David Madore's WebLog: 2021-03

Vous êtes sur le blog de David Madore, qui, comme le reste de ce site web, parle de tout et de n'importe quoi (surtout de n'importe quoi, en fait), des maths à la moto et ma vie quotidienne, en passant par les langues, la politique, la philo de comptoir, la géographie, et beaucoup de râleries sur le fait que les ordinateurs ne marchent pas, ainsi que d'occasionnels rappels du fait que je préfère les garçons, et des petites fictions volontairement fragmentaires que je publie sous le nom collectif de fragments littéraires gratuits. • Ce blog eut été bilingue à ses débuts (certaines entrées étaient en anglais, d'autres en français, et quelques unes traduites dans les deux langues) ; il est maintenant presque exclusivement en français, mais je ne m'interdis pas d'écrire en anglais à l'occasion. • Pour naviguer, sachez que les entrées sont listées par ordre chronologique inverse (i.e., la plus récente est en haut). Cette page-ci rassemble les entrées publiées en mars 2021 : il y a aussi un tableau par mois à la fin de cette page, et un index de toutes les entrées. Certaines de mes entrées sont rangées dans une ou plusieurs « catégories » (indiqués à la fin de l'entrée elle-même), mais ce système de rangement n'est pas très cohérent. Le permalien de chaque entrée est dans la date, et il est aussi rappelé avant et après le texte de l'entrée elle-même.

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(samedi)

Sur le modèle SIR avec susceptibilité hétérogène

Je continue dans ce billet de blog une série sur l'épidémiologie mathématique que j'avais commencée avec cette entrée sur le modèle SIR classique, celle-ci sur une variante de SIR où le rétablissement se fait en temps constant, accessoirement celle-ci sur la différence entre seuil d'immunité collective et taux d'attaque, et plus indirectement celle-ci sur des modèles d'hétérogénéité basés sur les graphes aléatoires ; je ne présuppose pas la lecture des billets en question, même si celle du premier a un intérêt, mais je vais en résumer rapidement le contenu.

Mon but aujourd'hui est d'expliquer un peu en détails, mathématiquement, comment on peut modifier le modèle SIR classique (dont le vais rappeler les grandes lignes dans un instant), lequel décrit l'évolution d'une épidémie dans laquelle tout le monde est également susceptible à l'infection, pour le cas d'une susceptibilité hétérogène, c'est-à-dire que certains individus sont plus ou moins susceptibles d'être infectés (= ont plus ou moins de chances d'être infectés dans des circonstances identiques), et on va voir que ces hétérogénéités de susceptibilité ont un impact important. (Je ne me prononce pas sur la cause de ces différences de susceptibilité : elles pourraient être dues à des différences biologiques — certaines personnes s'infectent plus facilement que d'autres — ou sociales — certaines personnes sont plus fréquemment exposées à des conditions infectieuses. Néanmoins, comme le modèle que je vais développer ici suppose que la variation de susceptibilité n'est pas corrélée à une variation d'infectiosité, c'est-à-dire que les personnes plus susceptibles ne sont pas spécialement plus infectieuses — si c'était le cas l'effet que je décris ici serait encore plus accentué — il vaut peut-être mieux imaginer le cas d'une origine biologique, parce qu'une hétérogénéité sociale a plus de chances d'être symétrique.)

Ce qui est assez surprenant, c'est que cette idée, qui peut paraître compliquée à traiter, complique en fait extrêmement peu le modèle SIR, et qu'on peut trouver des réponses exactes à essentiellement les mêmes questions que pour SIR classique (du genre quel est le nombre maximal d'infectés ?) dans ce cadre plus complexe, donnée la distribution (initiale) de susceptibilité dans la population. En général les réponses feront intervenir la transformée de Laplace de la distribution de susceptibilité (je vais expliquer ce que c'est plus bas), mais dans un cas particulier assez naturel (celui d'une distribution Γ, par exemple la distribution exponentielle), on peut tout traiter complètement.

[Un résumé de ce post de blog est contenu dans ce fil Twitter (17 tweets ; ici sur ThreadReaderApp), pour ceux qui préfèrent ce format ou qui veulent surtout les points importants (noter que tweet 11/17 il y a une typo, il faut lire φ′(0)=−1 et pas φ′(0)=1). ※ Une version anglaise (un petit peu plus longue) est contenu dans ce fil Twitter (25 tweets ; ici sur ThreadReaderApp).]

Je commence par rappeler les grandes lignes du modèle SIR classique.

Le modèle SIR classique, donc, étudie l'évolution d'une épidémie dans une population en distinguant trois classes d'individus : les Susceptibles, les Infectieux (qui dans ce modèle sont les mêmes que les infectés) et les Rétablis (qui sont immuns — ou, en fait, morts). Parmi les nombreuses hypothèses simplificatrices faites par ce modèle, il y a les suivantes (j'en oublie certainement) : l'immunité acquise par l'infection est parfaite et permanente, les individus sont infectieux dès qu'ils sont infectés, et ils vont donc soit rester dans l'état S, soit passer succesivement par les étapes S,I,R ; la population est homogène, c'est-à-dire que tous les individus sont également susceptibles et également infectieux une fois infectés, ils ont les mêmes probabilités de se faire infecter, la taille de la population est constante, et elle est assez grande pour être traitée de façon continue déterministe, et les contacts obéissent à une hypothèse de mélange parfait (au sens où tous les contacts sont également plausibles) ; le comportement de la population est constant dans le temps et notamment indépendant de l'évolution de l'épidémie ; les contaminations et le rétablissement obéissent à une cinétique du premier ordre I+S → I+I et I → R respectivement, avec des constantes β (d'infectiosité) et γ (de rétablissement) respectivement, c'est-à-dire le nombre de nouveau infectés par unité de temps est simplement proportionnel au produit du nombre d'infectieux par le nombre de susceptibles, et que le nombre de nouvellement rétablis est simplement proportionnel au nombre d'infectieux.

Bref, si on note s,i,r (quantités réelles entre 0 et 1, fonctions du temps) les proportions de la population formées d'individus susceptibles, infectieux et rétablis respectivement, alors les nouvelles infections par unités de temps se représentent par le terme β·i·s, et les rétablissements par γ·i, du coup le modèle SIR est décrit par le système d'équations différentielles ordinaires (autonomes) du premier ordre suivant :

  • ds/dt = −β·i·s
  • di/dt = β·i·sγ·i
  • dr/dt = γ·i
  • (s+i+r=1)

où on impose en outre généralement les conditions initiales telles que s(−∞)=1, i(−∞)=0 et r(−∞)=0 (je parle bien sûr des limites en −∞), avec i croissant exponentiellement pour t assez proche de −∞ (cf. ci-dessous). La constante β d'infectiosité représente le nombre moyen de personnes qu'une personne infectieuse donnée infecte par unité de temps dans une population entièrement susceptible, tandis que la constante γ de rétablissement représente la proportion moyenne d'infectés qui se rétablissent par unité de temps (donc l'inverse du temps moyen de rétablissement, le temps de rétablissement suivant en fait une loi exponentielle). Notons que β peut aussi, symétriquement, se comprendre comme une constante de susceptibilité, c'est-à-dire comme le nombre moyen de personnes par lesquelles une personne susceptible donnée sera infectée par unité de temps dans une population entièrement infectieuse : c'est la raison pour laquelle je parlerai tantôt de β comme représentant une infectiosité et tantôt une susceptibilité (et comme ici on veut modéliser des variations de susceptibilité, c'est plutôt le deuxième qui va être mis en lumière).

Rappelons quelques uns des points saillants de ce modèle concernant le début, le pic et la fin de l'épidémie, résumé que je recopie de ce billet (plus exactement, comme je viens de le dire, on s'intéresse aux solutions pour lesquelles s→1 quand t→−∞) ; on notera κ := β/γ le nombre de reproduction, que je suppose >1 :

  • tant que s reste très proche de 1 (si on veut, t→−∞), les proportions i et r croissent comme des exponentielles de pente logarithmique βγ = β·((κ−1)/κ), avec un rapport 1/(κ−1) entre les deux, autrement dit comme i = c·exp((βγt) = c·exp(β·((κ−1)/κt) et r = c·(γ/(βγ))·exp((βγt) = c·(1/(κ−1))·exp(β·((κ−1)/κt) (ergotage : dans l'entrée sur le sujet, j'avais mis un −1 aux exponentielles pour r, parce que je voulais partir de r=0, mais je me rends compte maintenant qu'il est plus logique de partir d'une solution où i/r tend vers une constante en −∞, cette constante étant κ−1) ;
  • au moment du pic épidémique (maximum de la proportion i d'infectieux), on a s = 1/κ et i = (κ−log(κ)−1)/κ et r = log(κ)/κ ; notamment, le moment où l'épidémie commence à régresser correspond à i+r = 1 − 1/κ (seuil d'immunité collective) ;
  • quand t→+∞, la proportion i tend vers 0 (bien sûr) et s tend vers Γ := −W(−κ·exp(−κ))/κ (en notant W la fonction de Lambert) l'unique solution strictement comprise entre 0 et 1 de l'équation Γ = exp(−κ·(1−Γ)) (qui vaut 1 − 2·(κ−1) + O((κ−1)²) pour κ proche de 1, et exp(−κ) + O(κ·exp(−2κ)) pour κ grand), tandis qu'évidemment r, lui, tend vers 1−Γ (taux d'attaque final).

J'ai parlé dans cette entrée de la différence entre seuil d'immunité collective et taux d'attaque final (qui sont les deux quantités essentielles que le modèle calcule) dans le modèle SIR.

*

Le modèle SIR est simpliste, mais il a ceci de bien qu'il est facile à adapter à toutes sortes de modifications en changeant les « réactions » qui le constituent (je veux dire I+S → I+I et I → R). Je donne à présent quelques exemples (même si ce n'est pas vraiment lié au sujet que je veux aborder) pour illustrer quelques variations possibles sur ce thème (on peut sauter la fin de ce paragraphe, qui servira principalement à motiver la manière dont on introduit des classes de susceptibilité). ❧ Pour commencer, si on veut ajouter un délai (appelons-ça l'état Exposé) entre le moment où on est infecté et le moment où on est infectieux, on remplace la réaction I+S → I+I par I+S → I+E et on introduit E → I (avec une nouvelle constante cinétique, disons α) en gardant I → R, ce qui donnerait les équations ds/dt = −β·i·s, de/dt = β·i·sα·e, di/dt = α·eγ·i et dr/dt = γ·i avec s+e+i+r=1. ❧ Pour donner un autre exemple, si on veut une immunité qui ne dure qu'un certain temps (décroît exponentiellement), on introduit une réaction R → S (avec une nouvelle constante cinétique, disons δ), ce qui donnerait les équations ds/dt = −β·i·s + δ·r, di/dt = β·i·sγ·i et dr/dt = γ·iδ·r avec s+i+r=1. ❧ Pour donner encore un autre exemple (peut-être plus intéressant de nos jours, mais sur lequel je n'ai pas énormément à dire — en tout cas pas aujourd'hui), si on a deux variants de la maladie, avec des contagiosités différentes mais induisant une parfaite immunité croisée, en appelant I₁ et I₂ les infectés par ces deux variants, on va remplacer la réaction I+S → I+I par I₁+S → I₁+I₁ avec une constante β₁ et I₂+S → I₂+I₂ avec une constante β₂, et bien sûr I → R par I₁ → R et I₂ → R (qui peuvent là aussi avoir deux constantes différentes, γ₁ et γ₂, si les deux variants induisent des temps de rétablissement différents) ; ceci conduit alors aux équations suivantes : ds/dt = −β₁·i₁·sβ₂·i₂·s, di₁/dt = β₁·i₁·sγ₁·i₁, di₂/dt = β₂·i₂·sγ₂·i₂ et dr/dt = γ₁·i₁ + γ₂·i₂ avec s+i₁+i₂+r=1. ❧ Bref, on comprend à travers ces différents exemples qu'il est facile de faire toutes sortes de variations de SIR pour décrire des situations du même genre avec différentes complexités additionnelles ou modifications de cet acabit.

Mais je veux dans ce billet évoquer la manière de modéliser la situation suivante : au lieu de faire l'hypothèse (faite dans SIR) que toute la population est également susceptible à la maladie (i.e., que, dans des circonstances données, tout le monde a la même probabilité d'être infecté), que se passe-t-il s'il y a une hétérogénéité de susceptibilité ? Il peut être surprenant, mais pas tant que ça si on a lu cette entrée, d'apprendre que des hétérogénéités de contagiosité seules ne changent absolument rien à la dynamique de l'épidémie (sauf si elles sont, par exemple, corrélées à autre chose) : elles se moyennent simplement ; en revanche, des hétérogénéités de susceptibilité ont un impact énorme, et c'est ce qu'on veut voir ici. (Au cas où la différence entre hétérogénéités d'infectiosité et hétérogénéités de susceptibilité ne serait pas claire, ce que je veux dire c'est que dans la réaction I+S → I+I où un individu infectieux I infecte un individu susceptible S pour donner deux infectieux, s'il y a des différences de cinétique qui dépendent du premier (I) cela ne change rien à la dynamique d'ensemble alors que s'il y en a qui dépendent du second (S), cela change beaucoup les choses et mon but est de l'expliquer ici. Mais du coup je ne comprends décidément pas pourquoi on se focalise tellement sur les superspreaders, donc les hétérogénéités d'infectiosité, mais pas les hétérogénéités de susceptibilité qui semblent avoir été extrêmement peu étudiées.)

Le phénomène auquel on s'attend intuitivement est, bien sûr, que les individus les plus susceptibles soient infectés, donc rendus immuns, en premier, donc que l'accumulation d'immunité ne diminue pas seulement le nombre total de susceptible mais aussi la susceptibilité moyenne de ceux qui le sont, et qu'elle soit ainsi plus efficace. Le but de ce qui suit est d'appuyer ce raisonnement intuitif par une modélisation mathématique précise.

(Ce que je vais raconter ici est probablement entièrement contenu dans cet article, mais j'ai préféré retrouver les choses moi-même plutôt que lire ce qu'ils ont écrit, parce que c'est plus instructif, et du coup je n'utilise probablement pas les mêmes notations ni exactement la même approche. Par ailleurs, si on n'est pas intéressé par leur dérivation, on peut sauter directement aux équations voire directement à le cas particulier de celles-ci sur la distribution Γ.)

La façon la plus évidente de modéliser des variations de susceptibilité est, sur le modèle des différentes variations autour de SIR que j'ai évoquées ci-dessus, d'introduire plusieurs classes de susceptibilité, disons deux pour montrer l'exemple, soit S₁ et S₂ (à la place de S), et de remplacer S+I → I+I par les réactions S₁+I → I+I et S₂+I → I+I avec des constantes β₁ et β₂ distinctes (il n'y a pas de raison de distinguer I en I₁ et I₂ si la contagiosité et le temps de rétablissement sont le même). Ceci conduit aux équations suivantes :

  • ds₁/dt = −β₁·i·s₁ et ds₂/dt = −β₂·i·s
  • di/dt = β₁·i·s₁ + β₂·i·s₂ − γ·i ou plutôt di/dt = (β₁·s₁ + β₂·s₂)·iγ·i
  • dr/dt = γ·i
  • avec s₁+s₂+i+r=1

Évidemment, ceci peut se faire pour n'importe quelle autre valeur que 2 : si on veut douze classes de susceptibilité distinctes, on voit très bien comment en écrire les équations.

Maintenant, plutôt qu'avoir 12 ou 1729 classes de susceptibilité avec autant de constantes β, on peut préférer l'approche consistant à paramétrer les classes de susceptibilité par une (nouvelle) coordonnée, appelons-la x, proportionnelle à la susceptibilité, cette dernière étant alors β·xβ est une susceptibilité « standard » et x le rapport de la susceptibilité de la personne considérée à cette susceptibilité standard, et maintenant il est logique de passer à la limite continue. Autrement dit, on va avoir pour inconnue dans le système une fonction de deux coordonnées s(x,t) représentant le profil de susceptibilité au temps t, c'est-à-dire la proportion, au temps t, de susceptibles ayant susceptibilité β·x. (Plus exactement, s(x,t) est la limite quand dx tend vers 0 de la proportion de la population formée de susceptibles dont la susceptibilité est comprise entre β·x et β·(x+dx), divisée par dx.) La proportion totale de susceptibles (au temps t) est S(t) := ∫s(x,t)·dx. Et on a toujours des fonctions de la seule coordonnée temps i(t) et r(t). Les équations deviennent (de façon complètement analogue à ci-dessus mais où maintenant s(x,t) joue le rôle des sj et où β·x joue le rôle des βj) les suivantes :

  • s/∂t = −β·x·i·s (à lire comme : ∂s(x,t)/∂t = −β·x·i(ts(x,t)),
  • di/dt = β·∫(x·s·dxiγ·i (où ∫(x·s·dx) dénote l'intégrale de x·s(x,t) par rapport à x, qui est une fonction de t),
  • dr/dt = γ·i
  • (S+i+r=1, c'est-à-dire ∫s·dx+i+r=1)

Maintenant, sous cette forme, le système est assez peu maniable. Que peut-on en faire ? Regardons la première équation, ∂s/∂t = −β·x·i·s : connaissant i (comme fonction de t), on peut lui trouver une solution sous la forme s(x,t) = s₀(x)·exp(−x·f(t)) : ici, s₀ est une fonction uniquement de la coordonnée x et f une fonction uniquement de la coordonnée t vérifiant df/dt = β·i (on vérifie facilement que c'est ce que devient l'équation ∂s(x,t)/∂t = −β·x·i(ts(x,t) appliquée à l'ansatz s(x,t) = s₀(x)·exp(−x·f(t))). Si on impose comme condition initiale (limite en −∞) que, disons, f(−∞)=0, et comme on veut S(−∞)=1 (initialement tout le monde est susceptible), alors s₀(x) est d'intégrale 1, i.e. est une distribution de probabilités sur la coordonnées x.

Ce s₀ se comprend comme le profil de susceptibilité initial, c'est-à-dire la distribution de la variable x (susceptibilité normalisée) dans la population avant toute infection. C'est donc notre donnée fondamentale décrivant l'hétérogénéité de susceptibilité dans la population. Notre but est de comprendre l'évolution de l'épidémie en supposant connu s₀, et de voir comment ce dernier impacte cette évolution. Je vais expliquer dans un instant que ce qui va jouer un rôle clé est surtout la transformée de Laplace φ de s₀. Mais en attendant, notons qu'en plus d'imposer ∫s₀(x)·dx = 1 (i.e., qu'on a affaire à une distribution de probabilités) comme je viens de le dire, on peut de plus imposer ∫x·s₀(x)·dx = 1, c'est-à-dire que cette distribution est d'espérance 1, quitte à modifier la constante β pour que ce soit le cas, c'est-à-dire, en imposant que la susceptibilité « standard » β soit la susceptibilité moyenne de la population avant toute infection. Ce ne sera pas nécessaire, mais ça simplifie un certain nombre de calculs.

La fonction f, quant à elle, est donnée par f(t) = β · ∫−∞t i(t)·dt d'après la condition sur sa dérivée et la condition initiale qu'on a choisie : c'est, si on veut, une sorte de compte cumulatif des opportunités d'infections depuis le début de l'épidémie.

Le nombre total S(t) := ∫s(x,t)·dx de susceptibles au temps t est alors égal à ∫s₀(x)·exp(−x·f(t))·dx, c'est-à-dire S(t) = φ(f(t)) où φ(u) := ∫s₀(x)·exp(−u·x)·dx est l'espérance de la quantité exp(−u·x) lorsque x est distribué selon la loi s₀ (le profil initial). Cette fonction φ(u) s'appelle la transformée de Laplace de la fonction s₀ (en probabilités on l'appelle aussi, à un signe près, la fonction génératrice des moments). On peut de même utiliser φ pour exprimer la quantité ∫x·s(x,t)·dx qui intervient dans les équations (est qui est en quelque sorte la susceptibilité totale) : en intégrant par parties, on voit qu'elle vaut −φ′(f(t)), où φ′ est la dérivée de cette transformée de Laplace (par rapport à son paramètre u). Quant à la susceptibilité moyenne, qui est le rapport entre cette susceptibilité totale ∫x·s(x,t)·dx et le nombre S(t) = ∫s(x,t)·dx de susceptibles, on peut remarquer qu'elle veut −φ′/φ (moins la dérivée logarithmique de la transformée de Laplace), toujours évaluée en f(t). Bref, nos équations se réécrivent (de façon un peu redondante) :

  • df/dt = β·i
  • dS/dt = β·φ′(fi
  • di/dt = − β·φ′(fiγ·i
  • dr/dt = γ·i
  • (S+i+r=1 ; S=φ(f))

Ceci ramène donc, une fois connu le profil de susceptibilité s₀, donc sa transformée de Laplace φ, de calculer l'évolution ultérieure de l'épidémie par un système d'équations différentielles ordinaires comme précédemment.

Comme mon but est de me ramener à une présentation aussi proche que possible du SIR initial, je vais maintenant oublier le s de deux variables que j'avais avant, et renommer en s ce qui s'appelle S ci-dessus. L'idée étant que la quantité s (ex-S, donc), nombre total de susceptibles, suffit à déterminer l'évolution de l'épidémie.

En effet, la fonction φ est continue et strictement décroissante, donc injective (i.e., bijective sur son image), ce qui permet légitimement d'écrire f=φ⁻¹(s) à la place de s=φ(f), où φ⁻¹ est la fonction réciproque de φ. Bref, on peut oublier la fonction f et écrire :

  • ds/dt = β·i·φ′(φ⁻¹(s))
  • di/dt = − β·i·φ′(φ⁻¹(s)) − γ·i
  • dr/dt = γ·i
  • (s+i+r=1)

s,i,r sont comme avant les proportions totales de susceptibles, infectieux et rétablis respectivement, et [je répète pour ceux qui selon mes indications auraient sauté directement à ce point] φ est une fonction (strictement décroissante) connue, à savoir la transformée de Laplace φ(u) := ∫s₀(x)·exp(−u·x)·dx du profil s₀ de susceptibilité de la population avant infection (la susceptibilité étant β·x), avec la normalisation que ∫s₀(x)·dx = 1 (i.e., φ(0)=1) et éventuellement ∫x·s₀(x)·dx = 1 (i.e., φ′(0)=−1). (Je donnerai plus loin un exemple de famille de distributions s₀, donc de fonctions φ, qui sont à la fois mathématiquement maniables et biologiquement plausibles.)

Je vais appeler le système ci-dessus le modèle SIR à susceptibilité hétérogène. On a donc le même système que pour le SIR classique (=homogène), mais le terme de nouvelles infections β·i·s est remplacé par −β·i·φ′(φ⁻¹(s)) où φ′∘φ⁻¹ est une fonction connue (remarquons que φ′(φ⁻¹(s)) est la pente du graphe de φ à l'ordonnée s). Le modèle classique (=homogène) correspond au cas où φ(u) = exp(−u) (transformée de Laplace d'une distribution delta de Dirac en 1 puisque tout le monde a la même susceptibilité β, cas qui n'était pas couvert par le système précédent mais qui l'est par le système tel que je l'ai écrit). La quantité −φ′(φ⁻¹(s)) est une « susceptibilité totale » de la population (normalisée par β), et −φ′(φ⁻¹(s))/s s'interprète comme la susceptibilité moyenne restante (c'est-à-dire la susceptibilité moyenne des individus qui sont susceptibles, là aussi normalisée par β).

En effaçant une partie des équations, j'ai cependant perdu quelque chose de précieux permettant de le résoudre partiellement : en effet, φ⁻¹(s) (qui était noté f ci-dessus) a une dérivée par rapport à t valant β·i qui est proportionnelle à celle de r soit γ·i. Donc en notant κ := β/γ le nombre de reproduction et en rappelant qu'on fait l'hypothèse sur les conditions initiales que f et r valent 0 en −∞, on a l'invariant suivant :

☞ s = φ(κ·r)

(autrement dit, non seulement la fonction φ permet d'écrire les équations mais même elle les résout en partie).

J'ai rappelé plus haut trois éléments de l'analyse du comportement du modèle SIR classique : l'exponentielle initiale, le pic épidémique, et le taux d'attaque final. Que deviennent-ils dans le cas hétérogène ?

  • Le comportement exponentiel initial n'est pas modifié (si on a normalisé par φ′(0)=−1 comme je le proposais, c'est-à-dire que β est bien la susceptibilité moyenne avant toute infection, alors le comportement est exactement le même : pour s proche de 1, on a −φ′(φ⁻¹(s)) également proche de 1 et tout se passe exactement pareil à l'ordre le plus bas).
  • Néanmoins, si on va chercher le terme d'ordre suivant en s de −φ′(φ⁻¹(s)) (pour s≈1), cette quantité vaut −φ′(0) + (φ″(0)/φ′(0))·(1−s) + O((1−s)²). En interprétant −φ′(0) comme l'espérance d'une variable aléatoire distribuée selon la loi s₀ de susceptibilité initiale, et φ″(0) comme l'espérance du carré de cette variable (soit la variance plus le carré de l'espérance), alors ceci nous permet de dire la chose suivante : une petite accumulation d'immunité, dans le cas hétérogène, est 1+v fois plus efficace (sur la diminution du nombre de reproduction effectif) que dans le cas homogène, où v est la variance relative de la susceptibilité initiale, c'est-à-dire le rapport (sans dimension) entre le variance et le carré de l'espérance (1+v = φ″(0)/(φ′(0))²). L'explication intuitive est que le petit nombre (1−s) déduit aux susceptibles s'accompagne d'une baisse de v·(1−s) de la susceptibilité moyenne de ceux qui restent susceptibles.
  • [Calcul graphique du seuil d'immunité collective] Le pic épidémique est atteint lorsque di/dt = 0, soit lorsque φ′(φ⁻¹(s)) = −1/κ, soit φ′(κ·r) = −1/κ en se rappelant que s = φ(κ·r) (ceci permet de retrouver s et r, après quoi i s'en déduit comme 1−sr). Graphiquement, on cherche le point du graphe de φ où la pente vaut −1/κ (i.e., où la tangente est parallèle à la droite reliant (κ,0) et (0,1)) : son ordonnée vaut s et son abscisse vaut κ·r. Le seuil d'immunité collective (par infection, donc) est 1−s pour ce point. (Cette méthode graphique est illustrée par le premier des deux graphiques ci-contre à droite ; le seuil d'immunité collective est ici environ 0.42.)
  • [Calcul graphique du taux d'attaque] Le taux d'attaque final est obtenu pour i=0, soit s+r=1, et s'obtient donc en résolvant φ(κ·r) + r = 1. Graphiquement, on cherche l'intersection du graphe de φ avec la droite reliant (κ,0) et (0,1) : son ordonnée vaut s et son abscisse vaut κ·r. (Cette méthode graphique est illustrée par le second des deux graphiques ci-contre à droite ; le taux d'attaque est ici environ 0.67.)

Énormément de choses se déduisent donc du graphe de cette transformée de Laplace φ de la distribution de susceptibilité initiale (soit dit en passant, la transformée de Laplace des profils de susceptibilité ultérieurs s'obtient par translation en abscisse de l'initiale).

J'ai déjà dit que le cas du modèle SIR classique (=homogène, tout le monde a la même susceptibilité) correspond au cas où φ(u) = exp(−u) car s₀ est une distribution delta de Dirac en x=1. Y a-t-il d'autres cas à la fois naturels et explicitement traitables ? Une autre distribution de probabilités tout à fait naturelle sur les réels positifs (et qui me semble être un a priori raisonnable si on ne sait rien sur une quantité que son espérance) est la loi exponentielle : si s₀(x) = exp(−x) alors φ(u) = 1/(u+1). Plus généralement, une famille de distributions de probabilités incluant l'exponentielle et ayant la distribution delta comme cas limite, mais qui permet de choisir la variance indépendamment de l'espérance, est la distribution Γ.

Spécifiquement, si le profil initial de susceptibilité s₀ suit une distribution Γ de « forme » a>1, que je peux supposer d'espérance 1 quitte à l'absorber dans β, c'est-à-dire s₀(x) = (aa/Γ(a))·xa−1·exp(−a·x) (où Γ(a) = ∫ xa−1·exp(−x)·dx, servant à normaliser l'intégrale de s₀ à 1, est la fonction gamma d'Euler, qui vaut (a−1)! si a est entier), alors sa transformée de Laplace φ(u) vaut 1/((u/a)+1)a et la dérivée φ′(u) de celle-ci vaut −1/((u/a)+1)a+1 = −φ(u)(a+1)/a : les équations du modèle SIR hétérogène deviennent donc :

  • ds/dt = −β·i·s(a+1)/a
  • di/dt = β·i·s(a+1)/aγ·i
  • dr/dt = γ·i
  • (s+i+r=1)

ou encore, si on préfère noter v := 1/a (variance relative de s₀), on est ramené au système suivant

  • ds/dt = −β·i·s1+v
  • di/dt = β·i·s1+vγ·i
  • dr/dt = γ·i
  • (s+i+r=1)

— c'est-à-dire exactement le système initial sauf que le terme β·i·s de nouvelles infections a été remplacé par β·i·s1+v : tout se passe comme si la cinétique I+S → 2I était remplacée par I+(1+v)·S → 2I+v·S. En fait, ce qui se produit est que quand la proportion susceptible diminue par accumulation d'immunité, l'espérance de la susceptibilité relative de ceux qui le sont évolue comme la puissance v-ième de s (et donc la susceptibilité totale comme la puissance (1+v)-ième de s).

Le cas d'une distribution exponentielle est le cas particulier de variance relative v=1 (c'est-à-dire de forme a=1) de la distribution Γ ; le cas homogène (SIR classique : distribution delta) est la limite de variance relative v=0 (c'est-à-dire de forme a→+∞).

Si je reprends dans le cas particulier de la distribution Γ ce que j'ai dit sur le système SIR hétérogène en général sur le comportement en petit temps, le pic épidémique et le taux d'attaque final :

  • Le comportement exponentiel initial est le même que pour le SIR classique (=homogène). Mais quand il s'accumule un peu d'immunité, celle-ci est initialement 1+v fois plus efficace (sur la diminution du nombre de reproduction effectif) que dans le cas homogène.
  • Le pic épidémique est atteint pour s = κ−1/(1+v) (soit κa/(a+1)), c'est-à-dire que le seuil d'immunité collective[#] vaut 1 − κ−1/(1+v) (on a précisément r = (κ−1/(1+v)κ−1)/v, et i = 1 − ((1+v)/vκ−1/(1+v) + (1/vκ−1 au moment du pic, cette dernière expression donnant donc la proportion maximale d'infectés).
  • Le taux d'attaque final est la solution r>0 de (κ·v·r+1)−1/v + r = 1 ; je ne crois pas qu'on puisse simplifier ça plus que ça, mais pour v=1 (le cas exponentiel) on trouve 1 − 1/κ (c'est-à-dire que le taux d'attaque final dans le cas exponentiel est égal au seuil d'immunité collective dans le cas homogène : je ne sais pas s'il y a une explication non-calculatoire de ce fait).

[#] Pour être bien clair, il s'agit là du seuil d'immunité collective par infection, qui bénéficie des effets d'hétérogénéité que je viens de décrire. Le seuil d'immunité collective par vaccination n'a pas de raison d'être différent de 1 − 1/κ (si on vaccine aléatoirement).

[Graphes des courbes de seuil d'immunité et de taux d'attaque en fonction de la variance]Les graphiques ci-contre (cliquer pour agrandir) illustrent un peu l'allure de ces fonctions : la variance relative v de susceptibilité est en abscisse, entre 0 (correspondant au SIR classique) et 2, avec 1 (le cas exponentielle) au milieu ; l'ordonnée représente une proportion de la population : les courbes rouges sont celles du seuil d'immunité collective par infection, les bleues sont celles du taux d'attaque final pour une épidémie non contrôlée ; le nombre de reproduction vaut 2 pour les courbes pleines, 3 pour les courbes en tirets et 4 pour les courbes en pointillés.

[Graphes épidémiques pour un SIR homogène][Graphes épidémiques pour un SIR à susceptibilité exponentielle]Ajout () : Au niveau de la dynamique (temporelle, je veux dire) de l'épidémie, l'effet de la variance n'est pas extrêmement frappant sur l'allure des courbes. Les graphes ci-contre (cliquer pour agrandir) montrent l'évolution d'une épidémie décrite par un SIR classique (=homogène, soit v=0) sur le premier jeu de quatre courbes, et par un SIR hétérogène à susceptibilité distribuée selon une loi exponentielle (v=1) sur le second jeu de quatre courbes, dans les deux cas avec un nombre de reproduction de κ=3 : dans chaque image, les courbes sont tracées en fonction du temps compté en temps de rétablissement (1/γ) ; la courbe en haut à gauche montre les valeurs de s (en vert), i (en rouge) et r (en bleu) ; celle en haut à droite est la même courbe i mais à une échelle verticale différente pour plus de lisibilité (j'ai réutilisé du code où j'affichais des choses plus détaillées en haut à droite qui ne sont pas, ici, pertinentes) ; la courbe en bas à gauche est la même qu'en haut à gauche mais en échelle logarithmique ; et la courbe en bas à droite montre le nombre de reproduction effectif en fonction du temps. (Le code Sage est ici, il faut éditer quelques réglages triviaux pour obtenir exactement les courbes ci-contre, mais je suppose que ce sera facile à trouver.) Je suppose qu'on sera d'accord avec moi que la différence qualitative ne saute pas aux yeux : on voit certes que l'épidémie monte moins haut et attaque finalement moins dans le second cas, mais l'allure est très semblable ; on pourrait se dire que le second jeu de courbes est le résultat d'un SIR classique avec un nombre de reproduction plus faible, mais en fait non, parce que la croissance exponentielle des cas quand même bien la même dans les deux cas (ce n'est que quand on accumule un peu d'immunité que l'effet de l'hétérogénéité se fait sentir).

Il faut que j'insiste sur le point suivant : si l'hypothèse que dans une infection réelle la susceptibilité suive une loi Γ est un peu arbitraire, elle est néanmoins naturelle et pas du tout fantaisiste, et en tout cas c'est un modèle approximatif raisonnable d'une situation avec une hétérogénéité non nulle, paramétrée par la variance relative v : même si la distribution n'est pas spécifiquement une Γ, le système ci-dessus devrait être une approximation raisonnable de ce qui se passe avec une variance relative v. Le paramètre (sans dimension) v de variance relative de la susceptibilité doit être considéré comme faisant partie des données épidémique et est aussi essentiel que le nombre de reproduction κ (lui aussi sans dimension) pour modéliser l'épidémie. Postuler que ce paramètre vaut 0 (le modèle SIR classique) est une hypothèse déraisonnable si elle n'est pas appuyée par des observations expérimentales (or dans une épidémie où il est clair que les enfant sont beaucoup moins susceptibles que les adultes, c'est déjà impossible d'avoir v=0, en fait). Cela fait partie de mon slogan général prédire une exponentielle est facile, mais prédire quand cette exponentielle s'arrête est toute la difficulté, or on ne dispose pas des données pour ça. Mais à tout le moins, si on ne sait rien du tout partir sur l'hypothèse que v=1 est plus naturel pour des raisons de simple analyse dimensionnelle (ne sachant rien sur l'écart-type de la susceptibilité, on peut imaginer qu'il est de l'ordre de grandeur de la susceptibilité moyenne elle-même), et de fait, la distribution exponentielle est quelque chose qu'on retrouve assez souvent dans la nature (et le fait qu'il existe des personnes très peu susceptibles plaide en faveur de v≳1). Bref, la formule 1 − 1/κ pour le seuil d'immunité collective est raisonnable pour le seuil d'immunité collective par vaccination, mais par infection il faut considérer que la bonne formule est 1 − κ−1/(1+v) où, à défaut d'avoir des informations sur v, on prendra v=1, donc 1 − 1/√κ.

Il faudrait que j'explique ce qui se passe quand en plus d'avoir des hétérogénéités de susceptibilité on en a en plus d'infectiosité qui sont corrélées avec elles, et aussi ce qui se passe si on a deux variants qui ont non seulement des nombres de reproduction différents mais même des hétérogénéités différentes (des hétérogénéités d'hétérogénéité, si on veut !), mais je commence vraiment à fatiguer, donc je vais en rester là pour le moment.

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(mercredi)

Confinementversaire

Nous sommes le jour anniversaire du déclenchement du premier confinement en France. Je produis ici, en l'éditant un peu pour le rendre plus au style de ce blog et en rajoutant quelques petites précisions, un fil Twitter (rédigé à chaque fois 365j plus tard), dans lequel je reviens sur le récit des jours qui ont précédé ce (pour ceux qui l'ont déjà lu sur Twitter, j'ajoute quelques remarques générales à la fin) :

La première semaine de mars 2020 était encore relativement normale. (Je savais bien sûr que la pandémie allait nous tomber dessus et ferait des dizaines de milliers de morts, mais je n'imaginais pas l'horreur du confinement ; et surtout, je ne pensais pas que ça durerait plus d'un an.)

Le , j'ai fait ma dernière sortie « normale » avec le poussinet avant longtemps : nous sommes allés à Compiègne voir l'exposition Concept-car : beauté pure au palais impérial. La semaine qui a suivi, j'ai fait cours assez normalement.

Le , j'ai déjeuné au restaurant pour la dernière fois avant longtemps (au Café de France, place d'Italie ; lequel a fermé depuis, probablement fait faillite), avec le poussinet. Puis ce dernier est parti en vacances à la montagne. N'ayant pas grand-chose à faire, je me suis dit bon, il faut vraiment que je comprenne un peu d'épidémiologie, donc j'ai commencé par apprendre les bases du modèle SIR, et j'ai écrit ce fil Twitter (qu'un peu plus tard j'ai transformé en cette entrée de blog). Ensuite je suis sorti me balader dans Paris, je suis passé chez Gibert où j'ai acheté le livre Viral Pathology and Immunity de Neal Nathanson pour avoir au moins quelques bases rudimentaires en virologie.

La nuit suivante j'ai vraiment très mal dormi, et ça allait être la norme pour pas mal de temps ensuite. Le , j'ai eu une longue conversation avec ma mère au téléphone, je lui ai dit de prendre la pandémie très au sérieux. Je me rappelle notamment lui avoir dit qu'il fallait s'attendre à ce qu'il y ait de l'ordre de grandeur de 100 000 morts en France (à ce moment-là on en avait une dizaine) ; elle m'a dit ben tu es optimiste !. Avec le recul, ce n'était pas une mauvaise estimation. Mais pas si bonne que ça non plus, parce que je pensais que ces ~100 000 morts se produiraient en quelques mois seulement. Le soir j'ai regardé un documentaire sur la grippe de 1918 (celui-ci, je crois‌ ; je pense que j'ai dû penser au moins ça me rappellera que ça peut toujours être pire !), probablement pas une bonne idée pour le moral !

 : je me suis réveillé vers 5h30, je n'ai pas réussi à me rendormir. Je suis allé au bureau en RER (je me souviens avoir regardé la jolie vue depuis les escaliers qui montent au plateau et m'être demandé ce que tout cela allait devenir avec la pandémie).

J'ai donné un cours le matin mais j'avais de plus en plus de mal à me concentrer. J'ai dit à mes élèves que nous risquions de ne plus nous revoir. (Nous n'avions pas de cours prévu la semaine suivante, et au-delà ça me semblait évident que tout serait bouleversé.)

L'Italie a annoncé son confinement national, je trouvais ça absurde. Mais je ne comprenais pas comment elle pouvait être déjà débordée par l'épidémie, avec même pas 2000 cas recensés (je n'avais pas pris conscience de l'ampleur de la sous-estimation du nombre de cas). On parlait d'aplatir la courbe, mais l'ampleur de la tâche semblait inouïe.

 : après avoir très mal dormi, j'ai été réveillé par des bruits assourdissants : des ouvriers sont venus détruire au marteau-piqueur le tarmac du trottoir devant chez moi (je n'ai jamais compris pourquoi ils ont fait ça, il me semble qu'ils n'ont pas creusé) ; les bruits sont montés à 70dB dans le salon. Toujours est-il que ça a accentué mon craquage nerveux. J'ai téléphoné au poussinet (à la montagne, cf. ci-dessus), qui lui-même n'allait pas bien (il avait peur que sa boîte fasse faillite, peur que l'immobilier s'écroule et qu'on ne puisse pas vendre l'appartement, ou qu'on doive vendre les deux pour une bouchée de pain…). Entre ça, l'état neurologique de mon père (parkinsonien en bout de traitement) qui se dégradait, et la voiture qui avait pris un choc, nous étions vraiment mal. Nous avons passé la journée à échanger SMS et coups de fil. Et la situation en Italie n'était pas du tout rassurante !

Je relis mes SMS échangés à ce moment : Je ne comprends pas pourquoi [le système de soins en Italie] s'étouffe déjà à 0.015% [de malades covid dans la population]. Et celui-ci, pas mal à côté de la plaque, essayant de me rassurer : Et pour l'épidémie, on va rester à la maison en amoureux pendant quelques semaines à télétravailler : soit les choses empirent et ce sera vite fini, soit elles s'améliorent.

 : je suis de nouveau allé au bureau en RER. J'ai donné un cours qui allait être (mais je ne le savais pas, bien sûr) mon dernier pour 2019–2020. J'avais de plus en plus de mal à me concentrer à cause de la fatigue et du stress.

J'ai reçu le peintre qui était censé faire un petit rafraîchissement de l'appartement que nous comptions vendre. Lui n'avait pas du tout l'air affolé par l'épidémie (il m'a fait remarquer qu'il y avait beaucoup plus de morts de la grippe que de covid). Nous avons pris un café ensemble. Pendant un instant, tout semblait normal.

J'ai ensuite écrit cette entrée dans mon blog, qui allait pas mal conditionner la manière dont je pensais l'épidémie (Charybde et Scylla, traduction d'un fil Twitter écrit la veille).

Le poussinet est rentré de la montagne très tard dans la soirée (il est arrivé chez nous à 4h15 du matin). Nous avons beaucoup parlé de la pandémie et, évidemment, eu du mal à dormir.

 : les choses basculent de plus en plus vite. Je me réveille complètement paniqué après à peine quelques heures de sommeil.

Le poussinet avait récemment commandé une nouvelle voiture (une Tesla) et devait en prendre possession d'ici quelques jours (il a même déjà reçu la carte grise) : nous discutons de s'il doit annuler sa commande et demander remboursement (au cas où nous aurions des problèmes d'argent), je le persuade de le faire, par prudence. Ça a été un choc pour moi : pas que la Tesla avait de l'importance, mais c'est un élément de plus qui me fait prendre conscience que je ne sais pas où nous allons, que la pandémie est vraiment arrivée, que nous perdons le contrôle de nos vies, que nous devons nous préparer au pire (notamment financièrement).

Je dois aller au boulot faire passer un oral, mais je me sens incapable d'y aller en RER ou à moto : le poussinet propose de m'y emmener en voiture. À midi nous déjeunons à la cantine avec quelques collègues, que je ne reverrai pas avant un bon moment. Ambiance extrêmement lourde, même si tout le monde n'est pas au même niveau d'inquiétude (mais nous nous doutons tous bien que l'école sera fermée).

Emmanuel Macron doit parler dans l'après-midi. J'étais persuadé qu'il prendrait les pleins pouvoirs pour déclencher un confinement. Je dois lui reconnaître ceci : il ne l'a pas fait (…parce qu'il n'en a même pas eu besoin !). Macron n'annonce finalement, ce 12 mars, que la fermeture des écoles. Je trouve son intervention assez mesurée. Le poussinet et moi trouvons qu'il a été assez « présidentiel ». Boris Johnson, le même jour, annonce une stratégie basée sur l'immunité grégaire (ce qui donnera une mauvaise image à ce terme pour la suite ; lui fera volte-face).

À ce stade, je me sens rassuré sur au moins une chose : je me dis qu'il n'y aura pas, en France ni au Royaume-Uni, la même folie qu'en Italie où on interdit aux gens de sortir de chez eux. Mais comme on le sait, ce soulagement fut de courte durée !

 : Encore une fois j'ai très mal dormi. Je suis allé voir mon doctorant à Jussieu, et son co-encadrant qui est un bon ami à moi. Parler de maths m'a aider à penser à autre chose pendant un temps, même si c'était bizarre (et nouveau !) de tenir nos distances.

Je suis resté pour parler de la pandémie avec mon ami, j'ai fondu en larmes. (Je me rappelle notamment avoir évoqué la conférence de presse britannique de la veille, où Chris Whitty a refusé de faire le calcul de 80% × 1% pour estimer la proportion de la population britannique qui pourrait mourir dans le pire cas de figure.) Mon ami était plus zen et m'a aidé à reprendre mes esprits. Il m'a expliqué que son père (anesthésiste-réanimateur, et qui avait participé à la préparation à la pandémie de grippe porcine en 2009) n'était pas si inquiet que ça.

Plus tard j'ai fait les courses avec le poussinet et nous avons acheté une machine à espresso pour tenir le coup pendant le probable confinement (volontaire ou imposé). Jusque là je ne prenais jamais le café à la maison, j'aimais surtout le prendre dehors en regardant les gens passer : voilà qui ne serait plus possible.

 : je me suis réveillé pendant la nuit (3h30) en faisant une attaque de panique suite à un cauchemar. J'ai hurlé à mon poussinet d'allumer la lumière, il a essayé de me rassurer et de me recoucher, mais à la fin nous étions tous les deux bien réveillés. Comme nous ne nous rendormions pas, nous sommes sortis faire une balade dans le quartier vers 5h30 du matin. Puis nous nous sommes recouchés, mais j'ai à peine redormi. Le poussinet, lui, a dormi une bonne partie de l'après-midi.

Pendant qu'il dormait, j'ai écrit un billet dans mon blog faisant état de mon état psychologique à ce moment-là ; et j'ai aussi pris rendez-vous chez un psychiatre pour le surlendemain (le texte était une sorte de récapitulatif de ce que je voulais lui dire).

Finalement, en fin d'après-midi, quand mon poussinet s'est réveillé, nous sommes allés faire une promenade dans la forêt de Meudon. Je me souviens d'avoir fait remarquer en voyant un avion passer que nous vivions un mélange bizarre entre l'exceptionnel et la routine qui continuait. Nous nous sommes demandés si ou comment le bac pourrait avoir lieu cette année (et les autres examens et concours).

Dans la soirée, je ne sais plus à quelle heure, Édouard Philippe a annoncé la fermeture de tous les lieux publics et commerces non-essentiels. Je ne me rappelle plus bien comment j'ai réagi à ça, ni ce que je pensais de la mesure, mais j'ai au moins été soulagé qu'on continuait à ne pas nous priver de la liberté de sortir de chez nous, ni de nous promener. …Encore un faux espoir !

 : le poussinet et moi nous sommes réveillés vers 7h, en n'ayant quasiment pas dormi. Le poussinet était en larmes. Nous avons essayé de nous réconforter comme nous pouvions. Puis nous avons essayé de dormir un peu plus, mais moi je n'y arrivais pas du tout.

Je suis allé faire des courses au petit G20 en face de chez nous (deux fois, en fait, pour bien remplir les placards). C'était la cohue. Les gens faisaient des courses en masse en craignant la pénurie. (Je me demande encore maintenant combien de contaminations ont été causées par les cohues dues à ces mesures alarmistes.) J'ai croisé une de mes voisines de l'immeuble, une dame âgée, qui semblait effarée (mais amusée à la fois) par tout ce monde se ruant pour faire des provisions. Elle m'a dit on n'est pas en guerre, tout de même !.

Puis j'ai eu un coup de fil de ma mère. Je pensais qu'elle appelait pour parler de la pandémie. Je lui ai parlé de Charybde et Scylla, du désastre que je voyais des deux côtés. Elle m'a sommé d'arrêter de m'inquiéter pour les choses sur lesquelles je ne pouvais rien. Mais en fait elle m'appelait surtout pour mon dire que mon père avait fait une vilaine chute dans l'escalier, qu'il avait beaucoup saigné de la tête, et qu'elle avait dû le faire emmener aux urgences. Et vous vous doutez bien qu'appeler les secours le 15 mars 2020 c'était… compliqué ! Mais finalement elle a réussi à faire venir les pompiers qui ont emmené mon père à l'hôpital dont il est ressorti avec la tête toute bandée et interdiction de bouger. Déjà que c'était difficile avant ! J'ai aussi persuadé ma mère de ne pas aller voter pour les municipales, ce qui n'a pas été facile parce qu'elle ne s'était peut-être jamais abstenue de sa vie.

Mais en criant au téléphone, j'ai réveillé le poussinet, qui avait dormi tard dans l'après-midi. Et nous, comme nous n'étions pas spécialement à risque, nous avons décidé d'aller voter (ce qui ressemblait d'ailleurs aussi à un choix entre Charybde et Scylla — enfin, entre Charybde1, Charybde2, Charybde3, Charybde4, etc.). Bref.

Après ça, nous sommes allés faire une balade en forêt, en sentant bien que ça risquait d'être la dernière avant longtemps. Nous sommes allés du côté de la Faisanderie dans la forêt de Sénart. Pendant la balade, le poussinet était bien plus serein que le matin. Nous avons évidemment parlé de l'épidémie et de comment les choses pourraient évoluer, et de ce que l'avenir nous réservait. Moi je ne voyais vraiment que deux possibilités : un désastre sanitaire inoui, ou bien un confinement qu'il serait impossible de lever. (J'ai donc eu moyennement tort : on a en fait eu un mix des deux.) Le poussinet me disait que nous verrions bien.

Toujours est-il que nous sommes rentrés chez nous vers 20h, et nous avons commencé à vider plein de choses de l'appartement que nous comptions vendre, pour que le peintre puisse travailler dedans (en nous demandant s'il pourrait !).

Je ne sais plus quel était mon état d'esprit quand je me suis couché ce 15 mars 2020, mais c'était certainement une des journées les plus bizarres de ma vie, tellement de choses qui se sont passées dans une ambiance si chaotique.

Mais ce qui est sûr c'est que je me demandais beaucoup et si nous sommes confinés comme en Italie, ça veut dire quoi, concrètement ? ils contrôleraient comment ? on sera vraiment emprisonnés chez nous‽ ça se passe comment là-bas ?.

 : je suis sorti le matin pour aller voir le psychiatre chez qui j'avais pris rendez-vous. Les rues étaient étrangement désertes, avec tous les commerces fermés ça donnait une impression de fin du monde.

Je suis allé voir le psy, donc. Moi j'avais un masque chirurgical (périmé certes) : j'en avais acheté un lot longtemps avant parce que le poussinet avait eu une grippe que je ne voulais pas attraper ou qqch comme ça. Le psy, non (rappelons que c'était la pénurie totale !). Je commence par dire au psy quelque chose comme je suppose que vous avez beaucoup de gens qui viennent vous voir à cause de la pandémie et il m'a dit pas du tout. Puis je lui ai parlé de mes angoisses et d'un peu de tout. Il m'a fait une bonne impression. Bon, je n'étais jamais allé voir un psy de ma vie, donc je ne peux pas trop comparer, mais nous avons discuté calmement, un peu de moi, un peu de la crise, un peu d'épidémiologie, ça m'a fait du bien. Je suis resté 45min. À la fin il m'a demandé si je voulais des médicaments, j'ai dit que je pensais que ça pouvait être utile, il m'a prescrit un somnifère et un anxiolytique. Un an après je n'en ai pas utilisé plus que qqs comprimés (je me méfie de ces trucs et le poussinet y est carrément hostile), mais c'est rassurant de savoir qu'on les a dans le placard.

Je suis passé à la pharmacie chercher ces médicaments : la scène était hyper tendue, les gens discutaient de ce qui se passait, des nouvelles règles, on ne savait rien. Deux clients de la pharmacie ont commencé à s'engueuler, parce que l'un à demander à l'autre de tenir ses distances, l'autre l'a mal pris, visiblement tout le monde était sur les nerfs.

Dans l'après-midi, les rumeurs s'amplifient : à cause (pense-t-on) du peu de respect de la distanciation sociale à Paris la veille (en fait, c'est une manip de culpabilisation assez grossière), le gouvernement va décréter le confinement total. (Que ce terme est hideux, confinement total, — comme est hideuse la chose. D'ailleurs, il a disparu assez vite et n'a pas réapparu depuis : même les confinementistes acharnés disent confinement strict maintenant, je remarque.) Les rumeurs vont bon train. L'armée est vue se déplaçant en nombre à divers endroits — je me dis qu'on a vraiment basculé hors de l'état de droit. Les parisiens fuient Paris en masse, causant des embouteillages massifs.

Le poussinet et moi discutons : allons-nous fuir dans sa maison de famille à la montagne (en espérant qu'il y ait au moins un semblant de liberté : personne ne pourra contrôler les chemins forestiers) avant qu'ils bouclent Paris complètement ? Lui préfère partir. Je tergiverse. Le choix entre rester dans un endroit que je connais ou abandonner tout ce que j'ai pour fuir dans un endroit où il y aura un petit reste de liberté ça vraiment été un choix atroce. Finalement nous restons. Était-ce le bon choix ? Je le sais maintenant, parce que sept mois plus tard l'histoire se répète et cette fois-là nous fuyons : il n'y a pas de bon choix entre ce Charybde et Scylla là. Le confinement est une torture mentale, à Paris comme à la montagne.

J'ai décrit mon état d'esprit de cet après-midi du 16 mars 2020, tel que ressenti sur le moment, dans ce fil-ci — la dernière phrase est sans doute la plus parlante : J'ai peur.

À 20h, Macron prend la parole une nouvelle fois. Son intervention n'a rien à avoir avec celle de quelques jours auparavant : le 12 il avait une certaine stature, le 16 son intervention est minablement anxiogène. Nous sommes en guerre, quelle connerie !

Ensuite, c'est Castaner qui prend la parole à son tour et qui égrène les mesures, confirmant qu'on a complètement quitté l'état de droit pour basculer dans l'état policier. Le confinement commence le lendemain à 12h. (Avec un petit moment de farce au milieu de cette tragédie quand Castaner, en langage administratif fleuri, dit dans le cadre de l'accompagnement des besoins naturels du chien pour dire en promenant le clebs.)

Le soir, pour essayer de nous changer les idées, le poussinet et moi regardons Last Week Tonight (de la veille) comme d'habitude de le faire le lundi. Mais ça ne nous change pas du tout les idées : John Oliver parle de covid, et il est lui-même comme « confiné » dans son « blank void » comme il l'appelle.

Je ne sais plus comment s'est finie cette journée du 16 mars 2020. J'ai dû prendre un somnifère (mon journal ne dit rien). Aurais-je mieux fait de prendre toute la boîte ? En tout cas, la « vie » qui m'attend ensuite n'a plus rien à voir avec celle d'avant.

 : je découvre l'étude de l'équipe de Neil Ferguson à Imperial College‌, qui évoque 500 000 morts au Royaume-Uni, et qui surtout me semble confirmer le dilemme que je voyais entre les stratégies Charybde et Scylla : soit il y a énormément de morts, soit on est coincé dans une boucle de confinements qui n'en finit pas où l'épidémie doit sans arrêt être supprimée parce qu'il n'y a pas d'immunité collective qui s'accumule (c'est Ferguson qui écrit ça, hein !: The more successful a strategy is at temporary suppression, the larger the later epidemic is predicted to be in the absence of vaccination, due to lesser build-up of herd immunity).

Mais bon, pour moi, le 17 mars 2020 (à 12h), c'est surtout le début du fameux confinement total. Je ne crois pas que ça ait d'intérêt que je continue ce récit au-delà de ce jour. Avant le 17 mars, le temps passait à toute vitesse. Après, il cesse totalement d'exister. Il n'y a plus de vie ensuite, donc rien à raconter : rien qu'une succession de jours vides qui se ressemblent tous et où nul événement ne se produit. Une représentation de En attendant Godot avec le poussinet dans le rôle de Vladimir et moi dans celui d'Estragon. À huis clos.

Bon, je ne sais pas si écrire ce texte m'a aidé : comme je l'écrivais il n'y a pas longtemps, j'ai un peu la sensation d'être prisonnier du jour de la marmotte (enfin, l'année de la marmotte) : le poussinet part à la montagne pendant que moi je suis à la maison à stresser sur l'évolution de l'épidémie, les courbes épidémiologistes ne sont pas bonnes, c'est la course pour produire un dispositif médical (masques en 2020, vaccins en 2021), puis, mi-mars, il devient clair que Paris va être confiné. Même le fait que nous passons une soirée en retour de promenade à vider l'appartement du rez-de-chaussée reste valable (nous avons récemment fini de le vider pour pouvoir enfin le vendre). J'ai vraiment un peu l'impression de revivre le même cauchemar, même s'il est vrai qu'entre-temps, pour reprendre la parodie de Marx, la tragédie s'est pas mal transformée en farce (ou peut-être, vu que c'est le troisième confinement, c'est carrément un numéro de cirque, cette fois).

Peut-être devrais-je plutôt me concentrer sur ce qui a changé ?

Mon moral est loin d'être aussi mauvais qu'il y a un an. C'est plus de l'exaspération que je ressens maintenant.

Les confinements ressemblent à une corde de plus en plus usée à laquelle plus personne ne croit vraiment (cf. ce que j'écris dans ce fil Twitter). Pour ce que ça vaut, j'ai rassemblé dans ce fil [ici sur ThreadReaderApp] les choses que je propose un peu plus concrètement, moi, pour lutter contre l'épidémie.

Je compte ne pas du tout respecter celui qui vient, quelque forme qu'il prenne. Je prendrai mes précautions vis-à-vis du covid (éviter le plus possible les contacts en intérieur avec les personnes non vaccinées), mais je ne vais ni renoncer à mes tours à moto, ni renoncer à mes balades en forêt, ni renoncer à voir ma mère (qui est maintenant vaccinée) : je vais plutôt chercher toutes les astuces pour contourner la police de ce régime hygiéniste de merde.

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(mercredi)

L'enseignement à distance : petit retour d'expérience

J'ai commencé à écrire une entrée pour ce blog sur le modèle épidémiologique SIR dans une situation de susceptibilité hétérogène (pour expliquer quels calculs j'ai faits ici et comment), mais je m'interromps le temps d'écrire celle-ci pour parler un petit peu de mon expérience de l'enseignement, pendant un an de pandémie, dans un établissement très privilégié. Je ne sais pas si j'ai des morales ou conclusions intelligentes à en tirer, mais je peux au moins raconter quelques choses.

Quand la pandémie a frappé il y a tout juste un an, les cours que je donnais sont évidemment partis dans les limbes : j'ai demandé aux étudiants de lire quelques bouts restants dans le poly de notes et proposé quelques QCM à faire pour s'entraîner dessus, mais comme il ne me restait que très peu de séances de cours et pas de temps pour s'organiser à trouver un autre moyen de les faire (je n'avais ni le matériel ni l'environnement logiciel pour faire un enseignement à distance correct), et comme en plus j'allais vraiment très mal et que je n'avais donc pas l'énergie pour faire mieux, les choses en sont restées là.

Pour l'évaluation (peu après la fin du premier confinement, donc j'allais mieux), comme nous n'avions pas le droit de faire d'examens sur table, j'ai organisé des QCM randomisés pour mes différents cours : j'ai écrit un pool de questions avec à chaque fois une unique réponse juste, et j'ai codé un script qui, pour chaque étudiant, tire au hasard un sous-ensemble des questions en évitant certaines combinaisons considérées comme trop redondantes, et une permutation aléatoire des réponses de chaque question, et génère un PDF personnalisé ; à l'heure prévue pour le début du contrôle, les PDF étaient publiés sur un site web, et les étudiants avaient pour tâche de m'envoyer (par mail à une adresse spécialement ouverte à cette fin), avant l'heure limite, une liste de réponses selon un format spécifié, qu'un script convertissait alors en nombre de questions justes, nombre de questions fausses, et nombre de questions non répondues. J'avais très peur que quelque chose aille de travers, mais en fait ça s'est très bien passé, l'aspect technique n'a pas posé problème et les résultats m'ont semblé assez plausibles (i.e., je pense qu'il n'y a eu ni triche massive ni difficulté énormément mal calibrée, ni quoi que ce soit de ce genre).

Il faut néanmoins bien être clair sur le fait que tout le troisième tiers de l'année universitaire 2019–2020 a été très largement perdu pour tout le monde. Certains ici ou là ont peut-être pu sauver quelques meubles, mais il s'agit au mieux d'une limitation des dégâts, rien qui ressemble à un trimestre normal.

Pour l'année universitaire 2020–2021, il s'agissait de faire mieux, malgré une pandémie à l'évolution aléatoire et surtout des consignes gouvernementales qui changeaient chaque semaine.

Préparation d'abord au niveau équipement : je me suis acheté une tablette graphique (tablette graphique désigne ici une surface aveugle sur laquelle on écrit avec un stylet et qui fonctionne un peu comme une souris : pas une tablette style iPad, c'est-à-dire une sorte de smartphone géant), en l'occurrence une Wacom Intuos M (de taille 264mm×200mm, taille de la partie sensible 216mm×135mm), que je dois encore me faire rembourser par mon employeur ; et j'ai demandé à ce dernier de m'acheter un portable (un Dell Latitude 5410) parce que je n'en avais plus (ou plus que des trucs antédiluviens). Comme il est vite devenu apparent que le portable commandé par le boulot n'arriverait pas avant des mois (marchés publics obligent), j'ai utilisé un portable hérité de mon papa (un Acer Switch Alpha 12, en fait un convertible tablette/portable, que mon papa aimait beaucoup) jusqu'à ce que je récupère enfin, en décembre, le Dell que j'avais fait commander. Je ne suis pas très content d'avoir été obligé de me démerder ainsi (et d'avoir dû me farcir deux fois la configuration pénible d'Ubuntu 20.04 Focal Fossa pour obtenir quelque chose d'utilisable), mais au moins maintenant j'ai un portable supplémentaire que je laisse à côté de la télé (connecté à elle par un câble HDMI) et qui sert au poussinet et à moi à regarder des vidéos de façon plus commode qu'en passant par une clé USB. Bref. Au niveau logiciel, j'ai aussi mis à jour plusieurs de mes ordinateurs vers une version moins archaïque de Debian, parce que la précédente ne pouvait même pas faire tourner Zoom (même si, a priori, je ne veux faire tourner Zoom que sur le portable boulot, je préfère assurer mes arrières).

Bienvenue à moi dans le monde du distanciel, donc. Je déteste les mots présentiel et distanciel (outre que je ne sais jamais s'il faut écrire -tiel ou -ciel), ça fait vraiment novlangue corporate, mais il faut reconnaître que je n'ai pas vraiment mieux à proposer (l'ennui étant notamment que enseignement à distance a un sens préexistant assez différent, cf. ce que fait le CNED). Par ailleurs, il faut ajouter l'hybride, qui est le mode où une partie des étudiants (soit par leur propre choix, soit sur la base d'un roulement entre demi-groupes) assiste au cours en étant présents et l'autre moitié à distance, ce qui permet d'offrir plus de choix et/ou de limiter les difficultés liées à l'enseignement à distance.

Avant la pandémie, je faisais normalement cours au tableau blanc, sans utiliser le vidéoprojecteur. Je suis en général seul à écrire au tableau pendant mes enseignements : la plupart sont des cours magistraux, donc c'est normal, mais même quand je fais un TD, je n'aime pas envoyer les étudiants au tableau, ça implique de mendier un volontaire, je préfère faire les corrigés des exercices en essayant de faire intervenir toute la classe : je demande qui a une idée ? ou quelqu'un voit-il comment on pourrait démontrer <ceci-cela> ?, je réagis aux propositions (ou à l'absence de proposition) qui me sont faites en l'écrivant et en la commentant, ou en proposant des indications, puis en laissant réfléchir, et j'essaie de converger comme ça vers une solution que j'écris moi-même mais vers laquelle j'ai fait participer les étudiants.

Pour faire cours par ordinateur, j'ai assez logiquement utilisé une façon de procéder assez proche de ce que j'aurais fait au tableau blanc. En l'occurrence, j'utilise le programme Xournal[#] (d'ailleurs écrit par un vieil ami) pour prendre des notes à la tablette : il ne fait pas grand-chose, juste se comporter comme quelque chose entre un tableau blanc un peu amélioré ou un cahier d'écolier électronique : je branche la tablette et je peux alors écrire dans la fenêtre Xournal comme j'écrirais sur un papier, et le programme permet des choses basiques comme changer la couleur, effacer, surligner, tracer des droites, ou faire du copier-coller. Et surtout, il permet de sauvegarder un PDF de ce qu'on a écrit. Juste pour ce qui est de l'apparence, c'est d'ailleurs assez fascinant de voir et d'imprimer un PDF manuscrit à la tablette (voyez par exemple ici les notes, entièrement manuscrites, d'un de mes cours) : c'est paradoxalement à la fois manuscrit et pas manuscrit, ce n'est pas comme un document scanné parce que c'est une image vectorielle, et le rendu à l'impression a quelque chose d'esthétiquement séduisant.

Ajout () : Une chose que j'oubliais de mentionner au passage (je le fais suite à un commentaire), c'est que c'est qu'il est plus agréable, pour avoir une écriture un peu naturelle, d'activer la sensibilité de la tablette à la pression (dans Xournal c'est dans Options → Pen and Touch → Pressure sensitivity ; il est vrai qu'il y a plein de subtilités que je ne comprends pas : par exemple, que fait l'option Use Xinput, sélectionnée chez moi ? et comment puis-je faire quelque chose avec les boutons qui sont physiquement sur la tablette elle-même et pas le stylet ?). Un problème avec cette sensibilité à la pression, c'est que si on fait juste un point (le point sur un ‘i’ notamment), il a tendance à être vraiment trop fin (quasi invisible). Il faut prendre l'habitude d'appuyer un petit peu, ou de faire un mini-trait, et je n'ai pas encore bien cette habitude.

[#] Plein de gens m'ont dit qu'ils utilisaient Xournal++, mais je n'ai pas vraiment compris ce qu'il apportait de plus (à part des choses qui ne m'intéressent pas du tout comme de la reconnaissance de caractères).

L'autre facteur de l'équation, c'est ce qu'on utilise pour la vidéoconférence. J'aurais préféré un logiciel libre comme BigBlueButton, mais mon employeur a arrêté son choix sur Zoom, malgré son côté propriétaire et le doute qu'on peut avoir sur l'éthique de cette société (qu'il s'agisse de la sécurisation des connexions ou du traitement des données personnelles). Il est vrai qu'en me battant je pourrais sans doute exiger un choix différent pour mes cours, mais j'avoue avoir assez peu d'énergie pour me battre à ce sujet. Il faut reconnaître que Zoom est techniquement très bon pour une chose, c'est qu'il n'y a essentiellement aucun délai dans la parole (on peut parler ensemble et même s'interrompre comme si on était côte à côte) avec qu'avec quelque chose comme BigBlueButton on a un délai d'une fraction de seconde qui suffit à nuire gravement à l'impression de spontanéité pour une réunion à plusieurs (pour un cours c'est peut-être moins gênant, cependant). Pour le reste, en revanche, Zoom est assez mauvais, je trouve : l'interface, notamment, est incroyablement confuse et contre-intuitive.

Bref, pour faire cours en « distanciel », je me connecte à la session Zoom préparée par mon employeur (en suivant un lien depuis le système d'emploi du temps en ligne, et les étudiants font pareil), j'entre un code pour passer animateur, je branche ma tablette, je lance Xournal, je partage la fenêtre Xournal à travers Zoom, je lance l'enregistrement[#2], et je fais cours à peu près comme si j'étais dans une salle face aux étudiants. La principale différence et qu'à la fin je peux proposer aux étudiants : un PDF avec les notes que j'ai écrites (pour compléter ou remplacer celles qu'ils auraient pris eux-mêmes), et un enregistrement vidéo+audio de la session (si j'ai pensé à lancer l'enregistrement dans Zoom, ce qui n'est pas toujours le cas). Une autre différence est que je peux faire cours en annotant le PDF du polycopié du cours s'il y en a un (Xournal permet de gribouiller sur un PDF au lieu d'un papier blanc), mais je me suis rendu compte que c'était un peu un piège, je pense que le cours est plus clair si on ne procède pas de la sorte.

[#2] Il est vrai que l'enregistrement, s'il a le mérite de permettre aux étudiants de réécouter le cours, présente aussi le risque de décourager les questions. J'ai signalé en préambule que si certains voulaient que je coupe l'enregistrement pour une question ils pouvaient le dire (par le système de chat écrit de Zoom), mais bien sûr ça représente quand même un frein (dire je voudrais poser une question et qu'elle ne soit pas enregistrée n'est pas évident !). Certains peuvent préférer attendre que j'aie coupé l'enregistrement (à la fin de la séance) pour poser des questions, donc j'attends aussi un peu à ce moment-là.

Si vous voulez voir ce que ça donne, vous avez ici les vidéos de mon cours de théories des jeux et ici celles de mon cours de courbes algébriques (qui devrait plutôt s'appeler introduction à la géométrie algébrique ou quelque chose de ce genre ; par ailleurs, il manque une demi-séance parce que j'ai oublié de lancer l'enregistrement) : ces vidéos sont diffusées par l'intermédiaire d'une instance de PeerTube (une alternative libre et décentralisée à YouTube) mise en place par un de mes collègues ; dans la description de chaque vidéo j'ai mis des liens vers les notes de la séance (et, pour le cours de théories des jeux, vers le polycopié d'ensemble du cours).

Je laisse ma caméra allumée pendant que je fais cours. La vidéo qu'elle prend n'apparaît pas dans l'enregistrement, mais je crois (et j'espère !) que les étudiants ont le choix entre voir uniquement l'écran que je partage, ou bien me voir en même temps (même si j'essaie d'éviter de parler avec les mains et de m'efforcer de « parler avec la souris » à la place, ce n'est pas complètement évitable et je comprends qu'on puisse avoir envie de voir la personne qui s'exprime, d'où mon choix de laisser ma webcam tourner). Je ne leur demande pas d'allumer la leur (ça me semblerait d'ailleurs une intrusion inacceptable dans leur vie privée de demander ça), et la plupart ne le font pas ; de toute façon, comme je suis en mode partage d'écran, j'ai intérêt à ce que la fenêtre Xournal soit maximisée, et, du coup, je ferme ou minimise toutes les fenêtres liées à Zoom (je ne regarde que le chat écrit de temps à autres, pour savoir s'il y a des questions ou commentaires sous cette forme) ; comme je suis plutôt « auditif », ça ne me gêne pas vraiment de ne pas voir les gens qui posent des questions.

Il faut reconnaître que tout ceci est d'un grand confort pour moi comme enseignant. Déjà, le fait de pouvoir ne me lever qu'une demi-heure avant le début du cours, m'économiser un aller-retour à Palaiseau (donc quasiment 2×1h de trajet…) et le risque d'avoir un accident de moto, le fait de pouvoir faire cours en survêt, dans le confort de mon bureau, tout ça n'est pas mal. Mais il y a aussi le fait d'avoir le PDF de notes et les vidéos (ne serait-ce que pour me rappeler ce que j'ai fait d'une fois sur l'autre) sans passer par tous les emmerdements de l'enseignement en hybride que je vais évoquer ci-dessous ; et, par rapport à l'enseignement au tableau blanc, ne pas avoir des feutres qui sont perpétuellement vides et qui laissent des vilaines traces sur les doigts. En outre, bien sûr, en temps de covid, le fait de ne pas devoir porter un masque en parlant, et de ne pas devoir se geler les c***lles (surtout les mains, à vrai dire) dans une salle convenablement aérée donc glaciale est très appréciable.

Mais mes étudiants n'ont pas l'air séduits par les mêmes choses, et je comprends complètement que passer des heures à suivre des cours, du matin au soir, par petit écran interposé, sans voir personne, soit extrêmement fatigant et rende la concentration très difficile. Notre école, au moins, propose aux élèves de suivre les cours (dont les enseignants ne veulent pas venir en personne) à plusieurs dans des salles équipées d'un vidéoprojecteur, modulo le respect de toutes sortes de règles sanitaires.

Vu que les règles permettent de nouveau le retour partiel des cours en présentiel, enfin, en hybride, j'ai fait un petit sondage pour mieux comprendre les préférences des étudiants (au moins s'agissant de celui de mes cours pour lequel il était le plus facile pour moi de changer les modalités). Manifestement, le fait d'avoir un PDF des notes est considéré comme une valeur ajoutée, mais les enregistrements du cours n'intéressent pas tellement les étudiants (de fait, ils ont essentiellement zéro vues sur PeerTube). Et ayant le choix entre (a) continuer le cours à distance, (b) faire le cours en hybride (ceux qui veulent venir le peuvent, les autres suivent à distance) mais de la même façon qu'à distance (i.e., j'écris avec la tablette et je projette l'écran), ou (c) faire le cours en hybride mais au tableau blanc et filmé, une nette majorité préférait l'option (b).

C'est ce que j'ai fait aujourd'hui. C'est-à-dire que je viens à l'école avec le portable et la tablette graphique, je m'installe dans la salle de cours (qui a, heureusement, un wifi qui marche très bien), je lance Xournal et Zoom comme pour enseigner à distance, mais en plus de ça, je projette l'écran sur le vidéoprojecteur de la salle (c'est raisonnablement lisible même si c'est sans doute moins bon qu'un tableau blanc). La principale différence est donc que les étudiants qui sont présents m'entendent directement et peuvent poser des questions plus facilement ; pour ceux qui sont à distance, c'est moins bien parce que j'enlève les écouteurs pendant la séance, du coup s'ils veulent poser des questions ils doivent le demander par le chat écrit avant. (En plus de ça, j'ai commencé par oublier d'activer le micro et il a fallu trois minutes pour que quelqu'un me rappelle de le faire — donc la vidéo de la séance d'aujourd'hui commence par trois minutes de silence qui, heureusement, n'étaient que des rappels de la séance précédente.) Et j'ai aussi oublié, fatalement, de systématiquement répéter les questions posées par quelqu'un dans la salle.

Mine de rien, la mise en place prend assez longtemps (et fait encore du temps perdu en plus du temps de déplacement) : il faut que je descende de mon bureau avec l'ordinateur, la tablette, l'alim, le casque, et le câble pour connecter la tablette (et avec le portable Acer hérité de mon père, il fallait encore ajouter une souris, un hub USB et l'alimentation du hub USB), plus mes notes écrites, une bouteille d'eau et un paquet de biscuits (parce que pendant la pause je ne peux pas trop quitter la salle vu qu'il y a tout ce matériel dedans, donc je grignote dans la salle). Et il faut non seulement connecter tout ça mais ensuite lancer les choses dans le bon ordre : d'abord allumer le vidéoprojecteur, puis brancher le câble HDMI, puis configurer l'écran en mode miroir, puis connecter la tablette (il vaut mieux le faire après avoir reconfiguré l'écran), puis lancer Xournal (il faut le faire après avoir connecté la tablette, sinon elle est mal reconnue), charger le fichier de notes, puis brancher les écouteurs, puis se connecter à Zoom, tester les écouteurs (grâce à la magie de PulseAudio, le son sous Linux marche une fois sur deux), entrer le code animateur, démarrer le partage d'écran, lancer l'enregistrement. Il y a un graphe de dépendances pas toujours évident, et je passe un certain temps à me demander qu'est-ce que je dois faire maintenant ? et à oublier des choses (comme activer le micro ou lancer l'enregistrement). C'est un peu plus facile si je suis chez moi, ne serait-ce que parce que le portable reste branché et la tablette avec lui et que je n'ai pas à connecter de câble HDMI.

Une autre chose à signaler est que, si je suis assez conquis par l'écriture sur tablette graphique, un problème important est que ça demande plein de place sur la table. Je ne comprends pas très bien pourquoi c'est différent d'une feuille de papier normale, mais je constate que si je n'ai pas quelque chose comme 20cm de chaque côté de la tablette pour placer mon bras comme je veux, j'écris vite beaucoup plus mal. Quand j'étais à Chambéry pendant le confinement nº2, je monopolisais la grande table du salon pour faire cours ; chez moi c'est déjà plus compliqué ; mais les salles de l'école n'ont pas de bureau assez grands à mon goût pour poser à la fois le portable et la tablette avec toute la marge que je veux autour.

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(jeudi)

Sur la question de mes propres biais

Il arrive assez régulièrement qu'on attire mon attention sur la manière dont ma propre expérience, et les sentiments qui en résultent, peuvent parasiter mon analyse de la situation sanitaire. Une des dernières occurrences est dans les commentaires signés Lama d'une des entrées récentes de ce blog, mais c'est loin d'être la seule fois qu'on m'a dit quelque chose comme David a énormément souffert des confinements, il n'est pas étonnant qu'il argumente contre eux, sur un ton parfois bienveillant, parfois nettement moins. Je ne pense pas qu'il soit intéressant de répondre aux attaques du type David tient tellement à ses petites habitudes de marcher en forêt ou d'aller au restaurant qu'il se lance dans des argumentaires grandiloquents qui ressemblent aux pro-gun américains qui crient à la dictature quand ils s'imaginent qu'on va leur enlever leur flingue (oui, on m'a dit ce genre de choses), mais ceux qui, sans accusation de mauvaise foi ni méchanceté perfide à mon égard, notent la manière dont j'ai personnellement très mal vécu les confinements (je n'ai pas fait le moindre mystère à ce sujet), et s'interrogent sur les biais qui peuvent en résulter soulèvent indiscutablement un point important.

Une réponse un peu triviale (qui n'en est pas moins juste, mais qui n'est pas forcément satisfaisante) consiste simplement à répliquer qu'il faut simplement juger les arguments écrits pour ce qu'ils sont, et pas sur le vécu de leur auteur. Une autre réponse qu'on pourrait faire sur le ton de la blague est d'imaginer ce qu'il faudrait penser d'un avocat qui plaiderait :

Mais, Madame la présidente, vous voyez bien que Monsieur Untel est terriblement biaisé contre mon client : s'il l'accuse d'être un meurtrier, c'est parce qu'il est fou de rage que mon client ait tué son fils.

Je veux dire qu'il y a un certain piquant de trouver que je suis biaisé à penser que les confinements engendrent énormément de souffrance… à cause de la souffrance qu'ont engendré chez moi les confinements. Cette réponse est bien sûr assez superficielle et incomplète (quoique drôle, je trouve), parce que la question de faire un calcul raisonnable est autrement plus complexe que de constater l'existence d'un phénomène qui est maintenant peu contesté (même les confinementistes les plus acharnés admettent qu'il y a des gens qui en souffrent : ce n'est pas spécialement à démontrer, et ce n'est pas ce que je cherche à démontrer). Néanmoins, elle survit sous la forme d'un biais non pas personnel mais d'observation : il va de soi que, donné un ensemble d'arguments parfaitement raisonnables contre un sujet X, ceux qui sont le plus motivés à exposer ces arguments, à les développer et à les publier, sont ceux qui ont un grief contre X, c'est normal et attendu, et cela ne remet absolument pas en cause la validité des arguments ni la bonne foi de ceux qui les avancent (c'est, dans ma blague ci-dessus, la raison pour laquelle le père de la victime se trouve au tribunal). Disons, pour quitter le registre de la blague, qu'il serait assez malvenu de reprocher aux personnes homosexuelles ou transgenre d'être biaisées en dénonçant l'homophobie ou la transphobie : il est normal (regrettable, car tout le monde devrait être attentif aux souffrances des autres) mais normal que ce soient les victimes d'une injustice commise par la société qui soient les premières à la dénoncer.

Maintenant, j'ai essayé d'être toujours assez clair dans ce que je disais et de séparer ce qui est l'analyse d'une situation objective, par exemple les confinements n'ont certainement pas un effet aussi important que ce que leurs défenseurs allèguent (il n'est même pas si clair que ça qu'ils en aient un distinct de la réaction spontanée de la population) ou il est déraisonnable de prétendre que les confinements en France aient sauvé des centaines de milliers de vies car aucun pays au monde, quelle que soit la politique qu'il ait choisi, n'ait vu un tel niveau de mortalité ou encore il n'est pas imaginable qu'on puisse éliminer le covid à ce stade, et une opinion morale ou politique, par exemple il est raisonnable de se donner comme objectif de minimiser la somme de la durée de vie espérée perdue par personne à cause des morts covid et du nombre de jours de confinement autoritaire ou le fait d'exiger de remplir une attestation pour sortir de chez soi et d'envoyer la police les contrôler est une approche inacceptable de la santé publique, une méthode de régime totalitaire, et fait faire à la France un pas irréversible vers un tel régime. Il est normal que les affirmations de cette seconde catégorie soient influencées par mon expérience ; les premières ne devraient pas l'être, mais évidemment, personne n'est naïf au point d'imaginer que ce que nous croyons vrai scientifiquement ne soit pas influencé par les opinions que nous avons sur ce que nous voudrions être vrai : ça n'a rien de spécifique à moi, ce qui ne veut pas dire que je ne doive pas (comme tout le monde, donc) m'en méfier.

Maintenant, il serait malhonnête de ma part de ne pas me livrer à l'exercice d'introspection de mes biais alors que je suis prompt à les dénoncer chez les autres : j'ai déjà à plusieurs reprises souligné le fait que les épidémiologistes sont naturellement enclins à donner une importance exagérée à l'épidémie parce que c'est leur spécialité et à ignorer que la crise est bien plus grave qu'une crise sanitaire mais est généralement une crise de société parce que ce n'est pas leur spécialité ; j'ai souligné qu'ils sont aussi biaisés dans leurs modèles parce qu'ils ne savent pas modéliser les effets sociaux et les ignorent donc purement et simplement ce qui conduit à des prédictions biaisées toujours dans le sens du pessimisme ; j'ai souligné qu'il y a un biais à écouter ces épidémiologistes en se disant que c'est normal d'écouter « les experts » et d'oublier que quand ils appellent au confinement ils ne sont spécialement compétents pour juger des effets que ces confinements auront sur la société (comme je le disais sur Twitter, c'est comme si on confiait à des économistes spécialistes de questions financières l'étude de la dette publique, on ne doit pas s'étonner, ensuite, qu'ils proposent de sabrer dans les services publics) ; j'ai souligné que les médecins en général avaient souvent le biais consistant à privilégier la préservation de la vie à n'importe quel prix au lieu de celle de la qualité de la vie ; et j'ai souligné que les hommes politiques prenant les décisions de confinement avaient eux aussi toutes sortes de biais par leur position : le biais lié à l'injonction générale en politique de faire quelque chose plutôt que rien, le biais dû au fait qu'ils ont plus de chances d'être traînés en justice pour homicide involontaire que pour abus de confinement, le biais lié au fait qu'ils ne sont absolument pas impactés par les confinements qu'ils mettent en place (les ministres seront toujours libres de circuler où ils veulent et comme ils veulent) alors qu'ils sont plutôt plus exposés que d'autres à l'épidémie (par leur nombre de contacts et souvent par leur âge) et, pour une fois, leur fonction ne les protège pas, le biais lié à leur mépris tout tout ce qui est loisirs ou question de bien-être de la population, et surtout, bien sûr, le biais lié à leur tendance générale à l'autoritarisme.

Si on reconnaît que tout le monde a des biais (et un devoir de chercher à les combattre même si on sait qu'on n'y arrivera jamais vraiment), c'est une chose. Si on vient dénoncer les miens sans se préoccuper de ceux que j'ai évoqués ci-dessus, c'est, si j'ose dire, un méta-biais qui devrait amener à se poser soi-même des questions.

Mais il y a des différences importantes entre mes biais et ceux que j'ai évoqués deux paragraphes plus haut. La principale, qui n'est peut-être pas très pertinente épistémologiquement mais qui l'est pour ce qui est de leur impact, est que je ne suis pas en position de pouvoir : je ne suis ni ministre, ni membre d'un quelconque scientifique, ni même un de ces invités qui tournent en boucle sur les plateaux télé ; toute l'influence que j'ai est celle d'un geek qui écrit de longs rants sur un blog que pas grand-monde ne lit ; encore, si je donnais des mauvais conseils, on pourrait m'accuser d'empirer l'épidémie, mais ma position a toujours été que tous ceux pour qui se confiner n'est pas une souffrance, et dans la mesure où leur situation le permet, devraient le faire librement, et pour ce qui est de mon propre exemple je suis probablement un des Français les plus responsables (en ce sens que je ne vois essentiellement personne à part mon poussinet et ma maman de temps en temps), donc on ne peut même pas m'accuser d'inciter à l'irresponsabilité. Je ne dénonce pas spécialement les biais de Jean-Paul Twitto, pro-confinement, je dénonce ceux des figures de pouvoir. Il y a autrement plus d'enjeu à constater que le gouvernement se dote d'un conseil scientifique où les épidémiologistes et virologues sont abondamment représentés mais pas un malheureux psychiatre, psychologue ou spécialiste des droits de l'homme ; ou que le ministre de la santé essaie de tirer des larmes à l'Assemblée nationale en évoquant les gens qui souffrent de la maladie, mais pour ceux qui souffrent du confinement il n'a que le mépris de cette blague qui me reste décidément en travers de la gorge tant elle est insultante, tant elle retourne le couteau dans la plaie, s'il y a bien quelque chose qui n'est pas obligatoire dans cette période, c’est d'être malheureux.

(Bon, entre temps, les défenseurs du zéro covid ont réussi à adopter une position à la fois tellement extrême, et en même temps faisant croire qu'elle s'oppose aux confinements, qu'ils ont à la fois déplacé la fenêtre d'Overton et brouillé les cartes : à force qu'ils se plaignent que le gouvernement français refusait le confinement, ils ont réussi l'exploit de faire oublier que le gouvernement français, s'il a certes infléchi un peu sa position, a déjà confiné pendant des mois toute la population du pays, et continue à le confiner une bonne partie du temps, et une partie de la population quasiment tout le temps. Quand je m'oppose aux confinements, je veux être bien clair sur le fait que je ne m'oppose pas qu'aux confinements à venir mais aussi à ceux de mars à mai et de novembre, et donc au gouvernement qui les a décrétés.)

Je digresse ici pour souligner une fausse équivalence qui m'est insupportable qui est de dire quelque chose comme certes, les confinements font des malheureux, mais la covid aussi (et d'en déduire la nécessité d'une sorte d'équilibre entre les deux, comme si on compensait un malheur en lui ajoutant un autre malheur) : c'est oublier que si le virus est d'origine naturelle (enfin, naturel ne veut pas dire grand-chose, mais c'est un machin inanimé contre lequel on ne peut pas vraiment ressentir de colère : au pire, ou au mieux, on peut en adresser à l'imbécile qui a voulu manger de la soupe au pangolin ou du tartare de chauve-souris ou je ne sais quoi, mais même celui-là on ne sait pas qui c'est et ce n'est peut-être pas ça qui s'est produit), le confinement est un désastre d'origine complètement humaine, et les responsables en sont bien identifiés, ce sont justement ces gens qui passent sur les plateaux télé à parler de choses dont ils ne sont pas spécialement qualifiés à mesurer l'impact. Je crois que je l'ai déjà dit, mais cela mérite d'être répété : on peut être utilitariste (et, pour simplifier, je le suis), ce n'est pas pour autant qu'on acceptera sans broncher de voir quelqu'un dévier le tramway dans votre direction parce qu'il y a (ou parce qu'il pense qu'il y a — et a fortiori si on croit qu'il se trompe) moins de gens qui sont ligotés aux rails de ce côté-là. Si certains peuvent être en courroux contre un virus qui s'en fout ou contre le fait qu'on n'ait pas suivi leur plan préféré pour lutter contre la pandémie, ma haine va à des gens bien identifiés qui m'ont emprisonné et ont détruit ma vie de façon directe, et qui ont le culot de me rappeler que je n'ai pas d'obligation à être malheureux.

J'arrête là cette digression, qui tend plus à justifier que mes biais sont légitimes que le fait qu'ils n'existent pas, et peut sans doute amener à conclure d'autant plus fortement que ces biais doivent être importants (tout légitimes qu'ils sont). Mais on peut aussi considérer ce fait : si je dois me retenir constamment de partir en litanie d'insultes contre les membres du gouvernement ou du conseil scientifique, si je m'interdis d'exprimer le fond de mes sentiments à leur sujet, c'est aussi ce qui me force à une réflexion finalement plus contrôlée (fût-elle grandiloquente).

Une autre différence que je peux souligner est que mes biais ne sont pas préalables : avant 2020, je n'avais aucun avis particulier sur la manière de gérer une pandémie ou de ne pas le faire, alors que les épidémiologistes, eux, en avaient (et donc, comme je le rappelle plus haut, des biais liés à leur intérêt professionnel) : le fait d'avoir très mal vécu le confinement peut être considéré comme une observation expérimentale qui s'inscrit dans la démarche générale de réflexion sur le sujet, que j'ai abordé comme j'aborde quantité de sujets sur ce blog — si j'en ressors avec une opinion sur la question, cette opinion n'est pas, du moins, un préjugé : il est normal de se former une opinion à la découverte des faits, ce qui n'est pas normal est, pour reprendre une comparaison judiciaire, d'entrer dans la salle du tribunal avec un avis préalable sur l'issue du procès.

Et à la limite, si j'avais des biais préalables, on pouvait plutôt penser qu'ils étaient dans le sens d'être favorable à un contrôle très strict de l'épidémie : je suis moi-même assez hypocondriaque voire nosophobe, j'avais au début de la pandémie deux parents (mon père est décédé entre temps, sans rapport avec le covid) très vulnérables ; en tant que geek grincheux qui passe plein de temps le nez à 30cm d'un écran d'ordinateur on eût pu imaginer que je fusse de ceux qui disent que les jeunes fêtards n'avaient qu'à bien se tenir et que la sociabilisation pouvait très bien se faire en ligne ; et en tant que propriétaire d'un appartement parisien raisonnablement grand (deux dans le même immeuble, d'ailleurs, dont un avec jardin, et même si c'est transitoire je pouvais très bien profiter du jardin), on pouvait se dire que je ne serais pas parmi les premiers à souffrir de l'enfermement ; et enfin, je n'ai pas de gosses à l'école, donc ça ne me touche pas personnellement que les écoles élémentaires, collèges et lycées soient ouverts ou fermés, et en ce qui concerne mon propre travail, je peux dire que c'est d'un grand confort de me lever 30min avant de faire cours, en survêt, de me mettre devant mon ordi, et de faire cours à travers zoom sans devoir me farcir un aller-retour à Palaiseau. Donc on peut dire que j'avais plein de raisons de défendre les confinements !

Quoi qu'il en soit, ce n'est pas vraiment le propos. Il est pertinent pour moi de me demander si le fait d'avoir souffert des confinements a formé des biais qui obscurcissent mon jugement ; je ne crois pas que ce soit pertinent de la part de qui que ce soit d'autre de m'interroger sur le sujet, mais je peux donner quelques éléments de la réflexion que je me suis faite pour moi-même, qui n'ont pas pour but de me justifier envers autrui mais d'illustrer la démarche.

La première chose est de se demander si ma position a changé entre avant et après le confinement (ce qui peut laisser croire que ce changement serait l'effet de la souffrance psychologique). Or si on relit cette entrée de ce blog, écrite à un moment où nous n'avions pas encore été confinés, et où je pensais l'épidémie considérablement plus grave (ou en fait surtout, plus rapide) que ce qu'elle a été, je prends clairement position en faveur de laisser circuler le virus ; et cette entrée (et le ton sur lequel elle est écrite) doit aussi servir pour rappel que je n'ai pas fait ce choix à la légère. Entre temps, on a découvert que le risque de débordement des hôpitaux était très largement surestimé (sur l'ensemble de la planète, il ne s'est produit qu'en une poignée d'endroits très atypiques, et même pas spécialement des endroits qui ont refusé les confinements), et que les pays qui choisissaient de ne pas confiner ne s'en sortaient pas significativement plus mal que ceux qui le choisissaient, donc il est normal que je sois encore plus convaincu du bien-fondé de ma position, indépendamment de ce que j'ai vécu personnellement.

La seconde chose est de se demander si ma position est cohérente avec ma position dans d'autres domaines où je suis moins directement impliqué émotionnellement. Je pense par exemple à la lutte contre le terrorisme : je ne suis pas spécialement concerné personnellement par la question, ne me sentant pas spécialement menacé par la menace terroriste mais n'étant pas non plus de la population discriminée par l'arbitraire policier accompagnant ce genre de mesures. Or ma position concernant la lutte contre le terrorisme et la lutte contre la covid est tout à fait analogue dans le rejet de l'illusion sécuritaire qui masque en fait un autoritarisme dangereux. Comme autre exemple de cohérence de mes positions, je pourrais mentionner la « guerre » contre les drogues : je ne suis vraiment pas concerné à titre personnel parce que je ne consomme aucune substance psychotrope illégale (et pas non plus d'alcool ou de tabac) et je ne vis pas non plus dans des endroits où l'économie est fortement liée au commerce de telles substances, et pour parler simplement, en ce qui me concerne moi-même, je m'en fous complètement que le cannabis soit illégal ou pas, pourtant je trouve que l'approche culpabilisatrice et répressive est une illusion de contrôle et une fausse route gravement dommageable à notre société, de la même façon que les confinements. Ma position concernant le covid est également cohérente avec celle sur le SIDA : prôner l'abstinence, montrer du doigt une sous-population qu'on désigne comme responsable de l'épidémie, n'est pas une approche qui marche. Je pourrais enfin dresser un parallèle un peu plus lointain avec l'austérité économique : l'idée qu'il faut accepter des sacrifices importants immédiatement pour assainir une situation (dette, propagation du virus) qui tournerait sinon à l'exponentielle incontrôlée est quelque chose que je regarde avec beaucoup de soupçon, surtout quand on confie la décision à ceux qui sont par leur métier enclins à ne regarder qu'un côté des choses.

Bref, il me semble que mon opinion sur les confinements est tout à fait cohérente avec ce que je pense sur d'autres sujets avec lesquels je peux dresser un parallèle, et s'inscrit dans une position générale soucieuse des libertés individuelles qui n'a rien à voir avec le fait que j'aie souffert des mesures précises appliquées en France.

Enfin, un troisième contrôle du fait que ma position contre les confinements n'est pas trop biaisée par mon ressenti personnel consiste à regarder ce qu'on pensait du sujet avant cette pandémie. J'ai déjà fait référence au plan pandémie grippale qui ne propose pas du tout ce moyen d'action, et je n'ai pas non plus trouvé de recommandations de confinements en cas de pandémie émanant, par exemple, de l'OMS. Et l'article Disease Mitigation Measures in the Control of Pandemic Influenza de Inglesby &al. (publié dans Biosecurity and Bioterrorism (4)) écrit : The negative consequences of large-scale quarantine are so extreme (forced confinement of sick people with the well; complete restriction of movement of large populations […]) that this mitigation measure should be eliminated from serious consideration. (Je cite ce passage-ci, mais il y en a d'autres qui sont tout aussi pertinents.) Alors bien sûr, tout ça concerne la grippe et pas la covid, mais il n'y a pas spécialement d'hypothèse faite qui s'appliquerait à la grippe et qui serait invalidée par le fait que le covid n'est pas la grippe ; et en tout cas, il n'y a pas de différence énorme ni de contagiosité ni de létalité. J'ai donc plutôt l'impression que ma position est tout à fait en ligne avec ce qu'on estimait pré-2020, à tête reposée, donc, pas dans la panique de la crise, et pas en ayant la pression de faire mieux(?) que les Chinois, et que s'il y a des gens qui ont changé de position sous l'effet de l'émotion, ce n'est pas moi.

À ce propos, l'émotion en question, pouvant expliquer que certains se mettent à défendre les confinements, peut être la peur, bien compréhensible, de l'épidémie, mais d'autres choses aussi : après avoir subi les confinements, cela pourrait être le syndrome de Stockholm ou encore l'entêtement lié aux coûts irrécupérables (le fait de se dire que si on a fait tout ça il fallait bien que ce soit pour quelque chose, parce que c'est trop horrible d'imaginer qu'on a confiné pour rien — je pense qu'il y a beaucoup de gens qui raisonnent sans s'en rendre compte sur ce mode-là).

Voilà, maintenant je répète qu'il ne s'agit pas là pour moi de me défendre (je n'ai pas à le faire) mais d'expliquer comment je contrôle pour moi-même mes propres biais en même temps que je cherche à détecter ceux des autres.

Maintenant je ne veux pas non plus donner l'impression de prétendre que mon opinion sur le sujet des confinements est « objective » : déjà la question de savoir si les confinements ont un effet est assez mal posée, mais savoir s'ils font plus de bien que de mal est évidemment une question qui repose sur énormément de subjectivité dans la fonction d'évaluation de ce qui est « bien » ou « mal » : il va de soi que si on considère que la seule chose qui compte est de minimiser le nombre de morts covid on aura un jugement d'ensemble différent de si on considère que le confinement est une forme d'emprisonnement qui bafoue gravement les droits fondamentaux.

Il me semble donc pertinent de considérer la question comme une question de société clivante comme celles qui divisent la droite et la gauche en politique, au sens où il n'y aura pas de réponse objective ou scientifique ultime, mais ça n'interdit pas pour autant le débat dans lequel chacun défend son opinion, et bien sûr, même s'il n'y aura pas de réponse objective à quelque chose comme la gauche vaut-elle mieux que la droite ? ou les confinements font-ils plus de mal que de bien ? il y en aura à certaines questions évoquées au cours du débat (ne serait-ce que si on ne fait rien, à telle date il y aura tant de morts), et bien sûr on peut toujours chercher à combattre ses propres biais ou ceux des autres (comme l'idée d'être un millionnaire temporairement dans l'embarras). Attention, en faisant un parallélisme avec l'axe gauche-droite je ne prétends pas, et je pense même tout le contraire, qu'il serait plutôt de gauche ou plutôt de droite d'être favorable aux confinements : ce sont des questions tout à fait orthogonales, et si on peut argumenter selon les principes de telle ou telle opinion politique (par exemple en disant que les confinements ont causé énormément d'injustice sociale ou ont fait énormément de mal à la prospérité économique du pays), je crois complètement stupide l'idée selon laquelle si on est de gauche on doit être favorable aux confinements (je prends cet exemple parce que c'est surtout ça que j'ai tendance à entendre).

C'est notamment pour ces raisons que je tiens à utiliser le terme confinementisme : qu'on soit d'accord avec sur le fond ou pas, il faut reconnaître que le confinementisme (et sa forme la plus extrême, le zéro covid) est une idéologie et pas une conclusion scientifique. Je n'ai rien contre le fait qu'on exprime des opinions idéologiques (même si, quand elles se proposent d'emprisonner des dizaines de millions de personnes, je me sens fondé à les combattre avec la plus grande force), mais ce que je rejette le plus fortement, c'est qu'elles tentent de passer pour un consensus scientifique, une sorte de conclusion objective à laquelle serait arrivés des savants dénués de tout biais. Donc, qu'on s'interroge sur mes biais à moi et sur leur origine est légitime, mais à condition d'enquêter tout aussi scrupuleusement sur ceux des personnes qui tiennent l'idéologie contraire.

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