David Madore's WebLog: Les labyrinthes de petits théorèmes tordus, tous semblables (ici : Fourier)

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(jeudi)

Les labyrinthes de petits théorèmes tordus, tous semblables (ici : Fourier)

Je donne cette année un cours d'Analyse en première année à l'école-qui-s'appelait-ENST. Je ne suis pas du tout analyste, mais j'en profite pour essayer de me cultiver un peu sur le sujet, et apprendre à mettre dans leur contexte les résultats somme toute assez basiques que je leur enseigne. Aujourd'hui j'ai fait cours sur les séries de Fourier, et comme je voulais essayer de mettre au clair les différents résultats relatifs à la convergence et à l'estimation de séries de Fourier, j'ai commencé à essayer de me faire une liste systématique, et je suis tombé sur ce que j'aime appeler un labyrinthe de petits théorèmes tordus, tous semblables (le terme est une référence geek célèbre).

Ce que je veux dire par là est qu'on a un phénomène mathématique sur lequel on montre une propriété, qui suggère quelques nouvelles questions, auxquelles on répond par de nouveaux théorèmes ou des contre-exemples, mais ceux-ci suggèrent encore des questions, et le processus ne converge pas (ou du moins, ne converge pas dans les limites de la patience ou de la mémoire dont je dispose), et à la fin je me retrouve avec une masse de théorèmes que je confonds et où je ne vois plus rien. C'est loin d'être le seul cas où ce me soit arrivé, mais les séries de Fourier sont un exemple assez frappant (et le fait qu'un M. Zygmund ait réussi à écrire deux tomes de 350 pages chacun sur le sujet sans réussir à faire le tour non pas de toutes les questions mais de toutes celles que je me pose naturellement, suggère qu'il y a vraiment un labyrinthe). Petit apercu (tout ceci étant dit pour les fonctions périodiques d'une variable réelle) :

[Références : [Zygmund] = Antoni Zygmund, Trigonometric Series, 3e édition (2002) (première édition disponible ici). [Katznelson] = Yitzhak Katznelson, An Introduction to Harmonic Analysis, 3e édition (2002).]

Pfiou ! Et encore, je ne dis rien sur le noyau de Poisson ou la fonction conjuguée, ni sur rien d'autre que les fonctions périodiques d'une variable réelle (et notamment rien sur la transformée de Fourier). Et malgré ça, il y a quantité de questions qui me semblent profondément naturelles et dont je n'ai toujours vu aucune mention dans les livres. Du genre :

Je pourrais poser ces questions sur MathOverflow, mais chacune demandrait que j'y réfléchisse préalablement (pour m'assurer que ce n'est pas une question profondément idiote) sans doute plus que ce que je suis prêt à faire.

Alors on pourra me rétorquer que c'est normal, c'est comme ça que la science fonctionne : toute réponse suggère d'autres questions. C'est peut-être un joli slogan, mais ce n'est pas toujours le cas : il y a des domaines dont on a l'impression d'avoir fait le tour de façon assez nette (parfois cette impression est trompeuse, c'est vrai), ou du moins qui ne suggèrent pas des questions naturelles et évidentes à foison mais plutôt des questions dont on a d'emblée le sentiment qu'elles sont difficiles et riches. Ce que j'appelle un labyrinthe de petits théorèmes tous semblables, c'est quand les questions viennent plus vite que je n'ai le temps de les formuler, et quand les livres regorgent déjà de résultats qui partent dans tous les sens et qui sont rarement présentés de façon systématique et synthétique.

(Au sujet de l'ordre d'exposition des résultats, c'est d'ailleurs peut-être un problème sérieux de contradiction entre l'orthodoxie logique qui veut qu'on présente les théorèmes dans l'ordre dans lequel ils découlent les uns des autres, et la clarté pédagogique : dans l'énumération des énoncés que j'ai faite ci-dessus, certains des faits annoncés sont quasi triviaux et d'autres sont des théorèmes assez profonds, notamment le théorème de Carleson, donc aucun bouquin ne les listerait comme ça, et c'est bien dommage, parce que je trouve que ça aide à s'y retrouver dans le labyrinthe.)

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