David Madore's WebLog: 2018-02

This WebLog is bilingual, some entries are in English and others are in French. A few of them have a version in either language. Other than that, the French entries are not translations of the English ones or vice versa. Of course, if you understand only English, the English entries ought to be quite understandable without reading the French ones.

Ce WebLog est bilingue, certaines entrées sont en anglais et d'autres sont en français. Quelques-unes ont une version dans chaque langue. À part ça, les entrées en français ne sont pas des traductions de celles en anglais ou vice versa. Bien sûr, si vous ne comprenez que le français, les entrées en français devraient être assez compréhensibles sans lire celles en anglais.

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Entries published in February 2018 / Entrées publiées en février 2018:

(samedi)

J'obtiens le permis (et je me demande si je sais conduire)

Le titre dit tout, mais je vais raconter ça en long, en large, et en menus détails (en fait ça n'intéresse personne, mais j'écris surtout tout ça pour moi-même pour m'en souvenir plus tard).

Fin de la formation

Je reprends l'histoire où je l'avais laissée. J'ai continué à prendre des leçons de conduite, et ça a duré longtemps… longtemps. Au total j'ai fait 73 heures (ce qui, à 58€ l'heure, commence à revenir un peu cher, d'ailleurs, mais c'est surtout le temps consommé qui me posait problème), entre le et le , toujours pas paquets de deux heures, presque toujours avec le même moniteur. (C'est dire si je connais bien, maintenant, ces lieux enchantés que sont Cachan, Chevilly-Larue, Orly, mais aussi Vélizy et Maisons-Alfort.) Et l'expérience de l'apprentissage n'était pas super plaisante.

Je disais dans l'entrée précédente que mes trois gros problèmes étaient l'inobservation (généralement due à une concentration focalisée sur le mauvais problème), l'indécision, et la panique inopportune. Les choses se sont un peu améliorées avec le temps : l'indécision s'est largement résorbée (mais parfois je suis tombé dans l'excès inverse), la panique a pris des formes moins aiguës, mais l'inobservation continue vraiment à me poser problème. Jusqu'à la fin, et je veux vraiment dire la fin, c'est-à-dire à la leçon qui consistait à emmener la voiture de l'auto-école au lieu de passage du permis, mon moniteur m'a engueulé parce que mes trajectoires étaient mauvaises parce que je ne faisais pas attention aux bonnes choses (je déviais ou je risquais de rouler dans un trou…). Et à chaque fois que je bugguais, et à plus forte raison si je me faisais engueuler, je tombais dans le cycle vicieux des erreurs.

Bref, même s'il y avait pas mal de moments où tout allait très bien, j'ai eu des leçons ou des bouts de leçons qui se passaient vraiment très mal, et jusqu'à la fin. J'ai l'impression que mon moniteur était vraiment désemparé face à mon irrégularité. (J'ai déjà raconté que la formation était divisée en quatre grands chapitres, en gros 1 la mécanique, 2 la circulation urbaine normale, 3 la circulation plus compliquée et les autoroutes, et 4 du pipo, voyez l'entrée liée ci-dessus pour les intitulés réels ; mon moniteur a validé la partie 1 le au bout de 26 heures de conduite, et la partie 2, à confirmer, le après 60 heures… et il n'a jamais validé les parties 3 et 4. Bon, je ne sais pas ce que cette validation signifie pour eux au juste, mais toujours est-il qu'il n'avait pas l'air super convaincu de mon niveau.) Plus d'une fois il a tenu des propos du style si tu n'arrives pas à comprendre ça, je ne peux vraiment rien pour toi.

Il a quand même décidé, après une leçon qui s'était très bien déroulée malgré des conditions difficiles (nuit, circulation dense), de me présenter à l'examen sous réserve que je prenne encore une dizaine d'heures supplémentaires avant (finalement je n'en ai pas eu autant parce que la neige a forcé l'auto-école a annuler une leçon, le ). Mais même pas une demi-heure avant l'examen, pendant la dernière leçon d'une heure qui est plutôt destinée à « chauffer » le candidat et à le mettre en confiance en circulant dans le coin où aura lieu l'épreuve, il m'a deux fois pilé la voiture et passé un savon parce que je ne prenais pas suffisamment de marge pour m'écarter d'une voiture mal garée à droite. (Et ce genre de savon de dernière minute, limite humiliant, avec pour témoins les deux autres candidats à l'examen le même jour que je transportais comme passagers, ce n'est vraiment pas un truc pour mettre en confiance. L'une de ces deux candidats m'a d'ailleurs dit qu'elle avait été assez choquée par l'attitude du moniteur à ce moment.)

Il y a des choses qui ne sont évidentes qu'a posteriori. J'aurais sans doute dû demander à changer de moniteur, pour avoir quelqu'un qui m'engueule moins. (Et en fait, lui-même aurait dû me le conseiller, plutôt que rester sur des formules comme je ne peux vraiment rien pour toi, et surtout, se rendre compte que m'engueuler était contre-productif.) D'un autre côté, il avait aussi des qualités que j'appréciais : non seulement je me sentais vraiment en sécurité et en confiance dans sa maîtrise du véhicule (j'ai eu plusieurs fois l'occasion de constater sa capacité à rattraper des erreurs graves de ma part), mais par ailleurs il me faisait partager ses observations, toujours très pertinente, sur les autres usagers de la route, et j'espère, même si je n'en suis pas complètement persuadé, que ça m'a un peu aidé à combattre mon super-pouvoir d'inobservation. Mais une chose plus basique encore est que je me rends compte surtout maintenant que c'est fini à quel point cette formation m'a pesé, usé et stressé (les engueulades n'y sont pas pour rien, mais ça aussi c'est quelque chose que je ne perçois clairement qu'après coup).

Le fait d'avoir fait un grand nombre d'heures, en revanche, n'est pas en soi une mauvaise chose. S'il m'a fallu beaucoup de temps pour surmonter très partiellement mes super-pouvoirs d'inobservation, d'indécision et de panique, en revanche, pendant ce temps, j'ai pu beaucoup améliorer ma pratique de la mécanique, et c'est au moins vrai que passer les vitesses, revenir au patinage, ou autres éléments de ce genre, ne me pose plus aucun problème.

Le stress

C'est quelque chose de vraiment bizarre. Fondamentalement je m'en foutais pas mal de passer le permis : je l'ai fait un peu sur la pression de mon entourage (mon poussinet, ma maman…), un peu parce que me sentant vieillir je me disais que si j'attendais plus longtemps je n'y arriverais vraiment jamais, un peu parce que mon école va déménager à Saclay dans 1½ ans, mais bon, aucune raison impérative, et je ne peux pas dire que ma motivation crevait le plafond. J'ai procrastiné assez longtemps pour présenter le code ; et quand j'ai finalement passé cet examen théorique, je n'étais absolument pas stressé, ni pour l'examen lui-même ni pour les résultats (alors que ce n'était pas du tout évident que je l'aurais vu le caractère très mystérieux des questions et mes résultats aléatoires sur les sites de préparation).

Et là, pour l'épreuve pratique, j'ai passé toute la semaine à angoisser comme un fou (et j'ai de nouveau stressé pour les résultats). Merci au passage à l'hydroxyzine pour m'avoir permis de dormir quand même, et au propranolol pour m'avoir évité les crises de tachycardie. Mais pourquoi ? Je sais que je suis d'un naturel hyper anxieux, mais c'est un peu mystérieux, quand même, que ça me mette dans un état de panique de passer un truc dont, fondamentalement, j'ai l'impression de me foutre pas mal. J'ai plusieurs hypothèses mais aucune n'est vraiment satisfaisante : notamment, le trac à l'idée que quelqu'un que je ne connais pas voie mes erreurs (et que je sois possiblement humilié), mais ça m'explique pas l'angoisse au moment des résultats ; ou la peur des coûts irrécupérables (sous la forme : maintenant que j'ai souffert pour passer ce permis, je n'ai pas envie que ça soit en vain).

C'est d'autant plus idiot que c'est un examen particulièrement facile à repasser (pour un examen universitaire il faut généralement attendre l'année suivante, là c'est possible sous un délai assez court, quelques mois dans le pire cas), les frais sont négligeables, et il n'y a pas de limite sur le nombre de passages (au bout de cinq échecs on doit repasser le code, mais cette partie-là est tellement facile à repasser, et pour le coup il n'y a aucune limite, que c'est presque insignifiant). Mais j'étais peut-être victime du méta-stress (i.e. : je stresse tellement cette fois-ci, je n'ai pas envie d'échouer et de devoir recommencer, ce qui me ferait stresser à nouveau) ; ou peut-être que le fait que je passe à un endroit notoirement « facile » (cf. ci-dessous) me rendait d'autant plus anxieux de ne pas gâcher cette chance.

Généralités sur l'examen

Pour ceux qui n'ont pas passé le permis, en France, et encore, récemment, voici une description détaillé du déroulement de l'épreuve pratique (pour le permis B) :

L'auto-école du candidat fournit la voiture à doubles commandes (donc celle sur laquelle on a appris à conduire, heureusement) ; l'inspecteur (officiellement appelé expert) prend place siège passager avant (avec les doubles commandes), le moniteur accompagnateur s'asseoit à l'arrière et prendra lui-même des notes (mais ne doit, évidemment, pas dire un mot). L'inspecteur commence par vérifier l'identité du candidat et contrôler le dossier administratif (notamment l'attestation de réussite au code, qu'il a déjà), puis il rappelle les consignes générales de l'épreuve. Il est censé procéder à un test de vue en demandant de lire une plaque d'immatriculation à une vingtaine(?) de mètres, mais souvent il omet cette formalité et je n'y ai pas eu droit. L'épreuve dure officiellement 32 minutes, dont 7 minutes de vérifications et questions, et 25 minutes de conduite effective : en fait, cette durée est très approximative, mais elle explique les heures bizarres comme 14h02.

L'inspecteur donne des instructions comme à gauche, à droite, tout droit, ou bien suivez Trouducul-du-Monde ; s'il ne dit rien, c'est soit que c'est tout droit, soit que la réglementation ne laisse qu'une seule possibilité (et ça fait partie de l'épreuve de le détecter assez tôt et de clignoter si nécessaire) ; il peut aussi dire quelque chose comme tournez à droite dès que possible (ce qui suggère que la première à droite sera peut-être interdite, mais pas forcément) ; en revanche, il ne donnera pas d'instruction contredisant explicitement la réglementation. L'épreuve doit autant que possible faire intervenir différents types de conditions (circulation urbaine d'une part, routes hors agglomération ou autoroutes de l'autre). Au moins une partie de l'épreuve est une « conduite autonome », c'est-à-dire que l'inspecteur aura donné des instructions comme suivez Machin, puis Truc, et il faut lire les panneaux de direction (mais il n'est évidemment pas demandé de faire plus que ça : on n'est pas censé connaître le coin, ni lire une carte, ni manipuler un GPS).

À un moment de son choix, l'inspecteur demande une manœuvre faisant intervenir une marche arrière : simple marche arrière en ligne droite, marche arrière en courbe, demi-tour, ou le plus souvent rangement en bataille ou en créneau. (Réussir cette manœuvre n'est pas obligatoire, mais ce qui est surtout vérifié est la sécurité : bien contrôler qu'on ne gêne personne, et ne pas heurter violemment le trottoir, notamment.) À un moment de son choix, mais généralement juste après la manœuvre consistant à se garer, l'inspecteur pose trois questions : celles-ci sont déterminées, selon une table connue à l'avance, par les deux derniers chiffres du totaliseur kilométrique à ce moment-là (cela joue le rôle de générateur aléatoire) ; la première question est une « vérification » intérieure (du genre : allumez le(s) feu(x) de brouillard arrière et montrez le voyant correspondant — c'est ce que j'ai eu) ou extérieure (du genre : contrôlez l'état, la propreté et le fonctionnement des feux de route), la deuxième est une question en rapport avec ce qui vient d'être contrôlé (du genre : peut-on utiliser les feux de brouillard arrière par forte pluie ?), et la troisième est une question de premiers secours (comme quels sont les signes d'un arrêt cardiaque ?). C'est un petit changement fait en 2018 (et dont je suis donc un des tout premiers à bénéficier) : auparavant, il y avait une vérification intérieure et une vérification extérieure, et la liste était nettement plus longue.

À la fin de l'épreuve (il faudra de nouveau se garer, mais l'inspecteur demandera alors généralement un stationnement en marche avant, censément plus facile), l'inspecteur rend sa pièce d'identité au candidat et passe au candidat suivant. Dans mon cas, nous étions trois candidats de la même auto-école à passer successivement avec cet inspecteur (je suis passé en premier), les candidats qui ne passaient pas attendaient donc sur le parking que celui qui passe revienne (heureusement qu'il ne pleuvait que très peu !), et tout le monde partait du même point : je ne sais pas si c'est universel ou si certains font des parcours en boucle où un candidat fait la première moitié de la boucle et un autre fait la deuxième moitié.

Les résultats sont communiqués deux jours plus tard. Jusqu'à récemment c'était par courrier, mais maintenant (que les inspecteurs ont une tablette avec eux pour évaluer les candidats) c'est un PDF qu'on obtient en ligne. Je n'y croyais pas, mais le site Web est correct : quand on passe le jeudi, on obtient bien le résultat le samedi matin (à cinq heures du matin il n'y était pas, à dix heures et demi il y était). S'il est favorable, ce PDF (imprimé !) de certificat d'examen tient lieu de permis de conduire provisoire, et donne le droit de conduire, jusqu'à réception du titre définitif (dans les quatre mois).

Le résultat est une note sur 31 (pourquoi 31 ? mystère), réparties en différentes rubriques ; mais certaines rubriques ont aussi une note spéciale E pour éliminatoire : pour être reçu, il faut obtenir au moins 20/31 et aucun E (pour les matheux, on considérera que le E vaut −∞). Les 31 points possibles sont répartis de la manière suivante (quand j'écris 3 points ou E, cela signifie que pour cette rubrique on peut obtenir cinq notes possibles, E, 0, 1, 2 ou 3) :

  • Connaître et maîtriser son véhicule : 8 points, divisés en :
    • Savoir s'installer et assurer la sécurité à bord : 2 points
    • Effectuer des vérifications du véhicule : 3 points [en fait, 1 point par question posée selon le totaliseur kilométrique]
    • Connaître et utiliser les commandes : 3 points ou E
  • Appréhender la route : 9 points, divisés en :
    • Prendre l'information : 3 points ou E
    • Adapter son allure aux circonstances : 3 points ou E
    • Appliquer la réglementation : 3 points ou E
  • Partager la route avec les autres usagers : 9 points, divisés en :
    • Communiquer avec les autres usagers : 3 points ou E
    • Partager la chaussée : 3 points ou E
    • Maintenir les espaces de sécurité : 3 points ou E
  • Autonomie et conscience du risque : 3 points, divisés en :
    • Analyse des situations : 1 point (½ possible)
    • Adaptation aux situations : 1 point (½ possible)
    • Conduite autonome : 1 point (½ possible)
  • Conduite économique et respectueuse de l'environnement : 1 point
  • Courtoisie : 1 point

Je ne sais pas exactement comment les notes dans chaque rubrique et sous-rubrique sont déterminées. Je n'ai pas cherché s'il y avait des circulaires expliquant tout ça. L'inspecteur doit avoir une certaine liberté, mais il y a quand même une liste clairement déterminée de choses qui, dans différentes situations, sont admises (erreurs qui restent conforme à l'usage des règles de circulation en vigueur), tolérées (fautes pouvant être graves mais ne mettant pas directement en cause la sécurité des usagers) ou éliminatoires (mettant directement en jeu la sécurité des usagers). Voir par exemple ici pour une liste précise, et pour les fautes éliminatoires reprises plus en détail. Je pense que le principe est que les fautes admises ne sont pas sanctionnées, les fautes tolérées sont sanctionnées par la perte d'un point dans la rubrique correspondante si elles se produisent une seule fois, de plusieurs points si elles se répètent, voir d'un E éliminatoire si elles sont insistantes, et les fautes éliminatoires conduisent systématiquement à un E.

Il est aussi éliminatoire par principe que l'inspecteur ait une action quelconque sur les pédales ou le volant (encore que j'ai entendu des rumeurs d'exceptions exceptionnellement exceptionnelles à ce principe : par exemple si un candidat échoue sa manœuvre tout en respectant les principes de sécurité — ce qui est censé ne pas être éliminatoire —, il est possible que l'inspecteur ait le droit, sans l'ajourner, de lui dire laissez-moi les commandes pour la finir afin d'être bien garé pour les questions ; il est aussi possible qu'une action de l'inspecteur suite à une faute d'un autre usager de la route puisse dans certains cas ne pas être éliminatoire).

Je ne sais pas si une faute éliminatoire conduit à un ajournement immédiat ou à la fin de l'épreuve. J'imagine que l'inspecteur fait comme il le souhaite. Un candidat qui grille un stop ou un feu rouge, ce n'est sans doute pas la peine de le faire continuer ; mais parfois, j'imagine que l'inspecteur ne veut pas informer personnellement le candidat qu'il est éliminé, de peur d'une réaction de colère, menace, supplication ou je ne sais quoi (et on peut vouloir éviter ça sur l'autoroute…). C'est sans doute pour ça que les résultats ne sont maintenant plus connus dès la fin de l'épreuve comme ça eut été le cas autrefois.

En tout cas, ce qui est clair est que les inspecteurs cherchent avant tout à jauger la sécurité. Il y a bien des éléments de notation portant sur d'autres choses (savoir suivre un itinéraire, arriver à se garer), mais la sécurité est l'élément absolument central de l'évaluation.

Mon passage

Bref. J'ai passé l'épreuve pratique jeudi dernier (le , officiellement même parce que l'Administration a le culot de vous convoquer à une heure comme quatorze heures zéro deux, ce n'est pas une blague) à Noisy-le-Grand. Point départ sur le parking du gymnase de la Butte Verte, boulevard de Champy-Richardets.

Au départ, je ne savais vraiment pas quoi penser de mes chances de succès. Mon auto-école a un bon taux de réussite, mais je pense que ces chiffres ne veulent rien dire sur un candidat individuel. Mon moniteur avait jugé qu'il pouvait me présenter, mais m'avait plusieurs fois ensuite fait des remarques que je comprenais comme si tu continues comme ça, tu n'as aucune chance. Et je savais que je pouvais être très aléatoire, donner le meilleur comme le pire selon la phase de la Lune. D'un côté j'avais étonnamment bien dormi (je sais que le manque de sommeil était responsable des leçons qui s'étaient le plus mal passer), de l'autre, le trajet jusqu'à Noisy-le-Grand s'était mal passé et je savais que j'avais tendance à accumuler les erreurs une fois que je commençais à en faire.

Au moins je passais dans de bonnes conditions. Noisy-le-Grand, c'est une des communes de la ville nouvelle de Marne-la-Vallée. Ça signifie que toute la signalisation routière y est récente, et globalement impeccable. Tout est clairement marqué, il n'y a pas de surprise. D'un autre côté, je pouvais me dire, c'est beaucoup de stops et de sens giratoires, et j'ai du mal avec les sens giratoires (j'ai plus l'habitude des feux rouges parisiens) ; et il y a aussi beaucoup de passages piétons prioritaires (c'est-à-dire non régis par un feu), chose que je n'ai pas tellement pratiqué (et ne pas s'arrêter pour un piéton qui commence à s'engager, c'est un grand classique de l'échec au permis). En fait, il s'avère que ce jour-là à cette heure-là et dans ce coin-là il n'y avait vraiment personne sur les routes, et pas plus sur les trottoirs : j'ai passé le permis dans une ville quasi déserte.

J'avais aussi révisé à fond toute la liste des vérifications et questions possibles (et potassé la notice d'utilisation de la voiture — une Renault Captur Diesel — pour tout savoir sur tout). Au moins sur cet aspect-là, je me savais parfaitement préparé, c'est toujours un élément rassurant.

L'inspecteur (un grand Noir d'environ cinquante ans ; sur le certificat c'est écrit André, je ne sais pas si c'est son nom ou son prénom) était parfait. Ce que je veux dire par parfait, c'est d'abord qu'il rayonnait le calme : je ne sais pas s'il est naturellement comme ça ou s'il s'efforce de l'être pour apaiser les candidats stressés ou si ça vient à force d'habitude, mais son attitude totalement sereine et posée m'a immédiatement apaisé, dès les premières minutes. (Mon moniteur, qui je le rappelle venait de m'engueuler comme du poisson pourri, m'a donné comme ultime conseil d'essayer de conduire de façon apaisée, ce n'était pas évident a priori ; mais il a suffi que j'aie à côté de moi cet inspecteur super zen pour que je me rende compte de la différence avec mon moniteur et que mon stresse tombe tout d'un coup.) En plus, cet inspecteur donnait ses instructions de façon très claire, bien à l'avance, et ne faisait aucune remarque désobligeante. (Apparemment il y a des inspecteurs qui en font, et sur ce centre d'examen précis il y en avait un qui avait une réputation terrible de déstabiliser les candidats.) Il a fait une ou deux petites remarques critiques, mais rien de méchant (ça ressemblait plus à des conseils, en fait).

Il m'a fait circuler un peu dans Noisy, puis prendre la A199/D199 (ça ressemble à encore une de ces voies schizophrènes entre plusieurs noms) vers l'est, rejoindre la A4 en direction de l'ouest et revenir ainsi à mon point de départ. Comme manœuvre, il comptait initialement me faire me stationner en bataille, puis il a changé d'avis parce que le parking était trop plein et m'a demandé de faire un demi-tour. Pour les questions, le totaliseur kilométrique était à 43, donc j'ai eu allumez le(s) feu(x) de brouillard arrière et montrez le voyant correspondantpouvez-vous les utiliser par forte pluie ?quels sont les signes d’un arrêt cardiaque ?

En fait, je peux être très précis sur le parcours que j'ai suivi : j'ai découvert, en re-regardant sur Google Street View le soir même, que mon super-pouvoir d'inobservation n'était pas si super que ça, et que j'avais quand même assez bien mémorisé le parcours que j'avais fait pour être capable de le reconstituer complètement. Grâce à la magie du Web 3.1 (ou quelque chose comme ça), je peux donc vous montrer sur Google Maps la boucle (d'environ 13km) que j'ai suivie.

Le parcours en question n'est pas spécialement complexe, mais fait apparaître quelques difficultés variées. À à peu près cet endroit-là, l'inspecteur m'a dit de tourner à droite quand je pourrais : la difficulté, qui n'apparaît pas sur Google Street View, est qu'il y avait des travaux et qu'un panneau sens interdit avait été placé sur la prochaine rue à droite (la rue du Souvenir) mais avec un panonceau (M4g — je vous rassure, je ne connais pas ça par cœur) limitant l'effet du panneau aux véhicules transportant des marchandises, donc il fallait comprendre que ce n'était pas interdit pour moi. (Par ailleurs, le panonceau était un peu caché par une voiture mal garée, donc j'ai dû rouler au pas pour bien le voir. En plus de ça, juste à ce moment-là, un camion lié aux travaux est passé dans le sens opposé et j'ai dû lui céder le passage parce que l'obstacle était de mon côté.) Il y a deux points (ici et ) où l'inspecteur ne m'a pas donné d'instruction parce qu'il n'y avait qu'une seule direction autorisée (il fallait donc penser à clignoter) ; une intersection un peu bizarre ici. J'ai fait la manœuvre dans ce parking. Les passages sur autoroute n'étaient pas problématiques, à part pour un point que je vais évoquer ci-dessous.

Il y a aussi un coup qu'a fait l'inspecteur et dont je ne comprends pas du tout l'objectif : je suis entré dans une zone 30 ici, dont la fin est juste un petit peu plus loin  ; sauf que moi, l'inspecteur m'a fait passer par le petit parking sur la droite qui contourne précisément ce panneau de fin de zone 30 et le rend invisible (et ce n'était pas pour me faire manœuvrer : il m'a dit explicitement on ne fait que traverser et la manœuvre a eu lieu ailleurs ; sur le coup j'ai pensé que c'était pour vérifier que je m'arrêtais bien au stop en sortie de parking, mais maintenant que j'ai revu ça sur Google Street View, je pense que c'était exprès pour me faire rater le panneau de fin de zone 30). Était-ce pour voir comment je m'adapte à une signalisation déficiente ? Vérifier que, plus tard, en tombant sur un panneau de limitation à 30 je conclus que j'ai dû quitter la zone 30 ? Savoir si, en sortant du parking, je vois le panneau de zone 30 dans la direction opposée pour conclure que j'ai dû en sortir ? Je n'en sais rien. Je ne sais pas non plus très bien à quelle vitesse j'ai roulé (dans une zone pavillonnaire aux rues étroites je préfère rester en seconde de toute façon).

À la fin de l'épreuve je ne savais toujours pas bien quoi penser de mes chances, mais j'étais content d'en avoir fini. Je savais au moins que je n'avais pas grillé de stop ou de feu rouge, ou refusé une priorité, que je n'avais pas franchi de ligne continue, et que l'inspecteur n'était pas intervenu sur les commandes : déjà, c'était un soulagement. Je savais aussi que j'avais évité quelques petits pièges (évoqués ci-dessus) et pensé à des points que j'ai facilement tendance à oublier (comme de clignoter à droite quand nous étions arrêtés dans le parking pour les questions) ; j'avais aussi très bien géré l'unique giratoire du parcours (alors que j'ai vraiment du mal avec les giratoires, et d'autant plus que celui-là est à trois voies) ; mais je savais aussi que j'avais commis quelques fautes dont je ne mesurais pas bien la gravité.

Je suis resté discuter un peu avec l'élève qui passait en troisième (pendant que celui qui passait en deuxième faisait son tour), je l'ai rassurée sur le fait que l'inspecteur était, de mon avis, vraiment bien et tout le contraire de stressant. Puis, comme je ne voulais pas vraiment avoir le débriefing par mon moniteur et que j'avais besoin de marcher un peu, j'ai fui en transports en commun.

Une fois rentré, j'ai fait le point sur les fautes que je pensais avoir commises. La plupart sont extrêmement mineures, mais il y en a une ou deux qui ne l'étaient pas forcément (en gros dans l'ordre chronologique) :

  • Au niveau de ce stop (vu ici de dos ; c'est le stop de sortie du parking qui m'a fait rater le panneau de fin de zone 30), je suis sans doute resté arrêté vraiment trop longtemps (j'ai laissé passer des voitures qui n'auraient pas du tout été gênées par mon passage).
  • Au niveau de ce feu, qui comporte un panonceau avancez jusqu'au feu, je me suis trop avancé (il était plutôt au niveau de mon pare-brise qu'au niveau de mon capot). L'inspecteur m'a fait observer que je m'étais très avancé, j'ai expliqué que le panonceau m'avait fait douter.
  • À la question de sécurité routière quels sont les signes d’un arrêt cardiaque ?, j'ai répondu la personne est inconsciente et ne respire pas alors que la réponse attendue d'après le manuel est la victime ne répond pas, ne réagit pas et ne respire pas ou présente une respiration anormale. (Je vous rassure, ça ne m'a pas été compté comme une erreur ; mais je liste tout ce que j'avais pu identifier de critiquable dans ma prestation.)
  • Quelque part, j'ai roulé sur un creu dans la chaussée et la voiture a pas mal secoué. (Ceci étant, j'en avais aussi évité plusieurs parce que mon moniteur m'avait engueulé à leur propos juste avant l'épreuve.)
  • L'inspecteur m'a demandé plusieurs fois de couper mes essuie-glace en me faisant remarquer qu'il ne pleuvait plus. (Plusieurs fois, parce qu'à chaque fois la pluie reprenait et je les remettait. Par ailleurs, je n'ai pas remis mes feux de croisement quand la pluie reprenait, mais je ne pense pas qu'ils étaient nécessaires vu que ce n'étaient vraiment que quelques gouttes.)
  • J'ai mal compris une instruction (ici, l'inspecteur m'a demandé de me mettre sur la voie la plus à gauche, je me suis mis sur celle du milieu, il a dû me répéter la consigne).
  • À plusieurs reprises, j'ai douté de la vitesse maximale et j'ai appliqué une vitesse à laquelle j'étais sûr d'avoir le droit (notamment, je n'ai pas dû voir ces panneaux de limitation à 110km/h, donc je suis resté à 90km/h jusqu'à voir les rappels ; mais c'était aussi le cas dans la zone résidentielle plus tôt).
  • Je ne sais plus bien ce que j'ai fait ici (passer à droite ? rester à gauche ?), et d'ailleurs je ne sais pas ce qu'on est censé faire (à quoi sert la voie de droite ? aux véhicules lents ?).
  • J'ai fait une insertion non clignotée sur l'autoroute. Je vais revenir sur ce sujet en-dessous.
  • À l'inverse, j'ai mis un clignotant beaucoup trop tôt pour signaler ma sortie de l'autoroute (la sortie était en fait à 1000m). L'inspecteur me l'a fait remarquer, j'ai dit oui, je m'en suis rendu compte juste après et j'ai choisi de laisser le clignotant (plutôt que le couper et le remettre).
  • Vers la fin, je n'ai pas eu le temps de lire un panneau de direction que j'étais censé suivre, et j'ai dû demander à l'inspecteur où était la direction en question.
  • À l'extrême fin, quand l'inspecteur m'a demandé de me garer en marche avant, je n'ai pas correctement clignoté, je n'ai peut-être même pas bien contrôlé, et par ailleurs je me suis garé vraiment à côté de la place. (Ceci étant, c'était en roulant au pas, et dans un parking à peu près vide.)
  • À l'extrême fin de l'extrême fin, j'avais oublié de redresser les roues, il m'a rappelé de le faire. Puis j'ai coupé le moteur avant de couper les accessoires (les essuie-glace en l'occurrence), il m'a rappelé qu'il fallait toujours commencer par couper les accessoires.

Tout ça sans préjuger de choses que je pouvais ne pas avoir repérées (mon moniteur n'arrêtait pas de me reprocher mes placements, je pouvais très bien m'être fortement déporté à gauche ou à droite sans m'en apercevoir, même si je pensais bien que non).

Le cas de l'insertion non clignotée sur l'autoroute est sans doute le plus grave (ou en tout cas, me semblait le plus grave) : c'est sur l'autoroute A4 en direction de l'ouest, je m'étais inséré par ici en clignotant correctement ; mais la subtilité, c'est que juste un peu après on tombe sur ceci, on croyait s'être inséré mais en fait on est toujours sur une voie d'insertion, qui disparaît ici (d'ailleurs sans l'ombre d'un panneau cédez le passage, c'est un défaut de signalisation). Tout ça m'a perturbé, et je n'ai pas clignoté à la fin de cette deuxième voie d'insertion (je ne suis même pas absolument certain d'avoir contrôlé correctement : ce qui est sûr c'est que j'ai manqué d'observation et je me suis dit argh, ma voie disparaît, qu'est-ce qui se passe ? pourquoi tant de haine ?).

En repensant à tout ça, hier, je me suis remis à stresser (preuve que les résultats ne m'étaient pas indifférents), notamment à cause du point évoqué au paragraphe précédent (une insertion non clignotée, c'est grave ; non clignotée et non contrôlée, c'est à coup sûr éliminatoire).

Résultat

[Certificat d'examen du permis de conduire]Le résultat est tombé ce (samedi) matin : non seulement j'ai le permis, mais j'ai eu presque le maximum des points : 30/31. J'ai même obtenu les points conduite économique et respectueuse de l'environnement et courtoisie, je me demande franchement comment. La seule rubrique sur laquelle j'ai perdu un point, c'est, et là je ne m'y attendais pas du tout : savoir s'installer et assurer la sécurité à bord (j'ai 1/2). Je pense que le problème est que je n'ai pas vérifié que l'inspecteur et mon moniteur avaient mis leur ceinture.

J'étais tellement surpris par ce résultat que je me suis demandé s'il y avait une erreur. J'ai vu le nom André en haut, je me suis dit ah oui, voilà, ce foutu serveur Web mal configuré m'a montré le résultat de quelqu'un d'autre. Et non, en fait, c'était le nom de l'inspecteur.

Je sais que j'ai tendance à avoir le syndrome de l'imposteur (et je sais que le syndrome de l'imposteur a tendance à faire des phrases comme je sais que j'ai tendance à avoir le syndrome de l'imposteur […], mais là, quand même […]), j'ai toujours tendance à m'imaginer, par exemple que j'ai trouvé un doctorat en maths dans une pochette surprise, mais là, quand même, j'avais des raisons de douter (à moins que j'ai purement et simplement halluciné cette histoire d'insertion sans clignoter, ça aurait vraiment dû être compté comme une faute).

Un autre point qui m'échappe est que mon avis favorable est annoté par la précision sous réserve de l'aptitude à la conduite fixée par l'avis médical. Je ne sais pas si c'est juste parce que je porte des lunettes, ni si je dois passer une visite spécifique, ni si j'ai le droit de conduire avec ce papier. (Je demanderai lundi à l'auto-école.)

Et maintenant ?

D'abord, youpi, je suis débarrassé de ces leçons de conduite.

Et si j'en crois la hiérarchie que mon moniteur semblait avoir à l'esprit, j'ai le droit de dire que j'ai réussi presque parfaitement le permis le plus dur qui soit, celui qui se passe à Paris. (Honnêtement, moi, je n'ai pas trouvé que les lieux ou le comportement des autres faisaient tellement la difficulté : c'était plutôt mes propres super-pouvoirs qui la faisaient.)

Mais maintenant, je ne sais pas si je vais oser conduire. Parce que je me suis tellement fait reprocher de choses par mon moniteur (et parce que lui-même n'avait pas l'air d'y croire), j'ai tendance à penser que j'ai eu beaucoup de chance sur ce coup. Et de fait, si mon irrégularité est telle que je conduis généralement bien sauf qu'avec une certaine probabilité (de l'ordre de 1/heure) je me mets à faire n'importe quoi, il n'est pas très remarquable que j'arrive à bien tenir une trentaine de minutes, mais ça ne permet pas de conclure que ce soit une bonne idée que je tienne vraiment un volant sans qu'il y ait quelqu'un à côté pour rattraper mes erreurs. Déjà que je ne me sens pas super rassuré en vélo…

Par exemple, à chaque fois que je faisais une insertion sur voie rapide, je demandais une confirmation à mon moniteur que c'était bien le bon moment. Lors du passage de l'examen lui-même, l'autoroute était à chaque fois tellement prodigieusement vide que je ne me sentais pas spécialement inquiet. Mais dans la vraie vie ? Prendre le périph ? Je le sens assez moyennement.

Bon, de toute façon, je n'ai pas de voiture, donc la question ne se pose pas trop (mais mon poussinet menace d'en acheter une). Ceci dit, il paraît que j'ai le droit de m'inscrire à Autolib dès maintenant, même avec juste un certificat tenant lieu de permis provisoire. (La chose ridicule, en revanche, c'est qu'il est obligatoire de poser un disque A sur le véhicule quand on est jeune conducteur, et qu'avec Autolib ce n'est apparemment pas possible.)

Une autre chose est que j'ai appris à conduire une voiture, une Renault Captur Diesel (et encore, pas juste ce modèle, mais une voiture bien précise de cette série : une fois j'en ai eu une autre, et j'ai déjà été perturbé par le fait que l'embrayage ne réagissait pas exactement de la manière dont j'avais l'habitude). Est-ce que je saurais conduire une essence sans caler tout le temps ? Est-ce que je saurais conduire une automatique sans paniquer parce qu'il n'y a pas d'embrayage ?

(samedi)

Approximation diophantienne ; et une bizarrerie mathématique : la constante de Freiman

Il est bien connu que l'ensemble ℚ des rationnels, que je noterai ici p/q sous forme irréductible, est dense dans les réels ℝ, c'est-à-dire que si x∈ℝ, on peut trouver p/q aussi proche qu'on veut de x, ou encore : (pour tout ε>0, il existe p/q tel que) |xp/q| < ε. Là où les choses deviennent plus intéressantes, c'est quand on commence à se demander, donné x∈ℝ, combien il faut payer pour l'approcher par p/q rationnel : autrement dit, si je veux une approximation de qualité ε>0, combien je dois le payer en utilisant un rationnel compliqué, le « compliqué » en question se mesurant par le dénominateur q>0 utilisé (on pourrait prendre la « hauteur » max(|p|,q), ou peut-être |p|+q, mais ça ne changerait pas grand-chose). Le sujet général s'appelle l'approximation diophantienne, et je n'y connais pas grand-chose, mais rappelons quand même les résultats les plus standards à ce sujet.

Si h est une fonction croissante des entiers naturels non nuls vers les réels strictement positifs, je peux dire qu'un réel x est h-approchable par les rationnels (ou simplement h-approchable) lorsqu'il existe des rationnels p/q de dénominateur q arbitrairement élevé tels que |xp/q| < 1/h(q) (formellement : pour tout n entier naturel non nul, il existe p et q entiers premiers entre eux avec qn tels que |xp/q| < 1/h(q)). Il faut y penser comme : en payant avec un dénominateur q j'obtiens une qualité d'approximation h(q). Plus la fonction h grandit vite, plus je demande une bonne approximation, donc plus il est difficile de trouver de tels x. Si h′≥h, ou même simplement si cette inégalité vaut à partir d'un certain rang, alors tout réel h′-approchable est, en particulier, h-approchable. Si h est constante (je demande une qualité d'approximation constante, et je suis prêt à payer arbitrairement cher pour l'avoir) ou simplement bornée, tout réel x est approchable, c'est ce que j'ai rappelé ci-dessus, mais on va voir ci-dessous qu'on peut faire mieux. Dans la pratique, on prendra donc une fonction h de limite ∞ en ∞, sinon la définition n'a guère d'intérêt.

Si h est quelconque (croissante des entiers naturels non nuls vers les réels strictement positifs), il existe toujours des réels h-approchables au sens ci-dessus : c'est une conséquence du théorème de Baire : quel que soit n>0, l'ensemble des x pour lesquels il existe p/q avec qn vérifiant |xp/q| < 1/h(q) est ouvert (puisque c'est une réunion d'intervalles ouverts de largeur 2/h(q) centrés en les p/q) et dense (puisqu'il contient l'ensemble dense des rationnels p/q de dénominateur qn) ; donc (le théorème de Baire assure que) leur intersection est non vide, c'est-à-dire qu'il existe des réels x, et même qu'il existe un ensemble dense, pour lesquels il existent des p/q avec q arbitrairement grand vérifiant |xp/q| < 1/h(q), ce qui signifie exactement qu'ils (les x en question) sont h-approchables. Bref, on peut trouver des réels approchés arbitrairement bien par des rationnels, quelle que soit la qualité h de l'approximation qu'on demande pour un dénominateur donné.

Un autre résultat, dit théorème d'approximation de Dirichlet, est que quel que soit x irrationnel, il existe des p/q de dénominateur q arbitrairement élevé tels que |xp/q| < 1/q² (c'est-à-dire que x est q²-approchable, ceci étant une écriture abusive pour dire h-approchable pour h(q)=q²). La démonstration est vraiment facile mais astucieuse : on considère les parties fractionnaires zk := yk−⌊yk⌋ (entre 0 inclus et 1 exclu) des réels yk := k·x pour 0≤kN entier ; ceci fait N+1 nombres zk, qu'on répartit en les N intervalles de largeur 1/N partitionnant [0;1[ (je veux dire : l'intervalle entre 0 inclus et 1/N exclu, l'intervalle entre 1/N inclus et 2/N exclu, et ainsi de suite jusqu'à l'intervalle entre (N−1)/N inclus et 1 exclu) ; comme il y a plus de réels que d'intervalles, deux d'entre eux, disons zk et z avec k<, qui tombent dans le même intervalle de largeur 1/N, donc ils vérifient |zzk| < 1/N, c'est-à-dire |·x − ⌊·x⌋ − k·x + ⌊k·x⌋| < 1/N, ce qui donne |q·xp| < 1/Nq = k et p = ⌊·x⌋−⌊k·x⌋, et comme 0<q<N (puisque 0≤k<N), on a du coup |xp/q| < 1/(N·q) < 1/q² comme annoncé ; quant au fait qu'on puisse trouver des q arbitrairement grands vérifiant ça, c'est simplement parce que (tant que x est irrationnel !, ce qui n'a pas encore été utilisé), chaque q donné ne peut vérifier |xp/q| < 1/(N·q) que jusqu'à un certain N (à savoir la partie entière de |q·xp|), et donc en prenant un N plus grand que ça, on obtient un p/q forcément différent (je laisse le lecteur remplir les détails).

Si x est lui-même rationnel, disons x = u/v, il existe évidemment une approximation infiniment bonne, à savoir u/v, mais toute autre approximation p/q vérifie |xp/q| = |u/vp/q| = |u·qv·p|/(v·q) ≥ 1/(v·q) (la dernière inégalité utilisant le fait trivial mais crucial qu'un entier non nul est de valeur absolue au moins 1) et du coup x n'est pas (v·q)-approchable. En revanche, en trouvant des relations de Bézout |u·qv·p| = 1, on voit qu'on peut effectivement obtenir |xp/q| = 1/(v·q) (donc < 1/(C·q) pour n'importe quel C<v).

Les résultats que je viens de montrer suggèrent de s'intéresser particulièrement au fait qu'un réel x soit ou non C·qμ-approchable, pour μ≥0 et C>0 réels. Lorsque c'est le cas, autrement dit lorsqu'il existe des rationnels p/q de dénominateur q arbitrairement élevé tels que |xp/q| < 1/(C·qμ), on dira simplement que x est (C,μ)-approchable, ou approchable à l'exposant μ avec la constante C. Lorsque x est (C,μ)-approchable pour une certaine constante C>0, on dira simplement qu'il est approchable à l'exposant μ. Informellement, cela signifie que pour trouver une approximation p/q de x, on peut obtenir une qualité qui croît en la puissance μ-ième de l'exposant qu'on a mis (i.e., une distance qui décroît en qμ), ou encore que l'exposant à mettre est en puissance 1/μ de la qualité demandée. Plus l'exposant est élevé, plus la contrainte est forte : un réel approchable à l'exposant μ′, c'est-à-dire (C′,μ′)-approchable pour une certaine C′, est a fortiori, approchable à l'exposant μ pour tout μ<μ′ et même (C,μ)-approchable pour toute constante C. Comme on vient de le voir, tous les réels sont approchables à l'exposant 2 avec la constante 1 (Dirichlet), sauf les rationnels, qui sont approchables à l'exposant 1 mais pas mieux ; par ailleurs, il existe des réels, dits nombres de Liouville, cf. ci-dessous, qui sont approchables à tout exposant réel (c'est ce que j'ai démontré plus haut avec le théorème de Baire, mais c'est facile d'en construire de façon plus explicite, comme la somme des 10i! pour i parcourant les entiers naturels).

La borne supérieure des μ pour lesquels un réel x est approchable à l'exposant μ s'appelle l'exposant d'approximation de x. Si ν est la borne supérieure en question, cela signifie que x est approchable à tout exposant μ<ν (et même, avec toute constante), et qu'il n'est approchable à aucun exposant μ>ν ; ce qui se passe exactement pour l'exposant ν est plus subtil, mais laissons-le de côté pour le moment.

Comme expliqué ci-dessus, l'exposant d'approximation d'un réel est toujours au moins 2, sauf pour les rationnels pour lesquels il vaut 1 ; et il existe des réels d'exposant d'approximation ∞ (on les appelle nombres de Liouville). On peut être un peu plus fin : quel que soit ν entre 2 et ∞, il existe des réels x dont l'exposant d'approximation vaut exactement ν (j'avais démontré ça quand j'étais en prépa, en juin 1995 si j'en crois la date de mon fichier : j'étais très fier de moi à l'époque) : lorsque 2<ν<∞, ça se fait par exemple en construisant x comme limite d'une suite de rationnels pi/qi adjacents les uns aux autres (c'est-à-dire pi·qi+1pi+1·qi = ±1) qui vérifient qiν−1 < qi+1 < 2qiν−1. (Je crois qu'en regardant de plus près, ce que j'ai un peu la flemme de faire, on doit pouvoir montrer dans cet ordre d'idées que si 2<ν<∞ et C<0, il existe un réel x qui est (C,ν)-approchable mais pas (C′,ν)-approchable pour aucun C′>C.) Un théorème classique de Liouville (essentiellement une application judicieuse du théorème des accroissements finis, c'est fait, quoique de façon un peu confuse, dans l'article Wikipédia sur les nombres de Liouville lié ci-dessus) montre que si x est algébrique de degré d (c'est-à-dire racine d'un polynôme de degré d à coefficients rationnels) alors l'exposant d'approximation de x est ≤d (i.e., x n'est pas approchable à l'exposant >d) : ceci montre notamment que les nombres de Liouville sont transcendants et c'était historiquement la raison pour laquelle Liouville s'est intéressé à la question. En fait, ce résultat est nettement sous-optimal parce que Klaus Roth a montré en 1955 que tout nombre algébrique irrationnel a un exposant d'approximation exactement égal à 2.

En fait, l'exposant 2 est spécial : au sens de la mesure de Lebesgue, presque tous les nombres réels ont exposant d'approximation exactement égal à 2 (c'est-à-dire que la mesure de Lebesgue de l'ensemble des x approchables à un exposant >2 est nulle) ; ou, de façon plus informelle, si on tire un réel au hasard, il est avec probabilité 1 approchable à l'exposant 2 (Dirichlet), et pas mieux. Ce n'est pas difficile à montrer : pour q fixé, l'ensemble des x entre 0 et 1 vérifiant |xp/q| < 1/(C·qμ) pour un certain p est une réunion d'intervalles de largeur 2/(C·qμ), et il y a au plus q tels intervalles pour p allant de 1 à q−1, bref, si q n'est pas trop petit, l'ensemble des x entre 0 et 1 qui vérifient |xp/q| < 1/(C·qμ) pour un certain p/q est de mesure au plus 2/(C·qμ−1). Si μ>2, la somme de cette quantité sur tous les q converge, c'est-à-dire que les sommes sur tous les qn tendent vers 0 quand n tend vers l'infini. Donc l'ensemble des réels qui sont (C,μ)-approchables est de mesure de Lebesgue nulle.

C'est d'ailleurs intéressant : au sens de la mesure, « presque tous » les réels ont exposant d'approximation égal à 2, alors qu'au sens de la catégorie (pas la théorie des catégories, mais le vieil usage du terme catégorie [topologique] dans le contexte du théorème de Baire), « quasiment tous » les réels ont exposant d'approximation égal à ∞ (quasiment tous au sens où ils contiennent une intersection dénombrable d'ouverts denses, c'est ce que j'ai démontré plus haut). Ou pour reprendre ce que j'avais expliqué ici, le nombre réel aléatoire est d'exposant d'approximation 2 tandis que le nombre réel générique est d'exposant d'approximation ∞.

Si je résume et synthétise ce qui a été dit ci-dessus, le spectre d'exposants, c'est-à-dire l'ensemble des exposants d'approximation possibles des réels, est la réunion du singleton {1} et de l'intervalle fermé [2;∞] : les rationnels ont exposant 1, tous les autres réels ont exposants au moins 2, presque tous les réels (et tous les algébriques irrationnels) ont l'exposant 2, mais il y a beaucoup (dans un sens topologique, cf. ci-dessus) de réels, dits nombres de Liouville, qui ont exposant ∞, et toutes les valeurs intermédiaires entre 2 et ∞ sont possibles.

Ayant regardé les exposants, on peut commencer à s'intéresser un peu plus finement à la constante, que j'ai complètement laissée de côté ci-dessus. De même que j'ai appelé exposant d'approximation ν=ν(x) de x la borne supérieure des μ≥0 pour lesquels un réel x est approchable à l'exposant μ (i.e., (C,μ)-approchable pour un certain C>0), je peux m'intéresser à la borne supérieure Kμ = Kμ(x) des C>0 pour lesquels x est (C,μ)-approchable. Ce n'est évidemment intéressant que quand μ=ν(x) : si μ<ν(x), alors x est (C,μ)-approchable pour tout C et la borne supérieure est ∞ ; et si μ>ν(x), alors x n'est (C,μ)-approchable pour aucun C, et on convient que la borne supérieure est 0. Par ailleurs, comme je vais le dire maintenant, Kμ(x) n'est vraiment intéressant que pour μ=2.

Dans le cas où l'exposant ν(x) est 1, c'est-à-dire que le nombre est rationnel, j'ai expliqué ci-dessus qu'il est (C,1)-approchable pour tout C<vv est le dénominateur (donc la borne supérieure K₁ des constantes C est justement le dénominateur). Mais en un certain sens, l'approximation des rationnels par les rationnels est un cas vraiment bizarre, parce qu'on insiste pour approcher par d'autres rationnels, au lieu de se dire que, par exemple, 1/2, 2/4, 3/6, 4/8, 5/10, etc., sont des approximations parfaites du rationnel auquel elles sont toutes égales. Pour les exposants μ>2, j'ai expliqué ci-dessus que je crois (même si j'ai la flemme de vérifier les détails) qu'il existe des réels x pour lesquels Kμ(x) prend n'importe quelle valeur fixée entre 0 et ∞.

Bref, on va s'intéresser avant tout à la borne supérieure K₂(x) =: Λ(x) des C pour lesquels x est (C,2)-approchable, i.e., des C tels qu'il existe des rationnels p/q de dénominateur q arbitrairement élevé tels que |xp/q| < 1/(C·q²). Cette quantité s'appelle la constante de Lagrange de x. On peut aussi écrire Λ(x) = lim.sup {1/|q·(qxp)| : p/q∈ℚ} (pour x irrationnel), la lim.sup signifiant qu'il s'agit de la plus petite valeur que 1/|q·(qxp)| ne dépasse strictement pour un nombre fini de p/q (irréductibles).

Le théorème de Dirichlet démontré plus haut affirme que tout réel irrationnel x est (1,2)-approchable, donc Λ(x)≥1 si x∉ℚ.

Mais en fait, on peut faire mieux que ça : d'après un résultat de Hurwitz (en fait prouvé une douzaine d'années plus tôt par Andrej Markov), tout réel irrationnel x est (√5, 2)-approchable, donc Λ(x) ≥ √5 ≈ 2.236. Et cette fois, la valeur est optimale, parce que lorsque φ est le nombre d'or (1+√5)/2, on a exactement Λ(φ)=√5, c'est-à-dire qu'il n'est (C,2)-approchable pour aucun C>√5.

Le nombre d'or φ, et les nombres qui lui sont équivalents au sens où ils s'écrivent (a·φ+b)/(c·φ+d) avec a,b,c,d entiers tels que |a·db·c|=1, sont les réels les plus mal approchés par les rationnels (donc en quelque sorte les plus rationnels des irrationnels, puisque les rationnels eux-mêmes sont mal approchés par les rationnels) : ce sont ceux pour lesquels la constante de Lagrange est la plus petite possible (√5). Un second résultat de Hurwitz montre que tout réel x qui n'est ni rationnel ni équivalent au nombre d'or est, cette fois, (√8, 2)-approchable, donc vérifie Λ(x) ≥ √8 ≈ 2.828. De nouveau, la constante en question est optimale, parce que √2 vérifie Λ(√2)=√8.

On peut relier la constante de Lagrange d'un réel et son écriture en fraction continuée de la manière suivante : si je note [a₀;a₁,a₂,a₃,…] (pour des entiers naturels non nuls sauf a₀ qui est un entier quelconque) pour la quantité a₀ + 1/(a₁ + 1/(a₂ + 1/(a₃ + 1/(…)))), il est bien connu que tout réel irrationnel possède une écriture unique de cette forme (et aussi les rationnels si on permet de tronquer l'écriture de la façon évidente après un nombre fini de termes), et alors Λ(x) est la lim.sup de la suite des sommes xi + rixi = [ai;ai+1,ai+2,…] (s'obtient en retirant les i premiers termes du développement en fraction continuée de x) et ri = [0;ai−1,ai−2,…a0] (est le rationnel formé par les i premiers termes en question, lus à l'envers). Lorsque x = φ = [1;1,1,1,1,…], en tout cas, on voit bien que les xi sont tous égaux à φ, et les ri tendent vers [0;1,1,1,1,…] = φ−1, si bien que la limite (donc la limite sup) des xi + ri vaut 2φ−1 = √5 comme je l'ai dit ; mais par ailleurs, on comprend que dès que le développement de x fait apparaître une infinité de 3, sa constante de Lagrange va être au moins 3 (parce que les xi seront infiniment souvent ≥3).

Par ailleurs, un résultat d'Aleksandr Hinčin (Хинчин, Khinchin, Khintchine) montre que pour presque tout réel x (au sens de la mesure, i.e., comme précédemment, pour un réel x aléatoire avec probabilité 1), on a Λ(x)=∞ (autrement dit, presque tous les réels sont approchables à l'exposant 2 avec une constante arbitrairement grande — mais pas à un exposant supérieur à 2).

L'ensemble des constantes de Lagrange Λ(x) possibles des réels x (en excluant, par convention, la valeur 0 que j'ai convenu d'affecter au cas où x est rationnel, et la valeur ∞ qui est comme je viens de le dire celle de presque tout x) porte le nom de spectre de Lagrange, et je vais le noter L := {Λ(x) : x∈ℝ} ∩ ]0;+∞[. Le spectre de Lagrange est un fermé ; en fait, on peut montrer que c'est l'adhérence de l'ensemble des Λ(a) où a parcourt toutes les suites périodiques, indicées par ℤ, d'entiers naturels non nuls, et où Λ(a) désigne le maximum (ou, si on veut, la lim.sup) de la suite (périodique !) des sommes xi + tixi = [ai;ai+1,ai+2,…] (a le développement en fraction continuée formé de la suite a lue à partir du terme i) et ti = [0;ai−1,ai−2,…]. (À titre d'exemple, en prenant pour a la suite périodique …,1,2,1,2,1,2,…, comme on vérifie facilement que [1;2,1,2,1,…] = ½(1+√3), que [0;2,1,2,1,…] = ½(−1+√3), que [2;1,2,1,2,…] = 1+√3, et que [0;1,2,1,2,…] = −1+√3, on a Λ(a) = max {√3, 2√3} = 2√3 ≈ 3.464, donc cette valeur appartient à L, et est, de fait, Λ(±1+√3) ou Λ(½(±1+√3)).) Il est sans doute utile de rappeler à ce point qu'un irrationnel a un développement en fraction continuée préperiodique si et seulement si il est algébrique de degré 2.

Ce que j'ai expliqué ci-dessus, c'est que la plus petite valeur du spectre de Lagrange L est √5 ≈ 2.236, et que la plus petite valeur après est √8 ≈ 2.828. Viennent ensuite √(221)/5 ≈ 2.973 puis √(1517)/13 ≈ 2.996… Comme on peut le soupçonner, on a une suite de valeurs (tous des algébriques de degré 2) qui tend vers 3 : ce « début » du spectre de Lagrange (l'intersection L∩]0;3[) est discret et s'accumule en 3. On peut le relier aux solutions de l'équation diophantienne u²+v²+w²=3uvw avec u,v,w entiers naturels non nuls (forcément premiers entre eux deux à deux) ; les solutions (u,v,w) de cette équation forment un arbre de valence 3, dit arbre de Markov, ayant pour racine (1,1,1), les voisins de (u,v,w) étant (3vwu, v, w), (u, 3uwv, w) et (u, v, 3uvw). Plus précisément, lorsque (u,v,w) est un triplet de Markov (et disons, pour fixer les idées, que w est le plus grand des trois, ce qu'on peut toujours assurer), alors √(9−4/w²) est dans le spectre de Lagrange (et c'est, plus précisément, la constante de Lagrange de x := (−3w+2r+√(−4+9w²))/(2w), si je n'ai pas introduit d'erreur en transcrivant les formules, où r est le plus petit entier naturel tel que u·r≡±v (mod w) ; ce x n'a que des 1 et des 2 dans son développement en fraction continuée, qu'on peut d'ailleurs décrire de façon beaucoup plus précise) ; et tout élément <3 du spectre de Lagrange s'obtient ainsi à partir d'un triplet (u,v,w) de Markov. Bref, cette partie-là du spectre de Lagrange est bien comprise.

La partie ≥3, en revanche, est beaucoup moins bien connue : le spectre de Lagrange y a une structure fractale. Des résultats récents de Carlos Gustavo Moreira montrent que la dimension de Hausdorff d(λ) de l'intersection L∩]0;λ[ est une fonction continue (trivialement croissante) de λ, qui est >0 lorsque λ>3, et qui atteint 1 strictement avant √12 ≈ 3.464 ; quant à la dimension de Hausdorff D(λ) de l'ensemble {x : Λ(x)<λ} des réels dont la constante de Lagrange est strictement plus petite que λ, c'est aussi la dimension de Hausdorff de l'ensemble {x : Λ(x)≤λ} des réels dont la constante de Lagrange est au plus λ ou (entre les deux) des réels qui sont (λ,2)-approchables, cette fonction D est aussi continue (trivialement croissante), elle est toujours <1 et tend vers 1 quand λ → +∞ (comparer au résultat de Hinčin mentionné ci-dessus), et quel que soit λ on a d(λ) = min(1, 2D(λ)).

Le reste de ce qu'on sait est très fragmentaire. On a une description de certains des « trous » de L, c'est-à-dire des composantes connexes de son complémentaire. Par exemple, le spectre de Lagrange ne contient aucun λ contenu au sens strict entre √480/7 ≈ 3.130 et √10 ≈ 3.162, alors qu'il contient ces deux réels. Mais j'ai lu ce genre de choses très en diagonale, donc je ne peux pas en parler.

Le spectre de Lagrange L contient tous les réels à partir d'un certain point (ce qui est plus fort que de dire que sa dimension de Hausdorff est 1 à partir de ce point). Ce résultat-là (dû à Marshall Hall — je ne sais pas si Marshall est son prénom ou un titre —, qui a montré que L contient [6;+∞[) n'est pas très surprenant quand on se rappelle que j'ai mentionné que l'analogue {Kμ(x) : x∈ℝ} pour un exposant d'approximation μ>2 vaut toujours [0;+∞]. Mais le résultat le plus extraordinairement bizarre sur le spectre de Lagrange (obtenu indépendamment par Hanno Schecker dans sa thèse en 1972, publiée de façon posthume en 1977, et Gregory Freiman en 1975) concerne le plus petit λ tel que L contienne [λ;+∞[, autrement dit, le point exact à partir duquel chaque réel est une constante de Lagrange ; ce plus petit λ a la valeur exacte complètement hallucinante suivante, appelée constante de Freiman :

2 221 564 096 + 283 748 462 491 993 569 4.528

— ou, pour ceux dont le navigateur ne supporte pas le MathML (plaignez-vous, soit dit en passant, ce n'est pas normal) : (2 221 564 096 + 283 748 ⁢√462) / 491 993 569 ≈ 4.528. Il semble qu'il faille une centaine de pages de calculs pour arriver à ce résultat.

Quelque part, ce nombre choque ma conception ordonnée des mathématiques : même si cette entrée était assez longue, il a une définition passablement simple et naturelle (c'est le plus petit λ tel que pour tout Cλ il existe un x vérifiant Λ(x)=C, où la constante de Lagrange Λ(x) de x est la lim.sup des 1/|q·(qxp)| lorsque p/q parcourt les rationnels sous forme irréductible) : je pouvais facilement concevoir qu'une telle définition conduise à une valeur très simple (du genre 6, ou peut-être 9/2), ou à une valeur qui n'aurait pas vraiment d'autre formulation que la définition elle-même ; mais arriver à une écriture exacte faisant intervenir des nombres aussi bizarres que 462 et 491 993 569, ce n'est pas moral.

Je n'ai fait ci-dessus que picorer certains des résultats les plus emblématiques sur le sujet. Je me suis notamment limité à parler du spectre de Lagrange, en omettant totalement celui de Markov, qui est apparenté mais subtilement différent à partir de 3. (Rapidement : le spectre de Markov M est l'ensemble des Μ(a) où a parcourt toutes les suites indicées par ℤ d'entiers naturels non nuls, où Μ(a) désigne le sup de la suite des sommes xi + tixi = [ai;ai+1,ai+2,…] et ti = [0;ai−1,ai−2,…], tandis qu'on peut voir le spectre de Lagrange L comme l'ensemble des Λ(a), définis de façon identique avec une lim.sup à la place du sup. Le spectre de Lagrange, qui est l'adhérence de l'ensemble des Μ(a)=Λ(a) avec a périodique, est strictement inclus dans celui de Markov, lequel est aussi un fermé puisque c'est l'adhérence de l'ensemble des Μ(a) avec a périodique à partir d'un certain rang dans chaque sens. Les deux coïncident jusqu'à 3, et à partir de la constante de Freiman, mais entre les deux la situation n'est pas claire : on connaît des exemples explicites d'éléments de la différence M\L entre M et L, mais je ne crois pas, par exemple, qu'on connaisse le plus petit ni le plus grand élément de cette différence.) Ceux qui veulent en savoir plus peuvent consulter la monographie de Thomas Cusick et Mary Flahive, The Markoff and Lagrange Spectra (mais je dois dire que je trouve ce livre très déplaisant à lire) et les références qui y sont contenues.

(vendredi)

Touching Strangers

Richard Renaldi photographie des gens qui ne se connaissent pas, dans des positions suggérant la tendresse et l'intimité. Je suis tombé sur cette petite vidéo sur le site de la BBC présentant son travail, et j'ai été immédiatement conquis par le résultat (il y a aussi quelques exemples sur le site Web du projet, mais ceux montrés par la BBC sont plus nombreux et plus intéressants ; en revanche, Google images montre une sélection variée). Je ne sais pas pourquoi ça me touche autant : peut-être que c'est un fantasme que j'ai sans le savoir de tenir dans mes bras un(e) étranger(e), peut-être que c'est la métaphore parfaite d'Internet de rendre possible le contact entre gens qui ne se connaissent pas, ou justement au contraire la métaphore parfaite de ce qui manque à Internet que le contact physique, peut-être que j'aime l'idée que ces gens se connaissaient aussi peu que je ne les connaissais moi-ême (et je me demande si, suite à cette photo, ils prennent contact), peut-être juste que je trouve les personnes photographiées très belles (mais pas de la beauté formatée des agences de pub et de mannequins), toujours est-il que regard des sujets, et le regard du photographe sur ses sujets, me fascine. Je me suis précipité pour acheter le livre. (Si vous voulez en faire autant, voici par exemple un lien vers le site de la Fnac. Je précise que je ne reçois pas de commission de qui que ce soit : je fournis juste ce lien parce que si on essaye d'acheter le livre en France via le site Web du projet, le transporteur prend beaucoup plus cher que le prix du livre lui-même.)

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