David Madore's WebLog: Le blues de la correction de copies

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(jeudi)

Le blues de la correction de copies

Un des cours que je donne maintenant depuis plusieurs années à Télécom est un cours de bases d'algèbre pour la crypto (dans le cadre d'un master de sécurité des systèmes informatiques et des réseaux). C'est un cours qui me plaît bien parce que je peux l'organiser assez librement. Il s'agit essentiellement de traiter un tout petit peu d'arithmétique, les anneaux ℤ/mℤ, le théorème chinois, les éléments primitifs, et la notion de corps fini (pour ceux qui veulent voir les détails, mes notes de cours sont ).

Ce qui me déprime toujours, en revanche, c'est de corriger des copies. Surtout pour un cours où je me suis peut-être personnellement plus engagé.

Ce n'est pas pareil qu'un oral : quand je fais passer un oral (par exemple quand je faisais passer des épreuves de TIPE pour le concours des ENS, ce que j'ai fait pendant quatre ans), j'ai toujours la démarche d'essayer de sauver le candidat, de lui tendre des perches pour rattraper ses erreurs. Ce ne serait peut-être pas l'attitude attendue d'un examinateur pour un oral de concours en général, mais pour les TIPE ça marche assez bien, et pour un oral de rattrapage c'est évidemment mieux. Toujours est-il que je ne supporte pas de voir les gens se planter, alors j'essaie toujours d'aider, et j'arrive à rester très aimable même face aux pires énormités. (Par exemple une fois un candidat aux ENS nous a démontré qu'il ne connaissait pas le théorème de Pythagore, et là mon collègue a quitté la salle parce qu'il n'arrivait plus à retenir son fou-rire alors que moi je continuais à essayer de le sauver.) Ce qui ne veut pas dire que je note de façon spécialement généreuse, et de toute façon aux concours on impose la moyenne et l'écart-type, mais je ne suis jamais cassant.

Pour un écrit, c'est très différent. Les énormités sont couchées sur le papier, il n'y a pas de dialogue possible avec le candidat, aucun moyen de le sauver de ce qu'il a fait. Et c'est extrêmement éprouvant pour mes nerfs. Du coup, paradoxalement, j'ai tendance à surnoter, parce que j'ai tendance à faire tout ce que je peux pour dénicher un petit bout de truc juste dans une question à quoi je pourrais mettre une fraction des points, histoire de me consoler un peu.

Et si c'est moi qui rédige le sujet (ce qui est le cas pour ce cours), je fais tous les efforts possibles pour qu'il n'y ait pas de chausse-trape. Je ne veux pas dire que je ne pose pas de question piège, à l'écrit comme à l'oral ça m'arrive : mais je prends spécialement garde à ce qu'une erreur à une telle question ne puisse pas compromettre la suite, ni même causer de confusion. Je fais toujours très attention, et ce quand j'écris des maths en général, à ce qu'il n'y ait aucune ambiguïté, et souvent j'écris les choses de façon redondante pour plus de sécurité (du style soit A=ℤ/mℤ l'anneau des entiers modulo m, histoire d'avoir à la fois la notation et la version en toutes lettres). Je veille à ce que ne pas savoir répondre à la question N n'interdise pas de continuer l'épreuve. Etc. Bref, quand j'ai fini de rédiger l'épreuve, elle me semble tellement invraisemblablement facile que je ne comprends pas où la moindre difficulté peut encore se cacher (en l'occurrence, vous pouvez voir l'épreuve et son corrige si vous voulez les détails). Et chaque fois c'est la même chose, quand les copies arrivent, c'est un dur retour à la réalité.

Prenons un exemple précis. Je leur fais démontrer — via différentes étapes intermédiares — à la question (2) d'un certain exercice que x36≡1 modulo 247 pour tout x premier avec 247=13×19 ; je leur demande à la question (4) de comparer ce résultat avec un théorème du cours (en l'occurrence un théorème d'Euler, qui affirme que x216≡1 pour ces mêmes x puisque φ(247)=216) et de commenter (l'affirmation x36≡1 est plus forte puisque x216=(x36)6) ; un peu plus loin, à la question (7), je leur fais observer que certain x est effectivement d'ordre 36 et pas moins, et je demande de conclure quel est l'ordre multiplicatif maximal possible d'un élément inversible de ℤ/247ℤ (=un entier premier avec 247, vu modulo 247). Je n'avais même pas pensé que cette question pouvait poser une difficulté : or, même parmi ceux qui ont su répondre correctement à tout ce qui précède (que x36≡1 modulo 247, que ceci est plus fort que le théorème d'Euler qui dit en l'occurrence que x216≡1, et qu'il existe bien x d'ordre exactement 36), tous trouvent quand même le moyen de dire l'ordre maximal est 216 d'après le théorème d'Euler qui affirme que x216≡1. Certains ajoutent même l'injure à la blessure en précisant : un tel élément s'appelle un élément primitif. Bouh hou hou.

Qu'on me comprenne : ce n'est pas que l'erreur est énorme : c'est autrement plus grave, sans doute, d'arriver à passer un concours de fin de prépa scientifique sans savoir que si AB²+BC²=AC² alors le triangle ABC est rectangle en B (d'accord, d'accord, ce n'est pas le théorème de Pythagore que ce candidat ne savait pas, c'était sa réciproque). Si je devais faire un recueil des énormités que je trouve dans les copies, l'exemple du paragraphe précédent ne mériterait même pas d'y figurer. Mais ça me fait mal parce que c'est le genre d'erreur qui ne fait pas dire que c'est l'étudiant qui est nul — c'est le genre d'erreur qui fait dire que c'est l'enseignant qui l'est. En tout cas, en lisant ça, je me dis que j'ai doublement failli : j'ai failli parce que je n'ai pas su expliquer ce qu'est l'ordre d'un élément (et que je n'ai pas assez répété que ce n'est pas parce que xn=1 que x est d'ordre n, seulement qu'il est d'ordre divisant n, et que non, le théorème d'Euler n'affirme pas qu'il existe des éléments d'ordre φ(m), il donne seulement une borne en divisibilité). Et j'ai failli en ne comprenant même pas qu'il y avait quelque chose à ne pas comprendre.

Or c'est ça la chose la plus subtile que doit faire un enseignant : comprendre comment on peut ne pas comprendre quelque chose, comprendre toutes les façons de ne pas comprendre, et les anticiper.

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