David Madore's WebLog: 2016-11

This WebLog is bilingual, some entries are in English and others are in French. A few of them have a version in either language. Other than that, the French entries are not translations of the English ones or vice versa. Of course, if you understand only English, the English entries ought to be quite understandable without reading the French ones.

Ce WebLog est bilingue, certaines entrées sont en anglais et d'autres sont en français. Quelques-unes ont une version dans chaque langue. À part ça, les entrées en français ne sont pas des traductions de celles en anglais ou vice versa. Bien sûr, si vous ne comprenez que le français, les entrées en français devraient être assez compréhensibles sans lire celles en anglais.

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Entries published in November 2016 / Entrées publiées en novembre 2016:

(mardi)

Une version de Gödel sur l'inséparabilité des théorèmes et antithéorèmes

(Le mot antithéorème, dans le titre et dans ce qui suit, désigne un énoncé P dont la négation logique, que je note ¬P, est un théorème, i.e., un énoncé réfutable alors qu'un théorème désigne un énoncé démontrable. Si vous avez du mal à distinguer vrai/faux de théorème/antithéorème, vous pouvez réviser ici.)

Je fais de temps en temps des remarques sur le théorème de Gödel (par exemple ici), il semble que ce soit un sujet dont on n'arrête pas d'extraire du jus. J'ai fait une remarque à ce sujet récemment sur MathOverflow, je me dis qu'elle pourrait intéresser mes lecteurs, donc je vais tenter de l'expliquer. Je vais essayer de reléguer les détails ou les complément un peu plus techniques à plein de notes : ceux qui veulent juste the big picture peuvent ignorer ces notes (et, dans tous les cas, il vaut peut-être mieux les garder pour une seconde lecture). Pour ceux qui veulent vraiment juste the bottom line, j'explique ici, en utilisant un tout petit peu de calculabilité, pourquoi il existe non seulement des énoncés indémontrables et irréfutables (i.e., « logiquement indécidables »), mais même de tels énoncés dont l'indémontrabilité et l'irréfutabilité sont elles-mêmes indémontrables (i.e., « logiquement indécidablement indécidables »). J'avoue qu'il y a un peu plus de subtilités dans tous les sens que ce que je pensais (i.e., beaucoup de notes), mais j'espère qu'on peut quand même en retenir quelque chose sans comprendre tous les détails.

La clé de tout ça, c'est de méditer sur la manière dont un algorithme (i.e., une machine de Turing) peut séparer les théorèmes et les antithéorèmes, ou le vrai et le faux — en gros, montrer qu'il ne peut pas, même pas en un sens assez faible.

Voici un premier fait : il est possible de produire un algorithme (i.e., une machine de Turing) qui, quand on lui donne un énoncé mathématique P, termine en répondant oui lorsque P est un théorème, et termine en répondant non lorsque P est un antithéorème (i.e., ¬P est un théorème). Il suffit, pour cela, d'énumérer toutes les démonstrations mathématiques possibles (par exemple en énumérant toutes les suites de symboles possibles, en vérifiant pour chacune s'il s'agit d'une démonstration conforme aux règles de la logique, tout ceci étant faisable algorithmiquement), et si on tombe sur une démonstration de P, on s'arrête et on répond oui, tandis que si on tombe sur une démonstration de ¬P, on s'arrête et on répond non. Je n'ai pas précisé dans quel système axiomatique je me place, cela pourrait être, par exemple, l'arithmétique de Peano [du premier ordre] PA ou la théorie des ensembles ZFC (mais dans ce cas, il faudra la supposer cohérente, ce que ZFC lui-même ne peut pas prouver, sans quoi tout énoncé serait à la fois théorème et antithéorème ce qui n'est pas bien intéressant). Bien sûr, tout cela est complètement théorique (dans la vraie vie, la démonstration automatisée ne sert que dans des théories extrêmement étroites, pas pour des énoncés mathématiques « généraux »). Mais le point théorique à souligner, c'est que l'algorithme que je viens de décrire ne termine pas si P n'est ni un théorème ni un antithéorème (i.e., s'il est logiquement indécidable dans la théorie considérée) : la contrainte est seulement que si P est un théorème, l'algorithme termine en répondant oui, et si ¬P est un théorème, l'algorithme termine en répondant non.

Voici un deuxième fait : il n'est pas possible de faire un algorithme (i.e., une machine de Turing) qui, quand on lui donne un énoncé mathématique P, termine en répondant oui lorsque P est vrai, et termine en répondant non lorsque P est faux (i.e., ¬P est vrai). En fait, ce n'est même pas possible si on se limite[#] à ce que P soit un énoncé arithmétique (c'est-à-dire, qui ne parle que d'entiers : voir ici pour une petite discussion) ; ni même si on se limite encore plus à ce que P soit un énoncé arithmétique Π₁ (c'est-à-dire un énoncé de la forme pour tout entier naturel n, on a Q(n), où Q, lui, est arithmétique et algorithmiquement testable en temps fini pour chaque n donné ; voir ici pour une discussion). La démonstration de ce deuxième fait est facile si on connaît un tout petit peu de calculabilité, plus exactement, l'indécidabilité algorithmique du problème de l'arrêt : si un algorithme comme je décrit ci-dessus (i.e., capable de dire si un énoncé est vrai ou faux) existait, il serait notamment capable de dire si l'énoncé <tel algorithme> ne termine pas quand on le lance sur <telle entrée> est vrai ou faux (ceci est bien un énoncé arithmétique, et il est même arithmétique Π₁), et du coup, de résoudre algorithmiquement le problème de l'arrêt.

[#] À vrai dire, si je ne mets pas une restriction de ce genre, c'est encore pire : on ne peut même pas énoncer formellement ce que ça voudrait dire d'avoir un algorithme qui répond oui ou non selon que l'énoncé est vrai ou faux.

Quand on met ensemble les deux faits que je viens de dire, on obtient le théorème de Gödel : en effet, s'il est possible de faire un algorithme qui répond oui sur les théorèmes et non sur les antithéorème, et impossible de faire un algorithme qui répond oui sur les énoncés vrais et non sur les énoncés faux, c'est forcément que les deux concepts ne sont pas identiques !, et donc, si tant est que tous les théorèmes de la théorie sont bien vrais (ou au moins les théorèmes arithmétiques, ou au moins[#2] les théorèmes arithmétiques Σ₁), il y a forcément des énoncés vrais, et même forcément des énoncés arithmétiques Π₁ vrais[#3], mais qui ne sont pas des théorèmes. C'est le théorème de Gödel, et c'est d'ailleurs peut-être la manière la plus simple de le voir. La construction peut être rendue explicite (car l'indécidabilité du problème de l'arrêt l'est). Je crois que cette façon de démontrer le théorème de Gödel était une motivation importante pour Turing dans l'étude du problème de l'arrêt.

(vendredi)

Pourquoi cette haine contre les sondages ?

Régulièrement, quand une élection tourne de manière différente de ce que les sondages annonçaient — ou plutôt, de ce qu'une lecture très naïve des sondages semblait permettre de conclure — on entend des hommes politiques, aussi bien du camp des gagnants (i.e., ceux qui ont fait mieux que ce que les sondages semblaient annoncer) que du camp des perdants (i.e., ceux qui ont fait moins bien) dire quelque chose comme : Le premier perdant dans cette élection, ce sont les instituts de sondages ! — ou encore : S'il y a une principale chose à retenir, c'est qu'il ne faut pas faire confiance aux sondages. Je pense que le message à comprendre entre les lignes est quelque chose comme, chez les uns, un infâme complot a cherché à nous faire croire que nous ne pouvions pas gagner (sans doute pour décourager nos électeurs de voter pour nous), et ce complot a été déjoué, et chez les autres, un infâme complot a cherché à nous faire croire que nous ne pouvions pas perdre (sans doute pour démotiver nos électeurs à venir voter), et ce complot a malheureusement réussi à nous coûter la victoire. Ce n'est jamais aussi clair, bien sûr, mais la petite musique est là quelque part.

Plus exactement, il semble y avoir une double affirmation chez à peu près tout le monde politique : (1) les sondages n'ont aucune valeur scientifique, ils sont tout faux, ils se trompent tout le temps, et, plus subtilement, (2) les sondages nuisent à la démocratie parce que l'impression de prédestination qu'ils procurent influence les électeurs dans leur choix, et gâche l'authenticité de leur vote, voire, corrompt une forme d'idéal démocratique qui devrait être celui où les électeurs font leur choix chacun sans tenir compte de ce qu'ils savent des choix des autres. Les petits partis, par exemple, aiment bien prétendre qu'ils restent petits parce que les sondages montrent qu'ils sont petits donc les électeurs ne veulent pas voter pour eux (de peur que leur voix soit essentiellement « perdue »), donc ils déclarent aux sondeurs ne pas vouloir voter pour eux, et le cercle vicieux se boucle.

Et je suis le premier à dire que ces effets boule de neige existent et jouent un rôle gigantesque dans notre société (d'autant plus qu'elle est « connectée ») et dans le fait que toute forme de succès soit auto-entretenu. Donc dénoncer ce problème me semble légitime. Mais le mettre sur le dos des sondages ? C'est oublier qu'il y a toutes sortes d'autres manières dont les opinions des uns se répercutent positivement sur les opinions des autres : des conversations entre amis aux messages viraux sur les réseaux sociaux en passant par la caisse amplificatrice du tri des journalistes, et aussi, les élections elles-mêmes (lors de l'élection N+1, on prendra d'autant plus au sérieux un parti ou un candidat qui a fait un score honorable à l'élection N). Les sondages sont un engrenage dans cette boucle de rétroaction positive, mais ils n'en sont qu'un parmi d'autres.

Il y a un autre problème qu'il me semble tout à fait légitime de critiquer (mais qui n'est pas vraiment mon propos ici), c'est quand on oublie que l'opinion publique n'existe pas tant qu'on ne la mesure pas : c'est une sorte de phénomène quantique, en ce sens que sur l'immense majorité des questions, l'immense majorité des gens n'a aucun avis simplement parce qu'ils ne se sont pas posé la question. Or faire une mesure — poser une question — c'est créer une opinion, et ce n'est en rien une opération neutre. D'autant que la manière dont la question est tournée a une influence gigantesque sur la réponse que les gens donneront, et que le résultat entrera dans la boucle de rétroaction de la société dans son ensemble. Ce qui doit nous intéresser ultimement est l'avis que donnerait la société après un débat et une réflexion sereins (voir ce que je racontais sur les referenda), ce qui n'est certainement pas ce que mesure un sondage. Mais bon, je me limite ici aux sondages sur un vote à venir, ce qui assure au moins que (1) le sondage ne crée pas la question ou le débat, et (2) on peut penser que la question est formulée de façon raisonnablement neutre (comment comptez-vous voter à l'élection du <tant> ?).

Bref, quand j'entends des gens les décrier, j'ai l'impression d'avoir affaire à quelqu'un qui a consulté son thermomètre avant de sortir pour choisir comment s'habiller, sans tenir compte du fait que le thermomètre était peut-être en plein soleil, ou qu'il y avait plein de vent, ou que la nuit allait tomber, ou je ne sais quoi du genre, et qui a trop chaud ou trop froid, et qui passe sa mauvaise humeur sur ce satané instrument de mesure et en vient presque à dire que la thermodynamique est une affaire de charlatans. Mon bon Monsieur, une mesure est une mesure : votre interprétation de cette mesure en est une autre ! Et si vous vous fiez aveuglément à cette interprétation, c'est peut-être ça votre problème, sans qu'il soit pertinent de vous plaindre de la mesure elle-même.

Le problème principal, c'est que souvent une lecture correcte des sondages devrait être on ne peut rien conclure, tout est trop incertain. Mais les gens veulent quand même une prévision, n'importe quelle prévision, ils lisent ce qu'ils peuvent, ou ce qu'ils veulent, en dépit du bon sens, et ils s'énervent contre les sondages quand cette lecture est idiote.

Le plus évident, c'est quand on dit que Machin monte ou que Bidule baisse dans les sondages, quand Machin gagne un point ou que Bidule en perd un. C'est vraiment ne rien comprendre au concept d'une mesure bruitée : à chaque fois qu'on va refaire le sondage, il y a une nouvelle erreur de mesure (et, pour compliquer les choses, il y a à la fois une erreur aléatoire qui diffère à chaque mesure et une erreur systématique qui reste grosso modo la même d'une fois sur l'autre), et cette erreur est sans doute très largement supérieure à la variation de l'opinion « réelle » dans le temps. Donc lire une hausse ou une baisse dans le résultat de quelques sondages successifs est une inanité : c'est pourtant ce que font joyeusement les journalistes. Tout aussi évidente comme erreur est le fait de conclure que Machin a de l'avance ou que Bidule a du retard sur la base de quelques sondages qui montrent pourtant un écart très faible.

Prenons quelques exemples. La récente élection présidentielle américaine, d'abord : les sondages donnaient grosso modo une courte avance à Hillary Clinton sur Donald Trump (quelques points de pourcentage). Lecture complètement crétine des sondages : donc Clinton va gagner. Et ensuite de se lamenter de l'erreur des sondages parce que Clinton ne gagne pas. Non, non, non : l'erreur est dans votre lecture complètement naïve des sondages. Il est vrai que le fait que Clinton ait eu tout au long de la campagne une avance sur Trump dans les sondages nationaux avait sans doute une signification — mais cette signification s'est manifestée dans les faits, puisqu'elle a obtenu plus de votes que Trump (elle a gagné le vote populaire), et par une avance assez importante, d'ailleurs. Si on voulait prédire le gagnant de l'élection (et pas celui du « vote populaire »), il fallait regarder les sondages état par état, faire des modèles complexes à partir de ça, et ces modèles correctement faits, comme celui de fivethirtyeight, donnaient une probabilité de victoire de Trump de l'ordre de 30% (sur tout le cours de la campagne, ça a varié entre 10% et 50%). Si quelqu'un joue à la roulette russe avec deux balles dans le barillet et qu'il meurt, personne ne va trouver ça extraordinaire ou incroyable. Mais là, les gens qui veulent absolument une prévision, n'importe quelle prévision retiennent juste le message Clinton est devant Trump, donc Trump ne va pas gagner, et quand Trump gagne ils crient au mensonge (soit qu'on les a trompés en leur faisant croire qu'il n'y avait pas de risque, soit, quand c'est l'autre camp, qu'on a voulu les réduire au silence en faisant croire qu'ils allaient perdre). Je suis désolé, mais la connerie n'est pas dans les sondages, elle est dans la tête de ceux qui les lisent. Ce n'est pas pour dire que les sondages n'ont pas fait des erreurs systématiques (mais elles ne sont probablement pas ce qu'on imagine facilement), mais ces erreurs étaient détectables déjà au cours de la campagne par une grosse incertitude dans les probabilités calculées — une lecture raisonnable (et c'était la mienne d'où mon inquiétude) était quelque chose comme Clinton a de l'avance mais rien n'est joué et les chances que Trump gagne ne sont pas du tout faibles, il est vraiment difficile de prétendre que cette lecture était une erreur.

Prenons un autre exemple, le Brexit. Tout au long de la campagne, les courbes de résultats du Remain et du Leave n'ont pas arrêté de se croiser, et qui plus est, les sondages selon des méthodologies différentes (sondages téléphoniques versus sondages par Internet notamment) montraient des écarts systématiques révélateurs d'erreurs profondes. Et il est bien connu qu'il est très difficile de sonder sur un referendum (car contrairement à des élections où les mêmes partis se représentent régulièrement, on ne peut pas corriger le résultat du sondage par des interrogations sur les élections passées). Une lecture raisonnable des sondages était donc : il est vraiment impossible de conclure quoi que ce soit sur la base des sondages. Je n'arrive donc pas à comprendre pourquoi tant de gens ont été surpris du résultat de ce qu'on aurait dû traiter quasiment comme un jet de pile ou face. (Mon pronostic personnel était que le Leave l'emporterait, mais je ne peux pas en tirer de gloire, il était, comme ma crainte de la victoire de Trump, plus basé sur une foi inébranlable en la connerie humaine et un pessimisme général que sur des considérations réellement scientifiques.)

Troisième exemple, la primaire « de la droite et du centre » française dont le premier tour a eu lieu la semaine dernière. Bon, là, si les instituts de sondage ont publié des chiffres, c'est sans doute malhonnête de leur part, j'ose espérer qu'ils mettent des barres d'erreur gigantesques, parce que tout le monde sait bien que faire des sondages sur une consultation qui aura une participation très faible (par rapport à l'ensemble de la population, ou même des listes électorales) revient à jeter des fléchettes à l'aveugle au cours d'une tempête. Enfin, tout le monde devrait savoir ça, ou trouver ça complètement évident ; ce qui m'inquiète est que ce ne soit pas le cas : mais ce n'est, de nouveau, pas la faute des sondages, c'est la faute des gens qui n'arrivent pas à comprendre le concept d'une barre d'erreur.

Et pour conclure sur un exemple générique (qui recouvre partiellement le précédent), un sondage, même parfait, ne renseignera que sur l'état de l'opinion au temps t où il est fait. Or l'opinion change, et peut changer même dans les derniers jours ou les dernières heures avant le vote. Faut-il conclure à une erreur dans ce cas ? Je ne le pense pas : il faut juste savoir lire le sondage comme une mesure à un temps donné, et qu'on ne peut extrapoler qu'avec la plus grande prudence — ceux qui le font sans aucune vergogne ne peuvent s'en prendre qu'à eux-mêmes.

Bref, la moindre des choses serait d'arriver à savoir lire quand les sondages disent qu'ils ne peuvent rien dire.

Maintenant, si je me fais l'avocat du diable, je vais dire : mais si une « lecture correcte » des sondages consiste à comprendre qu'il n'y a rien à en tirer dès que le match est un peu serré, quel est leur intérêt ? quand le match n'est pas serré du tout, les sondages ne font que confirmer l'évidence (par exemple, que Jill Stein n'allait pas remporter l'élection présidentielle américaine). Le problème quand on dit ça, c'est qu'on fait preuve de cécité rétroactive : il y a toutes sortes de choses qui nous paraissent évidentes parce qu'on a vu les sondages, et qui ne l'auraient pas été sans eux, et du coup toutes ces situations où les sondages ont apporté une mesure utile et pertinente sur l'état de l'opinion sont facilement oubliées parce qu'elles paraissent « évidentes » avec le recul.

C'est profondément injuste de nier l'utilité de sonder l'opinion publique. Le fait qu'hommes politiques et journalistes y soient totalement accros est certainement un problème, mais la vision idéalisée d'un homme politique qui gouverne uniquement selon son for intérieur et se présente aux élections pour ce qu'il croit Juste, faisant face à des électeurs qui votent eux-mêmes chacun pour le projet qui a sa préférence sans tenir compte des autres, cette vision est, justement, complètement idéalisée — et je n'aime pas l'idéalisation de la démocratie. (Je ne crois pas, par exemple, que les droits des homosexuels auraient fait tant de progrès s'il n'y avait pas des sondages pour montrer que l'opinion publique évolue.)

Et en tout état de cause, si on ne veut pas de sondages, on ne peut pas ignorer le problème réel des votes perdus : si je suis face à trois candidats, A, B et C, que j'ai une très légère préférence pour A sur B, les deux étant très très loin devant C dans mon ordre de préférence, et si le mode de scrutin ne me permet d'exprimer qu'un seul choix, il m'est réellement utile de savoir si A a des chances sérieuses de l'emporter ou s'il vaut mieux que je vote « utile » pour B. Donc à moins qu'on adopte un mode de scrutin vérifiant au moins le critère de Condorcet (or je ne sais pas s'il y a un seul pays au monde qui fait ça !), il faut bien que les électeurs disposent d'un minimum d'information pour faire leur choix de voter « utile » ou non. Ceci est légitime, et seuls les sondages le permettent.

(Bon, dans un monde idéal, on pourrait imaginer faire des élections en continu, où chacun peut, à tout moment, changer sa voix, et dont les résultats sont connus en permanence, et deviennent officiels à partir du moment où tous les électeurs s'estiment satisfaits et n'ont pas envie de changer leur vote compte tenu des résultats — en espérant que ça converge. Les sondages n'auraient alors aucun intérêt puisque l'élection serait un sondage à l'échelle de tout l'électorat. Mais nous ne sommes pas dans un monde idéal !)

(dimanche)

La forme élégante du plan projectif complexe

Je ressors ici de mes cartons une vieille entrée commencée il y a très longtemps, et plusieurs fois reprises, abandonnée, re-reprise, re-abandonnée, etc. Il s'agit d'essayer d'expliquer ce que c'est, et dans une certaine mesure comment visualiser, le plan projectif complexe[#] et sa géométrie. (Sauf qu'à cause de l'histoire compliquée de la rédaction de ce texte, qui s'étale sur des années, j'ai changé plusieurs fois d'avis sur ce que je voulais raconter, et il ne faut pas s'attendre à une grande cohérence. Mais j'espère au moins que les différents bouts seront intéressants.)

Le plan projectif complexe est intéressant parce qu'il appartient à la liste des espaces homogènes et isotropes (ou : deux points homogènes), ce que j'avais évoqué dans mon entrée sur les octonions (plus précisément, ici ; je voulais en parler depuis longtemps), et il est le plus simple/petit parmi eux qui ne soit pas maximalement symétrique, c'est-à-dire, qui ne soit pas un espace euclidien, une sphère (ou espace projectif réel) ou un espace hyperbolique : si on veut essayer d'imaginer ce que la notion d'espace homogène et isotrope signifie, et pourquoi ce n'est pas pareil que maximalement symétrique, il est donc bon de commencer par là ; d'autant plus qu'il n'est que de dimension (réelle) 4, ce qui n'est pas totalement hors de portée de l'imagination, et de toute façon tous ceux qui sont plus compliqués vont le contenir (ou bien contenir son dual, le plan hyperbolique complexe).

Mais il y a une raison supplémentaire d'en parler, c'est que le plan projectif complexe est une sorte d'amalgame entre le plan projectif réel (qui n'est autre que la sphère ordinaire, après identification des points antipodaux) et la droite projective complexe (a.k.a., sphère de Riemann, qui est elle aussi la sphère ordinaire, cette fois sans identification des antipodes, mais qu'il sera pertinent d'imaginer de rayon deux fois plus petit) : ces deux espaces-là sont faciles à comprendre, et sont aussi l'occasion de parler de deux projections particulières de la sphère, à savoir la projection gnomonique et la projection stéréographique. Car le plan projectif réel est fortement lié à la projection gnomonique de la sphère, et la droite projective complexe à la projection stéréographique. • Toutes les deux fonctionnent en projetant la sphère sur un plan tangent à elle et en projetant depuis un point appelé centre de projection (c'est-à-dire que pour projeter un point de la sphère, on trace la droite ou demi-droite partant de ce centre de projetant et reliant le point à projeter, et son intersection avec le plan choisi définit la projection) : la différence est que dans le cas de la projection gnomonique on projette depuis le centre de la sphère tandis que dans le cas de la stéréographique on projette depuis le point antipodal du point de tangence du plan choisi. La projection gnomonique préserve l'alignement (i.e., envoie les grands cercles sur des droites) et c'est d'ailleurs la seule à le faire, tandis que la stéréographique préserve les angles. (Voir aussi mes explications sur les projections de la sphère et l'application au cas de la Terre, ou encore le texte que j'avais écrit il y a bien longtemps sur le sujet de la cartographie.)

[#] Plus exactement : le plan projectif complexe muni de sa métrique/distance de Fubini-Study, qui est alors une variété riemannienne de dimension 4 ; peut-être que je devrais dire plan elliptique complexe (ou plan projectif hermitien ?) — la terminologie n'est pas totalement claire.

Table des matières

Définition rapide et résumé pour les gens pressés

Pour les lecteurs qui veulent tout de suite une définition, le plan projectif complexe est l'ensemble des triplets (u,v,w) de nombres complexes non tous les trois nuls, dans lesquels on identifie (u′,v′,w′) avec (u,v,w) lorsqu'il existe λ complexe non nul tel que (u′,v′,w′) = λ·(u,v,w) (et pour marquer cette identification, on note (u:v:w) la classe de (u,v,w), c'est-à-dire l'ensemble {(λu,λv,λw) | λ∈ℂ×}). Autrement dit, on identifie (u,v,w) et (u′,v′,w′) lorsque les trois rapports u/u′, v/v′ et w/w′ sont tous les trois égaux (plus exactement, les coordonnées nulles doivent être les mêmes d'un côté et de l'autre, et les rapports entre coordonnées non nulles de part et d'autres doivent être les mêmes). On dit que u, v, w sont les coordonnées homogènes du point (définies à un facteur multiplicatif λ commun, donc). Souvent on les prendra normalisées, c'est-à-dire que |u|²+|v|²+|w|²=1 (mais ceci ne définit toujours pas les coordonnées uniquement, car on peut encore multiplier par un complexe λ de module 1).

Pour définir le plan projectif réel, on imposera bien sûr à u,v,w d'être réels (non tous nuls) ; et pour la droite projective réelle, on imposera à w d'être nul (i.e., on n'utilise que deux coordonnées). On pourrait bien sûr définir l'espace projectif de dimension n quelconque en utilisant n+1 coordonnées homogènes. Et on peut faire la même définition avec les quaternions qu'avec les réels ou les complexes (il faut juste faire attention dans ce cas à bien fixer le sens de la multiplication : disons qu'on identifie (u,v,w) avec (λu,λv,λw) pour λ un quaternion non nul : cela revient à identifier (u,v,w) et (u′,v′,w′) lorsque u·u−1, v·v−1 et w·w−1 sont égaux ou, ce qui revient au même, que u−1·v=u−1·v′ et v−1·w=v−1·w′ et w−1·u=w−1·u′, avec les conventions évidentes lorsque des coordonnées sont nulles). Pour les octonions, en revanche, on ne peut fabriquer que la droite et le plan projectifs, et les définitions sont plus délicates.

Mais ce dont je veux surtout parler, ce n'est pas juste le plan projectif complexe, c'est aussi la distance qu'on met dessus (et que je vais motiver en commençant par le cas du plan projectif réel et de la droite projective complexe), qu'on appelle la métrique de Fubini-Study, et qui vaut dist((u:v:w), (u′:v′:w′)) = Arccos(|u·u*+v·v*+w·w*| / √((|u|²+|v|²+|w|²)·(|u′|²+|v′|²+|w′|²))) où z* désigne le conjugué complexe de z ; donc, pour des coordonnées normalisées, c'est dist((u:v:w), (u′:v′:w′)) = Arccos(|u·u*+v·v*+w·w*|), autrement dit l'arc-cosinus du module du produit scalaire hermitien entre les coordonnées normalisées. Il est facile de vérifier que cette distance ne dépend pas des coordonnées homogènes choisies.

Cette distance fait du plan projectif réel une sphère de dimension 2 et rayon 1 où les points antipodaux sont identifiés (l'identification étant par la projection gnomonique), et de la droite projective complexe une sphère de dimension 2 et rayon ½ (l'identification étant par la projection stéréographique) dite « sphère de Riemann ». Quant au plan projectif complexe, de dimension 4, il a une forme où ces deux sortes de sphères jouent un rôle important, et que j'ai tendance à décrire intuitivement comme un « tissu de sphères » (les sphères en question sont les droites projectives complexes du plan projectif complexe : il en passe exactement une par deux points distincts quelconques, et deux d'entre elles se coupent toujours en un point unique). Ce plan projectif complexe, par ailleurs, possède énormément de symétrie, puisqu'elle est homogène et isotrope (« tous les points sont interchangeables, ainsi que toutes les directions à partir d'un point »).

Je dirai encore un mot sur les plans projectifs réels contenus dans le plan projectif complexe, sur les symétries de ce dernier, et sur différentes sortes d'angles qu'on peut définir (car si tous les points se valent et que toutes les distances égales se valent, en revanche, la situation des angles est plus compliquée).

(mercredi)

Ma banque met fin aux e-cartes bleues

J'ai souvent raconté sur ce blog que je fais énormément d'achats en ligne — et les différentes sortes de first world problems que je rencontre. Il y a une chose qui m'a toujours donné confiance, c'est que je fais mes achats avec des numéros de carte bancaire à usage unique : quand je veux acheter quelque chose sur un site marchand, genre www.bigfatdildos.tld ou www.enhanceyourpenis.gov (sites de vente de matériel informatique que je consulte souvent), je ne donne jamais le vrai numéro de ma carte bancaire au site en question ; à la place, je me connecte à un site de ma banque (enfin, techniquement, géré par le GIE Cartes Bancaires) au moyen d'identifiants spécifiques, j'indique combien je veux payer, ce site me génère un numéro de carte bancaire (avec date d'expiration et code de sécurité) valable uniquement pour ce montant et pour un unique commerçant, et c'est ce numéro que je communique au site marchand. Ce système e-carte bleue est rassurant parce que cela limite mes pertes : même si le site marchand est une pure escroquerie, au pire, je perds l'argent de la commande et je ne reçois pas ce que j'ai commandé, ce qui, vu le profil typique de mes commandes (nombreuses mais de faible valeur), ne sera pas un désastre. Le site ne peut pas prélever plus que ce que j'ai autorisé, et mon vrai numéro de carte bancaire n'est ni communiqué en ligne ni stocké chez le marchand.

Avantage supplémentaire, ce système permet de donner un numéro à usage unique à des sites qui proposent des abonnements à tacite reconduction (ce qui devrait être illégal, soit dit en passant) où la désinscription est compliquée : ils ne pourront pas prélever plus qu'une fois, et devront bien annuler le service.

Et il y a très peu d'inconvénients. C'est un tout petit peu plus long, et certains sites sont pénibles parce qu'ils tiennent à mémoriser les numéros de carte qui, du coup, s'accumulent ; parfois il y a le problème que le montant final à payer, compte tenu des frais de port, n'est donné qu'après que le numéro de carte bancaire a été saisi : pour ça, je génère un numéro complètement pipo qui n'a que la somme de contrôle de bon, et je reviens en arrière une fois que je connais le montant correct. Les sites Web les plus embêtants sont ceux qui utilisent PayPal, parce que PayPal (en lequel j'ai exactement zéro confiance, peut-être encore moins que www.bigfatdildos.tld) veut absolument que je me connecte avec mon « compte PayPal », et ils limitent le nombre de cartes bancaires qui peuvent être « liées » à ce compte : je dois donc faire l'exercie fastidieux de dé-lier un numéro de carte déjà périmé avant d'entamer un nouveau paiement. Il y a aussi le cas particulier des sites comme Voyages SNCF, ou certains hôtels, qui ne livrent rien mais demanderont la carte bancaire physique utilisée pour le paiement : dans ce cas, il ne faut évidemment pas utiliser un numéro jetable — là, ma solution est de faire faire ce genre d'achats par mon poussinet qui a toute une panoplie de cartes bancaires, et qui par ailleurs travaille chez Capitaine Train Trainline donc il ne va évidemment pas utiliser Voyages SNCF.

Bref, je suis très content de ce système, ou plutôt, je l'étais, parce que je viens d'apprendre avec effarement que LCL y met un terme. Comme d'habitude avec les banques, il n'y a aucune information précise, le message d'annonce est aussi vague qu'une promesse de Donald Trump :

LCL arrête le service e-Carte Bleue à partir du 31 décembre 2016 et travaille sur d'autres solutions pour renforcer la sécurité des paiements sur Internet.

Que va-t-il se passer à partir du 01 janvier 2017 ?

Pour vos paiements sur Internet, vous pouvez utiliser directement les données de votre carte bancaire après avoir pris connaissance des règles de prudence disponibles dans la fiche sécurité de votre carte sur www.LCL.fr

Ceci ne dit absolument rien. Quand on m'écrit vous pouvez utiliser directement les données de votre carte bancaire, moi je comprends ça comme vous pouvez aller vous faire voir, nous fermons le service et nous ne proposons rien à la place, et les autres solutions sont une pure promesse en l'air. (Accessoirement, je n'ai même pas réussi à trouver la fiche sécurité à laquelle il est fait référence : la personne qui a rédigé ce message n'était apparemment pas au courant que le HTML permet de faire un lien vers une page précise pour éviter de devoir naviguer à la recherche de la page en question à partir d'un titre approximatif.) J'ai écrit pour demander des précisions, mais je n'ai pour l'instant pas obtenu de réponse.

Ajout : à peu près le même message se trouve ici, avec un lien un peu plus précis sur la fiche sécurité ; il reste néanmoins qu'elle ne dit que des banalités et absolument rien d'utile sur ce qui se passera à partir de 2017.

Alors bien sûr, il existe d'autres solutions que les numéros de carte bancaire à usage unique : le plus populaire, par exemple, consiste à ce que chaque achat par numéro de carte donne lieu à l'envoi d'un SMS au numéro du client (préenregistré par la banque), SMS qui demande de confirmer l'achat, ou bien qui fournit un code à quatre chiffres qui doit être saisi sur le site Visa / 3-D Secure. J'ai aussi entendu parler d'un projet bizarre où le code de sécurité au dos de la carte serait dynamique (il y aurait un petit écran LC qui affiche un numéro qui change régulièrement), mais je n'ai pas de détails et je ne comprends pas comment ça peut fonctionner. Toutes ces solutions, cependant, sont inférieures en tout point à celle des numéros à usage unique, car elles passent par la communication du vrai numéro de carte bancaire.

Le problème principal est que, même si les sites marchands sécurisés se répandent (qui vont passer, donc, par l'envoi d'un SMS ou une solution du genre évoqué ci-dessus), les paiements par numéro de carte seule restent possibles. Aucune banque ne permet — à ma connaissance — de refuser systématiquement tout paiement qui n'aurait pas été authentifié par un mécanisme sûr. Il y a donc un danger réel pour le client si son numéro de carte bancaire fuite sur Internet. Même si, en principe, il est facile pour le client de contester un paiement ainsi effectué de manière non sécurisée avec le seul numéro de carte bancaire et sans aucun mécanisme de protection supplémentaire, et d'obtenir un remboursement en cas de fraude, cela représente néanmoins un risque, au moins du désagrément de devoir faire la démarche de contestation ou de se retrouver avec un compte vidé au mauvais moment ; et au pire qu'elle n'aboutisse pas si on remarque la fraude trop tard ou si la banque est mal lunée. Et du coup, si la seule manière de payer impose de fournir le (vrai) numéro de carte bancaire, même s'il y a un code de vérification après, on s'expose à ce que ce numéro soit volé au passage et qu'il puisse resservir lors d'un paiement non sécurisé, qui sera pénible et fastidieux à contester. Aucune solution de paiement qui utilise le vrai numéro de carte bancaire n'est donc raisonnablement sécurisée, sauf si la banque fournit aussi (or comme je l'ai dit ce n'est jamais le cas) un moyen de refuser tout paiement passant par le seul numéro.

Souvent, par le passé, quand j'ai évoqué ces problèmes et ma satisfaction de la solution « e-carte bleue », on m'a répondu ceci : c'est une solution qui protège, en fait, la banque, car c'est la banque qui est tenue de rembourser tout paiement frauduleux, donc ça ne devrait pas être le problème du client. Voilà bien une réponse complètement déconnectée de la réalité : quiconque a déjà affronté les emmerdements consistant à obtenir un remboursement de la part de sa banque sur un achat frauduleux le sait[#]. Pour ceux qui persistent à croire que ce n'est pas un problème, je propose l'exercice suivant : pour la modique somme de 0€ je vous adresserai mes plus vives félicitations ; si cet achat vous intéresse, postez votre numéro de carte bancaire, avec date d'expiration et code de sécurité, sur un site public comme Reddit ou 4chan, et envoyez-moi un lien vers le post, et je vous adresserai mes plus vives félicitations dans les plus brefs délais. Si vous avez vraiment confiance en la possibilité de contester un paiement frauduleux, ceci devrait le prouver. Si vous n'êtes pas prêts à le faire, vous comprenez maintenant pourquoi je n'ai pas envie de fournir mon vrai numéro de carte bancaire (même s'il y a un SMS derrière) à un site marchand de réputation aussi douteuse que www.enhanceyourpenis.gov ou PayPal.

Bref, je ne comprends décidément pas pourquoi les banques imaginent des solutions tordues et qui fonctionnent mal alors que le système des numéros à usage unique est simple, efficace, et largement plus sûr que tout le reste.

Toujours est-il que je suis pris complètement au dépourvu par la terminaison de ce service, et maintenant il faut que je me mette en quête, au plus vite, d'une banque chez laquelle ouvrir un nouveau compte. Mon poussinet m'apprend que Fortuneo fournit un service équivalent de cartes bancaires à usage unique, et qu'ils ne prennent pas de frais. Mais si je choisis cette solution, il reste l'emmerdement à faire la démarche pour ouvrir le compte, à avoir une carte bancaire supplémentaire à transporter (et un code secret supplémentaire à mémoriser), un compte supplémentaire à gérer dans ma comptabilité et à alimenter, bref des tracas dont je me passerais bien. Et l'anecdote racontée dans la note qui suit ne me prédispose pas à faire confiance à cette banque.

[#] À titre d'exemple, je peux raconter l'anecdote suivante. Quand mon poussinet et moi sommes allés à New York il y a deux ans, une des transactions par carte qu'il a faites (très exactement, le , dans ce Deli's, au croisement de Broadway et de la 52e rue, que je déconseille donc vivement) a été fraudée par le commerçant. Ce dernier a ajouté un « tip » que mon poussinet ne voulait pas lui verser (au motif qu'il n'y a pas à verser un pourboire s'il n'y a pas de service à table — c'était un repas à emporter). Mon poussinet avait bien sûr l'exemplaire client du ticket, sur lequel il était clair qu'il n'avait pas mis de tip : la fraude était donc manifeste, et prouvable. Qui plus est, elle rentre parfaitement dans une des cases prévues par le réseau gérant la carte (MasterCard). Mais mon poussinet n'a jamais pu obtenir de Fortuneo (la banque émettrice) que la fraude soit corrigée ou dénoncée au réseau : chaque mail qu'il envoyait était apparemment traité par une personne différente, qui n'avait apparemment aucune mémoire des échanges précédents, et on lui a fait quantités de réponses fausses, absurdes ou contradictoires (par exemple, on a essayé de lui dire qu'il s'agissait de frais de change, ce qui est faux ; on lui a fait remplir un formulaire qui a ensuite disparu dans la nature ; on lui a prétendu qu'on ne « pouvait rien faire » ; etc.). Finalement, il a renoncé à se battre pour le principe, parce que la somme était vraiment dérisoire (quelques dollars). Mais cela donne une idée de combien cette banque prend au sérieux la défense de ses clients face à la fraude.

PS : Personnellement, si je devais inventer un système de paiement, ça ressemblerait beaucoup au système des cartes bancaires à usage unique : on se connecterait sur le site de la banque avec des identifiants personnels, on demanderait à payer une certaine somme et on remplirait quelques cases supplémentaires pour des questions comme comme accepte-t-on que le paiement soit renouvelé (avec avec quelle fréquence maximale), accepte-t-on que le montant soit partagé par plusieurs tireurs, combien de temps veut-on qu'il reste valable, etc. ; pour un gros montant, il y aurait une authentification en plusieurs étapes (au minimum, l'envoi d'un SMS) ; la banque fournirait alors un numéro unique de 256 bits qui permet le prélèvement de la somme autorisée sur le compte, et on communiquerait ce numéro au marchand. Ceci marcherait aussi entre particuliers (si je veux donner de l'argent à un copain, j'irais sur le site de ma banque, j'obtiendrais un tel numéro que je transmettrais à mon copain, par exemple par QR-code, il l'entrerait sur le site de sa banque avec le montant à transférer, au maximum celui que j'ai autorisé, et le virement aurait lieu). Ceci remplacerait à la fois l'usage des cartes bancaires en ligne, et aussi des virements par numéro de compte, qui sont une calamité au niveau sécurité (avec SEPA, n'importe qui peut tirer sur n'importe quel compte en Europe avec juste le numéro de compte, et c'est au fraudé de s'en rendre compte et de protester — c'est quand même d'une stupidité affolante). C'est quand même dire beaucoup du niveau de compétence du système bancaire que, en cinq minutes et sans réfléchir j'arrive à concevoir un système beaucoup plus sûr, beaucoup plus simple et beaucoup plus efficace que tout ce qui existe actuellement !

(dimanche)

Introspection, et « marcellisme »

Je me suis livré à quelques séances d'introspection pour essayer de comprendre pour quelle raison la victoire de Donald Trump à la présidentielle américaine m'affectait tant. Je ne vais pas revenir sur la politique, mais parler un peu au niveau émotionnel.

Il est vrai que cette nouvelle tombe à un moment où j'ai l'impression d'être harcelé par toutes sortes de tracas et d'inquiétudes. Rien de grave !, mais une accumulation de mille et un petits embêtements ou causes de contrariété qui, à force, finissent par me peser. Comme tracas momentanés, il y a par exemple ce souci mathématique qui m'a donné un certain chagrin, ma tentative pour m'inscrire au permis de conduire qui est toujours dans les limbes, il a une fuite d'eau au sous-sol de notre immeuble juste ne-dessous de notre appartement et dont on ne trouve pas la source, il y a mon nouvel ordinateur dont je ne suis décidément pas content ; comme causes de fatigue passagère il y a notamment des travaux (plus un rhume qui finit tout juste), et il y a le temps pourri de ce début de novembre, les journées qui raccourcissent et le passage à l'heure d'hiver qui me dépriment un peu chaque année ; j'ai aussi des inquiétudes à plus long terme (concernant, par exemple, l'évolution de l'établissement où j'enseigne — je ne vais pas en parler ici parce qu'il est, paraît-il, mal vu de dire publiquement du mal de sa hiérarchie), mais je ne vais pas m'étaler à ce sujet. Ce ne sont que quelques exemples, qui montrent que je me fatigue facilement de plein de petits riens : mais peut-être finalement que ce qui me pèse est que je n'arrive pas vraiment à me rappeler à quand remonte la dernière fois que j'ai reçu une vraie bonne nouvelle ou simplement ce que j'avais appelé autrefois une potentitialité (heureuse). (Le mieux qui me vienne à l'esprit est que quand j'ai vu mon dentiste récemment, il m'a dit que je n'avais pas de nouvelle carie, et c'est peut-être bien la première fois que ça se produit au cours des quelques dernières années.)

Mais il y a autre chose dont je me suis rendu compte en repensant à la manière dont j'avais ressenti la campagne électorale américaine, c'est l'importance d'un sentiment un peu confus mais que je ressens en général de façon très forte. Je ne sais pas quel nom donner à ce sentiment qui mériterait certainement une entrée dans le Dictionary of Obscure Sorrows, mais si je dois le définir en une phrase, ce serait quelque chose comme ceci :

Une fois que le match est joué, les points gagnés ou perdus pendant le jeu perdent toute signification.

Ce n'est pas très clair ? Je vais essayer d'expliciter. Il s'agit d'une forme d'espoir déçu, mais c'est un peu plus spécifique que ça : la sensation d'amertume provoquée par le souvenir de succès initiaux rendus vains ou caducs par un échec final. Imaginez que vous jouez à un jeu dans lequel vous espérez la victoire (ou celle de votre équipe, ou celle d'une équipe dont vous êtes le supporter) : des éléments de progrès dans le jeu, par exemple un point marqué par vous ou votre équipe, ou la réussite d'un but intermédiaire, la victoire à une bataille, l'avancement de votre personnage, ce genre de choses, vous causent une certaine satisfaction. Soit parce qu'ils font espérer en une victoire finale qu'ils montrent plus probable, soit parce qu'ils sont des victoires partielles. Mais voilà que survient une défaite définitive, irréversible et irrécupérable : tous les espoirs soulevés par ces réussites intermédiaires sont déçus, les victoires elles-mêmes sont rendues caduques et perdent toute valeur. Et leur souvenir devient alors d'autant plus amer qu'ils avaient nourri des espoirs ou une satisfaction maintenant douchés.

Ce sentiment existe dans toutes sortes de circonstances, et à toutes sortes de degrés. C'est le sentiment de l'empereur Auguste et de sa sœur Octavia quand ils repensent à la carrière prometteuse de Marcellus (le fils d'Octavia, donc le neveu d'Auguste) interrompue brutalement par sa mort — sentiment traduit par Virgile dans une célèbre phrase du livre VI de l'Énéide, Heu, miserande puer, si qua fata aspera rumpas, / Tu Marcellus eris ! (Hélas, malheureux enfant, si tu peux rompre ton destin cruel, / Tu seras Marcellus !). Ingres en a même tiré un tableau où on voit Octavie s'évanouir sous l'effet de ce sentiment, que je pourrais donc appeler marcellisme.

C'est le sentiment, par exemple, de l'entrepreneur dont l'entreprise connaît des succès initiaux dont il se réjouit, mais finit par faire faillite pour une raison stupide. Et celui d'un candidat à une élection qui, après avoir perdue celle-ci, repense avec amertume à la satisfaction que lui donnaient des sondages initiaux favorables. C'est le sentiment d'un « libéral » américain qui aurait été heureux d'apprendre la mort du juge Antonin Scalia (ce n'est sans doute pas bien de se réjouir de la mort de quelqu'un, mais parfois c'est vraiment difficile de ne pas le faire) et qui y repenserait maintenant.

Une variante de ce sentiment, beaucoup plus forte (mais sans doute proche de celle qu'aurait pu ressentir la sœur d'Auguste) se rapporte à la mort d'un être cher lorsqu'un repense à quelque chose qu'on prévoyait de faire avec lui. Je pense par exemple à une scène, sans doute un mélange de fictions que j'ai lues ou vues et peut-être de témoignages que j'ai entendus, où une personne attend l'arrivée d'un être cher pour lui faire une surprise, peut-être le demander en mariage ou souhaiter son anniversaire, et plutôt que l'être attendu, ce qui arrive est l'annonce qu'il vient de décéder. Il s'agit là de la forme la plus perçante du « marcellisme ». (La simple idée de cette scène, même ainsi rendue générique et dépouillée de tout détail, me fend le cœur.)

Bien sûr, le sentiment peut avoir un pendant heureux, et qui a certains points communs avec la forme malheureuse dont je parle ci-dessus : le soulagement de se rendre compte que toutes sortes de défaites intermédiaires ou de pronostics funestes sont, finalement, annulés. Il doit aussi exister une forme neutre lorsque quelque chose tourne de manière totalement différente de ce que les signes préliminaires laissaient penser, sans que ce soit classable sur une échelle de bien en mal (mais je ne sais pas si cela provoque vraiment un sentiment particulier à part la surprise).

(mercredi)

Exercice : chercher le silver lining

Je n'ai pas beaucoup dormi parce que j'ai passé la fin de la nuit, depuis 5:30 du matin (heure de Paris =UTC+0100) à alternativement sangloter, crier j'ai peur de façon incohérente, et chercher le réconfort des bras de mon poussinet (qui aurait sans doute préféré dormir), donc je ne vais pas essayer d'écrire quelque chose de cohérent.

À la place, je vais laisser cet exercice à mes lecteurs en leur proposant ce défi : on dit que every cloud has its silver lining, personnellement je n'arrive pas à le voir, donc votre but est de me convaincre qu'il y en a quand même un, ou au moins, que ce n'est pas la fin du monde (le 20 janvier 2017). On se concentrera sur les conséquences en-dehors des États-Unis, parce que c'est ce qui concerne principalement mes lecteurs et aussi parce que c'est là où l'action du président n'a aucune sorte de contrôle ou contre-pouvoir.

(Et pour éviter qu'on me ressorte les mêmes âneries que lors de mes précédentes discussions sur le sujet, parler de programme politique ou d'isolationisme ou de de choses comme ça est hors sujet : la question est celle de la gravité d'avoir un psychopathe incontrôlable à la Maison-Blanche — ce que le fou a dit qu'il ferait peut juste servir comme indication de certaines de ses lubies, mais certainement pas comme prévision de ce qu'il fera.)

(dimanche)

Quelques réflexions électorales

Méta : Je suis complètement crevé en ce moment pour les raisons que j'ai déjà expliquées, et en plus j'ai attrapé le rhume de mon poussinet, donc ne vous attendez pas à ce que ce qui suit soit d'une grande cohérence. 😐

Je regarde monter et descendre les courbes de probabilité de fin du monde sur les différents agrégateurs et méta-agrégateurs de sondages relatifs à l'élection américaine, et je me pose la question épistémologique suivante (à laquelle je n'ai pas de réponse satisfaisante) : qu'est-ce que ça veut dire, au juste, une probabilité, pour un événement qui ne se produit qu'une seule fois. Par exemple, au moment où j'écris, FiveThirtyEight donne 35% de chances à Monsieur T d'être élu président, Princeton Elections lui donne moins de 1% de chances, le New York Times le place entre les deux à 16%, et les forces du marché à 12% (comme je l'ai mentionné en commentaire de l'entrée précédemment liée, certaines des raisons pour ces différentes sont expliquées ici et ) ; mais au final, qu'il soit élu ou pas, il sera impossible de dire qu'un quelconque de ces prédic(a)teurs avait raison, ou qu'il avait tort, ni d'ailleurs de donner tort au Splendide Talent Universel Prédicteur Indépendant de David qui prédit des chances égales à chaque candidat dans n'importe quelle élection. Si on échappe à la fin du monde pour l'instant, il sera impossible de dire si on a eu chaud ou si on s'est inquiété pour rien. Tout au plus peut-on dire qu'une méthodologie de prévision, ou un oracle probabiliste, A, est globalement meilleure qu'un autre B sur le même jeu d'événements, lorsque [correction  : j'avais oublié les logs] la somme des logs des probabilités prédites par A sur les événements qui se produisent au final est supérieur à la somme des logs des probabilités prédites par B. Ce n'est pas comme un jet de dé où tout le monde peut être à peu près d'accord sur ce que signifie le mot probabilité.

Mais je voulais parler d'autre chose : de deux idées de modifications (indépendantes l'une de l'autre) qu'on pourrait apporter au mode de scrutin (de l'élections présidentielles américaine ou française, ou en fait de quasiment n'importe quelle sorte d'élection). Il ne s'agit pas de réformes profondes : je ne veux pas parler ici des modes de scrutins plus ou moins idéaux (voir par exemple celui-ci que j'avais « redécouvert » indépendant et mentionné plusieurs fois sur ce blog sous le nom de scrutin de « Condorcet-Nash » ; voir notamment cette entrée et les notes au point (5)), et de toute façon, s'agissant du mode de scrutin pour l'élection présidentielle américaine, la première chose à faire serait de tout jeter à la poubelle, à commencer par les grands électeurs, et reprendre à zéro. Mais il s'agit, là, d'idées extrêmement simples sur lesquelles il est au moins intéressant de méditer.

Idée numéro 1 : faire qu'au lieu lieu de voter pour un candidat à l'élection on puisse si on préfère voter contre un candidat. (La modalité pratique, dans un système à base d'enveloppes dans une urne comme en France, serait simplement qu'on mettrait un bulletin spécial, tout rouge avec le mot CONTRE écrit en énorme dessus, en plus du bulletin du candidat contre lequel on veut voter ; ou peut-être qu'il y aurait deux fois plus de bulletins que de candidats, je ne sais pas ce qui se prête le moins à la fraude.) Voter contre un candidat soustrait une voix à ce candidat : autrement dit, son nombre de voix est égal à son nombre de voix pour (upvotes) moins son nombre de voix contre (downvotes) ; et ce score net peut tout à fait tomber en-dessous de zéro s'il y a plus de contre que de pour ; ça n'empêche qu'on élit le candidat qui a le score net le plus élevé, ou on fait un second tour entre les candidats qui ont le score net le plus élevé, selon les modalités normales pour l'élection dont on parle (ma proposition n'est qu'une modification sur un mode de scrutin déjà existant, pas un mode de scrutin en elle-même). Je ne sais pas comment on afficherait les résultats (un pourcentage des suffrages exprimés ne voudrait plus dire grand-chose), mais en tout cas la modification est claire, et compréhensible par tout le monde, rien de comparable à des modes de scrutin mathématiquement complexes.

Il appartiendrait à chaque électeur de décider en son for intérieur s'il veut utiliser son unique voix pour voter pour tel ou tel candidat ou contre tel ou tel candidat. (Bien sûr, on pourrait imaginer des choses plus complexes, notamment ce que je proposais dans la note #2 de cette entrée, mais on perd alors la simplicité qui permet au mode de scrutin d'être compris par tout le monde.)

Il n'aura échappé à personne que s'il y a exactement deux candidats, X et Y, cela ne fait aucune différence de voter pour X ou contre Y, ou vice versa, puisque seule compte, au final, la différence entre leurs scores nets. Mais, et c'est un point très important avec les élections, les électeurs ne sont pas rationnels, leur impression, le « message » qu'ils veulent pouvoir envoyer, a une importance (on peut le regretter, trouver que les gens sont cons, et c'est sans doute vrai, mais tout le monde ne peut pas être mathématicien ☺). Donc en pratique cela ferait une différence, parce que cela ferait une différence sur la manière dont les gens ressentent l'élection (et, soyons honnêtes, sur les chiffres proclamés : si un candidat est élu avec −5338357 voix contre −7244326, il va sans doute moins faire le malin dans sa comm ultérieure). Lorsque la gauche française sera amenée à voter au second tour de l'élection présidentielle de 2022 pour choisir entre l'extrême-droite de Marine Le Pen et l'extrêmement-plus-droite de Marion-Maréchal Le Pen, elle sera plus encline à venir se déplacer pour faire barrage à la seconde si elle a au moins la satisfaction de pouvoir mettre un bulletin contre dans l'urne. Et, bien sûr, dans une situation où il y a strictement plus que deux candidats (même s'il y a des « petits candidats » qui n'ont de chance d'être élus que si les « grands » tombent en-dessous de zéro), cela fait une différence. Je pense notamment que cette idée aurait plu à un certain nombre d'électeurs américains pas du tout contents de devoir choisir de soutenir Monsieur T ou Madame C.

L'idée numéro 2 n'a rien à voir et est complètement indépendante de la précédente. Elle s'applique à n'importe quel type de scrutin où on élit une personne, par exemple n'importe quelle élection présidentielle. Et le changement consisterait simplement à ce qu'au lieu d'élire une personne on élise une liste de, disons, cinq personnes. Une fois la liste élue, on tire au hasard une personne dans la liste, et c'est elle qui est élue. (Les autres de la liste peuvent recevoir des lots de consolation, des hochets décoratifs comme un poste de vice-président, mais ce n'est pas l'important.) Autrement dit, les électeurs n'ont pas tout à fait le choix de leur président : ils ont le choix jusqu'à une incertitude de log₂(5) bits, si j'ose dire.

Pourquoi diable voudrait-on faire ça ? Tout simplement, pour dépersonnaliser les élections. Pour obliger les campagnes et les électeurs à se concentrer moins sur les personnes et plus sur les programmes : la liste de cinq devra évidemment proposer un programme unique (et donc se mettre d'accord sur son contenu), et il sera impossible de faire campagne sur la personnalité d'un candidat, car chacun n'aura au final qu'au mieux une chance sur cinq d'accéder à la fonction visée.

Bon, peut-être que ces idées sont totalement idiotes et ne fonctionneraient pas du tout comme attendu, je n'en sais rien, je suis trop enrhumé et fatigué pour décider, mais je pense qu'elles méritent au moins qu'on y médite un petit moment.

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