David Madore's WebLog: 2024-05

Le théorème de Desargues, que je veux présenter ici, est à la fois un des plus simples et selon moi un des plus jolis et des plus importants de la géométrie plane. Simple, parce qu'il n'est question que de points et de droites (pas de distances, d'angles, de cercles ni de quoi que ce soit du genre, même pas de parallélisme ou de perpendicularité : on dit que c'est un théorème de « géométrie projective »), et parce qu'il n'y a qu'un petit nombre de points impliqués (c'est quasiment le plus simple possible). Joli pour les raisons que je vais essayer d'expliquer, qui tiennent largement à sa symétrie. Et important parce qu'il est un des axiomes de certaines présentations de la géométrie projective. Pourtant, il ne fait pas du tout partie de l'enseignement de la géométrie en France (certainement pas à l'école primaire, mais pas non plus au collège, ni au lycée, ni même dans les classes préparatoires aux grandes écoles). Je vais essayer de parler un peu[#] de ce théorème, et de la « configuration » de points et de droites qu'il définit, en faisant plus d'efforts que d'habitude pour rester compréhensible par le grand public, au moins au début de ce billet, quitte à reléguer des considérations plus techniques en appendice. (Vais-je pour autant arriver à être compréhensible ? à vous de me dire.) En plus, pour changer des billets de ce blog qui sont généralement du pur texte, vous aurez droit à des illustrations, qui, j'espère, rendent les choses plus compréhensibles ! (Que demande le peuple ?) Notez que vous pouvez cliquer sur n'importe laquelle de ces images pour l'agrandir (et comme elles sont quasiment toutes vectorielles, vous pouvez utiliser quelque chose comme control-+/control-− dans votre navigateur pour zoomer ou dézoomer).

[#] Enfin, un peu est une façon de parler, parce que j'ai passé un temps totalement déraisonnable à écrire ce billet (ce qui explique, comme souvent, que la fin soit sans doute un peu bâclée parce que j'en ai eu vraiment marre).

Table des matières

• Table des matières
• Théorème de Desargues et configuration de Desargues
  • L'énoncé du théorème de Desargues
  • La configuration de Desargues
  • Histoire de la perspective et géométrie « projective »
  • Le théorème de Desargues est plus simple dans l'espace
  • Cinq plans dans l'espace, et leurs intersections
  • Dix façons de voir la même configuration
  • Pentagones mutuellement inscrits
  • Étiquetage systématique des points de la configuration
  • En guise de conclusion
  • Liens et questions apparentés
• Appendice : quatre preuves du théorème de Desargues
  • Un avertissement préalable sur les dégénérescences
  • Preuve calculatoire
  • Preuve en envoyant l'axe de perspective à l'infini
  • Preuve à partir de l'axiome de Pappus
  • Preuve en passant dans l'espace
  • Que nous apprennent ces quatre preuves ?

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✱ Avertissement : ce billet contient, dès le début, des divulgâchis majeurs sur les deux œuvres mentionnées dans le titre.

Si je vous raconte une histoire comme ça :

Un jeune chevalier orphelin qui combat un puissant seigneur rencontre un vieil homme sage qui lui servira de mentor, et sauve une jeune femme qui a elle aussi été adoptée : il commence à tomber amoureux de cette dernière, mais plus tard ils découvrent qu'ils sont, en fait, frère et sœur, et qu'ils sont aussi les héritiers du puissant seigneur qui n'est, après tout, pas si méchant que ça.

Vous pensez à quoi ?

Bon, évidemment, avec le titre que j'ai donné à ce billet et avec l'avertissement en tête, ma question n'en est pas vraiment une. Mais le fait est que j'ai posté la question (certes le 4 mai et pas par hasard) sur Twitter et BlueSky, et qu'on m'a répondu, comme je l'attendais, Star Wars.

En fait, c'est un résumé de la pièce de 1779 de G. E. Lessing, Nathan le Sage (Nathan der Weise puisqu'il n'y a pas de raison que je cite une œuvre dans son titre original et pas l'autre). Je recommande très vivement cette pièce, d'ailleurs, qui est à la fois très belle et très amusante et qui vaut la peine d'être lue (ou vue au théâtre) même maintenant que je vous l'ai copieusement divulgâchée. Thomas Mann la considérait apparemment comme un des sommets de la littérature et culture allemandes. C'est une pièce qui se passe à Jérusalem pendant la troisième croisade, et c'est une touchante[#] invitation à la tolérance religieuse (le puissant seigneur est le sultan Saladin, le vieux sage est le Juif Nathan qui donne son nom à la pièce, et la jeune héroïne et le jeune héros sont la fille adoptée de Nathan, Recha, et un chevalier templier), et à la réconciliation en temps de guerre : raison pour laquelle la pièce est, d'ailleurs, de temps en temps donnée au moyen-orient avec des troupes formées de représentants des trois grandes religions abrahamiques. (La pièce est parfois comparée au Marchand de Venise pour contraster les représentations du Juif Nathan de Lessing et Shylock de Shakespeare, ou au contraire pour les rapprocher.) Et si on aime les coups de théâtre, l'intrigue est pleine de rebondissements (j'en ai listé quelques uns ci-dessus mais ce ne sont pas les seuls).

[#] Je suis peut-être facilement ému, mais il y y a vraiment des passages qui me donnent les larmes aux yeux.

Alors certes le résumé ci-dessus est un peu fragmentaire : non seulement je n'ai pas donné le contexte (que je viens de rappeler au paragraphe précédent), mais j'ai sauté à la fin sans raconter certaines des péripéties de l'intrigue (comment on essaie d'enlever Recha, même si là aussi j'aurais peut-être pu faire des efforts pour raconter ça de manière à ressembler à l'histoire de Star Wars), et je n'ai pas parlé de ce qui est sans doute le passage le plus célèbre de la pièce (mais à mon avis pas le meilleur), la parabole de l'anneau[#2]. Et puis bon, voilà, je suis obligé de dire héritiers (en anglais, next of kin je trouve que ça passe mieux) parce que dans Nathan le Sage ce n'est pas je suis ton père, c'est je suis ton oncle, sans doute parce que Lessing ne voulait pas trop déformer l'histoire (le Saladin historique a eu des enfants, ils n'apparaissent pas du tout dans la pièce).

[#2] Oui, il y a aussi une histoire d'anneau, mais pour le coup ça ne ressemble pas du tout au Seigneur des anneaux — même si vous pouvez essayer de faire un ambigramme sémantique là-dessus si ça vous chante.

Néanmoins, il me semble que la ressemblance est un peu plus que vague et anecdotique (je vais revenir sur la question de comment juger ça). Ne serait-ce que le fait que je me sois senti obligé de commencer ce billet en disant que j'allais divulgâcher Star Wars et Nathan le Sage le suggère quand même assez fortement.

Des gens m'ont répondu que oui, c'est normal, Star Wars suit le schéma du monomythe, il n'a rien d'original, ce sont des thèmes qu'on retrouve partout, mais il me semble que cette réponse est vraiment à côté de la plaque : si je raconte une histoire comme ceci (je recopie la description du monomythe de Wikipédia) :

Un héros s'aventure à quitter le monde du quotidien pour un territoire aux prodiges surnaturels : il y rencontre des forces fabuleuses et y remporte une victoire décisive. Le héros revient de cette mystérieuse aventure avec la faculté de conférer des pouvoirs à ses proches.

— je pense que personne n'y reconnaîtra Star Wars, ni Nathan le Sage (auquel ça ne colle d'ailleurs pas vraiment), ni quoi que ce soit de précis tellement tout ceci est désespérément vague. En tout cas, personne ne trouvera que j'ai divulgâché quoi que ce soit. Je trouve qu'il faut une sacrée dose de mauvaise foi pour prétendre que le résumé que je fais plus haut dans ce billet est aussi abstrait et vaseux que ça. L'histoire du monomythe s'applique à tout et n'importe quoi. Mon résumé de Nathan le Sage s'applique aussi à Star Wars mais pas à un million de choses (certes, on m'a suggéré que ça ressemblait un peu à La Flûte enchantée ou encore à la pièce de Voltaire L'Orphelin de la Chine, mais dans les deux cas c'est beaucoup plus lointain et notamment l'histoire de frère et de sœur séparés à leur naissance est absente).

Maintenant, il reste quand même trois possibilités, évidemment pas nettement séparées, entre lesquelles trancher (j'ai posé la question sur le StackExchange de science-fiction dont je n'attends cependant pas grand-chose) :

1. George Lucas a lu Nathan le Sage (ou du moins on lui en a raconté l'histoire, ou on lui a raconté une histoire elle-même inspirée de la pièce de Lessing) et il s'en est inspiré (pas forcément consciemment).
2. C'est une coïncidence.
3. Ce n'est même pas une coïncidence, on peut trouver des ressemblances de ce genre entre deux œuvres à peu près quelconques.

Tous les gens avec qui j'en ai parlé semblent convaincus de (3), à tel point que j'ai l'impression que l'Univers essaie de me gaslighter[#3], et c'est fort désagréable. Comme n'importe quel sujet est bon pour justifier un billet de blog, je me positionne fièrement prêt à mourir sur cette colline : non, je ne crois vraiment pas que ce soit (3).

[#3] Il me semble que quelqu'un avait proposé un équivalent français pour le verbe to gaslight, mais je ne retrouve pas.

L'argument principal contre (1) tourne autour de l'idée que Nathan le Sage serait une pièce obscure et qu'il est peu vraisemblable que George Lucas, qui n'est pas germaniste (je ne trouve pas de renseignement sur les langues qu'il maîtrise, mais je suppose que c'est juste l'anglais), en ait entendu parler.

Il me semble que cet argument est une projection de la relativité de la culture générale : quelque chose comme je n'ai pas lu cette pièce, donc je suppose par défaut qu'elle est obscure. Évidemment je suis susceptible de tomber dans le piège opposé (j'ai lu — et beaucoup aimé — cette pièce, donc je suppose par défaut que tout le monde la connaît), donc si je veux y répondre il faut que j'essaie de trouver des métriques un peu objectives de célébrité, ce qui est éminemment difficile. Je peux noter que l'article Wikipédia à son sujet existe en 21 langues, ce qui n'est quand même pas rien (en tout cas ça suggère qu'il n'y a pas que les germanophones qui en ont entendu parler) ; je peux noter que Google me la liste dans les 3 premières quand je fais une recherche de list of famous german plays (ceci n'est probablement pas très reproductible, cependant), que j'ai demandé à ChatGPT (en tant que perroquet-représentant de la sagesse diluée d'Internet) où il la placerait dans la liste des pièces allemandes les plus célèbres, et il m'a dit dans les 10 premières ; je peux noter que j'ai moi-même vu la pièce à la Comédie française (ce qui veut dire qu'elle est considérée comme faisant partie d'une certaine définition du répertoire classique dans un pays non-germanophone) et, plus tard, à la télé en France, et il y en a toutes sortes de versions sur YouTube ; je peux noter que, comme je le mentionne ci-dessus, elle a une certaine résonance au moyen-orient (et je suppose qu'elle en avait déjà quand George Lucas était étudiant). Ce ne sont pas des signes de la célébrité la plus incontestable (rien qu'au rayon des pièces allemandes, je suppose quand même que Faust est plus connue), mais on peut difficilement la qualifier d'obscure (alors que pour L'Orphelin de la Chine de Voltaire, par exemple, je n'hésiterais pas à utiliser cet adjectif).

(Évidemment, dans la culture actuelle, surtout auprès des geeks avec qui je suis susceptible d'échanger via Internet, Star Wars est bien plus connu que Nathan le Sage — 145 langues sur Wikipédia, par exemple, si on convient que cette métrique est pertinente. Néanmoins, il y a un certain effet de perspective dû aux qualificatifs sur Internet et actuel. En tout cas, quand George Lucas était étudiant, bizarrement, Star Wars n'était pas connu du tout, alors que Nathan le Sage l'était sans doute autant. Et j'imagine que si on attend quelques décennies, la trilogie d'origine de Star Wars sera perdue dans les zillions de spinoffs, séquelles et autres histoires dérivées que Disney aura produites entre temps, et peut-être qu'il y aura aussi peu de gens capables de la décrire que pour ce qui est de la pièce de Lessing.)

Je suppose, en tout cas, que George Lucas n'est pas un Américain moyen de sa génération en ce qui concerne ses chances d'être familier avec la pièce de Lessing (s'il l'était, je conviendrais volontiers que ses chances de l'avoir lu — ou même d'en connaître simplement l'histoire — seraient proches de zéro). Il a été étudiant[#4] à USC, il a suivi des cours de littérature et de cinéma, où je suppose que ses profs ont dû mentionner certaines des grandes œuvres de la littérature mondiale ou occidentale, et notamment celles qui sont pertinentes dans l'histoire du théâtre ou illustratives pour le bon usage du coup de théâtre (chose que Lucas semble certainement beaucoup aimer), après tout ce n'est pas comme si le théâtre et le cinéma étaient si étrangers[#5] l'un à l'autre. Donc même si ça n'a rien de certain, je ne trouve absolument pas farfelu d'imaginer que Lucas, même s'il n'est pas germaniste ou germanophone, ait lu ou vu le Nathan de Lessing (ou qu'on lui en ait raconté l'histoire), qu'il s'en soit consciemment inspiré ou que certaines idées lui soient restées dans la tête.

[#4] Rien à voir avec Lessing, mais à propos de George Lucas étudiant et de ses sources d'inspiration, je rappelle une fois de plus l'existence de ce court-métrage (8 minutes !) absolument extraordinaire qu'est George Lucas in Love de Joe Nussbaum (1999) (on le trouve par-ci ou par-là sur YouTube, et certainement en plein d'autres copies qui disparaîtront occasionnellement au hasard de l'application du copyright). J'en ai parlé dès le tout début de ce blog, et 21 ans après je le revois toujours avec autant de plaisir. C'est une exploration hypothétique et humoristique de l'histoire possible de la genèse de Star Wars alors que George Lucas est étudiant sur le campus de l'USC en 1967, et c'est une accumulation de clins d'œil, un hommage beaucoup plus touchant et intéressant, à mon avis, que tous les fan films qui ont été faits in universe. Même la musique est extraordinaire. (Il semble d'ailleurs que Lucas lui-même ait vu ce film et a reconnu qu'il était excellent, même si pas tout à fait conforme à la réalité.)

[#5] Alec Guinness, qui incarne Obi-Wan Kenobi dans Star Wars, était (et est sans doute encore) surtout connu comme un grand acteur de théâtre. Il avait notamment joué Le Marchand de Venise quand il était jeune, et il l'a de nouveau joué (en incarnant Shylock) après Star Wars : compte tenu de la comparaison souvent faite entre ces deux pièces, je n'ai aucun doute qu'il aurait lu ou vu Nathan. Je peux parfaitement imaginer une discussion sur le tournage de l'épisode 4 de Star Wars où Guinness dirait à Lucas tu sais, les personnages de ton film ils me rappellent un peu ceux de cette pièce allemande… tu devrais peut-être y jeter un coup d'œil.

Ce qui est certainement plus discutable, c'est la question de savoir dans quelle mesure les éléments communs que je vois entre Star Wars et Nathan le Sage sont vraiment significatifs.

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