David Madore's WebLog: Journalistes et sciences : étude du cas Malliaris-Shelah

C'est un peu banal de se moquer des perles de journalistes quand ils parlent de sciences, mais le texte qui suit m'avait particulièrement sauté aux yeux et mérite certainement quelques commentaires à la fois mathématiques et sociologiques. C'est tiré du numéro 3 (26 janvier au 1er février 2018) du magazine Ebdo, section Sciences, page 89, sous le chapeau Mathématiques ; voyez si vous pouvez repérer les petites erreurs (indication : à peu près tout, du début à la fin, est complètement faux) :

Même les infinis sont égaux

Deux chercheurs viennent de démontrer que l'ensemble des nombres entiers et celui des nombres réels sont de taille identique. Apportant ainsi une réponse à l'une des plus grandes énigmes mathématiques.

Deux infinis peuvent-ils être de tailles différentes ? La question ne vous empêche certainement pas de dormir, mais elle était en haut de la liste des 23 problèmes mathématiques les plus importants, établie en 1900 par David Hilbert. Elle vient d'être résolue par Maryanthe Malliaris, de l'université de Chicago, et Saharon Shelah, de l'université hébraïque de Jérusalem.

Pour répondre à la question, ils ont comparé deux ensembles connus pour être infinis. À ma droite, l'ensemble des nombres entiers. Si vous comptez de un en un à partir de 0, vous ne vous arrêterez jamais. L'ensemble des nombres entiers est donc infini. À ma gauche, l'ensemble des nombres dits réels. Il s'agit de comptabiliser les nombres entiers (dont on vient de parler), plus les nombres définis par des fractions (comme deux tiers), plus les nombres bizarres comme pi. Cet ensemble des nombres réels est donc lui aussi infini. Nous sommes bien face à deux ensembles infinis. Et comme l'ensemble des entiers est inclus dans l'ensemble des réels, l'un est forcément plus petit que l'autre. Nous serions donc face à deux infinis de taille différentes [sic]. Ce qui est paradoxal.

Les mathématiciens du monde entier sont tout aussi perplexes depuis cent dix-huit ans. Heureusement, l'Américaine Maryanthe Malliaris et l'Israélien Saharon Shelah ont prouvé que l'ensemble des nombres entiers et celui des nombres réels étaient bien de taille identique. Le détail de leur démonstration est disponible dans le Journal of the American Mathematical Society. Ces travaux pourraient leur valoir la plus prestigieuse récompense de mathématiques, la médaille Fields, qui n'a été décernée qu'à une seule femme dans toute l'histoire. • O.M.

Il y a sans doute une section particulière de l'enfer où on met les mathématiciens coupables d'avoir fraudé leurs publications et où on les torture en leur faisant lire des textes comme ça. En fait, ce qui est assez impressionnant, c'est que l'article n'est même pas particulièrement confus ou embrouillé : il dit assez clairement, et de façon répétée, des choses complètement fausses, et surtout, que ℕ (l'ensemble des entiers naturels) et ℝ (l'ensemble des nombres réels) auraient la même taille, et que la question serait restée ouverte pendant 118 ans ; en réalité, on sait depuis 140 ans que, justement, ℕ et ℝ n'ont pas la même taille (et surtout, on sait comment formuler cette affirmation précisément), et c'est même l'exemple qu'on donne dans n'importe quelle tentative de vulgarisation sur le sujet. Voyez par exemple cette vidéo de vulgarisation par PBS sur le sujet ou celle-ci par Ted-Ed, qui ne sont pas mal faites (je ne les ai pas réécoutées pour vérifier si elles ne contenaient pas de petites erreurs, mais en tout cas elles sont au moins globalement correctes, probablement compréhensibles, et sont de la vulgarisation décente — et toute tentative de vulgariser le sujet dira à peu près les mêmes choses). Bien sûr, on peut raconter plus de choses dans une vidéo de sept minutes que dans un article de 314 mots, mais tout de même, on aurait pu espérer que l'auteur de l'article trouvât le temps d'écouter une vidéo de sept minutes pour se renseigner un minimum sur le sujet qu'il prétendait traiter.

Rappelons très brièvement ce qui est vrai. (Ceux qui ne s'intéressent pas aux détails mathématiques peuvent ignorer les passages en exergue.)

Quand il s'agit de mesurer la taille des ensembles possiblement infinis, les mathématiciens utilisent des nombres dits cardinaux : on dit que deux ensembles ont le même cardinal lorsqu'on peut mettre en correspondance un-à-un les éléments de ces deux ensembles (c'est-à-dire, trouver une bijection entre eux). Lorsqu'un ensemble a le même cardinal qu'une partie d'un autre (c'est-à-dire qu'on peut l'injecter dans l'autre), on dit qu'il a un cardinal plus petit, mais il faut bien comprendre plus petit au sens large ici, parce que, par exemple, l'ensemble 2ℕ des entiers naturels pairs a le même cardinal que l'ensemble ℕ de tous les entiers naturels (puisqu'on peut mettre en correspondance les entiers naturels pairs avec les entiers naturels en divisant ou multipliant par 2), ce qui est certes un peu surprenant (cette observation remonte à Galilée). L'étude systématique des cardinaux (ainsi que celle des ordinaux, d'ailleurs) a été démarrée vers la fin des années 1870 par Georg Cantor, qui a notamment prouvé : (a) que donné deux cardinaux, il y en a toujours[#] un qui est plus petit que l'autre (autrement dit, donnés deux ensembles, on peut toujours injecter l'un dans l'autre, ce qui est loin d'être évident), ou, si on préfère, les cardinaux sont totalement ordonnés (si κ et λ sont deux cardinaux, on a soit κ<λ soit κ=λ soit κ>λ ; en fait, les cardinaux sont même bien ordonnés, c'est-à-dire que dans n'importe quel ensemble non vide de cardinaux il y en a un plus petit), et (b) que donné n'importe quel cardinal, il y en a toujours un qui soit strictement plus grand que lui (plus grand et pas égal), et plus précisément, que si E est un ensemble, l'ensemble 𝒫(E) de toutes les parties de E a un cardinal strictement supérieur à celui de E (on le note 2^κ si on note κ le cardinal de E), et, en particulier, l'ensemble ℝ des nombres réels (c'est-à-dire tous les nombres à virgule), dont il n'est pas difficile de voir qu'il a le même cardinal que l'ensemble 𝒫(ℕ) des ensembles d'entiers naturels, a un cardinal strictement supérieur à celui ℕ des entiers naturels (c'est-à-dire 0, 1, 2, 3, 4 et ainsi de suite).

[#] Je passe ici sous silence une chose importante à dire avant : c'est qu'on a effectivement un ordre sur les cardinaux, c'est-à-dire que si un ensemble E s'injecte dans un ensemble F et que F s'injecte dans E, alors on peut trouver une bijection entre E et F (au niveau des cardinaux : si κ≤λ et κ≥λ alors κ=λ). Ce fait a été énoncé sans démonstration par Cantor, et démontré précisément par différentes personnes (Dedekind, Schröder et Bernstein).

Les cardinaux finis sont précisément les entiers naturels (un ensemble fini peut avoir 0 éléments, ou 1, ou 2, ou 3, ou ainsi de suite). Les cardinaux infinis sont notés par la lettre hébraïque ℵ (alef) : on appelle ℵ₀ le plus petit cardinal infini, qui est le cardinal de l'ensemble ℕ des entiers naturels (ou des entiers pairs, ou des entiers positifs comme négatifs, ou, ce qui est peut-être surprenant, de tous les rationnels, ou de plein d'autres choses : on dit qu'il s'agit des ensembles dénombrables). On appelle ensuite ℵ₁ le plus petit cardinal après ça, puis ℵ₂ le suivant, et ainsi de suite (les alefs sont eux-mêmes étiquetés par des ordinaux, mais peu importe). L'ensemble ℝ des nombres réels a un cardinal noté 2^ℵ₀ (également noté 𝔠), qui est strictement supérieur à ℵ₀, c'est-à-dire au moins égal à ℵ₁. Cantor a posé vers 1880 la question de savoir si en fait 2^ℵ₀=ℵ₁, c'est-à-dire si le cardinal 2^ℵ₀ de ℝ est le plus petit infini après celui de ℕ, ou, si on préfère, si toute partie de ℝ est soit dénombrable (= de cardinal ℵ₀) soit en bijection avec ℝ (= de cardinal 2^ℵ₀). Ce problème porte le nom d'hypothèse du continu ; plus exactement, l'hypothèse du continu est l'affirmation que 2^ℵ₀=ℵ₁.

La question de démontrer ou de réfuter l'hypothèse du continu a beaucoup préoccupé les mathématiciens : David Hilbert (qui a été un des premiers et plus enthousiastes défenseurs de l'intérêt des théories de Cantor, comparant la théorie des ensembles à un paradis que Cantor nous a créé) a placé la question en tout premier dans sa très célèbre liste de (10 puis 23) problèmes pour le XXe siècle présentée au congrès international des mathématiciens en 1900. Mais la question a pris un tour inattendu : en 1940, Kurt Gödel a montré (en utilisant l'univers constructible) que les axiomes ZFC de la théorie des ensemble ne permettaient pas de réfuter l'hypothèse du continu (autrement dit, ils ne permettent pas de démontrer 2^ℵ₀>ℵ₁) ; et en 1963, Paul Cohen a démontré que ces mêmes axiomes ne permettent pas non plus de démontrer l'hypothèse du continu (ils ne permettent pas de démontrer 2^ℵ₀=ℵ₁) ; donc, globalement, les axiomes usuels ZFC de la théorie des ensembles ne tranchent pas la question (l'hypothèse du continu est indécidable dans ZFC). On peut ensuite avoir différents points de vue : soit considérer que, puisque les axiomes ne décident pas la question, on est libre d'admettre ou de refuser l'hypothèse du continu et que sa « vérité » n'a pas vraiment de sens ; soit considérer que sa vérité a bien un sens et qu'il nous faut trouver de meilleurs axiomes qui la décident (restent à savoir comment on doit choisir ces axiomes et sur la base de quoi on les valide) ; soit considérer qu'il y a plusieurs univers de théorie des ensembles, certains dans lesquels l'hypothèse du continu est vraie et d'autres où elle est fausse ; ou toutes sortes d'autres positions philosophiques ou épistémologiques sur la question (on peut aussi considérer, et c'est ce que font la grande majorité des mathématiciens, qu'on s'en fout complètement, vu que l'hypothèse du continu a très peu d'impact sur la recherche en-dehors de la théorie des ensembles, et que même en théorie des ensembles, ce qui importe est de publier des papiers où il est clair quels axiomes on prend et quelles conclusions on en tire).

J'insiste sur les points suivants : le fait que ℝ soit (de cardinal) strictement plus grand que ℕ (c'est-à-dire 2^ℵ₀>ℵ₀ ou, ce qui revient au même, 2^ℵ₀≥ℵ₁) est un fait indiscuté, facile (il est démontré dans les deux vidéos de vulgarisation que j'ai liées ci-dessus), et bien connu depuis environ 1880. La question plus délicate, posée par Cantor puis reprise par Hilbert, est celle de savoir s'il y a quelque chose entre les deux (c'est-à-dire si 2^ℵ₀>ℵ₁, l'hypothèse du continu étant la réponse non ici), mais même cette question-là est scientifiquement résolue depuis 1963 (les problèmes restants sont philosophiques, pas vraiment mathématiques). L'article d'Ebdo est donc spectaculairement faux : il présente un résultat bien connu depuis 1880 comme un problème ouvert depuis 1900 (en le confondant avec un problème qui s'est effectivement posé), et prétend qu'on y aurait apporté une solution qui est tout le contraire de ce qu'on sait depuis 1880. Et il retourne le couteau dans la plaie avec des phrases incroyablement idiotes comme : Nous serions donc face à deux infinis de tailles différentes. Ce qui est paradoxal. (Sans parler de ce petit bijou qu'est les nombres bizarres comme pi.)

Maintenant, il y a quand même quelque chose qui a déclenché cet article : de quoi s'agit-il ? Il y a bien un résultat de Malliaris et Shelah qui démontre l'égalité 𝔭=𝔱 (c'est p=t si vous n'avez pas la police fraktur qui vous permet de lire ça) entre « deux infinis », mais c'est quelque chose de beaucoup plus pointu :

Il s'agit d'un sujet appelé les caractéristiques cardinales du continu : l'idée est que si le continu 𝔠:=2^ℵ₀, c'est-à-dire le cardinal de ℝ, vaut au moins ℵ₁, et que ZFC ne permet pas de savoir s'il y a des choses strictement entre les deux, on peut quand même définir des choses qui sont entre les deux au sens large, et voir ce que ZFC permet de dire entre ces choses. Ces choses, c'est-à-dire des cardinaux compris au sens large entre ℵ₁ et 𝔠=2^ℵ₀ (qui sont donc tous égaux si on suppose l'hypothèse du continu !), et définis de façon plus ou moins compliquée, sont appelées des caractéristiques cardinales du continu, et leur étude a été démarrée en 1939 par Rothberger (cf. ici). Un exemple d'un tel cardinal est : le plus petit cardinal possible d'un ensemble qui ne soit pas négligeable (= de mesure nulle) au sens de Lebesgue (voir ici pour la définition de négligeable) : comme tout ensemble dénombrable (= de cardinal ℵ₀) est négligeable, le plus petit cardinal possible d'un ensemble non-négligeable est au moins ℵ₁, et comme ℝ n'est pas négligeable, on sait au moins qu'il existe des ensembles non-négligeables de cardinal 𝔠=2^ℵ₀ ; quelque part entre les deux, il y a donc le plus petit cardinal possible d'un ensemble non-négligeable, généralement noté quelque chose comme non(ℒ). Comme maintenant on a ℵ₁≤non(ℒ)≤2^ℵ₀, on peut s'interroger sur les deux inégalités séparément : l'hypothèse du continu assure que ce sont toutes les deux des égalités, mais on peut se demander si ZFC seul démontrerait l'une ou l'autre égalité (en l'occurrence : non), ou ce qu'on peut, dans le cadre de ZFC, démontrer comme inégalités entre plusieurs de ces « caractéristiques cardinales du continu ».

Il y a tout un tas de caractéristiques définies de façon usuelle entre ℵ₁ et 𝔠=2^ℵ₀ (beaucoup sont notées par une lettre fraktur minuscule et appelé nombre de <quelque chose>, par exemple 𝔡, le nombre de domination, qui est le plus petit cardinal possible d'un ensemble de fonctions ℕ→ℕ tel que toute fonction ℕ→ℕ soit majorée, à partir d'un certain rang, par une fonction de l'ensemble ; ou encore 𝔟, le nombre de bornage, qui est le plus petit cardinal possible d'un ensemble de fonctions ℕ→ℕ tel qu'aucune fonction ℕ→ℕ ne majore, à partir d'un certain rang, toutes les fonctions de l'ensemble : on a ℵ₁≤𝔟≤𝔡≤𝔠, et ZFC seul ne permet pas de prouver la moindre égalité dans tout ça). Parmi ce zoo de caractéristiques, il y en a deux, pas franchement les plus célèbres, qui sont 𝔭, le nombre de pseudointersection, et 𝔱, le nombre de tour, qui vérifient ℵ₁≤𝔭≤𝔱≤𝔠 et dont on savait seulement que la première et la troisième inégalité pouvaient être strictes, et dont on pensait que la deuxième pouvait l'être aussi. Malliaris et Shelah ont montré que cette deuxième inégalité, en fait, ne pouvait pas être stricte : c'est-à-dire que (ZFC, sans hypothèse supplémentaire, démontre) 𝔭=𝔱 (égalité entre le nombre de pseudointersection et le nombre de tour ; leur résultat a été annoncé en 2013 [General topology meets model theory, on 𝔭 and 𝔱, Proc. Natl. Acad. Sci. USA 110, 13300–13305] et publié en 2016 [Cofinality spectrum theorems in model theory, set theory, and general topology, J. Amer. Math. Soc. 29, 237–297]).

Pour plus de détails sur les caractéristiques cardinales du continu en général (leur définition précise et ce qu'on savait déjà sur elles), voir ce texte d'Andreas Blass de 2003, Combinatorial Cardinal Characteristics of the Continuum ; pour quelques explications spécifiquement sur 𝔭 et 𝔱 et sur le résultat de Malliaris et Shelah, voir cet article du blog de Gowers.

Je ne vais certainement pas prétendre que ce résultat de Malliaris et Shelah (𝔭=𝔱) n'est pas important ; mais il ne faut pas exagérer, ce n'est pas bouleversant, et je crois que personne ne suggère sérieusement que ça mérite une médaille Fields. (Shelah, par ailleurs, est nettement trop âgé pour avoir la médaille Fields : il est certainement l'un des plus importants théoriciens des ensembles vivant, et s'il méritait une médaille Fields, ou dans la mesure où il mérite un prix Abel, ce qui me semble raisonnable, ce serait pour d'autres choses qu'il a faites ou pour l'ensemble de son œuvre, dans laquelle 𝔭=𝔱 ne me paraît pas le résultat le plus important.) Par ailleurs, comme je l'explique, ce résultat n'est pas terriblement récent puisqu'il a été annoncé en 2013.

Néanmoins, de façon assez inexplicable, ce résultat a provoqué une petite frénésie médiatique à partir de fin 2017. Il semble que ça ait commencé par cet article de Quanta daté du 2017-09-12, qui a ensuite été reproduit par Scientific American (je ne sais pas si c'est paru dans leur version papier ou seulement en ligne) et ailleurs. Contrairement au massacre commis par Ebdo, l'article de Quanta semble globalement correct : on peut lui reprocher d'être excessivement vague, c'est ce qu'a fait John Baez sur Google+, mais au moins ce n'est pas un tissu de conneries. Je suppose que c'est cet article et la réponse par John Baez qui ont amené Gowers à en parler sur son blog, et cela a attiré encore plus d'attention. (J'ai deux collègues qui m'en ont parlé à ce moment-là et m'ont demandé ce que j'en pensais.) Bref, l'attention attire l'attention : j'ai déjà évoqué (à plusieurs reprises) cet effet « boule de neige », qui, selon moi, est la raison principale pour laquelle toute forme de succès, de popularité ou de célébrité est avant tout le fruit du hasard (quelque chose lance la boule de neige, parfois elle roule, parfois non, il ne faut pas chercher la logique). Ici on peut avoir l'impression trompeuse que le résultat est majeur parce qu'on en parle beaucoup.

Maintenant, la manière dont Ebdo a réussi à transformer quelque chose qui était quand même expliqué de façon globalement correcte jusqu'à ce point, en un ramassis impressionnant de contresens, m'échappe quand même. Je tombe ici sur une brève du quotidien suisse Le Temps (daté du 2018-02-14) qui évoque la situation :

L'Ebdo, dernier-né des hebdomadaires français, a voulu faire amende honorable après avoir publié un article scientifique immédiatement épinglé par ses lecteurs matheux, car tout simplement faux. Même les infinis sont égaux avait à l'origine été écrit par une journaliste. Mais un autre journaliste, le trouvant juste mais un peu complexe, l'a réécrit, dans une version plus claire, plus simple. Mais elle était fausse. Malaise, et explications dans un mea culpa maladroit qui met en lumière des pratiques de réécriture douteuses. Résumé : j'ai piqué le boulot d'une collègue qui avait réellement travaillé le sujet, j'ai écrit des stupidités, mais ce n'est pas grave, commente une internaute énervée. Journaliste et scientifique, c'est presque deux métiers.

Je n'ai pas trouvé d'autre référence en ligne à cet article, je ne sais pas si Ebdo a publié un correctif (je n'ai pas les numéros suivants : celui-là avait été acheté par hasard par mon poussinet, ça ne m'a pas vraiment donné envie d'en acheter d'autres). C'est dommage, j'aurais aimé en savoir plus sur la manière dont ce genre de choses se produit (est-ce que l'article d'Ebdo a été écrit sur la base de celui de Quanta ou y a-t-il peut-être eu une version intermédiaire ? quelle était la formation scientifique des personnes impliquées ?).

Le problème n'est pas tant que les journalistes soient nuls en sciences : c'est peut-être normal (s'ils sont compétents ailleurs, ce qui reste à vérifier), personne ne peut tout savoir sur tout ; c'est déjà un peu plus embêtant que presque aucun journal ne semble capable de se trouver un seul journaliste scientifiquement compétent, mais bon, s'agissant d'un petit truc qui essaye de se lancer comme Ebdo, ça aussi, on peut sans doute le pardonner. Ce qui est beaucoup plus problématique, c'est qu'un journaliste nul en science n'en soit visiblement pas conscient, et au lieu de refuser catégoriquement d'écrire un texte parlant de maths, se croie compétent et accepte quand même. Et qu'il ne prenne même pas la peine de regarder pendant quelques minutes des textes ou vidéos de vulgarisation sur le sujet qu'il prétend traiter, ou de consulter Wikipédia ; quitte à aller chercher de l'aide si le sujet semble trop compliqué, ou quitte à rester vague (je suis d'accord avec John Baez que rester vague n'est pas bien, mais c'est quand même beaucoup mieux que de dire des choses claires et précises et violemment fausses !). Surtout que ce n'est pas, ici, un sujet d'actualité brûlant (les articles de Malliaris et Shelah datant de 2013 et 2016), donc il est difficile de prétendre que le journaliste était tellement pressé par le temps qu'il a dû rédiger quelque chose dans l'urgence.

Mais en fait je soupçonne fortement que tout le monde s'en fout (ou en tout cas, que les journalistes en sont persuadés) : entre les lecteurs qui se disent oh, de toute façon, c'est des maths, je n'y comprends rien et qui débranchent leur cerveau immédiatement, et ceux qui veulent juste un truc qui fasse bien à dire à l'apéro (tu as vu, il y a des chercheurs qui viennent de découvrir que tous les infinis sont égaux ? c'est vraiment trop fou) entre des remarques de même niveau sur les trous noirs, l'origine de la vie, ou le fonctionnement du cerveau.

Je me demande quelle serait la réaction si une erreur de même gravité était commise dans un article sur, disons, les élections législatives italiennes : Les Italiens ont voté pour se doter d'un roi, tranchant ainsi un débat commencé en 1866. L'Italie doit-elle être une république ou une monarchie constitutionnelle ? La question ne vous empêche certainement pas de dormir, mais elle faisait l'objet d'un débat ouvert en 1946 à la suite de la seconde guerre mondiale. Elle vient d'être décidée par les électeurs italiens, qui ont opté pour la monarchie dans une élection marquée par un fort taux de participation (73%). On se dirait : Quoiquoiquoi ? Mais qu'est-ce que c'est que cette histoire ? Ces élections n'avaient juste aucun rapport avec la question de la monarchie, qui est tranchée depuis bien longtemps, et en plus, dans le sens contraire de ce que prétend cet article ! Et si le journaliste prétend que, bah il trouvait ça trop compliqué cette histoire d'élections du parlement avec des partis multiples et dont on ne sait pas bien qui est le vainqueur, alors il a écrit quelque chose de plus clair et plus simple, ça déclenchera une belle hilarité. Mais qu'on imprime des conneries de même ampleur au sujet des mathématiques, évidemment, ça ne provoque pas le même effet.

Ben oui, les mathématiques, c'est compliqué d'en parler dans la presse. Mais si on n'y arrive pas, il vaut mieux juste se taire. (Ou se contenter d'écrire des choses comme : tel chercheur a été récompensé pour des travaux dont nous ne sommes pas compétents pour vous parler.)