David Madore's WebLog: 2020-04

Vous êtes sur le blog de David Madore, qui, comme le reste de ce site web, parle de tout et de n'importe quoi (surtout de n'importe quoi, en fait), des maths à la moto et ma vie quotidienne, en passant par les langues, la politique, la philo de comptoir, la géographie, et beaucoup de râleries sur le fait que les ordinateurs ne marchent pas, ainsi que d'occasionnels rappels du fait que je préfère les garçons, et des petites fictions volontairement fragmentaires que je publie sous le nom collectif de fragments littéraires gratuits. • Ce blog eut été bilingue à ses débuts (certaines entrées étaient en anglais, d'autres en français, et quelques unes traduites dans les deux langues) ; il est maintenant presque exclusivement en français, mais je ne m'interdis pas d'écrire en anglais à l'occasion. • Pour naviguer, sachez que les entrées sont listées par ordre chronologique inverse (i.e., la plus récente est en haut). Cette page-ci rassemble les entrées publiées en avril 2020 : il y a aussi un tableau par mois à la fin de cette page, et un index de toutes les entrées. Certaines de mes entrées sont rangées dans une ou plusieurs « catégories » (indiqués à la fin de l'entrée elle-même), mais ce système de rangement n'est pas très cohérent. Le permalien de chaque entrée est dans la date, et il est aussi rappelé avant et après le texte de l'entrée elle-même.

You are on David Madore's blog which, like the rest of this web site, is about everything and anything (mostly anything, really), from math to motorcycling and my daily life, but also languages, politics, amateur(ish) philosophy, geography, lots of ranting about the fact that computers don't work, occasional reminders of the fact that I prefer men, and some voluntarily fragmentary fictions that I publish under the collective name of gratuitous literary fragments. • This blog used to be bilingual at its beginning (some entries were in English, others in French, and a few translated in both languages); it is now almost exclusively in French, but I'm not ruling out writing English blog entries in the future. • To navigate, note that the entries are listed in reverse chronological order (i.e., the most recent is on top). This page lists the entries published in April 2020: there is also a table of months at the end of this page, and an index of all entries. Some entries are classified into one or more “categories” (indicated at the end of the entry itself), but this organization isn't very coherent. The permalink of each entry is in its date, and it is also reproduced before and after the text of the entry itself.

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Entries published in April 2020 / Entrées publiées en avril 2020:

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(mercredi)

Je coule

Le but intrinsèque de ce texte est de me permettre de voir un peu plus clair dans mes pensées et émotions avant d'en parler à un psychiatre. Mais le but extrinsèque, et pas moins important, à partager ainsi ce que je ressens, est que cette description puisse en aider d'autres qui partageraient les mêmes difficultés à se sentir moins seuls, et à ceux qui ne les partagent pas de les comprendre peut-être un peu (au risque de m'exposer à recevoir une pluie de conseils-reproches).

J'étais parti sur l'idée que le confinement nous mettait dans une certaine égalité, certainement pas quant aux circonstances matérielles, mais, au moins à circonstances matérielles identiques, quant aux épreuves psychologiques qu'il représentait — pas que j'imaginasse que nous réagirions identiquement à ces épreuves, mais qu'au moins les mécanismes de base étaient les mêmes. Je mesure maintenant combien cette idée est erronée : non seulement certains ne semblent pas vivre les circonstances actuelles comme une incarcération, mais ils ont l'air nombreux, peut-être la majorité, voire la majorité écrasante. Et je ne parle même pas des témoignages du genre j'adore ça ! (accompagnés d'explications sur le fait qu'ils profitent de leur forteresse de solitude et du temps qu'ils ont pour cuire des quantités invraisemblables de pain ou apprendre enfin la grammaire géorgienne). On peut certainement s'en féliciter, mais cela laisse ceux d'entre nous pour qui confinement n'est qu'un euphémisme irritant pour emprisonnement, face à la difficulté de faire comprendre ce ressenti basique, et assez désemparés de ne pas savoir comment expliquer le fait que la liberté est quelque chose qu'on ne perd pas sans peine. Et ne sachant trop de quelle manière expliquer que les petits messages gentillets du style pendant ce confinement, je vais vous montrer chaque jour une photo de mon jardin (ou du pain que j'ai fait, ou de la grammaire géorgienne que je suis en train d'étudier), si bien intentionnés qu'ils soient, sont rapidement insupportables tellement ils nous paraissent à côté de la plaque.

Je n'ai, évidemment, aucun moyen fiable de mesurer précisément ce que les gens ressentent, et mon entourage est certainement biaisé de toutes sortes de manière (mais on s'attendrait plutôt, a priori, à ce qu'il fût biaisé dans le même sens que moi). Des informations aussi fondamentales que l'augmentation du taux de suicide en France depuis le 17 mars, sont introuvables (j'ai cru voir passer une information suggérant un facteur ×10, mais je ne retrouve plus, et de toute façon la personne qui disait ça ne donnait aucune source crédible, c'était quelque chose comme un ressenti au doigt mouillé sur le nombre d'interventions des urgences pour ce type de causes). Pour penser que je suis dans la minorité, je me base donc uniquement sur de l'anecdotique comme des témoignages d'amis et des choses pas du tout scientifiques comme ce sondage sur Twitter et les réponses qui y ont été faites.

Ma première réaction dans cette crise a été celle de l'angoisse, principalement l'angoisse de l'inconnu, par rapport à l'épidémie elle-même, à la réaction de la société, au désastre social et économique qui suivrait, à la possibilité d'un effondrement systémique suite à l'une ou l'autre, à l'anéantissement de tant de rêves et espoirs pour l'avenir (et, au passage, de mes finances), et à ma propre réaction face à tout ça : j'ai décrit cette phase ici ici ; j'ai consulté un psychiatre pendant cette phase, qui m'a prescrit un anxiolytique (et un somnifère puisque j'avais aussi perdu le sommeil), que je n'ai essentiellement pas utilisé (juste deux ou trois fois le somnifère) parce que cette phase est passée d'elle-même. À l'anxiété a succédé le courroux, dirigé contre toutes sortes de décisions à mon avis stupides, et contre l'incompétence fondant ces décisions (ce n'est pas le propos ici de détailler). Avec cette hargne générale est aussi venue une irritabilité excessive, dont mon poussinet a injustement fait plus d'une fois les frais. Cette phase est aussi largement passée : je n'ai plus de peur, je n'ai plus de colère, je n'ai plus l'énergie pour soutenir ces émotions : je suis maintenant simplement abattu. (Je suppose qu'il y a du vrai dans le modèle de Kübler-Ross.)

En plus de tout ça, je souffre d'un certain degré d'empathie : de tant de vies et de rêves brisés, soit par la maladie elle-même, soit par tous les bouleversements qu'elle a et va entraîner dans nos sociétés. Le nombre de morts ne m'affecte qu'intellectuellement (comme Staline ne l'a peut-être jamais dit, la mort d'un homme est une tragédie, la mort d'un million est une statistique) : ce qui m'affecte ce sont les récits individuels, ces gens qui avaient des projets pour la vie et des espoirs pour l'avenir, qui peut-être venaient de traverser une période difficile et commençaient à espérer la montagne passée quand soudainement cette crise surgie de nulle part vient faire que tout s'effondre. (Ne serait-ce que les restaurants que le poussinet et moi aimions fréquenter, dont nous connaissions souvent les propriétaires, et dont sans doute la moitié ne rouvriront jamais ; ou l'auto-école qui m'a dispensé un zillion d'heures de cours de voiture et de moto, petite entreprise familiale dont je connais le patron, le papa du patron, et pas mal du personnel : sera-t-elle encore là dans un an ?)

Rien de tout ça n'est constant, évidemment. J'arrive occasionnellement à m'en distraire. Mon moral fait des yoyos. Mais les embellies sont trompeuses, ce ne sont que des oublis passagers. (Insérer ici le dessin de Sempé [je ne le trouve pas en ligne] représentant un personnage expliquant à son psy : Quand je suis déprimé, les raisons pour lesquelles je le suis sont profondes, essentielles, fondamentales. Il m'arrive d'être heureux, bien sûr. Mais les raisons pour lesquelles je suis heureux sont si futiles, si ténues, que ça me déprime.) Une difficulté apparentée, que la parenthèse qui précède illustre peut-être, c'est que j'ai une certaine capacité à donner l'illusion d'être drôle, ou d'avoir de la répartie, capacité derrière laquelle je me cache souvent parce que j'ai une certaine répugnance à exposer crûment mes émotions, et qu'à cause de ça on ne me prend pas au sérieux quand je vais mal. (Dans le même ordre d'idées, je sais qu'on m'a souvent dit que je donnais l'impression d'être calme et mesuré, ce qui me fait rire jaune vu que je sais à quel point je suis colérique et impulsif.)

La stratégie la plus évidente était simplement d'attendre que ça passe. Kick the can down the road, comme on le dit. Vu que ce qui me fait souffrir actuellement est l'emprisonnement, il suffit d'attendre que celui-ci se finisse… non ? Non, d'abord parce que la date de fin est sans arrêt reportée : et chaque report me fait l'effet d'un nouveau coup de poignard, car à chaque date annoncée j'ai la faiblesse et la stupidité d'y croire, et évidemment c'est à chaque fois un nouveau mensonge. Non, car à l'emprisonnement succédera un avenir à peine moins sombre, et la réalisation du fait que ma vie d'avant, tous les petits plaisirs sur lesquels je fondais mon équilibre psycho-affectif et qui se sont envolés en mars 2020, cette vie d'avant est complètement détruite pour bien plus longtemps que la seule période d'emprisonnement, et il n'est pas acquis qu'elle puisse jamais ressusciter. (J'étais déjà très mal avant que le gouvernement mette toute la population française en arrêt à domicile, et même si cette mesure a énormément accéléré la spirale noire dans laquelle j'étais engagé, elle n'est pas seule en cause.) Et la stratégie de simplement tout repousser à plus tard ne fait que m'ensevelir sous une épaisse couche de culpabilité pendant que je me recroqueville autour de mon malheur que je rumine. (Je vais revenir sur la culpabilité.)

Pour essayer de faire comprendre mon état mental actuel, la meilleure comparaison que j'aie trouvée est celle du marteau-piqueur. (Comme une sorte d'intrusion dans la réalité d'une métaphore qui n'aurait pas compris qu'elle devait rester métaphorique, il y a eu, le 10 mars, des gens qui sont venus, je ne sais pas pourquoi, détruire une bonne partie du macadam du trottoir de ma rue, et j'ai été réveillé de jour-là par des bruits de chantier atteignant les 70dB au sonomètre chez moi, et qui ont duré toute la matinée. C'est ce qui m'inspire cette analogie.) Le marteau-piqueur c'est mon cerveau qui me répète sans arrêt je n'en peux plus de cette cage ! je veux sortir ! je veux bouger ! je veux m'aérer ! je veux faire du sport ! — et tous les conseils du genre lis un livre pour te distraire, regarde un film, essaie de travailler pour penser à autre chose, etc., butent sur le fait que, lire un livre, regarder un film, travailler, quand on a un marteau-piqueur dans la tête, ça ne marche pas. On ne veut qu'une chose, c'est que le marteau-piqueur s'arrête. On ne pense qu'à une chose, c'est que ce truc est insupportable. On arrive peut-être à s'en distraire une minute, mais on y revient toujours, tant qu'il donne ses coups répétés et insistants. On donnerait n'importe quoi pour que le marteau-piqueur cesse, mais on n'a pas la force d'y faire quoi que ce soit, alors on finit juste avec la tête dans un oreiller à crier pitié.

(L'ironie de la chose, parce que le destin a indiscutablement une forme d'ironie, c'est que j'aurais sans doute beaucoup mieux vécu l'emprisonnement par le passé : avant que je ne découvre le plaisir que je pouvais avoir à faire de la musculation, à visiter les parcs et jardins et forêts de l'Île-de-France, à rouler en moto, etc. Le David Madore ado geek asocial détestant le sport aurait peut-être adoré avoir un prétexte pour rester cloîtré deux mois chez lui, et tous les efforts que j'ai faits depuis pour avoir une vie plus saine me font maintenant souffrir.)

À un certain stade de la crise, j'ai vaguement réussi à convertir une partie de cette énergie de colère et de désespoir en quelque chose d'un peu plus productif : j'ai appris un peu d'épidémiologie (et même un tout petit peu de virologie, d'immunologie et de médecine en général), j'ai analysé la crise comme je le pouvais (voir quelques entrées antérieures sur de blog : ici, , , , , et encore  ; ou encore des fils Twitter que je n'ai pas traduits en français comme celui-ci, celui-là et encore celui-là). J'ai cru identifier un certain nombre de ce qui me semblent être des limitations méthodologiques sérieuses de l'approche utilisée par les modèles épidémiologiques qui sous-tendent les décisions politiques pendant cette crise, et notamment :

  • l'absence de prise en compte de l'hétérogénéité sociale de la population (autrement que sur des critères d'âge et éventuellement de géographie), reflétée tout au plus dans de malheureuses matrices de mélange entre compartiments qui sont malgré tout traités comme homogènes chacun séparément ; et la mauvaise compréhension du fait que la lecture de données épidémiques agrégées sur l'ensemble de la population surpondère les sous-catégories où la reproduction est la plus rapide [je décris ce problème parmi d'autres ici sur ce blog, ainsi que dans la partie 🄱 de ce fil Twitter [lien Twitter direct]] ;
  • l'absence de prise en compte du fait que les contacts entre individus ne sont pas aléatoires mais qu'un petit nombre de contacts récurrents pour chaque individu (foyer, famille, amis, collègues) va représenter la majorité des contaminations, limitant la capacité de diffusion à un graphe de degré limité [je décris ce problème ici sur ce blog, phénomène (2a), ainsi que dans ce fil Twitter [lien Twitter direct], notamment tweets nº10, 11, 19, 21, 36, 37] ;
  • l'absence de prise en compte de l'effet de célébrité et du fait que les personnes ayant un grand nombre de contacts seront infectées avant les autres, réduisant ainsi la diffusion ultérieure de l'épidémie, et en particulier l'interaction entre ce phénomène et celui de l'item précédent [je décris ce problème ici sur ce blog, phénomène (2b), ainsi que dans ce fil Twitter [lien Twitter direct], notamment tweets nº12, 13, 20, 22, 40, 41] ;
  • l'incompréhension du fait que la variance des contacts infectieux reçus par un individu a un impact bien plus important que la variance des contacts infectieux émis (alors que beaucoup de modèles épidémiologiques jouent à essayer de faire varier l'infectiosité des individus et se penchent sur le problème des super-contaminateurs, le problème dual est bien plus pertinent), ou au moins que les deux doivent être pris en compte [je n'ai pas décrit ce phénomène sur ce blog, mais dans ce fil Twitter [lien Twitter direct]] ;

— et plus généralement la mauvaise prise en compte d'informations venant des domaines de la théorie des graphes et des probabilités (et surtout de leur intersection, les graphes aléatoires). En fait, je pensais au début que ces points (sauf peut-être le dernier) devaient être évidents pour tout le monde et que les modèles utilisés les ignoraient parce que leur but était de calculer autre chose, et j'ai pris conscience progressivement qu'en fait, non, il y a un véritable manque de recul par rapport à tout ça.

Seulement voilà, certains m'ont fait savoir que je n'étais pas épidémiologiste (même pas spécialiste des graphes aléatoires) et que je devais laisser les experts s'exprimer dans leur domaine d'expertise, et fermer ma gueule de non-spécialiste. Que j'étais un armchair epidemiologist, voire un crackpot complet, qui parce qu'il a lu quelques articles sur le sujet s'imagine comprendre un domaine dont il ignorait tout il y a deux mois, et pouvoir donner des leçons aux experts de ce domaine. (Et indubitablement, dans une crise pareille, il y a plein de gens qui se découvrent tout d'un coup une expertise miraculeuse en tout et sur tout. Ce qui donne lieu à des moqueries comme illustrées par ce tweet.) De toute façon, les experts sont bien trop occupés par toutes les sollicitations qui leur tombent dessus pour répondre à mes objections, mais sans doute ont-ils des réponses.

Déjà en général, la combativité ne fait pas partie de mes attributs. Je suis colérique, mais ma colère n'a aucune endurance. Je ne sais pas me battre pour mes idées. Si on me dit de fermer ma gueule, ce que je fais le plus facilement est de baisser les bras. De toute façon, quand je travaille à comprendre le monde, c'est surtout pour le comprendre pour moi, je fais parfois un effort pour l'expliquer aux autres parce que ça m'aide à mieux le comprendre, mais je n'ai aucun appétit pour les disputes avec les gens qui pensent que j'ai tort ou qui refusent de m'écouter.

Et en ce moment, bien sûr, le découragement est encore considérablement plus prononcé. Quel intérêt, en fait, d'essayer d'attirer l'attention sur des limitations dans les modèles épidémiologiques ? Les experts que je critique sont débordés, je n'ai aucun espoir d'arriver à me faire écouter d'eux même si j'arrivais à les convaincre que je ne suis pas un crackpot, et je n'ai plus aucune énergie pour tout ça. Je n'ai déjà même plus la force de répondre aux mails de mes amis qui me donnent ou prennent des nouvelles, je n'ai certainement pas celle de me faire entendre de gens dont je critiquerais la démarche scientifique. Et même si j'y arrivais, ça n'aurait aucun intérêt. Je ne pense pas qu'on puisse faire un modèle mathématique correct d'une épidémie humaine (et je soupçonne que l'hubris de le penser vient de l'expérience des épizooties, pour lesquelles des modèles simples doivent assez bien marcher parce qu'aucun des phénomènes sociologiques que je pointe du doigt ci-dessus ne se produit) : donc, est-ce vraiment grave si on raisonne sur des modèles erronés ?

Finalement, je m'en fous. Je n'ai pas la force de mener une croisade à ce sujet.

Je crois que les gens se méprennent souvent sur la démarche des scientifiques, enfin, je ne sais pas pour les autres, mais au moins pour ce qui est de la mienne : je ne fais pas des maths parce que c'est mon métier, encore moins pour me faire connaître, je ne fais pas vraiment des maths parce que je cherche à connaître la réponse à telle ou telle question, je ne fais même pas vraiment des maths parce que j'aime ça (même si, le plus souvent, en temps normal, c'est le cas) : je fais des maths parce que je n'arrive pas à faire autrement, c'est juste comme ça que mon cerveau fonctionne, c'est mon mode de pensée spontané dès que je réfléchis sur tout un tas de choses. Mais si les maths en sont la forme la plus fréquente, je n'ai pas forcément beaucoup de contrôle sur l'objet de mes pensées. Je dis ça pour répondre à ceux, et ils sont nombreux, qui m'ont enjoint de profiter de cet emprisonnement pour faire des maths : c'est un peu bizarre, comme conseil, c'est comme me dire d'en profiter pour manger, certainement je ne vais pas arrêter de manger, mais je vais manger quoi ? des sucreries, sans doute, parce que c'est ce qu'il y a de plus facile, de plus rapide, de plus séduisant. Newton a développé le calcul infinitésimal, découvert ses lois du mouvement de la gravitation, et sa théorie de la lumière et de la couleur, pendant qu'il était reclus au manoir de Woolsthorpe pendant que la grande peste bubonique dévastait Londres (où elle a tué peut-être le quart de la population entre 1665 et 1666) : je ne sais pas si c'était pour Newton un plaisir ou une nécessité, si c'était pour lui des sucreries intellectuelles, mais le fait est que je ne suis certainement pas un Newton. Donc à part l'épidémiologie, en matière de sucrerie mathématique, j'ai voulu me distraire en regardant quelque chose d'un peu reposant, j'ai fait un programme qui simule le mouvement de points sur la surface d'une sphère qui se repoussent selon la loi de Coulomb, c'est joli et un peu envoûtant à regarder, j'ai appris deux-trois choses (comme le fait qu'il n'y a pas d'analogue pour la mécanique en géométrie sphérique du centre de gravité en géométrie euclidienne, et que même le problème à deux corps y est terriblement compliqué), j'ai regardé la manière dont les points s'arrangent si on ajoute des frottements pour qu'ils s'arrêtent, puis j'en ai eu marre et j'ai laissé tomber cette sucrerie-là. Le marteau-piqueur est trop difficile à ignorer.

Bref, je ne sais pas comment des gens font pour travailler productivement dans ces conditions. Je n'en suis pas du tout capable. Encouragé par le mensonge initial que l'emprisonnement ne durerait pas trop longtemps (cf. ci-dessus), j'ai commencé par repousser un certain nombre de choses que je devais faire (kick the can down the road) en espérant que j'arriverais à remonter la pente, mais ça allait de plus en plus mal, et le fait de repousser m'a fait culpabiliser, maintenant j'en suis au point où je n'ose même plus lire mon mail professionnel.

Je sais que j'ai, de façon générale, une capacité épouvantablement mauvaise à faire face à l'adversité : ma réaction face aux difficultés est toujours de renoncer et de subir. Sans doute les seules batailles que j'aie remportées dans la vie l'ont été par pure chance, parce que ma technique préférée de combat est la capitulation. Ceci pose un remarquable problème de bootstrap si le but est précisément de combattre ma tendance à capituler devant l'adversité.

En tout état de cause, je n'arrive plus à rien faire. Je me lève, le marteau-piqueur est là, je n'arrive à rien faire, je culpabilise parce que je n'arrive à rien faire, je déjeune, je n'arrive à rien faire, je culpabilise un peu plus, je dîne, et je me couche en espérant que tout ceci ne soit qu'un mauvais rêve qui va passer, ou au contraire en espérant profiter d'un peu de liberté dans mes rêves, voire, ne pas me réveiller du tout. Et je me réveille en constatant que, malheureusement, ce n'est pas un mauvais rêve, le marteau-piqueur est toujours là. Et les journées se suivent et se ressemblent comme celles du personnage joué par Bill Murray dans Groundhog Day : des petites différences de forme, mais la sensation d'être pris dans une boucle infinie dans laquelle il n'existe aucune sorte de progrès.

Et la culpabilisation est un mécanisme incroyablement fort pour m'empêcher de me relever. Elle prend toutes sortes de formes.

D'abord, il y a la culpabilisation concernant le confinement. C'est devenu une sorte de sport national : montrer du doigt les gens qui ne respectent pas bien le confinement, les Parisiens qui ont fui en province au début ou qui espèrent partir en vacances, ceux qui font leur jogging, ceux qui font que le confinement se relâche, les irresponsables, dont on laisse comprendre qu'ils ont des morts sur la conscience. Alors voilà, oui, plusieurs fois, j'ai craqué, le poussinet et moi sommes sortis clandestinement faire une promenade dans des forêts que nous appréciions tellement dans l'ancien monde, et nous le referons certainement, même si cette expérience, bien que réconfortante, était en même temps passablement traumatisante à cause de cette culpabilisation doublée d'une peur de l'autorité (que les rapports nombreux de brutalité policière n'aident pas à dissiper).

Ensuite, il y a la culpabilisation concernant les idées autour du confinement : non seulement on est sommé de le respecter, mais on est aussi sommé d'y croire, d'être persuadé qu'on sauve des vies ainsi. Il ne suffit pas que nous soyons prisonniers, il faut encore que nous soyons des prisonniers heureux de faire notre part de sacrifice au salut commun. Alors voilà, je n'adhère pas à cette nouvelle religion nationale : je suis persuadé que l'approche suivie n'est pas la bonne : on aura beau essayer de tricher le Covid-19 des morts qu'il réclame, ce sera un échec, tout ce qu'on parviendra à faire, tout ce qu'on est parvenu à faire avec cette manœuvre, c'est de retarder un peu, à un coût exorbitant, ce qui va arriver de toute manière. Mais c'est une opinion qu'on n'a pas le droit d'exprimer sous peine d'être classé avec les gens qui, comme Donald Trump et les spectateurs de Fox News, pensent à l'économie avant de penser aux gens ou sont carrément persuadés que le virus est une sorte de complot. (Pour référence, voici quelqu'un avec qui je suis d'accord.)

Puis il y a la culpabilisation autour des conditions matérielles. Voilà : j'habite un appartement confortable et spacieux, avec un accès Internet qui marche du tonnerre, j'ai un supermarché juste en face de la rue, je ne manque de rien, je n'ai pas d'enfants à gérer, et j'ai le culot de me plaindre ! Indubitablement, je me sens morveux de me plaindre, alors qu'il y a des gens qui vivent dans des conditions réellement épouvantables (ce mini-documentaire est à cet égard édifiant) : mais l'argument ça pourrait être bien pire et il y a des gens pour qui ça l'est est toujours un mauvais argument, ne serait-ce que parce qu'il peut se retourner en ça pourrait être bien mieux et il y a des gens pour qui ça l'est, et de toute façon ce n'est pas le propos : je ne me plains pas des conditions matérielles de mon emprisonnement, je me plains de l'emprisonnement lui-même — une prison dorée reste malgré tout une prison, et d'ailleurs, dans la théorie pénale, que je sache, c'est bien la privation de liberté elle-même qui est censée servir de punition (punition que je considère maintenant comme cruelle, inhumaine et dégradante), pas la circonstance additionnelle que les prisons françaises sont surpeuplées, infectes, mal équipées et mal entretenues.

Ensuite il y a la culpabilisation du fait de partager mon malheur et de ne pas souffrir en silence. Nous sommes tous, après tout, dans le même bateau, et moi qui n'ai pas de légitimité particulière à me plaindre je me sens mal de jouer le rabat-joie face à ces gens qui sont ravis de profiter de ce moment pour faire du pain ou apprendre le géorgien. Je me sens particulièrement mal de faire subir à mon poussinet mes crises de sanglot où je n'arrive plus qu'à m'allonger sur le lit, prendre une peluche entre les bras, me mettre en position fœtale et ne plus bouger : je suis désolé qu'il ait à subir ça alors qu'il n'y est pour rien, et qu'il soit tout désemparé de ne pas pouvoir me réconforter.

Puis il y a la culpabilisation du fait d'être l'épidémiologiste de fauteuil qui prétend corriger les experts alors qu'il ne savait rien du sujet il y a deux mois. (Je l'ai évoqué ci-dessus.) Et de fait, je m'inquiète d'avoir viré crackpot sur le sujet, et vu mon état mental déplorable, je ne peux pas vraiment l'exclure.

Et enfin, bien sûr, il y a la culpabilisation du fait de ne plus arriver à travailler, accentuée par le fait que d'autres gens, manifestement, y arrivent (y compris au prix d'efforts héroïques pour faire, par exemple, un enseignement de qualité à travers une infrastructure inadaptée et bricolée à la dernière minute). Je vais voir comment me faire arrêter pour, au moins, régulariser ma situation, mais il est sûr que cela ne fera pas disparaître cette sensation de culpabilité.

Bref, je vais chercher à retourner voir un psychiatre, sans doute le même que j'ai consulté il y a un mois et demi, pour lui raconter ce que je viens de dire (et d'autres choses que je ne veux pas écrire ici) ; mais d'une part les circonstances actuelles font que ce n'est pas facile, d'autre part, les psys n'ont pas de baguette magique, mon poussinet est opposé par principe au fait que je prenne des médicaments (il a l'air de considérer les benzodiazépines et antidépresseurs comme le Mal incarné), et, si j'aurais peut-être des bénéfices à tirer d'une thérapie non-médicamenteuse à long terme, la vitesse hallucinante à laquelle mon état émotionnel s'est effondré et les circonstances parfaitement claires de cette dégradation laissent penser que le rétablissement ne peut passer que par la levée de ces circonstances, et je me demande bien dans quel état je serai quand Paris sera libéré (ce qui risque fort de ne pas se produire le 11 mai vu que Paris est un des départements les plus touchés par l'épidémie).

Ce n'est pas illégitime, dans une perspective utilitariste, de considérer que les dépressions et suicides qui seront causés par le confinement sont un dommage collatéral acceptable dans la lutte contre le Covid-19 (je parle en général : pour ma part je ne sais pas si je suis techniquement déprimé, et ce n'est d'ailleurs pas une question très intéressante ; je ne pense pas que je vais me suicider, au moins tant qu'il y a un espoir raisonnable que je puisse un jour reprendre une vie que je considère comme normale, et cet espoir n'est pas complètement mort). Après tout, même si le taux de suicide est effectivement décuplé, devenant ainsi comparable à ce qu'il est en prison, cela ne représentera qu'une quinzaine de milliers de personnes sur deux mois en France : c'est moins que le nombre de décès dus au Covid-19 sur la période, et nettement moins que le nombre dont on pense qu'on a évité. Néanmoins, si ce calcul utilitariste est mené, la moindre des choses serait qu'il le fût de façon transparente : qu'on dise clairement, on choisit de sacrifier tant de personnes (ou tant de personnes·années de vie) parce qu'on pense pouvoir en sauver plus. À l'heure actuelle, je n'ai pas l'impression que ce choix soit présenté dans ces termes, puisque les statistiques sur le suicides ne sont même pas menées dans le bulletin épidémiologique de l'agence nationale de santé publique (tout au plus apprend-on que 18% des Français présentent des symptômes de dépression reflétés par un score >10/21 sur la Hospital Anxiety and Depression Scale, mais on ignore malheureusement la valeur pré-épidémique). Et j'ai l'impression qu'il y a une réticence à justifier des choix de façon utilitariste (une sorte de slogan selon lequel on doit absolument et à tout prix sauver toute vie humaine, qui est patentement faux et même mensonger si on fait semblant d'ignorer toute une catégorie de victimes). À tout le moins, il serait bon de chercher à arrêter la culpabilisation infantilisante qui ne sauve personne et qui participe de façon particulièrement douloureuse à la spirale de la dépression.

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(dimanche)

Regard sur le passé et nouvelles spéculations pour l'avenir

S'il y a des gens qui sont tentés de trouver que je suis un bon analyste de la crise, je tiens à rappeler, comme preuve que ce n'est pas le cas, que le mois dernier j'avais proposé un certain nombre de scénarios possibles (et encore ici) qui se sont tous révélés faux, au moins pour autant qu'on puisse en juger à ce stade-là. Ce n'est pas anormal, on ne peut pas prévoir l'avenir. Ce qui n'interdit pas pour autant d'essayer, ne serait-ce que pour tromper la peur de l'inconnu et la douleur d'être prisonnier (ou simplement parce que le cerveau refuse tout simplement de faire autre chose, ce qui est mon cas en ce moment).

C'est aussi intéressant de faire des prédictions pour analyser a posteriori ses erreurs. Il me semble que la principale faute que je retiens de mes analyses passées ne concerne pas l'aspect épidémiologique (même s'il y en a : je pensais qu'on verrait beaucoup plus vite et plus nettement les effets du confinement, alors qu'en fait, les contaminations ont traîné plus longtemps que je pensais ; aussi, j'ai pensé que le taux de létalité serait bien plus clairement lisible qu'il ne l'est, même à ce stade-là), mais plutôt l'aspect sociétal.

Au tout début de l'épidémie (voir autour d'ici ; je crois que c'est ici que je l'ai dit en premier, mi-février), je prévoyais quelque chose comme 0.1% à 1% de morts (c'est-à-dire entre l'équivalent de 1 mois et 1 an de mortalité toutes causes, ou entre 100 000 et 500 000 morts en France), étalé sur une période de trois à six mois. J'ai essayé de me préparer mentalement à ça (par exemple en essayant d'estimer combien de personnes je connais et d'imaginer différents scénarios où une sur mille, ou une sur cent, décède aléatoirement). Mais pour ce qui est de mon erreur, je pensais honnêtement que la société l'accepterait (pas dans l'indifférence, certainement pas pour 1%, mais 0.1% je le pensais vraiment) : la grippe de 1918 a tué autour de 3% (de l'ensemble de la population mondiale) et il n'y a pas eu confinement généralisé de l'ensemble de la planète, pas même des parties qui n'étaient pas occupée par la guerre ; les grippes de 1957 et 1968 ont fait des dizaines de milliers de morts en France (le nombre exact est très incertain) et il semble qu'on l'ait peu remarqué sur le moment et qu'on s'en souvienne à peine maintenant ; donc sur la base de ces données historiques je me suis dit que ça se passerait un peu pareil. Je me suis dit que si la mortalité était de 0.1% cela ferait un treizième mois de mortalité, ou dix fois celle de la grippe saisonnière ; et que même 1% la société l'accepterait encore avec résignation.

Le moins qu'on puisse dire, donc, est que j'étais complètement (mais vraiment complètement) à côté de la plaque en ce qui concerne aversion de notre société au risque et à la mort. (Pour comparer aux chiffres de 0.1% à 1% que je viens d'évoquer, la France a actuellement officiellement une mortalité cumulée de 0.025% par Covid-19, l'Espagne de 0.04%, et on ne peut pas dire que ce soit bien accepté.)

C'est-à-dire, donc, que j'ai vu l'épidémie venir depuis bien longtemps, mais je n'ai pas du tout vu le confinement venir. Fin février, je pensais encore que le confinement c'était bon pour un régime autoritaire comme la Chine mais que l'Europe ne ferait jamais quelque chose de ce genre. Je ne dis pas que je pensais qu'on ne ferait rien : mais que le mouvement d'aplatir la courbe se contenterait d'interdire les rassemblements, de fermer les écoles et certains lieux publics comme les bars et cinémas, de prendre des mesures d'hygiène publique supplémentaires, et que ce serait à peu près tout (bon, je ne pensais pas non plus qu'il y aurait une pénurie de masques aussi grave et aussi durable) ; jusqu'à ce qu'on atteigne le pic épidémique avec un nombre de morts dans la fourchette que j'ai dite. À partir du moment où l'Italie a imposé un confinement généralisé à sa population, comme je ne m'étais pas du tout préparé à cette idée, quelque chose s'est cassé en moi et j'ai multiplié les crises d'angoisse. J'étais notamment paniqué par la possibilité[#] d'un effondrement systémique complet (qui tuerait, lui, pas 0.1% ou 1% mais quelque chose comme 99.9% de la population humaine) si le monde s'arrêtait complètement : je suis un peu rassuré qu'il n'ait pas eu lieu, même si je n'exclus pas que la crise économique qui va suivre provoque quand même cet effondrement avec retard.

[#] Pour les gens qui ont du mal avec les nuances, quand je dis la possibilité, je ne suis pas en train de dire que ça va se produire, ni que je pense que ça va se produire, ni que je le pensais à ce moment-là. Je dis que je pensais que la probabilité me semblait très désagréablement élevée. Disons peut-être 5% : si je pense que quelque chose a 5% de chances de se produire, ce n'est pas en me disant tiens, tu vois ! ça ne s'est pas produit (voyez ce que j'écrivais ici ou bien plus tôt ici sur la difficulté de donner un sens à des probabilités quand on fait des prédictions, en l'occurrence électorales). Mais si j'estime à 5% la probabilité de causer la mort de 99.9% de la population humaine c'est bien plus inquiétant que la mort certaine de 0.1% à 1% de cette population. Maintenant je révise cette estimation à seulement 1% ou 2% : ça reste toujours très préoccupant.

Je me suis aussi fait avoir (et me suis senti profondément trahi) quand les dirigeants français ont annoncé successivement, à quelques jours d'intervalle, le (fermeture des écoles et universités, encouragement au télétravail, déprogrammation des interventions médicales non urgentes), le (fermeture de tous les commerces et lieux publics non jugés indispensables) et enfin le (confinement à domicile) des mesures incroyablement différentes dans leur niveau de restriction, et ce malgré l'absence de toute donnée nouvelle justifiant ces changements d'attitude : donc là aussi, j'ai eu la naïveté de penser que les mesures annoncées solennellement au jour J reflétaient un choix effectué par le gouvernement et qu'il ne changerait pas d'avis le surlendemain, puis le surlendemain du surlendemain pour finalement faire comme en Chine. (Disons que si vous allez voir votre médecin pour une maladie, qu'il vous prescrit juste du repos et du paracétamol et que quatre jours plus tard sans nouvel examen ou résultat d'examen il vous dit que vous devez faire une opération lourde en urgence, vous êtes en droit de vous demander pourquoi il ne vous a pas dit ça au début.) Si je vois une trahison à propos du premier tour des élections municipales, c'est bien ça : pas qu'il ait eu lieu, mais qu'à cause de lui on ait caché les vraies mesures en annonçant des mesurettes et en laissant penser qu'on s'arrêterait là.

Tout ça pour dire que, même si j'ai clairement annoncé à tout le monde dès février que c'était évident que la Chine n'arriverait pas à contenir l'épidémie et que cette dernière arriverait en Europe, je ne suis quand même pas bon du tout pour prévoir l'avenir. (Je ne suis pas en mauvaise compagnie. Asimov aimait bien rappeler, quand on chantait ses louanges comme visionnaire, qu'il avait prédit que personne n'escaladerait jamais l'Everest… sept mois après la première ascension réussie de l'Everest.)

Mais ça ne m'interdit pas pour autant de réessayer. Voici donc mes nouvelles spéculations pour l'avenir, en essayant d'être plutôt optimiste : encore une fois, il s'agit simplement de ce que mon pipotron suggère comme plausible, un scénario sur lequel j'ancre mes perspectives pour l'avenir, et dont il sera intéressant d'analyser combien je me serai trompé, ce ne sont absolument pas des prédictions scientifiques et je n'ai pas de manuel de psycho-histoire en cours d'écriture.

(Activation du pipotron.)

Au cours des prochains 24 jours, si le confinement tient à peu près, le nombre de morts quotidien du Covid-19 en France va décroître graduellement jusqu'à environ 200 par jour, amenant le total jusqu'à un peu en-dessous de 30 000. À ce stade-là, environ 10% ou 15% de la population du pays aura été infectée[#2] (plus dans les sous-populations à haute contagiosité) et sera, pour l'essentiel, immune[#3]. Si les Français décident de braver les interdictions (ce qui semble de plus en plus probable, et on n'a pas assez de policiers pour en mettre derrière chacun), ce sera un peu plus sur chacun de ces nombres. Peut-être jusqu'à 20% d'infectés ? Cela ne suffira pas, et de loin, à constituer une immunité grégaire (concept éminemment périlleux à définir, et notamment plus complexe que la formule 1 − 1/R) au sens où on pourrait relâcher toute mesure de distanciation sociale, mais cela aidera néanmoins.

[#2] Nombre de cas et de morts estimés sur la base d'une décroissance de 6%/j environ. Nombre d'infectés estimés sur la base de 30 000 morts divisés par un taux de létalité parmi toutes les infections autour de 0.35% trouvé par ces gens-là. Mais je répète que tout ça n'est que ce que suggère mon pipotron.

[#3] Je sais que maintenant on ne peut plus dire immun sans qu'il y ait des gens qui vous disent une variante de l'ImMuNiTé Ça Ne MaRcHe PaS ! (sous différentes variantes : il y a eu des cas de réinfections, on ne sait pas combien de temps ça dure, etc. ; exemple A, exemple B, exemple C). Le problème principal est que les gens confondent l'affirmation il y a des gens chez qui l'immunité provoquée par la maladie semble être insuffisante et on n'a pas de preuve qu'elle dure très longtemps avec ça ne marche pas du tout et ça ne dure pas du tout : et que les gens oublient qu'il y a maintenant tellement de cas de gens infectés et même rétablis que si seulement 1% d'entre eux ont une immunité insuffisante, ça va suffire pour faire des titres sensationnels alors que les gens qui ont une bonne immunité après une première infection, par définition, on ne les voit pas. Je n'aime pas renvoyer à la presse généraliste sur ce genre de sujets, mais je trouve que cet article de Time et celui-ci de Libération font bien le point. (Évidemment, s'il n'y a que 70% des gens infectés qui sont immunisés, et/ou si cette immunité ne dure qu'un an, c'est une bien mauvaise nouvelle ; mais si on en est à imaginer des scénarios catastrophes on peut aussi imaginer celui où le virus mute et devient beaucoup plus létal lors de sa seconde vague et que les gens immunisés lors de la première ont bien de la chance d'être protégés lors de la seconde, comme cela s'est produit avec la grippe en 1918 : dans un tel scénario, limiter la propagation du virus serait une terrible erreur : au bout d'un moment, on ne peut pas toujours prévoir le pire.)

L'Europe va progressivement relâcher ses mesures de confinement (l'Autriche et le Danemark ont déjà ouvert la danse ; la Suède n'en a jamais pris ; je ne sais pas ce que la France fera exactement le 11 mai[#4], l'ouverture des écoles sera probablement retardée, mais il est peu vraisemblable qu'elle reste exactement dans l'état actuel dès lors qu'une date a été annoncée et que d'autres pays auront fait des pas). On tentera de mettre en place des mécanismes de suivi des contacts, mais ces mécanismes seront un échec complet, parce que l'aspect technique aura été mal fait (déjà les gens qui lancent de telles applications n'arrivent pas à s'entendre, ni à développer quelque chose d'ouvert et transparent) et parce que l'Europe n'est pas la Corée. On améliorera le nombre et la disponibilité des tests, mais ils resteront toujours insuffisant, et de même pour les masques. En revanche, ce qui marchera le mieux est simplement que les gens auront pris peur et maintiendront des efforts assez importants de distanciation sociale (pas tous, mais ceux qui font le moins d'efforts feront justement partie de ceux qui auront été déjà contaminés). Et aussi, on connaîtra progressivement de plus en plus de choses sur les modes réels de contamination, ce qui permettra de cibler les efforts et les recommandations sur ceux qui sont les plus importants. Bref, l'épidémie repartira à la hausse après la levée du confinement, mais à un rythme beaucoup plus modéré que début mars.

[#4] Le plus important à mes yeux, et ce sur quoi je m'inquiète donc le plus, est qu'on ait de nouveau le droit de circuler[#5] à peu près librement sans avoir à remplir un formulaire délibérément pénible et humiliant. Le plus important économiquement est sans doute de rouvrir les commerces non « essentiels ». Manifestement il y a des variations entre pays dans l'ordre dans lequel les choses ont été classées : j'ai retenu qu'un pays européen, mais je ne sais plus lequel, avait rouvert les restaurants (mais pas les bars, et évidemment avec des règles assez strictes) avant de rouvrir les écoles, alors que la France parle de faire le contraire. Mais la vraie question épineuse va être celle de savoir comment sont gérés les transports en commun, parce que pour pratiquer la distanciation sociale dans la ligne 13 du métro parisien toujours bondée et indispensable à tant de monde, bon courage.

[#5] Enfin, pas le droit mais la permission : comme je l'ai souligné ici, si on peut vous retirer un droit c'est que vous n'avez jamais eu ce droit, donc le droit de circuler n'existait, en fait, pas, seulement l'illusion de ce droit. (Pour savoir dans quels pays il existe vraiment il faudrait trouver ceux où les gouvernements ont expliqué qu'ils recommandaient le confinement mais qu'il serait ultra vires pour eux de l'ordonner : y en a-t-il ?)

Il y aura donc un nouveau pic épidémique, commençant peu de temps après la levée du confinement, mais nettement plus lent que le premier. Selon les pays, il sera plus ou moins important : évidemment il aura tendance à être d'autant plus important que le confinement aura été mené tôt lors du premier (supprimant l'acquisition d'immunité), mais il y aura aussi des différences intrinsèques entre pays. Néanmoins, comme les protocoles médicaux seront un peu mieux rodés, les options thérapeutiques un peu mieux connues et les mystères entourant la maladie un peu dissipés[#6], cette seconde vague enregistrera un taux de létalité plus faible. (Contrairement à la grippe, qui en 1918 était revenue beaucoup plus létale lors de la seconde vague, il ne devrait pas y avoir de mutation significative du virus.) En France, étant bien entendu que j'invente complètement ces chiffres, le Covid-19 contaminera de nouveau 10% de la population et tuera encore une dizaine de milliers de personnes. Certains pays mettront de nouveau en place un confinement, mais ils seront moins nombreux que la première fois (car le premier aura donné des résultats mitigés rendant l'opinion publique plus sceptique quant à cette approche ; parce que la vitesse du nouveau pic aura moins tendance à submerger les services d'urgence ; et parce que l'économie ira tellement mal qu'on ne pourra tout simplement plus se le permettre). Il y aura sans doute encore un troisième pic, puis peut-être un quatrième, mais de moindre ampleur, et finalement le Covid-19 deviendra une maladie endémique jusqu'à ce que peut-être un vaccin soit mis sur le marché. Au final, en France, le nombre de morts s'élèvera à environ 70 000 (officiellement dénombrés : en réalité plutôt près du double si on se base sur la surmortalité), les autres pays d'Europe s'en sortant soit mieux soit moins bien mais de façon guère différente. La mortalité dans le monde, en revanche, sera gigantesque parce qu'en Inde elle tournera autour de 1%, ce qui représente déjà 15 millions de morts.

[#6] Il y a une piste dont je voudrais bien savoir ce qu'elle apporte réellement comme espoir, ce n'est pas la choloroquine ni un quelconque antiviral, mais la sérothérapie (injection d'anticorps d'un patient convalescent chez un autre patient). J'ai vu des articles plutôt encourageants, mais en ce moment on voit 1001 articles annonçant une percée décisive à travers 1001 remèdes miracles, et manifestement le remède miracle n'existe pas. Bref, je ne sais pas à quel point la sérothérapie marche, mais ce « remède »-là a au moins un avantage immense par rapport à toute molécule de synthèse, c'est que la disponibilité du remède croît assez bien avec ses besoins : presque par définition, dans une épidémie, on ne risque pas de tomber en problème d'approvisionnement.

En revanche, la crise économique qui va suivre sera d'une ampleur sans précédent, et le nombre de morts (ou plutôt la perte d'espérance de vie) qu'elle causera[#7] sera nettement supérieur à ce qui aura été causé par la maladie. Et ce, sans compter les effets à travers le changement climatique (les transports en commun vont être délaissés pour la voiture individuelle, d'autant plus que le prix du pétrole aura temporairement plongé ; et comme cela va se produire notamment en Chine, l'impact sur le climat sera désastreux, compensant très largement le petit effet bénéfique d'une baisse temporaire d'activité économique). Je vois également des conséquences très sombres sur les libertés individuelles et la démocratie. On peut toujours espérer voir un silver lining ici ou là, mais je suis vraiment sceptique (certains espéraient, par exemple, que le Covid-19 empêcherait la réélection de Trump à la Maison-Blanche : cela semble plutôt parti pour le contraire, sauf s'il devait personnellement mourir de la maladie ; je suis tout aussi incrédule quand certains espèrent qu'on verra une réorientation de l'économie vers plus de services publics ou quelque chose de ce genre : elle sera tellement à genoux que je m'attends plutôt à des décisions comme une baisse de salaire et retraite de 15% de tous les fonctionnaires sauf hospitaliers ou policiers).

[#7] On remarquera, pour reprendre la comparaison que je faisais dans la précédente entrée de ce blog, que les économistes sont plus prudents que les épidémiologistes : ils n'ont pas osé annoncer un chiffre à ce sujet (ils font des prévisions en termes de PIB perdu, mais ne traduisent pas ça en coût humain) alors que les épidémiologistes, qui n'en savent pas plus, n'hésitent pas à faire des prévisions en nombres de morts. C'est tout à l'honneur des économistes de ne pas avancer des chiffres tirés de leur chapeau, mais l'inconvénient est que cela encourage le public à oublier que, oui, les crises économiques se traduisent aussi par une perte d'espérance de vie et pas juste les crises sanitaires. J'ai tenté un ordre de grandeur sur la base de la corrélation entre PIB et espérance de vie : il est clair que ce calcul ne vaut rien, mais il suggère au moins qu'il n'y a pas particulièrement de raison de penser que la crise économique serait moins grave que la crise sanitaire.

(Fin d'activation du pipotron.)

Voilà, maintenant il n'y a plus qu'à attendre pour savoir dans quelle mesure j'aurai été ridiculement à côté de la plaque avec ces prévisions.

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(mardi)

Méfions-nous de la modélisation « mathématique » des épidémies

Je vois passer de plus en plus de gens qui expliquent qu'une modélisation épidémiologique produite par Imperial College ou une étude de l'INSERM montre que ceci-cela. Je voudrais attirer l'attention sur l'extrême prudence avec laquelle il faut lire les résultats de toutes les modélisations épidémiologiques, et rappeler les limites de l'exercice. Prudence dont ne font d'ailleurs pas toujours preuve les gens qui annoncent ces résultats : mon but n'est certainement pas de traiter les épidémiologistes de charlatans, mais de souligner que :

  • nous ne disposons d'aucune sorte de modèle capable de prédire l'avenir avec un quelconque degré de fiabilité (à la fois par manque de données à mettre en entrée de ces modèles et par difficulté intrinsèque dans la modélisation), seulement de montrer quelques unes des possibilités qualitatives, et
  • ce n'est pas pour autant que ces modèles ne servent à rien, simplement il ne faut pas les utiliser comme des boules de cristal.

Bref, mon message principal en tant que mathématicien est que les épidémiologistes ne sont pas Hari Seldon, et que tout le monde doit avoir ce fait en tête (eux-mêmes comme ceux qui lisent leurs rapports). Ce qui ne veut pas dire qu'ils n'ont pas de messages importants à faire passer, ni que les modèles mathématiques n'ont rien à nous dire, ils sont très importants pour naviguer entre les possibles, mais il faut apprendre à faire preuve de la même prudence épistémologique que vis-à-vis de l'utilisation des mathématiques en économie ou en sociologie, et pour l'instant ce n'est pas gagné.

Cette entrée de blog est une version développée (et traduite en français) de ce fil Twitter [lien Twitter direct]. Il peut être utile de commencer par lire ce que j'ai écrit dans cette entrée-ci (qui est elle-même un développement+traduction de ce fil Twitter [lien Twitter direct]) où j'attire l'attention sur l'importance des effets des structures sociales locales qu'aucun modèle épidémiologique ne prend sérieusement en compte (voire, du tout).

Bref, je voudrais expliquer pourquoi l'utilisation de modèles pour simuler les épidémies ne marche tout simplement pas quand il s'agit de prédire l'avenir (et pourquoi ça ne signifie pas que ces modèles sont inutiles). Et aussi pourquoi le nombre de reproduction (dont tout le monde s'est mis à parler) est une quantité très problématique.

Quand une épidémie commence, on voit une croissance exponentielle bien prévisible. Ce qu'on voudrait que nos modèles nous disent, c'est quand et comment cette croissance exponentielle va ralentir puis s'arrêter, combien de personnes seront infectées, et combien mourront. Désolé, mais ça ne marchera pas.

Bien sûr que nous avons un modèle simpl(ist)e qui décrit une épidémie simple avec une contagiosité constante dans une population homogène avec mélange parfait entre individus. Ce modèle s'appelle SIR et il est la base de la base en épidémiologie : j'en ai parlé sous l'angle mathématique dans cette entrée de blog, puis j'ai parlé d'une variante (où le rétablissement se fait en temps constant) dans celle-ci, et j'ai écrit une note plus technique comparant les deux variantes.

Et bien sûr SIR vient avec toutes sortes de variantes plus sophistiquées, comme SEIR qui ajoute une période d'incubation, ou des variantes compartimentées par âge, géographie, etc. Et on peut crée des modèles stochastiques (basés sur des simulations d'un grand nombre d'individus plutôt que des équations différentielles). Mais dans toutes ces variantes, on a un certain nombre de problèmes fondamentaux, soit dans les modèles et ce qu'ils prennent en compte, soit dans les données qu'on peut leur fournir en entrée.

D'abord, il y a les inconnues sur le plan médical. J'en parle dans l'entrée précédente, mais rappelons quelques zones d'ombre. On ne sait toujours pas la chose la plus importante, à savoir combien il y a réellement de cas de Covid-19, et combien d'asymptomatiques. Des tests sont en train d'être fait, des tests aléatoires apparaissent timidement, mais pour l'instant les résultats vont dans tous les sens, semblent se contredire de façon impressionnante, et suggèrent donc surtout qu'il y a beaucoup plus d'inconnues qu'on ne le pensait. Et bien sûr, le nombre de cas étant inconnu (et, dans une moindre mesure, le nombre de décès l'est aussi), le taux de létalité l'est également. Des estimations varient de 0.1% à plus de 5%, ce qui donne une idée de l'étendue de notre ignorance ! En fait, le taux de létalité dépend sans doute de toutes sortes de facteurs (médicaux comme le mode de transmission ou la dose contaminante, et bien sûr démographiques, sociologiques, économiques). Les choses ne sont pas franchement meilleures du côté de la contagiosité ou du nombre de reproduction (je vais revenir sur le nombre de reproduction).

(Les difficultés que je viens de décrire sont assez bien exposées ici par FiveThirtyEight et ici sous forme de bande dessinée par Zach Weinersmith. Mais elles sont loin d'être toute l'histoire, et c'est aussi le reste que je veux souligner ici.)

Maintenant, ce que SIR nous dit, c'est quelque chose comme l'épidémie a une croissance exponentielle jusqu'à ce qu'il y ait une immunité significative qui la ralentit, et alors elle fait un pic. Si on ne sait pas combien de cas on a en vrai, on ne connaît pas le degré d'immunité, donc le modèle ne nous dit pas grand-chose.

Alors on pense peut-être mais justement, je vais peut-être pouvoir lire le niveau d'immunité depuis la courbe des cas passés et la manière dont elle s'infléchit. Mais non : d'une part, la courbe est beaucoup trop bruitée pour qu'on puisse lire autre chose qu'une vitesse de croissance exponentielle grossière (et même ça, on la lit mal) ; et d'autre part, la croissance exponentielle peut ralentir pour des tas de raisons différentes non gérées par le modèle, comme des mesures extérieures (confinement) ou un changement de comportement spontané par exemple sous l'effet de la peur (je vais y revenir).

Et ce n'est toujours pas la fin de l'histoire. Je veux encore expliquer que même si les gens ne changeaient pas du tout leurs habitudes (ce qui élimine les inconnues comportementales) et même si on connaissait exactement le nombre d'infections et le taux de létalité (ce qui élimine les inconnues médicales), il y aurait encore trop d'inconnues à cause des effets sociaux. Détaillons, parce que ça c'est une catégorie de problèmes dont on ne parle pas assez parce que trop de gens n'ont que SIR dans la tête.

Encore une fois, j'ai parlé de ces aspects dans une entrée passée (qui est elle-même un développement+traduction de ce fil Twitter [lien Twitter direct]), où j'ai expliqué pourquoi ces effets sociaux peuvent (en principe !) dramatiquement diminuer le taux d'attaque, mais je veux présenter les choses ici sous un angle différent en insistant sur la manière dont ils rendent les prévisions essentiellement impossibles.

Expérience de pensée. Considérons la même épidémie dans deux pays différents et idéalisés, disons de même population totale. Dans le pays A, la population est assez homogène, l'épidémie suit le modèle SIR de façon assez précise ; dans le pays B, la population est divisée en deux sous-populations : la (sous-)population B₁ se comporte comme le pays A (l'épidémie y a la même dynamique), mais dans la population B₂ elle a une contagiosité bien plus faible parce que ces gens ont moins de contacts entre eux. La division entre B₁ et B₂ pourrait être géographique (p.ex., population urbaine et rurale) mais elle pourrait aussi suivre des catégories sociales (organisation familiale, type d'habitat, travail, mode de transport, que sais-je encore) : mon but est juste de montrer en comparant deux situations simples qu'on peut complètement faire échouer les prédictions d'un modèle.

Bref, quand on observe ce qui se passe avec l'épidémie dans les deux pays, au début, A et B se comportent de la même manière. Seulement, dans le pays A, l'épidémie infecte tout le pays alors que dans le pays B elle infecte seulement la sous-population B₁ et ne va essentiellement nulle part dans B₂ : mais la différence ne saute pas aux yeux, parce que la croissance exponentielle est la même (une croissance exponentielle sur 50 millions d'habitants ou sur 10 de ces 50 millions, c'est toujours une croissance exponentielle…), et les stats publiées ne permettent pas forcément de voir la distinction entre B₁ et B₂. (Bien sûr, si la distinction est aussi évidente qu'une distinction géographique du genre urbain/rural, ça va se voir assez facilement, mais si c'est une distinction liée à des facteurs socio-économiques plus subtils on risque de ne pas du tout pouvoir la détecter dans les données.) Bref, on s'imagine que A et B se comportent pareil, et on lit les paramètres épidémiologiques (contagiosité, nombre de reproduction) sur cette base.

Seulement voilà qu'on atteint le point où, dans le pays B, la sous-population B₁ atteint une immunité significative et l'épidémie ralentit, tandis que dans A elle continue au même rythme parce qu'il faut que tout le pays atteigne une immunité suffisante. Et du coup, au bout du compte, on se retrouve avec des taux d'attaques très différents : dans A l'épidémie infectera x% de la population comme prédit par SIR alors que dans B elle infectera seulement x% de B₁ (et presque rien de B₂) ce qui fait beaucoup moins que x% de l'ensemble ! Le modèle qui marchait très bien au début cesse brutalement de marcher dans le pays B, alors qu'il continue à marcher dans A, parce qu'on ignorait une subdivision sociale importante, qu'on ne pouvait pas lire dans la courbe des cas au début de l'épidémie.

Ceci, bien sûr, est hautement simplifié (mon but est simplement de montrer par l'absurde qu'il n'est pas possible de faire des modèles qui marcheront sur la base d'observations plus grossières que les structures sociales pertinentes), mais cela donne un exemple de ce qui peut se passer.

Notamment, quand on parle du nombre de reproduction d'une épidémie, c'est un nombre synthétique, tellement synthétique qu'il en devient presque dénué de sens : l'épidémie progresse dans différentes sous-populations avec des dynamiques différentes, en gros selon des exponentielles. Mais dans une somme d'exponentielles, on ne voit que l'exponentielle qui a la croissance la plus rapide, les autres sont perdues dans le bruit de celle-ci. Donc quand on dit qu'on observe un nombre de reproduction de 3 (disons), ce que ça veut vraiment dire, c'est que au sein de la sous-population qui subit la croissance la plus rapide de l'épidémie le nombre de reproduction a cette valeur : ça ne nous dit essentiellement rien sur la taille de cette sous-population ou la valeur du nombre de reproduction dans d'autres sous-populations, et on ne peut pas lire ces informations sur les statistiques de nombres de cas.

Donc à moins d'avoir accès à des données géographiques et socio-économiques extrêmement fines sur les personnes infectées (ce que nous n'avons pas, on a à peine quelques informations sur l'âge et le sexe), on n'a simplement aucun moyen de savoir comment l'épidémie se propage différemment dans différentes sous-populations et, du coup, comment elle évoluera à l'avenir. (Tout ceci n'a rien à voir avec les inconnues d'ordre médical évoquées plus haut.)

Et ces problèmes d'imprédictibilité sont encore accentué par le fait que, évidemment, les gens modifient leurs comportements en réponse aux informations qu'ils entendent (et leur peur de l'épidémie) et pas juste en fonction de ce que les autorités leur ordonnent (confinement par exemple). Donc si on voit la croissance exponentielle ralentir, il est essentiellement impossible de savoir si c'est parce qu'une sous-population commence à devenir significativement immunisée, ou simplement parce que les gens changent leurs comportements, ou une combinaison de ça.

Et inutile de dire qu'il n'y a aucune modélisation satisfaisante de comment les gens réagissent à une épidémie et changent leurs comportements, ou quels effets ces changements auront sur la contagiosité de l'épidémie.

Dois-je rappeler que, s'agissant du Covid-19, on ne sait même pas comment, dans quelles circonstances, et chez qui la plupart des infections se produisent ? (Contacts directs de personne à personne, contaminations par les surfaces, contaminations par l'air, contaminations par les aliments…) Donc même si on avait une mesure fiable de combien de la réduction des contacts professionnels, ou amicaux, ou dans les transports, on ne saurait pas pour autant en déduire l'effet sur la contagiosité.

Bref, pour résumer, essayer de prédire une épidémie avec des modèles est un peu comme essayer de prédire la météo deux semaines à l'avance en utilisant juste la mesure de la température dans quelques grandes villes. Ah, et les thermomètres ne sont même pas calibrés de la même manière ! (Parce que, bien sûr, différents pays ou états ont des manières complètement différentes de tester, de mesurer le nombre de cas et le nombre de décès, et de publier leurs statistiques ; et la documentation de ces informations est confuse. Quel chaos !)

Si un modèle est trop simple, il rate des choses essentielles et donnera des résultats faux. Alors bien sûr on peut essayer de construire un modèle hautement sophistiqué qui tiendra compte de tout : mettre un zillion de paramètres différents pour tenir compte des sous-populations géographiques et socio-économiques, des réactions comportementales à l'épidémie, des complexités médicales (comme la gravité des cas et des variations de contagiosité qui vont avec), de la prise en charge hospitalière, de la publication des statistiques, des échanges internationaux et des cas importés, bref, la totale.

Mais au final on se retrouve à modéliser toute la société, et il y a une raison pour laquelle la psycho-histoire n'existe pas : quand il a trop de paramètres, un modèle devient inutilisable pour faire des prévisions : on peut l'ajuster à n'importe quelle observation en réglant les paramètres. (Grosso modo, un modèle ne doit pas avoir plus de quantité d'information dans ses paramètres qu'il n'y en a dans les observations qu'on lui soumettra. Or, s'agissant de l'épidémie, les observations sont tellement bruitées qu'elles ont très peu d'information vraiment utile.)

Tout ceci ne signifie pas que les modèles sont inutiles : ils sont inutiles pour faire des prévisions de ce qui va se produire ; mais ils sont utiles pour comprendre les sortes de phénomènes qui peuvent se produire. Même si on n'a que des observations pourries de thermomètres pourris, on peut théoriser toutes sortes de choses intéressantes sur la météo (comme ce qu'est un anticyclone et comment il aura tendance à se comporter). Par exemple, j'ai expliqué à travers des modèles-jouets liés ci-dessus que les effets sociaux peuvent diminuer le taux d'attaque et un rétablissement en temps constant aura tendance à rendre le pic épidémique plus haut et serré (par rapport au modèle SIR) : ce sont des effets généraux, je ne peux pas prédire par combien (surtout pour le premier), mais ces effets sont importants à noter et à comprendre.

Mais tous ceux qui font tourner des simulations épidémiques sur ordinateur, aussi sophistiqués que soient leurs modèles (voire d'autant plus que leurs modèles sont sophistiqués et ont plein de paramètres) devraient faire preuve de la plus extrême modestie en mettant en avant les prévisions de leurs modèles comme des indications de ce qui va se passer. Et ce même s'ils ont eu raison par le passé : après tout, le modèle trivial qui prédit une croissance exponentielle illimitée sera correct jusqu'à un certain point où tout d'un coup il cesse de l'être — toute la difficulté est de prédire ce point, et on ne peut peut-être pas faire mieux qu'une vague intuition.

De même, toute personne utilisant le terme nombre de reproduction devrait garder à l'esprit qu'il est à peu près aussi informatif que la température moyenne sur l'ensemble de la Terre quand on parle de météo : on ne sait pas pour quelle sous-population on le mesure, ni ce qui l'influence. (Et aussi, je n'en peux plus de tous ces gens qui affirment sans nuance que le seuil d'immunité grégaire est autour de 60%–70% sur la base d'un nombre de reproduction de 3 et du modèle SIR homogène complètement faux.)

Maintenant, ce qui m'inquiète surtout avec tout ça, c'est que les hommes politiques risquent d'écouter les épidémiologistes qui parlent le plus haut et fort des qualités de leur modèle, et/ou ceux qui ont une réputation de grands pontes (ce sont souvent les mêmes), comme les hommes politiques ont tendance à écouter les infectiologues qui parlent le plus haut et fort des qualités de leur remède miracle préféré et/ou ont une réputation de grands pontes. Or les gens les moins modestes ne sont pas forcément les plus compétents.

Je pense, comme je l'ai suggéré en introduction, qu'il est assez pertinent de comparer l'épidémiologie à l'économie ou à la sociologie (qui ne sont d'ailleurs pas si éloignées) plutôt que, disons, à la climatologie comme je l'ai peut-être malheureusement suggéré dans ce qui précède (comparaison qui a du sens pour d'autres raisons) : il s'agit de modéliser des phénomènes humains profondément complexes dont certains aspects, mais pas tous, se laissent bien mettre en équations. Les modèles mathématiques ont tout à fait leur place dans toutes ces disciplines, il ne faut pas en avoir peur ni les refuser par principe : mais il faut être bien conscient de leurs limites, à la fois leurs limites intrinsèques, leurs limites dues aux limitations des données et observations qu'on peut leur fournir en entrées, et leurs limites dues aux présupposés de ceux qui les développent ou appliquent.

Sur ce dernier point, je veux souligner qu'il existe des économistes plus ou moins à gauche ou à droite sur le spectre politique, et ils ont tendance à trouver des modèles qui confortent leurs opinions politiques préexistantes. (Bien sûr, on peut espérer que la causation ait lieu plutôt dans l'autre sens, que leurs opinions politiques découlent de ce que leurs modèles leur disent, mais qui y croit.) Ce n'est pas forcément damnant, mais ça doit justement nous aider à nous rappeler la limite de ces modèles. Je pense qu'il en va de même des épidémiologistes : qu'il en existe des confiniens et des immunitaristes et que leurs modèles vont, comme par hasard, montrer surtout les avantages des stratégies de type ① contenir ou ② mitiger. Encore une fois, ce n'est pas forcément damnant, il faut juste se rappeler que le modèle n'est pas la vérité révélée mais incorpore une bonne partie des présupposés de ceux qui l'ont développé.

Mais la différence avec l'économie ou la sociologie est que nous avons collectivement appris (du grand public aux politiques, en passant par les chercheurs eux-mêmes), au moins dans une certaine mesure, à évaluer avec prudence ce que disent les économistes et sociologues et à nous rappeler qu'ils peuvent être orientés politiquement : alors que, s'agissant de l'épidémiologie, notre capacité à mettre en doute et en perspective n'est sans doute pas bien développée — nous sommes, si j'ose dire, immunologiquement naïfs vis-à-vis des préjugés et autres limitations des modèles des épidémiologistes autant que nous le sommes vis-à-vis du nouveau virus. Nous n'avons aucune habitude du fait que l'épidémiologie occupe un terrain aussi exposé médiatiquement, — ces gens sont des médecins ou des mathématiciens, professions entourées d'un certain préjugé de respectabilité ou de fiabilité, ils ont des méthodes qui ont l'air sérieuses (des équations différentielles ! des statistiques bayesiennes !), — du coup, nous avons tendance à leur faire confiance : ce qui n'est pas injustifié, heureusement, mais cette confiance peut dépasser la précaution que toutes ces prévisions demandent. Et la même chose vaut pour les épidémiologistes eux-mêmes, portés tout d'un coup sur le devant de la scène mondiale, et qui doivent à la fois livrer des prévisions que tout le monde leur réclame anxieusement, et se montrer meilleurs qu'une armée de charlatans amateurs qui réclament l'attention sur leurs innombrables variations autour de SIR : même s'ils ont développé une certaine réserve vis-à-vis de leurs propres résultats et de ceux des autres, les journalistes seront loin d'avoir cette même réserve. Le cocktail est épistémologiquement explosif.

Regardons un petit exemple pour illustrer les difficultés que je signale : le dernier rapport du laboratoire EPIcx de l'INSERM concernant l'Île-de-France. Pas que ce rapport soit plus problématique que les autres, mais il se trouve que tout le monde m'en parle en ce moment, alors je vais utiliser cet exemple.

Sur quoi se basent-ils donc ? Essentiellement un modèle SEIR (dans une variante stochastique) avec trois compartiments (sous-populations) par tranches d'âge (enfants, adultes, seniors), et une typologie assez complexe des stades de la maladie (période d'incubation, période présymptomatique mais infectieuse, période symptomatique) et des niveaux de symptômes (asymptomatiques, pauci-symptomatiques, moyennement symptomatiques, nécessitant une hospitalisation, nécessitant réanimation…), avec une modélisation assez fine du processus hospitalier. L'aspect médical de la simulation est donc assez raffiné — ce qui ne l'empêche pas de buter contre le problème que j'ai déjà mainte fois signalé qu'on ne sait toujours pas grand-chose sur la proportion de malades et de symptomatiques ! et qu'il leur faut donc choisir leurs chiffres parmi plein d'études contradictoires. L'aspect sociologique, lui, est complètement ignoré : de ce que je comprends, chacune des populations (enfants, adultes, seniors) est traitée comme complètement homogène et toute la sociologie est ramenée à des matrices de mélange entre ces populations selon les mesures de distanciation appliquées (et qui sont évaluées comme ils le peuvent). Aucune sorte de modélisation de la taille des familles n'est effectuée, par exemple (la contamination intra-familiale est simplement une composante de la contamination en général, comme si les contacts familiaux avaient lieu aléatoirement au sein d'une population homogène ; pourtant, la taille des ménages c'est au moins quelque chose sur quoi on a des données), aucune distinction entre travailleurs et télétravailleurs, aucune catégorisation selon l'usage des transports en commun, aucune catégorisation selon le nombre de contacts sociaux dont j'ai souligné l'importance, etc. Je n'arrive même pas à savoir s'ils ont fait une modélisation géographique. Il n'est même pas très clair, à la lecture du rapport, à partir de quoi ils estiment que le confinement réduit les contacts de 80%, j'ai l'impression qu'il s'agit d'une estimation à vue d'œil sur la croissance des cas (mais ce qui ignore le fait qu'une composante de la réduction de la croissance est liée à des mesures de distanciation spontanée de la population). Bref, énormément de limitations.

Ce qui n'est pas, encore une fois, un reproche grave — ni même un reproche tout court. Comme je l'ai dit plus haut, il est tout simplement impossible de faire un modèle complet. C'est normal.

Mais cela doit nous rappeler que les choix des phénomènes modélisés (ici, tout ce qui est médical est rendu avec une certaine finesse, ce qui est sociologique ne l'est pas du tout), et dans une certaine mesure les choix des paramètres parmi des estimations contradictoires, dépend des présupposés des modélisateurs. Donc en aucun cas les conclusions de leur modèle ne peuvent être considérées comme des prédictions, seulement des possibilités. (Ce qui ne m'empêche pas d'y croire globalement !) Le problème n'est pas dans les limitations du modèle, le problème est dans le langage utilisé dans la formulation des conclusions, qui ne fait pas preuve de la prudence séant à ce niveau d'incertitude (p.ex., intensive forms of social distancing are required présuppose à la fois que leurs estimations sont correctes et qu'on ait décidé de ne pas viser une immunité collective). Et si les auteurs du rapport sont certainement au courant des limitations de leur modèle, il aurait été de bon ton de les développer, parce que je ne pense pas que beaucoup de lecteurs fassent spontanément l'analyse que je viens d'expliquer dans les paragraphes précédents.

Il y a un autre problème qu'il faut que je discute (parce qu'il est en rapport, sinon avec ce que j'ai dit ci-dessus, au moins avec l'honnêteté de l'épidémiologie en tant que discipline), à la fois concernant le rapport de l'équipe de l'INSERM que contre celui d'Imperial College que j'avais évoqué ici. Disons que j'ai un reproche conditionnel à faire : je ne sais pas s'il faut le faire, j'espère que ce n'est pas le cas, mais si c'est le cas il est très grave à mes yeux.

Le problème est que je ne vois pas où est le code source de leur modélisation (je veux dire, le programme qui a servi à la calculer, et les données fournies en entrée). Je veux être prudent, donc, parce qu'il est possible (probable ?) que j'aie simplement mal regardé, et si on me signale qu'il fallait juste chercher à tel endroit, je me contente de dire ce n'était franchement pas très clairement indiqué ! (les mots source code ou équivalents devraient apparaître dans le rapport, il devrait y avoir un lien clair depuis la page web du labo, etc.).

En revanche si le code source n'est pas du tout rendu public, alors je dis franchement : cette attitude est indigne de chercheurs ou de scientifiques. En effet, le propre de la démarche scientifique est d'être reproductible : la sortie d'une modélisation n'a aucune valeur si on ne fournit pas les moyens de refaire cette modélisation (c'est-à-dire à la fois le programme utilisé pour la modélisation, et toutes les données qui lui ont été fournies en entrées). C'est bien de fournir une vague description du modèle utilisé (le nombre de compartiments de la population, les constantes de mélange, etc.) et de tracer quelques courbes que le modèle a produit en sortie, mais ça ne suffit en aucune manière (ne serait-ce que parce qu'il y a toujours des choses qui seront peu claires sur la description, par exemple quelle est la distribution de probabilité sur le temps de rétablissement ? j'ai montré que ça avait beaucoup d'importance).

Si tout un chacun ne peut pas faire tourner lui-même la simulation, jouer avec les paramètres et explorer ce que leur variation a pour effet, le modèle n'a pas de valeur scientifique et je considère qu'aucun journal ne devrait accepter de le publier. J'espère donc que j'ai simplement mal regardé et que le code source est disponible sur un GitHub que je n'ai pas vu. (En tout cas, j'attire l'attention sur le fait que dans la modélisation des effets sociaux que j'ai écrite il y a quelque temps, et dont je rappelle qu'elle ne prétend pas faire la moindre prédiction mais uniquement montrer des tendances, j'ai bien fourni le code source utilisé pour mes simulations.)

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(mercredi)

La confusion est toujours totale

Mon moral ne s'améliore pas, bien au contraire. Au sentiment d'injustice à être maintenu prisonnier et la sensation d'oppression qui va avec (et qui est en train d'engendrer une véritable haine de mon appartement et de mon quartier) s'ajoute de façon de plus en plus pressante la conviction que la levée du confinement va être une catastrophe et qu'on s'achemine vers un monde épouvantable qui combinera le pire de tous les tableaux : l'horreur dystopienne de mesures de contrôle qui n'auront cependant aucun effet réel sur l'épidémie, le désastre d'une crise économique sans précédent que ces mesures vont causer (et qui causera possiblement bien plus de morts que la maladie), et le désastre sanitaire de l'épidémie elle-même qui n'a fait que commencer. Je continue à ne pas arriver à penser à autre chose. Et plein de petits malheurs s'ajoutent aux grandes angoisses : je ne vais pas en faire la liste, mais une petite humiliation particulièrement malvenue m'est arrivée aujourd'hui quand j'ai voulu mettre sur l'arXiv (le dépôt mondial de prépublications scientifiques en physique, maths, informatique, etc.) une version proprement rédigée de la dernière note de ce blog par laquelle j'espérais au moins apporter une petite contribution intéressante à l'épidémiologie (avec, en plus, des remarques sur quelques liens intéressants avec la théorie des graphes orientés aléatoires) et que cette note a été rejetée par l'arXiv — je ne savais même pas que c'était possible de se faire rejeter par l'arXiv — me privant ainsi de la minuscule satisfaction de donner la moindre visibilité à cette très petite contribution. (Mise à jour () : j'ai quand même mis la note sur HAL.)

Bon, essayons de faire un peu le point sur ce qu'on sait, ou plutôt, sur ce qu'on continue à ne pas savoir du tout.

Les informations rapportées par les tests concernant le Covid-19 continuent à être complètement mystifiantes. J'ai expliqué la semaine dernière l'importance de faire des tests aléatoires, couplés à des sondages symptomatiques à grande échelle, pour pouvoir mesurer l'étendue de l'épidémie : quelques tests aléatoires ou para-aléatoires (volontaires) ont été menés çà et là, mais malheureusement sans méthodologie claire. (Par exemple, certains utilisent uniquement des tests sérologiques encore en développement : du coup, on ne connaît pas du tout leur fiabilité et le résultat est inutilisable ; alors que si on menait, sur le même échantillon, des tests virologiques et sérologiques, on aurait au moins un recoupement possible sur la base de l'hypothèse que la proportion d'infectés actuels sur les infectés historiques peut plus ou moins approximativement se déduire des statistiques d'hospitalisation en supposant que la proportion d'hospitalisation ne varie pas trop ; et idéalement reprendre les mêmes personnes régulièrement permettrait de comprendre un peu la fiabilité des tests.) Ces tests semblent donner, en outre, des résultats complètement incohérents les uns avec les autres (par exemple quand il s'agit d'estimer le nombre d'asymptomatiques) : des endroits à peu près également touchés (en nombre de morts, de cas cliniques enregistrés) enregistrent des taux de positivité complètement différents. Un bled italien a relevé un taux de positifs hallucinant parmi les donneurs de sang, qui étaient asymptomatiques, mais ce bled enregistre aussi beaucoup de morts malgré un nombre de cas plutôt faible, donc au final on ne sait vraiment pas quoi conclure à part qu'on n'y comprend rien mais qu'il y a sans doute des tests qui ne valent rien. Et en plus de la mauvaise qualité technique et méthodologique des tests, il y a la mauvaise qualité du retour d'information, souvent relayée par des journalistes qui n'y comprennent rien et qui déforment encore plus les choses. Bref, à ce stade, tout semble scientifiquement inexploitable. Je ne sais pas si ça a des chances de s'améliorer.

[Évolution relative statistiques Covid-19 en Île-de-France]Côté statistiques, les choses ne sont pas franchement moins confuses. Je calcule régulièrement un graphe comme celui ci-contre, qui représente grosso modo l'évolution relative, i.e., essentiellement la dérivée logarithmique, des cas de Covid-19 en Île-de-France. Plus exactement, les points rouges représentent, pour chaque jour (compté depuis le ) l'augmentation quotidienne du nombre de personnes hospitalisées pour Covid-19 en Île-de-France (départements 75, 92, 93, 94, 77, 78, 91, 95) divisée par le nombre lui-même (bref, (N[J]−N[J−1])/N[J] si N[J] est le nombre d'hospitalisés au jour J), et la courbe bleu foncé représente la même chose en lissant au préalable le logarithme du nombre N[J] d'hospitalisés avec une régression par processus gaussien (et, dans les faits, en laissant sklearn.gaussian_process.GaussianProcessRegressor faire sa magie), bref, c'est une sorte d'interpolation pour tenter d'effacer les fluctuations aléatoires ; les points orange et la courbe bleu clair représentent la même chose mais au lieu du nombre d'hospitalisés il s'agit de la somme cumulée sur les 10 derniers jours du nombre de passages aux urgences pour suspicion de Covid-19 (pourquoi 10 ? parce que pour les gens qui sont hospitalisés c'est le temps typique qu'ils y passent, donc c'est un proxy comparable aux données hospitalières). Le code utilisé pour générer le graphe est ici (librement basé sur du code qu'on m'a fourni sur Twitter). Grosso modo, le pic épidémique correspond au moment où les courbes passent dans les valeurs négatives (le nombre d'hospitalisés ou de malades diminue) : les points rouges et la courbe bleu foncé montrent l'évolution des cas graves (hospitalisés) tandis que les points orange et la courbe bleu clair donnent une idée approximative de l'évolution des cas moins graves. Ce que tout cela signifie au juste n'est pas clair, bien sûr (et notamment pourquoi il y a un tel écart entre ces deux courbes), mais il est clair qu'on est en voie de traverser un pic épidémique en Île-de-France.

Mais parmi les choses qui ne sont pas claires, il y a les raisons pour lesquelles ces courbes sont orientées à la baisse (c'est-à-dire que l'épidémie décélère au sens logarithmique) depuis assez longtemps. Le confinement a certainement un effet, mais je m'attendais à voir le confinement apparaître comme une rupture assez nette, sinon une discontinuité au moins une variation assez forte et resserrée, dans ces courbes, or ce n'est pas le cas. Le confinement a été décrété en France à partir du , c'est-à-dire le jour 22 sur mon graphique, et on s'attend à ce que ses effets se manifestent environ 12 jours après (parce que la période d'incubation est d'environ 5j et qu'il faut encore 7j pour que les symptômes deviennent graves quand ils le deviennent), donc autour du jour 34, or si on voit bien une baisse dans ces eaux-là, elle ne semble faire que continuer une baisse bien entamée avant. Je vois au moins trois pistes d'explication possibles, mais aucune n'est très convaincante : (a) la saturation d'une ressource (à commencer par les lits d'hôpital), mais là aussi je m'attendrais à une variation un peu plus brutale, pas à une pente gentiment régulière sur les deux courbes, (b) des changements de comportement indépendamment du confinement, mais je suis surpris qu'ils aient pu se produire aussi tôt, ou enfin (c) une immunité s'installant, sinon chez la population en générale, au moins chez les sous-populations qui sont les plus exposées à l'épidémie (par exemple ceux qui ont le plus grand nombre de contacts), mais que ce phénomène ait pu commencer de façon non-négligeable dès le début du mois de mars semble très surprenant. Au final, je ne sais pas quoi penser, et je n'ai certainement toujours pas de vision claire de ce que peut être la part d'immunité installée et la part d'effet de la distanciation sociale.

Les modèles épidémiologiques comme SIR (voir ici et ) sont évidemment incroyablement simplistes dans leur description soit le nombre de reproduction est >1 et l'épidémie progresse exponentiellement, soit il est <1 et elle régresse exponentiellement. J'ai déjà insisté sur l'importance de la structure sociale locale, mais le même type de phénomènes se reproduit à toutes sortes de niveaux : on ne peut pas considérer qu'on a affaire à une population homogène mais à une multitude de sous-populations (par zone géographique et par catégorie socio-économique ou socio-professionnelle), avec des interactions complexes, chacune ayant sa propre dynamique épidémiologique, qui interagit avec les autres. Comme une somme d'exponentielles est dominée par la plus rapide de toutes, on détecte avant tout la contamination des sous-populations où le virus se propage le mieux, ce qui conduit à surestimer en pratique le nombre de reproduction (disons qu'on ne voit que sa frange la plus élevée) : cela se voit assez bien au niveau géographique quand on parle de clusters, par exemple dans les grandes villes, mais le même phénomène peut se produire sur d'autres dimensions moins facilement observables que les dimensions spatiales (notamment sociologiques). Si l'épidémie commence à saturer une sous-population parce qu'elle devient immunisée, la croissance exponentielle va décélérer jusqu'à être dominée par une autre sous-population qui n'a pas encore saturé. C'est une raison pour laquelle on peut s'attendre à une diminution graduelle, éventuellement avec des paliers, de la vitesse de croissance exponentielle. Mais, encore une fois, je ne sais pas si c'est ce qui explique effectivement ce qu'on observe.

Et bien sûr, le confinement ne réduit pas les contacts de toutes les personnes de façon uniforme : lui aussi va avoir plus ou moins d'effet dans des sous-populations distinctes (il n'a pas d'effet au sein d'un même foyer, pour commencer), donc on s'attend à voir la dynamique se modifier de façon assez imprévisible et être dominée par une nouvelle sous-population où la reproduction serait la plus rapide. (On peut tout à fait imaginer, et cela se produira peut-être, que le nombre de cas reparte à la hausse, mais moins vite, parce que la sous-population qui avait précédemment la croissance la plus forte de l'épidémie serait passée en régime où elle régresse, mais qu'une autre sous-population qui était précédemment moins sujette à contagion, bénéficierait très peu du confinement et deviendrait celle qui a la croissance dominante de l'épidémie.) Tout cela sera extrêmement difficile à lire.

Médicalement, il y a apparemment un certain nombre de signes que la gravité de la maladie serait peut-être liée soit au mode de contamination soit à la dose contaminante ou à leur multiplication. Cela expliquerait notamment le fait très préoccupant que le personnel soignant ait apparemment plus de chances de développer des formes graves du Covid-19 (étant plus exposé, plus souvent exposé, et exposé à des formes elles-mêmes plus graves) ; ou encore que les contaminations en groupe aient aussi tendance à être plus graves. Ceci pourrait aussi expliquer certaines anomalies dans les statistiques, comme l'extrême variabilité des taux de létalité observés si la létalité ne dépend pas seulement de l'état du patient (âge et précondition) de la donnée a été contaminé mais de la manière dont la contamination a eu lieu (qui peut dépendre de toutes sortes de paramètres sociologiques). Mais cela rend encore plus difficile la compréhension de l'état réel d'avancement de l'épidémie. Ou la décision de ce qu'on doit faire de cette information (on pourrait imaginer de laisser les gens se faire contaminer par des doses faibles, dans l'espoir qu'elles développent des formes bénignes voire asymptomatiques, comme dans la variolation, une forme de pseudo vaccination, mais ce serait très difficile de calibrer l'opération et encore faut-il que les personnes puissent savoir qu'elles ont été contaminées et s'isoler ensuite). Toujours est-il qu'on peut s'attendre à ce que la dynamique des formes graves de la maladie (et donc la fraction des cas graves) ne coïncide pas précisément avec celle des formes plus bénignes, même en tenant compte des paramètres démographiques. Par exemple, il est assez plausible que les régions ou sous-populations ayant le plus de cas dans l'absolu aient aussi la plus grande proportion relative de cas graves.

Une autre question médicale qui est pas mal ouverte, c'est l'étendue de l'immunité conférée par la maladie, et notamment par ses formes bénignes voire asymptomatiques, ainsi que sa durée dans le temps, et aussi le danger que dans certains cas l'immunité acquise soit en fait dangereuse (par facilitation par les anticorps). Je vois passer sur Twitter pas mal de gens qui aiment (se) faire peur en expliquant qu'il y a des cas de réinfection par le Covid-19, voire que les réinfections seraient plus graves que les premières infections (parce que le système immunitaire s'emballerait). Je ne suis pas du tout expert, mais ça ressemble beaucoup à du fearmongering. De ce que j'ai compris de l'avis des experts, ces histoires de réinfections sont sans doute des faux rétablissements (les tests ne sont pas terriblement fiables, ou plutôt, les prélèvements sont difficiles à mener, donc un test négatif ne prouve pas qu'il n'y a plus d'infection), parce qu'il est difficilement crédible qu'un virus qui aurait été éliminé par le système immunitaire parvienne à réinfecter en un intervalle de quelques jours : on a des expériences sur le singe qui montrent que l'infection, au moins chez eux, au moins en général, confère bien une immunité, et il y a des indices que c'est le cas chez l'homme même en cas d'infection peu grave ; cet article et ce fil Twitter font un peu le point. Mais surtout, s'il n'est pas exclu qu'il y ait pu avoir des réinfections, y compris avec une seconde infection plus grave que la première, ils ne doivent pas être statistiquement très significatifs, parce qu'au stade où en est l'épidémie, on aurait énormément de tels cas sous la main si ça se produisait avec une certaine fréquence (il y a 300k patients guéris officiellement recensés, c'est-à-dire clairement identifiés, la plupart doivent être dans des endroits où le virus circule largement, donc facilement 1% doivent avoir au moins subi une tentative de réinfection de la part du virus, ça devrait faire 3000 cas de réinfection : si ne serait-ce que 10% conduisaient à une seconde infection et qu'elle était plus grave, ça se saurait vraiment). Il est possible que si la seconde infection a lieu elle soit plus grave que la première, mais de toute évidence ça doit rester rare. Comme en outre le virus ne semble pas accumuler de mutation significative, il est peu probable qu'il y ait, comme pour la dengue, différentes souches dont l'immunité à certaines aggraverait l'infection par d'autres (d'autant que ce mécanisme n'est pas connu des autres coronavirus).

Le confinement, de toute évidence, ne pourra pas être maintenu indéfiniment. Ce qui va se passer quand il sera levé, ne serait-ce que progressivement, est la grande inconnue, qui dépend avant tout de l'immunité installée, dont je viens d'expliquer qu'on n'en savait rien tant les tests sont actuellement inexploitables, tant elle dépend de considérations sociologiques compliquées, et tant les questions médicales sous-jacentes sont elles-mêmes confuses. J'ai un certain espoir qu'il y ait assez d'immunité dans les sous-populations où la reproduction du virus est la plus facile, et qu'en outre la levée du confinement n'implique pas un retour au statu quo ante dans les habitudes, pour qu'au moins on ne retrouve pas une croissance exponentielle au rythme assez impressionnant de 0.2/j qu'on observait avant le confinement. Mais la question qui demeure est de savoir si on sera plutôt dans un régime de croissance exponentielle (fût-il plus lent) ou de décroissance exponentielle. Et l'autre question, c'est ce que vise le gouvernement.

Je ne vais pas en rajouter une couche avec mes histoires théoriques de stratégies ① et ②, donc je vais présenter les choses un peu différemment : on peut imaginer soit ❶ d'attendre jusqu'à ce qu'il n'y ait essentiellement aucun nouveau cas, et relâcher le confinement seulement à ce moment-là, puis espérer traquer tous les cas qui apparaîtraient et les empêcher de donner lieu à de nouvelles contaminations, et ce, plus rapidement qu'ils apparaissent : c'est ce qu'essaie de faire la Chine, c'est ce que fait la Corée avec un certain succès (mais que je ne crois pas transposable en Europe à cause de la plus grande difficulté de contrôler les frontières, à cause du manque de moyens technologiques, et à cause de différences sociétales fortes) ; ou bien ❷ de relâcher un petit peu le confinement quand les urgences seront moins saturées (par exemple après une semaine de baisse), quitte à ce qu'il y ait un nouveau pic, mais moins important, et de relâcher progressivement à chaque fois que les urgences désaturent, de manière à y garder un flux tout juste gérable, le fameux flatten the curve, qui produit, dans les faits, un plateau épidémique plutôt qu'un pic. (Vous voyez ? J'ai changé ma présentation et j'ai même changé la façon dont les numéros sont écrits.) Les deux approches sont périlleuses : la ❶ peut échouer parce qu'on perd le contrôle de l'épidémie, et alors tout le temps passé à la ramener à quasi zéro aurait été pour rien, la ❷ demande énormément de finesse dans le relâchement du confinement alors qu'on ne contrôle que très mal ce que les gens feront et qu'on ne sait pas quel effet les mesures auront (et qu'on ne l'observe que deux semaines plus tard, et encore, très mal ! comme je l'ai montré plus haut). Et les deux peuvent très mal tourner ou devenir quasiment impossibles à mener si l'épidémie est plus contagieuse ou plus répandue qu'on le pensait.

Ce que vont (chercher à) faire les gouvernements européens est toujours entouré de la plus grande confusion. L'Autriche et le Danemark parlent déjà de relâcher le confinement, même l'Italie fait des signes dans ce sens, ce qui suggère plutôt l'approche ❷ puisque visiblement on est loin de l'extinction de l'épidémie. Ce petit clip d'Arte décrit aussi clairement l'approche ❷ (mais les journalistes n'ont pas vraiment de raison d'en savoir plus que moi). Cependant on reçoit encore des signes assez contradictoires. Pas mal de discussions autour de la collecte des données des mobiles, par exemple, ce qui relève plus de l'approche ❶ (et j'ai bien peur qu'on se retrouve avec tout l'arsenal dystopien de cette approche sans que cet arsenal soit utile parce que l'épidémie ne se laisserait pas si facilement maîtriser). Beaucoup de gens sur Twitter sont fermement persuadés qu'on adoptera l'approche ❶ : voir par exemple ce fil Twitter (qui est intéressant parce que dans le premier message on y entend le chef du service des maladies infectieuses de la Pitié, le professeur Caumes, et le journaliste qui l'interviewe, parler de mater, casser ou éradiquer l'épidémie, visiblement l'approche ❶), et je crois que l'OMS continue à pousser dans cette direction.

Mais je pense qu'il y a une certaine confusion pour plusieurs raisons. La principale est cette idée qu'il faut absolument 60% ou je ne sais combien de contaminés pour qu'il y ait une immunité grégaire, et donc que l'approche ❷ consiste absolument à infecter 60% de la population. La réalité, comme je l'ai exposé à de nombreuses reprises y compris ci-dessus, est bien plus complexe : ce chiffre de 60% suppose une population homogène, ce qu'elle n'est pas, et suppose que les comportements resteront les mêmes, ce qu'ils ne feront pas ; en fait, dès lors qu'on passe un pic épidémique, c'est qu'on a atteint un seuil d'immunité grégaire vis-à-vis des circonstances où ce pic se produit (puisque l'épidémie commence à régresser), l'enjeu n'est pas tant de savoir si on l'a atteint à 60% ou 30% ou 10% mais dans quel mesure on l'a artificiellement abaissé par des mesures prises au forceps et qui ne pourront pas durer dans le temps (comme un confinement). L'idée confuse sous-jacente est que des gens proposeraient de forcer l'épidémie à infecter un maximum de personnes (histoire d'atteindre la fameuse immunité grégaire), au lieu de simplement ne pas faire tous les efforts possibles pour la supprimer. Or je ne pense pas que qui que ce soit propose sérieusement une telle chose. Bref, ce que vise l'approche ❷ n'est pas une immunité grégaire définie par un chiffre absolu, mais surtout de pouvoir relâcher la pression sociale (retrouver un fonctionnement à peu près normal des transports en commun et lieux publics, par exemple) sans que l'épidémie explose immédiatement.

En tout état de cause, je trouve exaspérante l'attitude de culpabilisation moralisatrice exercée vis-à-vis de ceux qui ne respectent pas le confinement ou dont les attitudes se relâchent (voir par exemple ce mini sujet de France 24). Sur l'aspect extrêmement malsain de cette attitude dénonciatrice, je rejoins totalement ce fil Twitter. Mais sur le fond, je veux aussi souligner à quel point c'est justement un mécanisme d'équilibre par rétroaction qui fonde l'approche que j'ai numérotée ❷ ci-dessus qu'il y ait un « relâchement » progressif, et pas forcément décrété par en haut, des attitudes au fur et à mesure que l'épidémie semble régresser (relâchement qui provoquera sans doute une nouvelle recrudescence, donc une atténuation de ce relâchement, etc., avec des oscillations dont on ne sait pas combien elles seront amorties) : au lieu de le condamner, on peut se réjouir du fait que, si ce relâchement est assez progressif (et il a l'air de l'être !), ce sont les personnes qui ont elles-mêmes choisi de s'exposer qui participeront à l'immunité de groupe protégeant les plus vulnérables. Donc si l'approche ❷ est bien celle qui est visée, il ne faut pas se lamenter qu'il y ait un relâchement tant qu'il reste progressif et modéré.

Globalement, comme je le disais au début de cette entrée et comme je l'ai dit à plusieurs reprises, je suis extrêmement pessimiste sur ce qui va se passer pour nos sociétés. Au moins l'épidémie elle-même, on peut estimer qu'elle fera quelque part entre 0.05% et 1% de morts dans les pays européens selon la facilité avec laquelle elle se laisse contenir, c'est une fourchette bien large mais qui représente une known unknown ; les crises économique, politique, sociétale et internationale qui vont suivre, en revanche, je ne vois aucune borne supérieure à mettre sur leur gravité, tant je ne suis pas complètement persuadé qu'il n'y aura pas un effondrement systémique de la société (il me semble peu probable, mais beaucoup moins improbable que je voudrais l'imaginer). J'ai vu beaucoup de gens se moquer de la crise économique avec un dessin des dinosaures qui voient arriver l'astéroïde qui va les tuer et qui s'exclament oh shit! the economy!, dessin sans doute censé se moquer des personnes qui mettent l'économie avant l'humain ou quelque chose de ce genre, mais, outre l'objection triviale que le Covid-19 tuera moins d'humains en proportion que l'événement crétacé-paléogène, je crois que ces gens oublient combien de souffrance et de morts une crise économique peut engendrer. Et même si on ne veut pas mettre l'économie avant l'humain, le regain d'autoritarisme politique qui va inévitablement suivre l'empressement avec lequel la société a accepté comme un seul homme les mesures censées la « protéger » et réclame plutôt qu'elles soient encore plus dures, me semble suffisamment terrifiant. L'avenir de la démocratie et de l'état de droit sont plus sombres que jamais.

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(jeudi)

Sur une variante à temps de rétablissement constant du modèle épidémiologique SIR

Il y a quatre éternités semaines, quand nous n'étions pas encore maintenus prisonniers chez nous, j'ai parlé ici du modèle épidémiologique SIR, le plus basique qui soit. Je rappelle brièvement les principes qui le définissent :

  • l'immunité acquise est permanente, les individus sont successivement S (susceptibles, c'est-à-dire jamais infectés donc susceptibles de l'être), I (infectés et infectieux) et R (rétablis, c'est-à-dire guéris ou morts) (il existe toutes sortes de variantes, par exemple le modèle SEIR ajoutant un état E (exposé) pour les individus infectés mais non encore infectieux) ;
  • la population est homogène (fongible) avec mélange parfait dans les contacts (j'ai parlé ici de l'effet de modifier cette hypothèse) ;
  • la contamination et le rétablissement se font selon une cinétique d'ordre 1, c'est-à-dire que la contamination se fait proportionnellement aux proportions d'infectés et de susceptibles (avec une constante cinétique β), et que le rétablissement se fait proportionnellement à la proportion d'infectés (avec une constante cinétique γ).

Rappelons brièvement ce que j'ai exposé la dernière fois. Les équations de ce modèle SIR basique, que j'appellerai (*) pour m'y référer plus tard, sont les suivantes (il s'agit d'un système d'équations différentielles ordinaires non-linéaire, du premier ordre et autonomes) :

  • s′ = −β·i·s
  • i′ = β·i·sγ·i
  • r′ = γ·i
  • (s+i+r=1)

s,i,r≥0 sont les proportions de susceptibles, d'infectieux et de rétablis dans la population ; les solutions de ces équations ne semblent pas pouvoir s'exprimer en forme close, mais on peut exprimer s en fonction de r (à savoir s = exp(−κ·r) dans les conditions exposées ci-dessous).

Je rappelle les principales conclusions que j'avais exposées dans mon entrée sur ce modèle (*), en supposant qu'on parte d'une population presque entièrement susceptible avec une proportion infinitésimale d'infectés (plus exactement, on s'intéresse aux solutions pour lesquelles s→1 quand t→−∞) ; on notera κ := β/γ le nombre de reproduction, que je suppose >1 :

  • tant que s reste très proche de 1 (si on veut, t→−∞), les proportions i et r croissent comme des exponentielles de pente logarithmique βγ = β·((κ−1)/κ), avec un rapport 1/(κ−1) entre les deux, autrement dit comme i = c·exp((βγt) = c·exp(β·((κ−1)/κt) et r = c·(γ/(βγ))·exp((βγt) = c·(1/(κ−1))·exp(β·((κ−1)/κt) (ergotage : dans l'entrée sur le sujet, j'avais mis un −1 aux exponentielles pour r, parce que je voulais partir de r=0, mais je me rends compte maintenant qu'il est plus logique de partir d'une solution où i/r tend vers une constante en −∞, cette constante étant κ−1) ;
  • au moment du pic épidémique (maximum de la proportion i d'infectés), on a s = 1/κ et i = (κ−log(κ)−1)/κ et r = log(κ)/κ ;
  • quand t→+∞, la proportion i tend vers 0 (bien sûr) et s tend vers Γ := −W(−κ·exp(−κ))/κ (en notant W la fonction de Lambert) l'unique solution strictement comprise entre 0 et 1 de l'équation Γ = exp(−κ·(1−Γ)) (qui vaut 1 − 2·(κ−1) + O((κ−1)²) pour κ proche de 1, et exp(−κ) + O(κ·exp(−2κ)) pour κ grand), tandis qu'évidemment r, lui, tend vers 1−Γ.

Je veux ici explorer la modification d'une hypothèse de ce modèle (*), celle qui concerne le rétablissement. Quand j'écris ci-dessus que le rétablissement se fait proportionnellement à la proportion d'infectés (avec une constante cinétique γ), au niveau individuel, cela signifie la chose suivante :

Pendant chaque intervalle de temps de longueur (durée) dt très courte, la probabilité qu'un individu infecté (I) se rétablisse (I→R) vaut γ·dt et ce, indépendamment d'un individu à l'autre et d'un instant à l'autre.

Autrement dit, le temps de rétablissement d'un individu infecté donné suit une distribution de probabilité exponentielle d'espérance 1/γ.

Autant l'hypothèse analogue sur la cinétique de la contamination est relativement plausible (si on admet le principe éminemment discutable d'une population homogène et du mélange parfait !), autant l'hypothèse sur le temps de rétablissement est médicalement insensé : on est en train de dire que si vous êtes malade, votre probabilité de guérir (ou d'ailleurs, de mourir) ne dépend pas de l'avancement de votre maladie mais est la même pendant la première heure que pendant la 1729e (si tant est que vous soyez encore malade à ce stade-là). Une maladie ne se comporte pas comme ça !

Cherchons donc à remplacer cette hypothèse par une autre, tout aussi simpliste, mais néanmoins un peu plus proche de la réalité médicale, celle du rétablissement en temps constant.

Un individu infecté (I) se rétablit toujours au bout du même temps T après son moment d'infection.

Autrement dit, le temps de rétablissement d'un individu infecté donné suit une distribution de Dirac concentrée en T (qui est, du coup, son espérance).

Je vais appeler (†) (que je dois encore expliciter) le modèle SIR construit sur l'hypothèse que je viens de dire au lieu de celle qui précède. Je répète que les deux sont extrêmement simplificatrices et invraisemblables dans la réalité, mais l'hypothèse de temps constant est nettement moins fausse ou irréaliste que celle de temps à distribution exponentielle (surtout que ce qui compte vraiment est le temps pendant lequel la personne est infectieuse en pratique) : on pourrait chercher des hypothèses plus fines et moins simplistes (par exemple la somme d'une constante et d'une variable à distribution exponentielle ; ou une distribution de Weibull ou que sais-je), mais mon propos est juste de comparer (*) et (†) pour voir ce qui change et avoir au moins une idée du sens dans lequel la modélisation est affectée par le changement d'une distribution exponentielle vers une constante.

Alors pour commencer, quelles sont les nouvelles équations ? Le terme d'infection β·i·s ne va pas être modifié, mais le terme de guérison, lui, va l'être : au lieu d'avoir une proportion γ·i des infectés qui guérissent par unité de temps, on va faire guérir tous ceux qui étaient nouvellement infectés il y a T unités de temps. Comment exprimer ceci ? Eh bien, si je note fT la fonction f translatée de T, c'est-à-dire fT(t) := f(tT), le terme représentant les guérisons à l'instant t est donné par les celui représentant les infection à l'instant tT, c'est-à-dire β·(i·s)T = β·iT·sT. Autrement dit, mon système devient :

  • s′ = −β·i·s
  • i′ = β·i·sβ·iT·sT
  • r′ = β·iT·sT
  • (s+i+r=1)

Ce n'est plus un système d'équations différentielles mais d'équations différentielles à retard, c'est-à-dire que la dérivée imposée des fonctions à un instant donné ne dépend pas seulement de leurs valeurs à cet instant mais aussi de celles à un ou plusieurs instants dans le passé. Je ne sais essentiellement rien sur ces équations ; en particulier, j'ignore ce qu'il y a comme résultat d'existence et d'unicité de solutions : on peut toujours essayer d'imposer les valeurs de s et i sur un intervalle de largeur T, disons [−T;0] et utiliser les équations pour en déduire ces valeurs en [0;T], puis en [T;2T] et ainsi de suite, mais ce procédé n'a aucun intérêt si on ne trouve pas moyen de faire en sorte que les valeurs se recollent correctement aux extrémités communes de ces intervalles, c'est-à-dire les multiples de T ; or mon but est de trouver des solutions qui soient régulières partout (au moins C, si possible analytiques), pas quelque chose de recollé sur les multiples de T. Le même problème fait qu'il n'est pas évident de simuler numériquement une telle équation, faute de savoir comment la démarrer : la notion même de valeur initiale n'a pas de sens clair comme elle en a pour les équations différentielles.

J'étais très pessimiste quant à la possibilité de résoudre explicitement ce système (†) qui a l'air plutôt plus compliqué que (*) (lequel n'admet apparemment déjà pas de solution explicite). Un peu miraculeusement, et à ma grande surprise, j'y suis quand même arrivé (après un temps assez invraisemblable passé à explorer toutes sortes de techniques de calcul, et en étant à chaque fois à deux doigts d'abandonner).

Pour ceux qui se demandent comment j'ai trouvé les solutions qui suivent, j'ai commencé par me pencher sur le cas où s vaut constamment 1 (c'est-à-dire que i et r sont infinitésimaux), ce qui linéarise le système, et il est alors raisonnable d'en chercher des solutions à croissance exponentielle, ce qui est assez facile (on obtient ce que je décris ci-dessous comme comportement à i et r petits) ; j'ai ensuite eu l'idée de chercher en général des séries formelles en cette exponentielle, j'ai calculé les premiers coefficients de cette série pour savoir si la série avait au moins des chances de converger, et j'ai constaté que miraculeusement ces coefficients avaient une forme extrêmement simple que je pouvais sommer explicitement, d'où les expressions rationnelles-exponentielles qui suivent.

(Ce qui suit est essentiellement un développement de cette question+réponse sur MathOverflow et ce petit fil Twitter. La réponse MathOverflow est peut-être plus commode pour lire les formules, d'ailleurs, que mon HTML basique dans ce qui suit.)

Voici la solution explicite que j'ai trouvée : pour l'exprimer, il faut que j'introduise les notations

  • κ := β·T le nombre de reproduction, que je suppose toujours >1 ;
  • Γ := −W(−κ·exp(−κ))/κ, comme évoqué plus haut, l'unique solution strictement comprise entre 0 et 1 de l'équation Γ = exp(−κ·(1−Γ)), qui sera la limite de s quand t→+∞ (aussi bien dans le modèle (†) que (*)) ;
  • X := exp(β·(1−Γt), fonction exponentielle du temps dans laquelle les solutions seront exprimées (changement de variable ; remarquer que soustraire T à t revient à multiplier X par Γ, ce qui est bien l'intérêt du changement de variable en question) ;

par ailleurs, c sera un paramètre réel strictement positif arbitraire (qui sert simplement à translater les solutions dans le temps).

Les solutions que j'ai trouvées sont alors données par :

  • s = ((1−Γ)² + Γ·c·X) / ((1−Γ)² + c·X)
  • i = ((1−Γ)⁴·c·X) / (((1−Γ)² + c·X) · ((1−Γ)² + Γ·c·X))
  • r = (Γ·(1−Γc·X) / ((1−Γ)² + Γ·c·X)

(Comme pour (*), je m'intéresse uniquement aux solutions pour lesquelles s→1, c'est-à-dire que i et r tendent vers 0, quand t→−∞. Si on veut des solutions plus générales, on peut multiplier i et r par une même constante, quitte à multiplier β par l'inverse de cette constante.)

On a exprimé s,i,r comme des fonctions rationnelles d'une fonction exponentielle X du temps t. Les dénominateurs sont strictement positifs puisque (1−Γ)² + c·X et (1−Γ)² + Γ·c·X sont des sommes de quantités strictement positives ; les numérateurs sont eux aussi strictement positifs ; et comme s+i+r=1 comme on peut vérifier avec un petit calcul, on a bien affaire à des proportions comme souhaitées. Pour vérifier qu'elles satisfont aux équations demandées, il s'agit simplement de dériver chacune par rapport à t, ce qui revient à dériver par rapport à X et multiplier par β·(1−ΓX, et vérifier qu'on trouve bien le terme de droite souhaité (en utilisant le fait que soustraire T à t revient à multiplier X par Γ).

Sous cette forme, cette solution n'est évidemment pas très parlante ! Mais pour y voir plus clair, on peut mener la même étude que pour (*) en regardant le comportement des solutions trouvées à (†) pour t→−∞, au niveau du pic épidémique, et enfin pour t→+∞ :

  • tant que s reste très proche de 1 (si on veut, t→−∞), les proportions i et r croissent comme des exponentielles de pente logarithmique β·(1−Γ), avec un rapport Γ/(1−Γ) entre les deux, autrement dit comme i = c·exp(β·(1−Γt) et r = c·(Γ/(1−Γ))·exp(β·(1−Γt) ; qualitativement, la phase de croissance exponentielle est plus rapide (à infectiosité β et nombre de reproduction κ donnés !) dans le modèle (†) que dans le modèle (*), et le rapport rétablis/infectés pendant cette phase est plus faible ;
  • au moment du pic épidémique (maximum de la proportion i d'infectés), qui se produit pour c·X = (1−Γ)²/√Γ (mais peu importe puisque c'est un temps complètement arbitraire), on a s = √Γ et i = (1−√Γ)² et r = (√Γ)·(1−√Γ) ; qualitativement, le pic épidémique est plus haut et plus resserré (à infectiosité β et nombre de reproduction κ donnés !) dans le modèle (†) que dans le modèle (*) ;
  • quand t→+∞, la proportion i tend vers 0 (bien sûr) et s tend vers Γ, tandis qu'évidemment r, lui, tend vers 1−Γ : ce sont exactement les mêmes valeurs que dans le modèle (*) (à nombre de reproduction κ donné).

Voici des courbes illustrant deux épidémies modélisées par les modèles (*) et (†) avec les mêmes paramètres β et κ (en l'occurrence β=3, un temps de rétablissement espéré de 1, donc nombre de reproduction κ=3, et ceci conduit à Γ≈0.034, c'est-à-dire un taux d'attaque final de 96.6%, je ne réexplique pas pourquoi l'hypothèse de mélange parfait, commune à mes deux modèles, conduit à des taux d'attaques irréalistement élevés, ce n'est pas le propos ici). Les deux courbes du haut utilisent le modèle SIR classique (*) avec rétablissement selon un processus exponentiel (ici γ=1), tandis que les deux du bas utilisent le modèle SIR modifié (†) que je viens d'exposer avec rétablissement en temps constant (ici T=1). Les deux courbes de gauche sont en échelle linéaire, les deux de droite en échelle logarithmique :

Échelle linéaireÉchelle logarithmique
Modèle (*)
(rétablissement en
processus exponentiel)
[Graphe linéaire des courbes s(t),i(t),r(t) dans le modèle (*) pour β=3 et γ=1] [Graphe log des courbes s(t),i(t),r(t) dans le modèle (*) pour β=3 et γ=1]
Modèle (†)
(rétablissement en
temps constant)
[Graphe linéaire des courbes s(t),i(t),r(t) dans le modèle (†) pour β=3 et T=1] [Graphe log des courbes s(t),i(t),r(t) dans le modèle (†) pour β=3 et T=1]

(Le code Sage que j'ai utilisé pour les générer, et qui ne présente aucun intérêt particulier, est ici.)

Puisque l'origine des temps est arbitraire, je l'ai placée au niveau du pic épidémique, ce qui aide à la comparaison. Rappelons par ailleurs que le seul vrai paramètre est le nombre de reproduction κ (le paramètre β peut s'absorber en faisant un changement d'échelle du temps).

La mauvaise nouvelle, donc, si l'objectif est de flatten the curve, est que l'hypothèse (†) (plus réaliste !) de guérison en temps constant fait tout le contraire, elle resserre et amplifie le pic (tout ceci étant dit à infectiosité, nombre de reproduction et taux d'attaque constants). On peut néanmoins y voir une sorte de contrepartie : l'infection prédite par le modèle (†) paraît plus terrifiante que ce qu'elle est réellement, au sens où sa croissance initiale laisse présager (si on l'interprète selon le modèle (*)) un nombre de reproduction et donc un taux d'attaque plus importants que ce qu'ils sont réellement.

Alors que dans le modèle (*) le pic épidémique a d'abord une croissance exponentielle de pente logarithmique βγ = β·(1−1/κ) puis une décroissance exponentielle de pente logarithmique β·Γγ = β·(Γ−1/κ) (sur mon graphique, 2.000 puis −0.821), dans le modèle (†) le pic est parfaitement symétrique, avec une croissance exponentielle de pente logarithmique β·(1−Γ) suivie d'une décroissance exponentielle de pente opposée (sur mon graphique, 2.821 puis −2.821). Une morale de l'histoire est qu'il est difficile de lire le nombre de reproduction à partir de la pente logarithmique de la partie exponentielle de l'épidémie ! Il faut une information assez fine non seulement sur le taux de rétablissement moyen mais aussi sur sa distribution.

Le rapport entre le nombre d'infectieux et le nombre de rétablis, pendant la phase de croissance exponentielle, est beaucoup plus important dans le modèle (†) (à savoir (1−Γ)/Γ) que dans le modèle (*) (à savoir κ−1) : sur mon graphique (κ=3), ce rapport est de 15.8 dans le modèle (†) et 2 dans le modèle (*). Mais on peut aussi exprimer ce fait différemment en considérant le retard des rétablis sur les infectés+rétablis, c'est-à-dire combien de temps il faut attendre pour avoir un nombre de rétablis égal au nombre d'infectés+rétablis à un moment donné (toujours pendant la phase de croissance exponentielle) : ce retard est de κ·log(κ)/(β·(κ−1)) dans le cas (*) et de T = κ/β dans le cas (†) ; il serait intéressant de comparer ces deux fonctions de κ, mais j'avoue manquer un peu de patience, là ; sur mes graphiques, ce retard est de 0.549 pour le modèle (*) et évidemment 1.000 pour le modèle (†).

Reste à dire un mot sur le nombre de reproduction κ. D'abord pour justifier la manière dont je l'ai défini (β/γ dans le cas (*) et β·T dans le cas (†)) : la définition classique est le nombre de personnes moyen qu'une personne donnée infecte avant d'être rétablie, dans une population entièrement susceptible. Dans mes deux modèles, une personne infectée au milieu d'une population entièrement susceptible infecte β·dt autres personnes par unité de temps dt (c'est la définition de β) ; ceci étant simplement proportionnel au temps qu'elle restera infectieuse, l'espérance de ce nombre vaut simplement β fois l'espérance du temps qu'elle restera infectieuse, c'est-à-dire 1/γ dans le cas (*) et T dans le cas (†). Maintenant, pouvait-on prévoir a priori que le taux d'attaque final en fonction de κ serait le même, 1−Γ = 1 + W(−κ·exp(−κ))/κ, dans les modèles (*) et (†) ? Et si oui, quelle hypothèse sur la distribution de probabilité du processus de rétablissement assure ce fait ? Là, j'avoue ne pas du tout savoir, je ne connais sans doute pas assez de probas pour m'exprimer clairement. (Je suis tenté de chercher à exprimer le processus de contamination de manière indépendante du temps, en fonction d'une sorte de génération comme je l'avais fait dans mes modèles stochastiques, pour espérer que le comportement soit identique dans les deux cas, mais je n'arrive pas à exprimer ni même définir les choses correctement.)

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