Dans l'esprit des énigmes de combinatoire cybernétique que j'avais déjà posées, celle-ci est particulièrement étrange et étonnante (je la décris donc de façon très détaillée et verbeuse, pour qu'il n'y ait aucun doute sur les termes de l'épreuve) :
Le cruel Docteur No a capturé 100 mathématiciens pour les soumettre à une épreuve démoniaque. Il dispose dans une pièce de son bateau d'une infinité (dénombrable) de boîtes, étiquetées par les entiers naturels (0,1,2,3,…), contenant chacune un nombre (disons un nombre réel pour fixer les idées, même si des naturels marcheraient tout aussi bien : en tout cas, il n'y a aucune contrainte sur la suite de nombres ainsi formée) ; il est évidemment impossible de connaître le contenu d'une boîte sans l'ouvrir. Après avoir permis aux mathématiciens de se concerter, il va les soumettre à son épreuve dont il leur communique les termes : il empêchera toute communication entre eux et les emmènera chacun, dans un certain ordre, dans la pièce où se trouvent les boîtes.
Lorsqu'un mathématicien est dans la pièce, il pourra ouvrir les boîtes qu'il souhaite pour en examiner le contenu, y compris une infinité d'entre elles (en fonction éventuellement des nombres lus dans les boîtes déjà ouvertes) ; il devra cependant laisser au moins une boîte sans l'ouvrir, et faire une prédiction sur le contenu exact d'une boîte qu'il n'aura pas ouverte. (Entre les passages de deux mathématiciens, les boîtes sont bien sûr refermées, puisque les mathématiciens ne doivent disposer d'aucun moyen de communication ; ou, si on préfère, on peut imaginer qu'il y a 100 pièces différentes contenant chacune une copie identique de la même suite de nombres, et que tous les passages ont lieu simultanément : c'est équivalent.)
Au final, les 100 mathématiciens auront chacun fait une prédiction sur le contenu d'une boîte sans en avoir regardé le contenu. (Les mathématiciens ont le droit de faire des prédictions sur des boîtes différentes les uns des autres, ou sur la même.) Le Docteur No tolérera une seule erreur parmi ces prédictions : si au moins 99 des 100 mathématiciens ont donné exactement le bon nombre pour la boîte qu'ils ont désignée, alors le Docteur No les libérera tous. Si deux mathématiciens ou plus se sont trompés, alors le Docteur No tuera tous les mathématiciens avec ses tortures particulièrement raffinées.
Comment les mathématiciens font-ils pour être certains d'être tous libérés ?
La raison pour laquelle l'énigme semble (si on essaie d'y réfléchir) impossible à résoudre, c'est bien sûr qu'ouvrir des boîtes autres que celle sur laquelle on va faire la prédiction n'apporte aucune information sur cette dernière (puisque le Docteur No a le droit d'avoir rempli les boîtes absolumnet comme il le veut !), et on ne voit pas ce que peut apporter le fait qu'il y ait 100 mathématiciens, puisqu'ils ne communiquent pas du tout entre eux ; certes, on a droit à une erreur, mais on voit mal comment exploiter ce droit.
Je vais donc donner trois indications (cachées ci-dessous : cliquez sur les liens qui suivent pour les dévoiler) : la première est mathématique et devrait clarifier ce qu'on s'autorise à faire d'une infinité de nombres. La seconde indication est une nouvelle énigme, beaucoup plus simple (mais qui peut éventuellement être intéressante en elle-même, notamment pour les gens qui n'aiment pas les infinis), censée démystifier comment utiliser le droit à faire une erreur. Les deux ensemble devraient rendre claire la façon dont on peut prédire quelque chose sur une boîte sans l'avoir ouverte. (Attention cependant, il est possible que ma seconde indication, prise seule, mette sur une fausse piste.) Enfin, la troisième indication propose le mode opératoire. Les trois indications mises ensemble devraient rendre la solution assez évidente. Au lecteur de choisir quelle(s) indication(s) il souhaite ouvrir pour en lire le contenu !
Première indication : On peut considérer la relation d'équivalence ∼ sur les suites de nombres qui est définie en convenant que u∼v lorsque les suites u et v coïncident après un nombre fini de termes : si on appelle C un ensemble qui contient un représentant et un seul de chaque classe d'équivalence (un tel ensemble existe grâce à l'axiome du choix, auquel nos mathématiciens n'hésitent pas à avoir recours !), alors par définition toute suite de nombres u coïncide, à partir d'un certain rang n, avec un unique élément v de C — donc si on connaît les éléments de u à partir de N≥n, on peut se servir de C pour « prédire » les éléments entre n et N.
Deuxième indication : Dans une variante plus facile de l'énigme, le Docteur No a non plus une infinité de boîtes, mais seulement 100 (autant que de mathématiciens), chaque mathématicien pourra toujours en ouvrir autant qu'il le souhaite mais devra en laisser (au moins) une fermée, et on demande non plus aux mathématiciens de prédire le contenu exact d'une boîte non ouverte mais seulement de le majorer, c'est-à-dire, de dire qu'il sera inférieur à tant (et, de nouveau, les mathématiciens ont collectivement droit à une unique erreur). Comment les mathématiciens font-ils pour faire des majorations toutes correctes sauf au plus une ?
Troisième indication : On peut diviser la suite infinie de boîtes en 100 suites infinies de boîtes, chaque mathématicien peut ouvrir la totalité des boîtes de 99 de ces 100 suites pour les examiner, puis enfin toutes les boîtes de la dernière suite sauf un nombre fini judicieusement choisi d'après l'observation des autres suites.
[Ajout : voir une entrée ultérieure pour des éclaircissements sur le sens des règles.]
[Ajout ultérieur () : voir cette question de 2013 sur MathOverflow pour une discussion.]