Comments on Les labyrinthes de petits théorèmes tordus, tous semblables (ici : Fourier)

« Existe-t-il des séries trigonométriques qui convergent en tout point du cercle mais dont la limite ne soit pas une fonction L1 » Dans son bouquin sur les séries de Fourier (enfin le livre très janusien « Séries de Fourier et ondelettes » dont la deuxième face est écrite par Lemarié-Rieusset), Kahane dit explicitement que oui (p. 68). Si tu n'as pas accès au livre, je te recopierai le passage.

Pour rebondir sur un commentaire d'une entrée précédente (sur la différentielle extérieure), existe-t-il une présentation de la transformée de Fourier de plus haut niveau qui simplifie / trivialise une partie de ces questions ? Je suppose que la réponse est non…

Sans répondre à la question préliminaire, un compte-rendu d'une longueur inhabituelle de Jean-Pierre Kahane permet de se donner un éclairage historique très instructif. Le mieux est de se reporter à l'article directement :
http://www.ams.org/journals/bull/2004-41-03/S0273-0979-04-01013-4/S0273-0979-04-01013-4.pdf
Non seulement, des résultats proches d'une complexité allant de l'élémentaire au très difficile s'enchevêtrent dans une polyphonie typique de ce domaine des mathématiques, mais la construction d'outils permettant de mieux traiter les problèmes rencontrés, grâce à des points de vue différents précédant leur conception, ajoute une complexification temporelle (je dirais à la façon d'empilements de langages informatiques).
De fait, un labyrinthe possède cette double difficulté : temporelle et spatiale.
Une petite pensée au trop modeste Fourier : analyse dite de Fourier et équation de la chaleur. Excusez du peu ! Villani et Perelman lui en sont encore redevables deux siècles plus tard.

NB : l'article de Salem qui résume la "bible" chapitre par chapitre est nettement moins instructif :
http://projecteuclid.org/DPubS/Repository/1.0/Disseminate?view=body&id=pdf_1&handle=euclid.bams/1183523405

Compléments : Transformée de Fourier (a priori discrète) sur les groupes abéliens finis.

J'ai retrouvé cela dans l'excellent livre de M. Denis Monasse (ed. Vuibert "Série Or").
C'est un livre pour Prépas Scientifiques, qui fut concurrent d'un Autre…
Il y est aussi question, lors d'une légère digression par rapport au programme, des Caractères de G [ morphismes de (G,.) dans (|C*, *) ]
Comme quoi, c'est dans les vieux pots que l'on trouve parfois les meilleures soupes…
J'ai revu (au passage) le théorème de Riesz-Fischer, et même avec une certaine sympathie pour les (l') espace(s) de Hilbert L2(|R) !
Décidément, le "passé" (tout est relatif) nous mène la vie dure.

Tiens c'est marrant, moi aussi je m'étais noté des résultats amusants sur les séries de Fourier:
- Si f est continue sur le cercle unité, elle est L^2 donc elle converge presque partout vers sa série de Fourier. Cependant on peut construire des fonctions continues telles que la série de Fourier diverge sur un ensemble dense.
- L'ensemble des fonctions telles que la série de Fourier converge absolument forme une algèbre (de Wiener), et si f est dans cette algèbre et que 1/f est bien définie, alors 1/f y est aussi. Exemple: les fonctions Holderiennes d'exposant alpha > 1/2 ou les fonctions holderiennes et à variations bornées sont dans cette algèbre comme tes exemples le montrent.

Il y a pleins de choses rigolotes sur les convergences radiales/non tangentielles:
- L'intégrale de Poisson donne une isométrie de L^p (1<p<\infty) sur h^p (les fonctions harmoniques sur le disque telle que l'intégrale L^p de la norme sur des cercles de rayon tendant vers 1 soit bornés), et des mesures signées sur h^1.
- En particulier, comme Césarro implique convergence non tangentielle, si f est dans h^p (p>1) ou si f est l'intégrale de Poisson d'une fonction L^1, alors f converge non tangentiellement presque partout. On a le théorème plus fort suivant (qui est dans le Zygmund il me semble): si f est dans h^1 pour un arc (theta_0,theta_1) (ie on demande juste que l'intégrale de |f| sur les bouts d'arcs d'angle theta_0 theta_1 soient bornées en faisant tendre r vers 1), alors f=f_0 + f_1 où f_0 est le noyau de Poisson d'une fonction L_1 et f_1 tend vers 0 uniformément vers 0 le long d'un arc (theta_0+epsilon, theta_1-epsilon). En particulier, f converge non tangentiellement pp le long de l'arc (theta_0, theta_1)

Une série de labyrinthes de théorèmes tordus :)
- Si f est harmonique sur le disque unité D, et E partie du cercle unité est tel que pour tout theta dans E, f est bornée le long d'un voisinage non tangentiel, alors f admet une limite pp theta dans E
- Si f est méromorphe sur D, pour preque tout theta, soit f converge non tangentiellement en theta, ou alors f de tout voisinage non tangentiel de theta est dense
- Si f est holomorphe bornée, alors pour presque tout theta, convergence radiale => convergence non tangentielle. On a même mieux: pour presque tout theta, convergence le long d'un chemin de Jordan qui finit en theta (même de manière tangentielle) => convergence non tangentielle (de même limite)

Dans le même genre:
- Si f est méromorphe sur D, et a une limite non tangentielle nulle sur un ensemble de mesure non nul, alors f=0 (ce qui répond à une de tes questions). De plus par ce qui précède, si f est holomorphe bornée et tend radialement vers 0 sur un ensemble de mesure non nul, alors f est nulle.
- En revanche, pour tout g continue et tout ensemble maigre, il existe une fonction holomorphe sur D telle que f(t)-g(t) tend radialement vers 0 pour theta dans E. (En particulier, le point précédent est faux si on remplace convergence non tangentielle par convergence radiale)

Enfin, ceci n'est pas dans le Zygmund (il faudrait que je retrouve la référence, mais par exemple www.math.nyu.edu/faculty/varadhan/harmonic/lecture5.ps), mais si f est dans H^p (ie f est holomorphe et dans h^p), alors f=FB où B est le produit de Blockshe des zéros et F ne s'annule pas. On a |f|=|F| en norme H^p, et B est dans H^\infty et converge non tangentiellement pp vers une limite de norme 1 (je ne me souviens plus si on n'a pas même une limite radiale partout). Application: si f est dans H^p (p>0), alors f converge non tangentiellement partout (car on peut appliquer ce qui précède à F^{2/p} qui est bien définie).

Ouf!

Hors-sujet: en naviguant sur le site de l'IHP je suis tombé sur ceci <URL: http://www.ihp.fr/fr/seminaire/mathpark-programme > Juste pour savoir: c'est environ de 15h à 17h, et niveau L3 tout le long? Ou bien prévoyez-vous de parler un peu de choses plus avancées, par exemple liées aux vidéos <URL: http://www.youtube.com/watch?v=T_TU6T4-0LU > aussi? Merci.

"Ceci n'est vrai ni pour p=1 (Kolmogorov) : il existe même une fonction f L1 dont la série de Fourier ne converge en aucun point."

Cette phrase me paraît bancale…

@Sam: j'ajouterais que c'est plus facile de se repérer aux noms de variables, isolés et en italique, quand on cherche quelque chose dans une liste. Ici on sait immédiatement qu'il s'agit d'un théorème sur une mesure borélienne sur le cercle.

Idem, autour du sujet : j'ai toujours été étonné par les formules telles que « Si μ est une mesure borélienne signée finie sur le cercle, ses coefficients de Fourier-Stieltjes sont bornés (évident). ».

Pourquoi introduire « µ » s'il n'est pas réutilisé ensuite ? Y-a-t'il un effet bénéfique ? Est-ce pour préparer la discussion qui s'en suit ? Est-ce pour favoriser la construction « si … alors » ? N'est-il pas plus simple de dire « Les coefficients de Fourier-Stieltjes d'une mesure borélienne signée finie sur le cercle sont bornés (évident). » ?

La première question à se poser serait de savoir ce qu'un ingé généraliste (car on parle du cours de 1A) doit savoir sur la transfo de Fourier.
Une réponse raisonnable est : "Pas grand chose, on s'en fout un peu de savoir si la fonction est L1 ou pas. Par contre, une parfaite compréhension de ce qu'est la FFT est un must en 2012 pour un ingé (car tout est samplé)".

Pour le premier point, je crois que l'on prie Saint Parseval (si possible).

Sinon, autour du sujet, je me souviens de (comme l'ENST c'est du passé tellement révolu) :
<URL:http://fr.wikipedia.org/wiki/In%C3%A9galit%C3%A9_de_Wirtinger>
Et sur la Transformée de Fourier : un "vecteur propre" est par exemple toute fonction gaussienne (à un certain coeff près).
Pourquoi mes profs m'ont ils livré au monde capitaliste ?
L'idéal "Science" a été corrompu.