David Madore's WebLog: Quelques clarifications sur l'intuitionnisme et l'ultrafinitisme

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(mercredi)

Quelques clarifications sur l'intuitionnisme et l'ultrafinitisme

En relisant l'entrée précédente que j'ai écrite et un ou deux commentaires qui ont été postés dessus, j'ai peur d'avoir pu laisser imaginer que je considérais les mathématiques intuitionnistes/constructives comme aussi farfelues que l'existence d'un entier strictement compris entre 3 et 4, ou même, qu'un nombre non-négligeable de mathématiciens pourraient le considérer. Ce n'est certainement pas le cas : la seule chose que je compare, c'est la frustration que peut ressentir (superficiellement) un mathématicien classique devant ces mondes étranges (comment ça, il n'est pas toujours vrai que tout nombre réel x vérifie x≥0 ou x≤0 ???). Mais il vaut la peine de se demander pourquoi, au juste, parmi les trois « abandons » suivants,

la première donne indiscutablement lieu à des mathématiques sérieuses, la seconde peut-être mais peut-être pas, et la troisième certainement pas.

Ce que veut avant tout le mathématicien, c'est que les règles du jeu soient claires. Même si on ne prend pas la position formaliste extrême qui considère les maths comme un jeu typographique formel consistant à manipuler des successions de symboles dénués de sens selon des règles arbitraires mais relativement simples[#], les mathématiciens seront sans doute unanimes pour dire qu'il est essentiel dans la pratique des mathématiques qu'il existe des règles objectives et inambiguës sur les manipulations autorisées dans l'écriture d'une démonstration, suffisamment claires pour qu'on puisse toujours, avec assez de patience, trancher un différend sur la validité d'une démonstration en détaillant n'importe quel passage incriminé jusqu'à l'application mécanique de ces règles.

Or les mathématiques intuitionnistes/constructives ont des règles claires : ce ne sont pas les mêmes que les mathématiques classiques (plus exactement ce sont un sous-ensemble, ou une restriction, selon la présentation exacte choisie ; mais du coup, on peut ajouter des axiomes supplémentaires pour compenser qui contrediraient les mathématiques classiques), mais au moins — dans leur formulation moderne[#2] — ce sont des règles indiscutablement bien formulées et objectives. Plus exactement, le mathématicien classique peut comprendre les règles des mathématiques intuitionnistes/constructives par plusieurs mécanismes :

(Ces deux approches sont elles-mêmes reliées par des théorèmes de validité et de complétude : je ne rentre pas dans les détails.) On peut par ailleurs relier la logique intuitionniste à d'autres logiques alternatives mais classiques et bien comprises (par des procédés comme ci-dessus), par exemple la logique modale S4.

[Ajout ] Je peux au moins donner une idée de ce dont je parle sous la forme suivante. En mathématiques classiques, si on décide d'interpréter les connecteurs logiques PQ, PQ et ¬P comme décrivant l'intersection, la réunion, et le complémentaire de parties P et Q d'un ensemble T fixé, alors certainement on a ¬¬P=P (le complémentaire du complémentaire d'une partie est la partie elle-même, justement parce qu'on travaille en logique classique) et ¬(PQ)=(¬P)∨(¬Q) ; maintenant, changeons un peu le contexte, et considérons T un espace topologique, imaginons que P et Q sont des ouverts de T, que PQ et PQ désignent l'intersection et la réunion de deux ouverts, mais maintenant ¬P désigne l'intérieur du complémentaire de P (=le plus grand ouvert disjoint de P ; et plus généralement, on peut noter PQ pour l'intérieur de la réunion de Q avec le complémentaire de P, c'est-à-dire l'ouvert des points au voisinage desquels P est inclus dans Q) : alors ¬¬P ne coïncide plus forcément avec P, c'est le « régularisé » de P (=l'intérieur de son adhérence), et de même ¬(PQ) ne coïncide plus forcément avec (¬P)∨(¬Q) (alors que ¬(PQ), lui, coïncide toujours avec (¬P)∧(¬Q)) ; en fait, les règles valables en général dans cette interprétation sont précisément celles du calcul propositionnel intuitionniste, et sont une manière dont le mathématicien classique peut les comprendre (sémantiquement) : comme des affirmations sur les ouverts d'un espace topologique (classique).

D'autre part, les mêmes choses sont valables dans l'autre sens, c'est-à-dire que si on peut « expliquer » les mathématiques intuitionnistes aux mathématiciens classiques comme ci-dessus, on peut aussi « expliquer » les mathématiques classiques aux mathématiciens intuitionnistes (par exemple par l'insertion de doubles négations à des endroits stratégiques). Du coup, les mathématiciens classiques et intuitionnistes ne seront peut-être pas d'accord sur l'intérêt ou la signification des énoncés qu'ils démontrent, mais au moins chacun peut-il expliquer son travail aux autres. (Dans la pratique, bien entendu, les « mathématiciens classiques » et à plus forte raison les « mathématiciens intuitionnistes » ne sont que des archétypes idéalisés : tout le monde est capable de faire sa traduction mentale dans un sens ou dans l'autre, quelle que soit sa représentation préférée de l'Univers.)

Pour dire les choses de façon plus concise : les mathématiques classiques et intuitionnistes sont peut-être différentes, mais leur métamathématique est compatible.

Il en va tout autrement de l'idée qu'il existerait un entier strictement entre 3 et 4 : cette idée fictionnelle est présentée sans être accompagnée de règles permettant de travailler avec et de lui donner un sens. Il n'est pas exclu que de telles règles puissent exister (par exemple : en fait, ce qu'on appelle entier ici est un élément de ℕ[√13] = {u+v·√13 : u,v∈ℕ} (approche sémantique), et il faudrait remplacer les axiomes de Peano par une axiomatisation des faits les plus évidents de la théorie du premier ordre de ℕ[√13] (approche syntaxique)), et qui du coup ferait disparaître le mystère de cette idée (à défaut de lui donner un intérêt…). Mais telle quelle, l'idée est dépourvue de sens aux yeux des mathématiciens parce qu'elle est dépourvue de règles précises.

L'idée intermédiaire (l'ultrafinitisme, j'en ai déjà parlé) occupe une position intermédiaire : on peut peut-être donner un sens à l'ultrafinitisme, mais l'idée est radicale en ce sens qu'elle nécessite de changer non seulement les mathématiques mais aussi les métamathématiques. Notamment, pour refuser l'existence du nombre 10↑(10↑100), il faut refuser l'idée qu'une démonstration puisse occuper un tel nombre de symboles — or les métamathématiques classiques l'admettent (certes, on ne va pas l'écrire explicitement, mais les métamathématiques classiques admettent de considérer comme démonstrations valables des objets qui ne pourraient pas être écrits en pratique, au moins si on en a une description raisonnablement (méta)manipulable) ; pire, il faut probablement refuser l'idée qu'une démonstration puisse occuper seulement 10↑100 symboles (parce qu'en environ ce nombre là de symboles, je peux démontrer l'existence de 10↑(10↑100) à quelqu'un qui admet que la multiplication sur les entiers est totale, ce que de nombreux ultrafinitistes admettent, ce qui permet d'écrire des choses comme 10×10×10×⋯×10), et il faut donc probablement refuser l'idée même d'utiliser « librement » l'arithmétique pour faire des métamathématiques. Je ne suis moi-même pas à l'aise avec l'ultrafinitisme (j'ai vraiment du mal à ne pas considérer la position comme simplement ridicule), mais voici ce qu'écrivent Cherubin & Mannucci dans A very short history of ultrafinitism (in : Kennedy & Kossak (eds.), Set Theory, Arithmetic, and Foundations of Mathematics (Cambridge 2011)) :

First, the rejection of infinitary methods, even the ones based on the so-called potential infinite, must be applied at all levels, including that of the meta-mathematics and that of the logical rules. Both syntax and semantics must fit the ultrafinitistic paradigm. Approaches such as Finite Model Theory are simply not radical enough for the task at hand, as they are still grounded in a semantics and syntax that are saturated with infinite concepts.

Second, barring one term in the dichotomy finite-infinite, is, paradoxically, an admission of guilt: the denier implicitly agrees that the dichotomy itself is valid. But is it? Perhaps what is here black and white should be replaced with various shades of grey.

Bref, même si le programme ultrafinitiste peut sembler à quelqu'un comme moi aussi fantaisiste que l'idée qu'il y aurait peut-être un entier à découvrir strictement entre 3 et 4, il faut avoir la modestie d'admettre que peut-être des règles du jeu précises peuvent en être données, fussent-elles des règles qui imposent de réévaluer aussi les métamathématiques : peut-être le programme peut-il être éclairci comme l'intuitionnisme l'a été, et peut-être sera-t-il possible aux mathématiciens « idéalistes » de comprendre précisément les ultrafinitistes (à défaut d'être d'accord avec eux).

[#] Je ne vais pas faire l'exercice ici et maintenant, mais il est parfaitement possible de présenter un ensemble des « règles du jeu » qui soit compréhensible par à peu près n'importe qui (disons, pas plus compliqué que les règles des échecs ou du tarot) et qui, appliquées mécaniquement, permette de démontrer tous les théorèmes des mathématiques « standard » (ZFC) et uniquement ceux-ci. En ce sens, donc, n'importe qui peut faire des maths formelles : la difficulté du travail du mathématicien est de se faire une idée d'où on va dans ce jeu et comment on peut atteindre un but, et communiquer à d'autres le fait qu'on l'a atteint, sans écrire toutes les étapes intermédiaires.

[#2] Dans leur formulation moderne, c'est-à-dire, je crois, depuis les travaux de Gödel, Heyting, Kolmogorov et d'autres. Lorsque Brouwer a initialement introduit ses idées, il n'était probablement pas clair qu'elles pouvaient être rigoureusement formalisées, d'autant qu'il était lui-même profondément hostile à l'idée de formaliser les mathématiques, de les priver de leur aspect créatif/intuitif ou de les réduire à un jeu typographique ; et c'est peut-être pour ça que ces idées ont d'abord suscité une telle hostilité (non seulement elles étaient radicales, mais en outre elles n'étaient sans doute pas bien définies aux yeux de mathématiciens comme Hilbert).

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