Commençons tout de suite par la question qui m'intéresse (je précise que je n'en connais pas la réponse), que je vais faire suivre de commentaires mathématiques, puis métamathématico-psychologiques :
Soit f une fonction réelle 1-périodique, et L¹ sur une période (ou, si ça ne suffit pas : mesurable et bornée). Est-il vrai que pour presque tout x, la moyenne arithmétique de f(x), f(x+1/n), f(x+2/n), f(x+3/n), …, f(x−1/n), converge vers l'intégrale de f (sur une période) ?
Cette question peut se voir comme la suite
d'une question que j'avais proposée en
exercice : si j'appelle
(ℳn(f))(x) la
moyenne dont il est question ci-dessus, je sais montrer un certain
nombre de choses, par exemple
que ℳn(f) tend dans
Lp vers (la fonction constante égale à)
l'intégrale de f si f est
Lp et p<∞, ou qu'il y a
convergence uniforme si f est Riemann-intégrable. Je
signale quelques autres faits apparentés (ainsi qu'une esquisse de
démonstration de ce que je viens de dire)
dans cette
question sur math.stackexchange, où je pose la question recopiée
ci-dessus et je demande aussi s'il y a convergence dans L∞
(lorsque f est L∞). Au moment où j'écris, je
n'ai pas eu de réponse (et la question n'a suscité que très peu
d'intérêt, ouin 
).
Mise à jour () :
Comme on me le signale en commentaire, la réponse est non
:
même pour f mesurable et bornée (en fait, même pour la
fonction indicatrice d'une partie de ℝ/ℤ), il n'y a pas forcément
convergence presque partout, ni même « quelque part »,
de ℳn(f)
vers f. C'est l'objet de l'article de Walter
Rudin, An
Arithmetic Property of Riemann
Sums
, Proc. Amer. Math. Soc. 15 (1964),
321–324. La démonstration de Rudin est courte et a l'air assez jolie
et arithmétique. • Par ailleurs, auparavant, Marcinkiewicz et Zygmund,
dans Mean
values of trigonometrical
polynomials
, Fund. Math. 28 (1937),
chapitre II, théorème 3 p. 157, avaient déjà montré que pour la
fonction précise −log(|x|)/√|x| sur [−½,½], prolongée par périodicité,
qui est L¹ sur une période mais non bornée, on n'a convergence nulle
part. • Par ailleurs, ces articles montrent que d'autres que moi ont
pensé que la question était naturelle, et d'autre part, qu'elle
n'était pas triviale. (Le terme qui me manquait pour chercher
était somme de Riemann
: je pensais qu'une somme de Riemann
était le cas associé à une subdivision quelconque, pas spécialement
régulière, et qu'on n'allait donc pas trouver grand-chose de plus en
cherchant ce terme que la construction de l'intégrale de Riemann.)
Mais une méta-question que je trouve aussi intéressante, c'est : pourquoi est-ce que je trouve la question ci-dessus extrêmement intéressante, importante et naturelle ? (Peut-être que je ne serai plus de cet avis si j'obtiens la réponse, mais au minimum je la trouve intéressante au sens où j'ai vraiment envie d'avoir la réponse.) Ce n'est pas juste que moyenner une fonction comme ça est une opération qui me semble très naturelle (et assez élégante) et qu'on a envie de savoir si ça converge vers l'intégrale voire, si ça donnerait une « définition » de l'intégrale de Lebesgue. L'Analyse n'est pas un sujet dont je suis un grand fan, mais à partir du moment où on me présente une « situation » mathématique (ici, le fait de moyenner une fonction 1-périodique par ses n translatés par 1/n, et de considérer la limite quand n→+∞) sur laquelle j'arrive à dire des choses, j'ai naturellement envie de me poser toutes les questions « adjacentes » à la situation : si j'ai un résultat de convergence dans Lp pour p<∞, j'ai naturellement envie de poser la question de la convergence L∞ et de la convergence presque partout. (D'ailleurs, le mystère c'est pourquoi j'ai mis plus d'un an à me rendre compte que ces questions étaient naturelles et que je ne savais pas les résoudre !) En plus de cela, il y a toujours un degré de frustration à penser : bon sang, mais une question aussi simple et naturelle que ça, je devrais savoir y répondre !, ou au moins, trouver la réponse dans un livre/article.
J'ai souligné le mot naturel
dans le paragraphe précédent,
parce que c'est un aspect psychologique fondamental dans la manière
dont je conçois les mathématiques : il n'y a pas que le fait que les
objets soient élégamment
symétriques et beaux par leur
grandeur qui me motive, il y aussi le caractère naturel
des questions qu'on se pose. Je me considère comme un mathématicien
pur non pas parce que je ferais des choses qui ne servent à rien, mais
parce que ce qui me motive quand je me pose une question de
maths n'est pas qu'elle serve à quelque chose (même à l'intérieur des
mathématiques), mais qu'elle soit naturelle dans le contexte.
Et c'est une qualité que je ne sais pas définir (même si cela a
certainement un rapport avec la simplicité) et dont je me demande à
quel point elle est personnelle, voire complètement illusoire. Un
autre mathématicien sera-t-il convaincu que la question ci-dessus est
intéressante ? Je ne sais pas. (Pas plus que pour les questions de
l'entrée précédente. En revanche,
une question telle
que est-il
vraie que pour toute fonction réelle f il existe une partie
dense à laquelle la restriction de f est continue ?
est probablement « naturelle » si j'en crois les réactions que j'ai
eues.)
Toujours est-il que je n'ai pas le temps d'y réfléchir sérieusement
(et je ne suis pas sûr d'y connaître assez en Analyse pour avoir une
chance sérieuse de savoir résoudre le problème), donc j'essaie
insidieusement de convaincre d'autres gens d'y
faire attention et d'y réfléchir à
ma place. Wir müssen wissen — wir werden
wissen! 