) non définie), et sinon, ψ_‹v,e›(n)=φ_e(n) (dans tout ça, ‹x,y› désigne un codage quelconque des couples d'entiers naturels par des entiers naturels) : autrement dit, dans la numérotation ψ, on précise séparément la valeur en 0 de la fonction (y compris « non définie ») et ses autres valeurs via une numérotation standard. Sur cet exemple, toute fonction calculable partielle apparaît bien dans les ψ, mais on ne peut pas calculer, à partir de d'un indice e d'une fonction calculable partielle h parmi les ψ, un tel indice pour la fonction constante de valeur h(1), car il faudrait pour cela déterminer si h(1) est défini (i.e., termine), donc résoudre le problème de l'arrêt. Donc on ne peut pas faire de substitution dans les ψ de façon algorithmique.

Pour raconter ce contre-exemple dans des termes informatiques, imaginons un langage de programmation permettant de coder des fonctions ℕ⇢ℕ (ou ℕ^k⇢ℕ, enfin peu importe) et qui est un langage tout à fait banal à une particularité près : la valeur en 0 de la fonction (qu'il s'agisse d'un entier ou du fait de partir en boucle infinie) doit être précisée par une instruction spéciale au début du programme, la seule instruction qui sera lue pour calculer cette valeur en 0, les autres valeurs étant calculées par un programme « normal » (par ailleurs, cette bizarrerie ne s'applique qu'à la fonction main, si j'ose dire, du programme). Interpréter ce langage, ou le compiler vers un autre, ne pose pas de problème particulier, et ce langage permet de représenter toutes les fonctions calculables partielles, ou d'ailleurs d'écrire un interpréteur pour un langage standard (une machine de Turing, disons) ou quelque chose comme ça. Mais il ne vérifie pas le théorème s-m-n, et ceci cause des bizarreries : on ne peut pas, par exemple, compiler un programme vers ce langage sauf à calculer à la compilation la valeur de la fonction en 0, ce qui risque de provoquer une boucle infinie ; et on ne peut pas algorithmiquement remplacer un programme dans ce langage par le programme qui calcule la (fonction constante égale à la) valeur en 1 de cette fonction. Ceci suggère que le terme Turing-complet est défini de façon un peu trop vague : à mon avis, ce qui importe est que l'énumération des fonctions partielles calculées par le langage considéré soit non seulement l'ensemble de toutes les fonctions calculables partielles, mais aussi que la numérotation soit acceptable au sens où on peut de façon calculable convertir une machine de Turing en le langage en question, et on peut montrer que cela revient exactement à vérifier le théorème s-m-n (avec une fonction s calculable).

(Référence pour tout ça : Soare, Recursively Enumerable Sets and Degrees, 1987, chapitre I, exercices 5.9 à 5.11. C'est de là que je tire le contre-exemple au théorème s-m-n.)

✱ Le second point concerne la fonction « castor affairé », qui à n associe le plus long temps d'exécution possible d'une machine de Turing à ≤n états et qui termine effectivement (en partant d'un ruban vide). Il est facile de voir que fonction, appelons-la h, dépasse infiniment souvent n'importe quelle fonction calculable [totale] f, au sens où, quelle que soit f calculable, il existe une infinité de n tels que h(n)≥f(n). (En effet si ce n'est pas le cas pour une certaine fonction f, quitte à modifier un nombre fini de valeurs de celle-ci, on a h(n)≤f(n) pour tout n, et on peut alors résoudre le problème de l'arrêt pour une machine de Turing — partant d'un ruban vide — en attendant f(n) étapes où n est son nombre d'états : si la machine ne s'est pas arrêtée au bout de ce temps-là, elle ne s'arrêtera jamais.) Mais le résultat classique dû à Tibor Radó est plus fort : la fonction h du « castor affairé » finit par dominer n'importe quelle fonction calculable f, au sens où, quelle que soit f calculable, l'inégalité h(n)≥f(n) est toujours vraie à partir d'un certain point, et je n'avais pas vraiment fait attention au fait que ce n'est pas trivial de passer de l'un à l'autre.

La démonstration d'origine de ce résultat (trouvable ici) est d'une part assez peu lisible (j'arrive à la suivre pas à pas, mais l'idée générale m'échappait) et d'autre part très spécifique au cas de la fonction « castor affairé » sur les machines de Turing en comptant leurs états. Par exemple, si on définit la fonction h en appelant h(n) la plus grande des valeurs φ_e(0) (ou φ_e(e), peu importe) qui soient définies pour 0≤e≤n (l'argument montrant qu'elle dépasse infiniment souvent toute fonction calculable marche essentiellement pareil), alors est-il encore vrai que h finit par dominer n'importe quelle fonction calculable ? La réponse est oui, comme il résulte d'un échange sur math.stackexchange (je n'ai pas osé aller sur MathOverflow pour cette question), où on a pu m'expliquer beaucoup plus clairement l'argument de Radó, ce qui m'a permis de le généraliser facilement.

(J'en ai profité pour apprendre ce qu'est un degré de Turing hyperimmune, à savoir qu'il calcule une fonction qui dépasse infiniment souvent n'importe quelle fonction calculable, ce qui n'implique pas automatiquement qu'il calcule une fonction qui finit par dominer n'importe quelle fonction calculable.)

✱ Sinon, de fil en aiguille, je suis tombé par accident sur la relation suivante : pour A et B deux ensembles d'entiers naturels, notons A∼B lorsqu'il existe deux fonctions calculables partielles ℕ⇢ℕ qui se restreignent en des bijections réciproques entre ces deux ensembles. C'est une notion qui me semble extrêmement naturelle, mais qui n'est pas ce qu'on appelle de façon standard un isomorphisme calculable entre les deux ensembles. Mais ce qui me frappe, c'est que je n'ai réussi à en trouver aucune mention dans la littérature. [Mise à jour : il s'agit de la relation d'équivalence calculable (ou équivalence récursive), dont les types ont été, en fait, largement étudiés, notamment ceux qui s'appellent les isols ; voir pour commencer le livre de Dekker et Myhill de 1960, Recursive Equivalence Types, ainsi que le survey par Dekker et Ellentuck, Myhill's work in recursion theory, Ann. Pure Appl. Logic 56 (1992), 43–71, et les références qu'il contient.]

Remarque préliminaire : Même si je ne compte de toute façon pas entrer dans les détails, je rappelle à tout hasard que non seulement la lecture de mon blog n'est obligatoire pour personne, mais en plus la lecture d'une entrée particulière n'est pas nécessaire même si on veut lire la suite : il n'y a pas de contrôle de connaissances à la sortie. Je dis ça, parce qu'il y a régulièrement des vieux grincheux qui trouvent que tel ou tel sujet les incommode et qui s'en plaignent après coup dans les commentaires. D'ailleurs, de toute façon, l'information ne peut pas avoir de valeur négative, n'est-ce pas ? Ah non, zut.

Donc, juste après que j'ai posté une entrée pour me plaindre que les rhumes sont pénibles, un autre charmant virus est venu me rendre visite. Comme j'ai déjà posté il y a quelques années des remarques sur son mode de transmission, je ne vais pas les répéter. J'ai aussi déjà dit à cette occasion que je suis émétophobe, et d'ailleurs je crois que ça empire avec le temps, pas au point que ça affecte ma vie quotidienne, mais quand j'ai une gastro, l'anxiété à l'idée que je vais peut-être vomir est un désagrément comparable au mal au cœur lui-même. D'autant plus que quand il s'agit bien d'un virus (et a posteriori je n'ai aucun doute, même si j'ai aussi eu des aventures bactériennes — d'ailleurs passablement mystérieuses — par le passé), vomir n'aide absolument pas. Du coup, je n'hésite pas à prendre un antiémétique, en espérant que l'infection soit effectivement virale. En l'occurrence, la métopimazine. Qui est disponible en vente libre en France sous le nom de Vogalib® (en fait, il semble qu'il n'y ait quasiment qu'en France qu'on utilise la métopimazine, et je me demande bien pourquoi ; à ce sujet, il y a en eu une rupture de stock il y a quelques années qui a duré un bon nombre de mois, je me suis inquiété de tomber malade pendant ce temps, mais heureusement ce n'est pas arrivé). Après, peut-être que le fait qu'il soit en vente libre signifie qu'il est sans effet autre que placébo, je ne sais pas.

Mais il y a une chose qui est fascinante avec ce type d'infection, c'est sa régularité : je tiens un journal quotidien assez précis, et pour ce genre de maladie je note à quelle heure je commence à sentir quelque chose, à quelle heure je me sens mieux, etc. Et, même si ça ne m'arrive pas très souvent, heureusement, la progression semble toujours la même : ça commence par l'impression d'avoir trop mangé, mais elle ne passe pas, l'idée de manger ou la moindre odeur de nourriture deviennent de plus en plus répugnants, et le mal au cœur se développe progressivement, malgré des phases de répit occasionnelles, pendant assez précisément 14 heures (à compter des premiers symptômes) ; à ce moment-là, ça s'améliore assez soudainement (dans mon dernier cas, c'était vers 4h du matin dans la nuit de dimanche à lundi), même s'il faut encore huit à dix heures pour que j'aie envie de manger légèrement, et encore dix à douze heures supplémentaires, pendant lesquelles je reste très fatigué, avant d'être vraiment rétabli. Mais si ce planning est assez précis, ce que je n'ai jamais réussi à savoir dans aucun de mes cas de gastro, c'est comment je l'ai attrapée : apparemment, le virus incube pendant 12 à 48 heures avant l'apparition des premiers symptômes, et évidemment, avec un intervalle aussi imprécis en comparaison à la chronologie bien réglée que j'ai décrite, ce n'est pas facile de retrouver le poit de départ.

Il y a un peu moins de deux ans, j'ai remplacé l'antique téléviseur à écran cathodique que j'avais depuis une éternité (et qui m'avait d'ailleurs été offert par des gens à qui j'ai prêté mon appartement). Il marchait encore sans problème, c'est juste que ce n'était pas très pratigue d'utiliser un décodeur TNT externe. Apparemment, d'ailleurs, les télés CRT intéressaient encore des gens en 2014, parce que quand mon poussinet a mis la télé devant l'immeuble, le temps qu'il rentre chercher un papier sur lequel écrire le numéro d'enlèvement auprès du service des objets encombrants de la mairie de Paris, ce qui a pris environ une minute parce que nous habitons au rez-de-chaussée, la télé avait déjà disparu.

À la place, j'ai acheté un appareil LCD qui fait aussi décodeur TNT, magnétoscope numérique, moniteur, et sans doute d'autres formes de café, et qui coûtait 130€…

…chiffre à peu près représentatif de ce qu'il valait, c'est-à-dire, une proverbiale cheap plastic imitation, certainement chinoise. Ce n'est pas juste que je pense le plus grand mal des écrans LCD en général, mais à peu près tout était visiblement programmé en vitesse par des singes sous-payés. Par exemple, l'affichage des noms des émissions et autres informations de la TNT révélait un problème d'encodage des caractères (un peu dans ce genre-là, sauf que nous n'avons jamais réussi à deviner quels pouvaient être les deux jeux de caractères impliqués dans la confusion). Autre exemple, si on enregistre une émission sur clé USB et que le fichier stocké dépasse les 2Go, la télé plante et reboote (et reste allumée, et le fichier enregistré est, bien sûr, tronqué) : alors oui, je sais que le format FAT ne permet pas de stocker des fichiers de plus de 2Go (et que son successeur est totalement verrouillé par Microsoft donc essentiellement inutilisable), mais un appareil correctement programmé aurait pu, par exemple, couper tout seul le fichier en plusieurs morceaux en s'approchant de la limite fatidique. Encore un exemple, le réglage du son est linéaire et non logarithmique, donc quand on écoute la télé on a le choix entre 8 (pas assez fort) et 9 (trop fort) unités arbitraires alors que quand on écoute quasiment n'importe quelle vidéo, il faut mettre le réglage vers 90 ou au maximum et souvent ça ne suffit même pas. (Je me demande d'ailleurs pourquoi le niveau de mixage du son est si différent entre la TNT et la plupart des vidéos qu'on peut récupérer en ligne, mais ça au moins ce n'est pas la faute de la télé.) La télé met aussi un temps très long à changer de chaîne (c'est peut-être la faute de la TNT, je ne sais pas vraiment) et à s'allumer (ça c'est certainement plus la faute de la télé). Bref, je ne vais pas faire la liste de tout ce qui ne va pas dessus, vous avez déjà eu droit aux griefs sur mon réveil, vous pouvez imaginer le même genre de choses.

Si vous voulez le même modèle, ça s'appelle une Akira modèle LED-B81HU19F, terme dont la recherche donne un nombre ridiculement faible de résultats dans Google et bizarrement surtout en français (pourtant, l'interface n'est pas uniquement disponible en français).

Mais bon, mon poussinet et moi n'utilisons la télé que pour la regarder un petit peu pendant le dîner, ou très occasionnellement pour enregistrer une émission, ou pour changer un peu de l'ordinateur pour regarder une vidéo téléchargée sur Internet (du moins, si la télé sait en décoder le format, ce qui n'est pas le cas des MKV). Donc ce n'est pas très grave qu'elle soit merdique, et je l'ai achetée en connaissance de cause.

Seulement, il y a deux semaines, la télécommande est morte. Ce ne sont pas les piles, ce n'est pas non plus le capteur infrarouge sur le téléviseur, c'est bien la télécommande elle-même qui est morte. Je ne sais pas comment c'est possible que quelque chose d'aussi idiot tombe en panne, mais apparemment ça l'est. (Et elle n'a pas non plus subi de choc ou quoi que ce soit.)

Bon, le téléviseur n'est pas totalement inutilisable sans télécommande, il y a quelques boutons dessus qui permettent de l'allumer, de changer de chaîne (uniquement par ±1), de régler le volume, et même de faire apparaître un menu, mais plus moyen d'enregistrer, de changer la langue ou de faire apparaître les sous-titres. C'est un peu trop limité.

Pourquoi ne pas acheter une télécommande universelle ? Le truc est que la marque, et à plus forte raison le modèle, de notre téléviseur sont tellement obscurs qu'ils semblent en-dehors du champ d'application du mot universel (d'après la liste des marques indiquée au dos), et je n'ai pas envie de payer >10% du prix du téléviseur pour confirmer que la télécommande universelle ne fonctionne pas avec. Nous n'avons pas non plus de smartphone avec émetteur infrarouge qui permettrait de servir de télécommande universelle. (Et ma calculatrice HP48 de quand j'étais en prépa ne s'allume plus.) Il y a des gadgets infrarouge sur USB, mais sans les codes émis par la télécommande d'origine, ce ne serait pas évident d'en faire quoi que ce soit. <Insérer ici un rant selon lequel la commercialisation de n'importe quel appareil disposant d'une télécommande devrait obliger le fabriquant à publier l'intégralité des codes émis par cette télécommande sous un format facilement réutilisable par des émetteurs infrarouge.>

Nous avons aussi essayé, à tout hasard, de brancher un clavier sur le port USB du téléviseur, histoire de voir s'il réagissait à quelque chose (comme les combinaisons Alt+SysRq), mais apparemment pas.

Bref, tout ça a quelque chose de plus frustrant que si la télévision était entièrement tombée en panne. Ce n'est pas grave, je rachèterai une autre merde chinoise à une centaine d'euros qui tombera en panne dans deux ans, et nous mettrons celle que nous avons dehors où elle disparaîtra dans la minute — mais c'est quand même idiot.

Je suis très souvent enrhumé (en tout cas, trop souvent à mon goût, peut-être trois fois dans une année typique). Même si les symptômes n'en sont pas très graves, la fatigue qu'ils provoquent, combinée au fait qu'ils empêchent aussi de bien dormir, rendent l'expérience quand même bien pénible, surtout quand elle tombe pendant une période où j'enseigne (d'où nécessité de se lever à une heure fixée, et d'exercer sa voix ce qui fatigue et assèche la gorge). Et les médicaments pour soigner ces symptômes sont d'une efficacité franchement très limitée. Alors quand ma maman m'a fait la pub de ce qu'elle m'a décrit comme un médicament miracle contre le rhume, je me suis dit que je n'y croyais pas du tout (j'ai un peu tendance à penser que presque aucun médicament en vente libre n'a le moindre effet, parce que s'ils avaient de l'effet ils auraient des effets nocifs et que du coup le principe de précaution ferait qu'ils ne seraient pas en vente libre), mais que, après tout, un placebo en plus dans mon arsenal, ça ne fera sans doute pas de mal. (Après, je n'ai jamais eu de réponse très claire à la question de savoir si un placebo peut fonctionner même si le patient est persuadé qu'il ne fera rien.)

Le médicament en question est un spray nasal qui porte en France le nom commercial de SurbroncViral™ : le principe actif est le ι-carraghénane qui a une activité antivirale. Peut-être. L'emballage publicitaire du médicament met surtout en valeur le fait qu'il réduit la durée du rhume. Il y a en effet quelques études publiées qui concluent à un effet bénéfique (par exemple Eccles, Meier &al, Efficacy and safety of an antiviral Iota-Carrageenan nasal spray […], Respiratory Research 11 (2010), ou plus récemment Ludwig, Enzenhofer &al. Efficacy of a Carrageenan nasal spray in patients with common cold […], Respiratory Research 14 (2013) ; il y en a encore un paquet d'autres) ; sauf que ces études sont financées par la boîte qui commercialise le produit, et la plupart des auteurs sont employés par elle… Après, je crois qu'en fouillant j'avais fini par trouver une étude où le conflit d'intérêt était, disons, moins évident, et dont le résultat était moins clair mais néanmoins positif, alors que je n'en ai pas trouvé qui annonce un résultat négatif, donc peut-être quand même que ma méta-analyse à 0.02¤ était positive. (Mais les revues médicales publient-elles facilement des articles qui concluent à une absence de résultat ? C'est un peu un problème intrinsèque de la publication scientifique qu'il biaise les résultats visibles en direction de ce qui sera considéré comme « intéressant ».) Et puis, finalement, c'est peut-être moi qui suis biaisé à trop me méfier.

Après tout, ce n'est pas une question si grave : même si le médicament coûte un prix un peu exorbitant, pourquoi ne pas juste me faire une idée par moi-même ?

J'ai eu un énorme rhume la semaine passée. J'ai utilisé le SurbroncViral™ comme indiqué par la notice. Ce que j'ai observé est que (A) mon rhume m'a encore plus fatigué que d'habitude (je ne prétends pas du tout que le médicament y soit pour quelque chose, bien sûr !, c'est plutôt un signe que c'était un « gros » rhume), (B) il a duré à peu près le temps que mes rhumes durent habituellement, (C) j'ai eu beaucoup moins le nez bouché que d'habitude (normalement je passe trois nuits entières à respirer par la bouche, là juste quelques heures, et encore, mon nez n'était pas complètement bouché), mon rhume a surtout pris la forme d'une sensation de froid, de fatigue, de maux de tête et de sinus douloureux, (D) j'ai aussi un peu moins toussé dans l'ensemble, et (E) j'ai l'impression que mon système imunitaire a maintenant éliminé le virus mais que mon nez continue à couler plus que normal et en tout cas mes sinus sont toujours enflammés. Est-ce que tout ceci est significatif ? Non, sans doute pas — à part peut-être le (C), toutes ces variations tombent à l'intérieur des fluctuations statistiques des mes rhumes typiques. (Dont je me demande, d'ailleurs, si elles sont plutôt dues à la différence entre souches de virus ou dans la réaction immunitaire de mon corps d'une fois sur l'autre.)

Bref, je ne sais pas quoi conclure. Peut-être que le médicament a fait de l'effet en me laissant le nez plus dégagé. Peut-être pas. Pour faire une étude scientifique, il faut un échantillon statistiquement représentatif, il faut faire les choses en double aveugle. Là, je n'ai pas d'échantillon représentatif, et je ne veux certainement pas faire les choses en double aveugle (je m'en fous de comparer à un effet placebo, l'effet placebo[#] m'intéresse autant que l'effet « réel »). Je déteste prendre des décisions avec des informations trop incomplètes — mais bon, c'est presque la définition de la vie, ça. Bref, je vais continuer à utiliser ce produit comme je continue à prendre beaucoup de vitamine C pendant mes rhumes : même si je ne crois pas vraiment que ça fasse du bien, je crois encore beaucoup moins que ça fasse du mal.

[#] Enfin, on ne devrait pas dire l'effet placebo, parce qu'il y en a plein : un effet purement psychologique (je prends un médicament, je me dis que je vais mieux), un effet somatique de cet effet psychologique (je me dis que je vais mieux, je me mets objectivement à aller mieux), et sans doute encore plein d'autres.

En relisant l'entrée précédente que j'ai écrite et un ou deux commentaires qui ont été postés dessus, j'ai peur d'avoir pu laisser imaginer que je considérais les mathématiques intuitionnistes/constructives comme aussi farfelues que l'existence d'un entier strictement compris entre 3 et 4, ou même, qu'un nombre non-négligeable de mathématiciens pourraient le considérer. Ce n'est certainement pas le cas : la seule chose que je compare, c'est la frustration que peut ressentir (superficiellement) un mathématicien classique devant ces mondes étranges (comment ça, il n'est pas toujours vrai que tout nombre réel x vérifie x≥0 ou x≤0 ???). Mais il vaut la peine de se demander pourquoi, au juste, parmi les trois « abandons » suivants,

• abandonner l'idée que toute affirmation soit vraie ou fausse (le principe du tiers exclu),
• abandonner l'idée qu'un nombre comme 10↑(10↑100) ait un sens,
• abandonner l'idée que 4 soit le plus petit entier après 3,

la première donne indiscutablement lieu à des mathématiques sérieuses, la seconde peut-être mais peut-être pas, et la troisième certainement pas.

Ce que veut avant tout le mathématicien, c'est que les règles du jeu soient claires. Même si on ne prend pas la position formaliste extrême qui considère les maths comme un jeu typographique formel consistant à manipuler des successions de symboles dénués de sens selon des règles arbitraires mais relativement simples[#], les mathématiciens seront sans doute unanimes pour dire qu'il est essentiel dans la pratique des mathématiques qu'il existe des règles objectives et inambiguës sur les manipulations autorisées dans l'écriture d'une démonstration, suffisamment claires pour qu'on puisse toujours, avec assez de patience, trancher un différend sur la validité d'une démonstration en détaillant n'importe quel passage incriminé jusqu'à l'application mécanique de ces règles.

Or les mathématiques intuitionnistes/constructives ont des règles claires : ce ne sont pas les mêmes que les mathématiques classiques (plus exactement ce sont un sous-ensemble, ou une restriction, selon la présentation exacte choisie ; mais du coup, on peut ajouter des axiomes supplémentaires pour compenser qui contrediraient les mathématiques classiques), mais au moins — dans leur formulation moderne[#2] — ce sont des règles indiscutablement bien formulées et objectives. Plus exactement, le mathématicien classique peut comprendre les règles des mathématiques intuitionnistes/constructives par plusieurs mécanismes :

[ajout : voir cette entrée ultérieure un petit plus précise sur l'intuitionnisme]

• syntaxiquement : même si les démonstrations intuitionnistes ne sont pas les mêmes que les démonstrations classiques, l'objet « démonstration » (obéissant aux règles intuitionnistes) peut lui-même être considéré comme un objet des mathématiques classiques (que ce soit comme un entier par un codage de Gödel ou comme une flèche dans une catégorie, ou autre chose du genre), étudié et analysé par elles ;
• sémantiquement : le(s) monde(s) des mathématiques intuitionnistes peuvent se « plonger » dans le monde des mathématiques classiques, c'est-à-dire que toute affirmation des mathématiques intuitionnistes peut se décoder comme une affirmation classique portant sur des objets particuliers (vivant dans un « modèle de Kripke », un topos, une structure de réalisabilité, un univers à valeurs dans une algèbre de Heyting ou quelque chose comme ça).

(Ces deux approches sont elles-mêmes reliées par des théorèmes de validité et de complétude : je ne rentre pas dans les détails.) On peut par ailleurs relier la logique intuitionniste à d'autres logiques alternatives mais classiques et bien comprises (par des procédés comme ci-dessus), par exemple la logique modale S4.

[Ajout 2016-01-07] Je peux au moins donner une idée de ce dont je parle sous la forme suivante. En mathématiques classiques, si on décide d'interpréter les connecteurs logiques P∧Q, P∨Q et ¬P comme décrivant l'intersection, la réunion, et le complémentaire de parties P et Q d'un ensemble T fixé, alors certainement on a ¬¬P=P (le complémentaire du complémentaire d'une partie est la partie elle-même, justement parce qu'on travaille en logique classique) et ¬(P∧Q)=(¬P)∨(¬Q) ; maintenant, changeons un peu le contexte, et considérons T un espace topologique, imaginons que P et Q sont des ouverts de T, que P∧Q et P∨Q désignent l'intersection et la réunion de deux ouverts, mais maintenant ¬P désigne l'intérieur du complémentaire de P (=le plus grand ouvert disjoint de P ; et plus généralement, on peut noter P→Q pour l'intérieur de la réunion de Q avec le complémentaire de P, c'est-à-dire l'ouvert des points au voisinage desquels P est inclus dans Q) : alors ¬¬P ne coïncide plus forcément avec P, c'est le « régularisé » de P (=l'intérieur de son adhérence), et de même ¬(P∧Q) ne coïncide plus forcément avec (¬P)∨(¬Q) (alors que ¬(P∨Q), lui, coïncide toujours avec (¬P)∧(¬Q)) ; en fait, les règles valables en général dans cette interprétation sont précisément celles du calcul propositionnel intuitionniste, et sont une manière dont le mathématicien classique peut les comprendre (sémantiquement) : comme des affirmations sur les ouverts d'un espace topologique (classique).

D'autre part, les mêmes choses sont valables dans l'autre sens, c'est-à-dire que si on peut « expliquer » les mathématiques intuitionnistes aux mathématiciens classiques comme ci-dessus, on peut aussi « expliquer » les mathématiques classiques aux mathématiciens intuitionnistes (par exemple par l'insertion de doubles négations à des endroits stratégiques). Du coup, les mathématiciens classiques et intuitionnistes ne seront peut-être pas d'accord sur l'intérêt ou la signification des énoncés qu'ils démontrent, mais au moins chacun peut-il expliquer son travail aux autres. (Dans la pratique, bien entendu, les « mathématiciens classiques » et à plus forte raison les « mathématiciens intuitionnistes » ne sont que des archétypes idéalisés : tout le monde est capable de faire sa traduction mentale dans un sens ou dans l'autre, quelle que soit sa représentation préférée de l'Univers.)

Pour dire les choses de façon plus concise : les mathématiques classiques et intuitionnistes sont peut-être différentes, mais leur métamathématique est compatible.

Il en va tout autrement de l'idée qu'il existerait un entier strictement entre 3 et 4 : cette idée fictionnelle est présentée sans être accompagnée de règles permettant de travailler avec et de lui donner un sens. Il n'est pas exclu que de telles règles puissent exister (par exemple : en fait, ce qu'on appelle entier ici est un élément de ℕ[√13] = {u+v·√13 : u,v∈ℕ} (approche sémantique), et il faudrait remplacer les axiomes de Peano par une axiomatisation des faits les plus évidents de la théorie du premier ordre de ℕ[√13] (approche syntaxique)), et qui du coup ferait disparaître le mystère de cette idée (à défaut de lui donner un intérêt…). Mais telle quelle, l'idée est dépourvue de sens aux yeux des mathématiciens parce qu'elle est dépourvue de règles précises.

L'idée intermédiaire (l'ultrafinitisme, j'en ai déjà parlé) occupe une position intermédiaire : on peut peut-être donner un sens à l'ultrafinitisme, mais l'idée est radicale en ce sens qu'elle nécessite de changer non seulement les mathématiques mais aussi les métamathématiques. Notamment, pour refuser l'existence du nombre 10↑(10↑100), il faut refuser l'idée qu'une démonstration puisse occuper un tel nombre de symboles — or les métamathématiques classiques l'admettent (certes, on ne va pas l'écrire explicitement, mais les métamathématiques classiques admettent de considérer comme démonstrations valables des objets qui ne pourraient pas être écrits en pratique, au moins si on en a une description raisonnablement (méta)manipulable) ; pire, il faut probablement refuser l'idée qu'une démonstration puisse occuper seulement 10↑100 symboles (parce qu'en environ ce nombre là de symboles, je peux démontrer l'existence de 10↑(10↑100) à quelqu'un qui admet que la multiplication sur les entiers est totale, ce que de nombreux ultrafinitistes admettent, ce qui permet d'écrire des choses comme 10×10×10×⋯×10), et il faut donc probablement refuser l'idée même d'utiliser « librement » l'arithmétique pour faire des métamathématiques. Je ne suis moi-même pas à l'aise avec l'ultrafinitisme (j'ai vraiment du mal à ne pas considérer la position comme simplement ridicule), mais voici ce qu'écrivent Cherubin & Mannucci dans A very short history of ultrafinitism (in : Kennedy & Kossak (eds.), Set Theory, Arithmetic, and Foundations of Mathematics (Cambridge 2011)) :

First, the rejection of infinitary methods, even the ones based on the so-called potential infinite, must be applied at all levels, including that of the meta-mathematics and that of the logical rules. Both syntax and semantics must fit the ultrafinitistic paradigm. Approaches such as Finite Model Theory are simply not radical enough for the task at hand, as they are still grounded in a semantics and syntax that are saturated with infinite concepts.

Second, barring one term in the dichotomy finite-infinite, is, paradoxically, an admission of guilt: the denier implicitly agrees that the dichotomy itself is valid. But is it? Perhaps what is here black and white should be replaced with various shades of grey.

Bref, même si le programme ultrafinitiste peut sembler à quelqu'un comme moi aussi fantaisiste que l'idée qu'il y aurait peut-être un entier à découvrir strictement entre 3 et 4, il faut avoir la modestie d'admettre que peut-être des règles du jeu précises peuvent en être données, fussent-elles des règles qui imposent de réévaluer aussi les métamathématiques : peut-être le programme peut-il être éclairci comme l'intuitionnisme l'a été, et peut-être sera-t-il possible aux mathématiciens « idéalistes » de comprendre précisément les ultrafinitistes (à défaut d'être d'accord avec eux).

[#] Je ne vais pas faire l'exercice ici et maintenant, mais il est parfaitement possible de présenter un ensemble des « règles du jeu » qui soit compréhensible par à peu près n'importe qui (disons, pas plus compliqué que les règles des échecs ou du tarot) et qui, appliquées mécaniquement, permette de démontrer tous les théorèmes des mathématiques « standard » (ZFC) et uniquement ceux-ci. En ce sens, donc, n'importe qui peut faire des maths formelles : la difficulté du travail du mathématicien est de se faire une idée d'où on va dans ce jeu et comment on peut atteindre un but, et communiquer à d'autres le fait qu'on l'a atteint, sans écrire toutes les étapes intermédiaires.

[#2] Dans leur formulation moderne, c'est-à-dire, je crois, depuis les travaux de Gödel, Heyting, Kolmogorov et d'autres. Lorsque Brouwer a initialement introduit ses idées, il n'était probablement pas clair qu'elles pouvaient être rigoureusement formalisées, d'autant qu'il était lui-même profondément hostile à l'idée de formaliser les mathématiques, de les priver de leur aspect créatif/intuitif ou de les réduire à un jeu typographique ; et c'est peut-être pour ça que ces idées ont d'abord suscité une telle hostilité (non seulement elles étaient radicales, mais en outre elles n'étaient sans doute pas bien définies aux yeux de mathématiciens comme Hilbert).

J'avais déblatéré il y a quelques années sur la question mensaphilosophique [:= de philosophie de comptoir] de savoir si les mathématiques pourraient être différentes : je m'étonne de ne pas y avoir fait de lien vers la nouvelle The Secret Number d'Igor Teper qui évoque la possibilité d'un entier secret (bleem) caché strictement entre trois et quatre. Je crois pourtant que je connaissais cette nouvelle à ce moment-là ; ce que j'ai appris tout récemment, en revanche, c'est que cette nouvelle a été adaptée sous forme de court-métrage (ici sur Vimeo, ici sur YouTube) : je ne sais pas si je trouve l'adaptation (ni la nouvelle pour commencer) terriblement efficace dans son traitement de la prémisse, mais l'atmosphère un peu angoissante n'est pas mal rendue, et en tout cas ça se laisse regarder.

Assurément, cette prémisse à quelque chose de délicieusement provoquant dans son absurdité : comment pourrait-il exister un entier strictement entre trois et quatre, fût-ce dans une version alternative des mathématiques ou dans un monde fictionnel ? Car dans toute présentation raisonnable, la définition de l'entier quatre est qu'il est le successeur de trois, donc à moins de supposer que les noms ont juste été décalés d'un cran (ce qui sous-tend la notion mathématique d'isomorphisme de structures, i.e., un simple renommage de la même structure), disons si on est d'accord que les opérations usuelles sur les entiers donnent leurs résultats attendus par tout le monde, il ne peut rien y avoir d'inattendu entre trois et quatre. D'ailleurs, s'il y avait une telle chose, on aurait envie de poser tellement de question (combien font bleem moins trois ? bleem fois deux ? bleem sur deux ? bleem est-il pair ou impair ? bleem virgule zéro est-il avant ou après trois virgule cinq ? combien y a-t-il d'entiers entre un et dix inclus en comptant bleem d'une part, et sans compter bleem de l'autre ? et au fait, comment un entier pourrait-il être supprimé et par qui ? que sont devenus les animaux à bleem paires de pattes ? pourquoi un dé à six faces ne tombe-t-il jamais sur la face bleem ? et d'ailleurs, s'il ne tombe jamais dessus, pourquoi ne tombe-t-il pas une fois sur cinq sur chacune des six moins une égale cinq faces restantes ?). Mais bien sûr, en posant ces questions, je fais partie du vaste complot des mathématiciens qui cherchent à vous faire croire que bleem n'existe pas.

Mais ces questions, et l'impuissance qu'on ressent face à quelqu'un qui affirmerait dur comme fer qu'il y a un entier strictement entre

et

sont intéressants parce qu'ils soulignent la difficulté qu'il y a, et le sentiment d'impuissance qu'on ressent, à débattre avec quelqu'un qui soutient une thèse qu'on juge logiquement absurde. Qu'il s'agisse de l'existence d'un entier strictement entre trois et quatre qu'il ne peut pas vous montrer, ou le fait que la Terre soit vieille d'environ 6000 ans, ou le fait que le nombre 10↑(10↑100) n'existe pas ou que les mathématiques sont une invention humaine. Et il faut alors se rappeler qu'à ses yeux, c'est le contraire qui vaut (c'est moi qui essaye de convaincre que 10↑(10↑100) existe, par exemple, alors que je suis incapable de le montrer ou même de l'écrire !). Et malgré ça, il ne faut pas céder au relativisme extrême qui voudrait que chacun a sa petite vérité à lui et qu'il n'y a rien de moins valable à croire qu'il y a un entier strictement entre trois et quatre ou que la Terre est vieille d'environ 6000 ans, ou autres idées dans le même genre. (Ou, pour reprendre un thème que j'ai abordé récemment, que les mathématiques seraient contradictoires.) Contre la stupidité, les dieux eux-mêmes luttent en vain.

Mais ce qui est amusant dans l'affaire, c'est aussi que je tombe sur ce film au moment où je lis des textes mathématiques[#] sur l'intuitionnisme/constructivisme (je ne veux pas rentrer dans les explications sur la différence entre ces deux termes, qui dépend d'ailleurs des auteurs), ce monde parallèle bizarre où le tiers exclu ne s'applique pas forcément, avec toutes les conséquences bizarres que cela entraîne, ou plutôt, toutes les conséquences habituelles cela n'entraîne plus[#2]. Le mathématicien classique ne partageant pas les principes philosophiques du constructivisme (et je fais partie de ces mathématiciens classiques) peut se demander quel est l'intérêt de considérer ce monde étrange et exotique qui peut sembler aussi déstabilisant que l'existence d'un entier strictement entre trois et quatre : à mon avis il est double, (A) côté positif, si on arrive à montrer un résultat de façon purement constructive (sans faire appel au tiers exclu), on obtient souvent plus que sa validité classique (par exemple, on obtient souvent un algorithme construisant un objet dont on aurait démontré l'existence ; on obtient aussi automatiquement le résultat dans des contextes différents comme des catégories de faisceaux, et ainsi de suite), et (B) côté négatif, si le résultat n'est pas valable constructivement, cela informe sur certaines formes de raisonnement qu'on sera obligé de faire, et globalement l'exercice de chercher à démontrer des résultats bien connus (par exemple de l'analyse de première année de licence) dans le cadre constructif aide à prendre conscience de la structure des raisonnements qu'on fait (notamment, l'emploi de l'axiome du choix et du tiers exclu). Bref, parfois les fictions selon lesquelles les mathématiques peuvent être différentes sont intéressantes et bien fondées !

Ajout : voir cette entrée ultérieure un petit plus précise sur l'intuitionnisme.

[#] Petite biblographie à toutes fins utiles : • Anne S. Troelstra & Dirk van Dalen, Constructivism in Mathematics (An Introduction) (North-Holland, 1988, deux volumes), une introduction assez agréable à lire et qui donne de bonnes explications intuitives (y compris pour le mathématicien habitué à la logique classique, contrairement à d'autres textes intuitionnistes/constructivistes qui font comme si tout le monde partageait naturellement ce point de vue) et des notes historiques. • Michael J. Beeson, Foundations of Constructive Mathematics (Metamathematical Studies) (Springer, 1985) • Errett Bishop & Douglas Bridges, Constructive Analysis (Springer, 1985) • Douglas Bridges & Fred Richman, Varieties of Constructive Mathematics (Cambridge University Press, 1987) • James Lipton, Realizability, Set Theory and Term Extraction, in : de Groote, The Curry-Howard Isomorphism (1995) (en ligne ici) • Jaap van Oosten, Realizability: An Introduction to its Categorical Side (Eslevier, 2008), qui décrit essentiellement un modèle non-classique très important des mathématiques constructives (le topos effectif)

[#2] Quelques exemples : on ne peut pas montrer qu'il existe des fonctions ℕ→ℕ non calculables, ni qu'il existe des fonctions ℝ→ℝ discontinues, ni qu'il n'existe pas d'injection ℝ→ℕ ; on ne peut pas montrer que pour tout x réel on a x≥0 ou x≤0, même si ceci est quand même le cas pour les rationnels ; on ne peut pas montrer que les constructions des réels à partir des rationnels par coupures de Dedekind et par suites de Cauchy coïncident, ni que toute suite bornée croissante de réels converge ; on ne peut pas montrer que l'ensemble des parties d'un singleton est fini, ni même « subdénombrable », et on ne peut pas montrer que l'image d'un ensemble fini par une fonction est fini, il est seulement « subfini ».

Bon, quoi qu'il en soit, je souhaite à tous mes lecteurs une excellente année 2015½ pleine de santé et de bonheur !