Comments on Le Spectre d'Atacama — et quelques spectres de groupes de Lie à écouter

ooten (2018-07-14T18:58:55Z)

A propos d'Alain Connes, il y avait ce matin la diffusion sur France Culture de l'émission La conversation scientifique : <URL: https://www.franceculture.fr/emissions/la-conversation-scientifique/les-mathematiques-font-elles-partie-du-monde-reel-0 >. Cela m'a vraiment intéressé, il parle notamment du roman dont il est l'un des co-auteurs, Le Spectre d'Atacama et de sa passion pour la musique. Mais pour ma part ce qui m'a le plus intéressé c'est son propos sur ses les maths.
Là où je ne suis pas du tout convaincu c'est l'analogie qu'il y aurait entre de la bonne musique et des bonnes mathématiques, je ne vois absolument pas où elle est ! Comment capturer l'essence une belle mélodie, harmonie ou rythmique en mathématiques ? Je ne vois pas du tout.

jonas (2018-07-13T15:59:43Z)

> d'une physicienne […] qui a acquis la conscience quantique de vivre dans un espace de Hilbert et des capacités transhumaines

That sentence reminds me of Mitch, the four-dimensional man from Sam512's Fine structure series <URL: https://qntm.org/structure >.

fakbill (2018-06-22T16:00:40Z)

@Ruxor
"Mais personnellement, une superposition de fréquences à √2 ou au nombre d'or ne me paraît pas spécialement dissonante".
C'est probablement car tu n'as pas de timbre.
Deux notes séparées d'un triton, jouées sur des instruments reels, ne sembleront consonnantes à personne, personne qui a baigné dans la musique tonale.

La perception d'un intervale ou meme d'un accord depend aussi beaucoup du contexte. Un accord clairement dissonant quand il est isolé peut très bien passer dans le contexte d'une transition entre deux tonalities. C'est tout l'art de la tension/resolution (et de la correction auto en anglais qui me fait ch***).

Pour ce qui est des percu, pas mal de gens avec une oreille absolue vont te dire qu'un son de cloche (ou d'un percu qq) est un merdier sans nom plus qu'une note precise.

Ruxor (2018-06-22T11:32:33Z)

@SM: Pour un spectre généré de façon poissonnienne, le tout serait d'ajuster les paramètres du processus de Poisson… je n'ai pas vraiment envie de jouer à fitter jusqu'à savoir si oui ou non on entend la différence, mais je suis près à croire que le fait d'avoir des racines carrées d'entiers ne joue pas de façon cruciale, et ne s'entend pas à l'oreille.

En fait, c'est assez bizarre quand on y pense. La notion d'harmonique en musique c'est vraiment des rapports entiers (ou par extrapolation, rationnels de petite hauteur) entre les fréquences. Un rapport comme √2 non seulement n'est pas considéré comme consonant mais est même considéré comme affreusement dissonant (triton ou « diabolus in musica », cf. <URL: http://en.wikipedia.org/wiki/Tritone >). Mais personnellement, une superposition de fréquences à √2 ou au nombre d'or ne me paraît pas spécialement dissonante. Et en tout cas, dans le spectre d'objets très symétriques comme la sphère, ce sont vraiment des racines carrées d'entiers qui apparaissent naturellement, comme √3 (ou √2). C'est un peu bizarre, du coup, que ça n'ait pas été codifié.

SM (2018-06-21T22:27:30Z)

Ah oui, en effet, que le paramétrage change de dimension (i.e. que les multiplicités s'évanouissent assez drastiquement) doit avoir un impact audible, merci beaucoup ! Je parle pour ellipsoïde vs sphère.

Et t'as une idée pour la piste sphère vs processus de Poisson ? Si la question t'intéresse bien sûr. Là, la question serait plus de savoir si on entend que y a un objet rigide qui se cache derrière, et pas juste "ouais, bon, y a un spectre paramétré de façon unidimensionnelle".

Dans ma tête, ce que l'oreille entend est d'une part de façon un peu grossière la hauteur des différentes notes, et d'autre part à quel point les paires de notes ont des fréquences en rapport proche d'une fraction simple (plus la fraction est simple, plus ça sonne harmonieux).

DH (2018-06-21T20:23:12Z)

Disons que ça m'est venu parce que c'est la façon naturelle de "peupler" les niveaux d'énergie à l'équilibre thermodynamique (ça définit T en quelque sorte). Après, pour la relation énergie/fréquence, je voyais plus l'énergie comme la "valeur propre" de ton équation d'onde pour une solution de fréquence donnée (si la fréquence ne produit pas de valeur propre bien définie, elle ne "résonne" pas et ne fait pas partie du spectre). Si tant est que ça a un sens dans ton contexte, j'ai lu en diagonale (et connais trop peu les groupes de Lie pour parler autrement que par analogie avec les membranes vibrantes en dimension 1 ou 2…)

Ruxor (2018-06-21T07:28:17Z)

@DH: Merci pour ce commentaire, qui me permet d'y voir plus clair. Le fait que tu proposes g(E)·exp(−E/T) m'intéresse. Déjà, je suis content que ce soit la dégénérescence/multiplicité g(E) qui intervienne (et pas son carré ou sa racine carrée), parce que j'ai pas mal hésité là-dessus, je m'étais convaincu de plusieurs manières que g(E) était effectivement le plus naturel, mais pour des raisons ayant à voir avec la transformée de Fourier d'un Dirac, donc si tu as une raison physicienne de faire apparaître ce même facteur, c'est bien. Pour ce qui est de exp(−E/T), si on est bien d'accord que l'énergie E c'est la fréquence (et pas le carré de la fréquence !), j'avais hésité entre un facteur de cette forme et de la forme exp(−(E/U)²) qui est essentiellement ce que j'ai utilisé (où U est un autre paramètre ayant aussi la dimension d'une fréquence) : la justification du exp(−(E/U)²) est que ça correspond à la transformée de Fourier de la gaussienne (en supposant que le choc initial est, en un certain sens, gaussien). Mettre exp(−E/T) reviendrait à faire un choc initial en 1/(1+x²). Je trouve très intéressant qu'on puisse trouver une sorte de justification à une décroissance en exp(−E/T) et aussi à une décroissance en exp(−(E/U)²)… Il faut que j'y réfléchisse plus. Après, il y a aussi la question de la décroissance qu'on impose avec le temps.

@Bob: Ah oui, effectivement, dit comme ça, je suis d'accord que c'est troublant. À vrai dire, je n'ai vraiment pas une bonne intuition sur la notion de rang sur les espaces symétriques (ou sur ce que c'est que le « système de racines restreint » dont le rang est, justement, le rang) ; la vague intuition que j'en ai, c'est que c'est le nombre de paramètres qu'il faut se donner pour spécifier la position relative de deux points sur l'espace symétrique (et notamment, rang 1 = le seul paramètre est la distance = l'espace est deux-points-homogène). Mais en fait l'espèce de paradoxe que tu signales est déjà présent sur les groupes de Lie : pourquoi est-ce que SO(8) et SO(9) ont tous les deux le même rang (4) ? Je sais que c'est parce qu'en dimensions 8 et 9 il faut se donner quatre angles pour spécifier une rotation à conjugaison près (ou encore, qu'on peut trouver quatre rotations indépendantes à un paramètre qui commutent et pas plus ; cf. aussi <URL: http://www.madore.org/~david/weblog/d.2012-02-14.2001.html#d.2012-02-14.2001 >), mais ça reste assez surprenant et difficile à visualiser.

Bob (2018-06-20T22:23:28Z)

@DH : Je pense que dans le cas d'un groupe, justement le son ne dépend pas de l'endroit où l'on tape. Et il est naturel de laisser le groupe vibrer entièrement sans contrainte, comme s'il flottait en apesanteur.

@David : Merci pour l'explication, je n'avais pas réalisé cette histoire de rang 1. J'utilise fréquemment les groupes de Lie, beaucoup plus rarement les espaces symétriques, et du coup je manque d'intuition à leur sujet. Je sais qu'il faut résister à la tentation d'associer rang et dimension, mais je ne peux pas m'empêcher de trouver troublant que SO(3) soit de rang 1 et SO(3)/SO(2) aussi !

DH (2018-06-20T11:28:13Z)

Pour le poids des différentes harmoniques, quid de exp(-E/T)*g(E), où g est la dégénerences du niveau d'énergie (ce que tu appelles multiplicité), E l'énergie associée, et T la "température".
De fait, dans les équations d'onde ordinaires, ce sont les conditions aux limites qui déterminent le poids des harmoniques : tout dépend donc de où tu tapes dans ton groupe, et de par où tu le tiens fixe (ou libre)…

Nick Mandatory (2018-06-20T10:00:43Z)

Question d'un ignorant en physique : si je fabrique une sphère épaissie (mais de petite épaisseur) et que je tape dessus (i) comment le spectre du son produit dépend des détails de la construction (matériau ? épaisseur ?) (ii) quel est le rapport entre ce spectre et le spectre du laplacien sur la sphère ?

Ruxor (2018-06-19T21:31:52Z)

@Bob: Disons que la 2-sphère a un son de cloche, et que je pense que ce qu'on entend surtout c'est la densité des harmoniques, qui n'est pas substantiellement différente pour la 3-sphère : ce sont des espaces riemmanniens symétriques de « rang 1 », ce qui veut dire essentiellement que le spectre est une famille à un seul paramètre (et donc, concrètement, qu'il n'y aura pas trop d'harmoniques dans l'intervalle audible).

À ce sujet, je voulais produire des sons pour toute une collection de grassmanniennes, mais je me suis rendu compte que je ne savais pas calculer le spectre des grassmanniennes (j'ai trouvé un article de Knapp qui est je crois censé donner la solution, mais je n'ai pas eu le temps de le décortiquer).

@SM: Ah mais je ne sais pas calculer le spectre d'un ellipsoïde, moi ! Mais mon pipotron suggère que ce sera en effet significativement différent d'une sphère, parce que pour une sphère, la symétrie axiale fait que les harmoniques dépendent, essentiellement, d'un seul paramètre (cf. ma réponse à Bob), alors que pour un ellipsoïde, je suppose qu'il y en a beaucoup plus (avec, en contrepartie, moins de multiplicité).

@Touriste: Oui, c'est bien ce Dixmier-là, qui était d'ailleurs le directeur de thèse de Connes.

Touriste (2018-06-19T19:52:34Z)

Le nom de Dixmier, qui m'a surpris, m'a invité à vérifier. Me suis-je abusé ? Le livre est bien de 2018 et son troisième auteur de 1924 ? C'est assez impressionnant.

SM (2018-06-19T14:45:48Z)

"au moins les sons sont intéressants et, pour une fois, pas du tout désagréables à écouter"

Cool, t'as réussi à passer la visualisation du côté auditif ! Enfin… ces sons sont-ils plus harmonieux que si tu prends pour "spectre" un processus de Poisson ? Ou à défaut que ce soit plus ou moins harmonieux, l'oreille distingue-t-elle l'aléatoire pur de la pure rigidité des groupes ? Entre un ellipsoïde et une sphère, entend-on qu'un des deux sons est plus symétrique, moins arbitraire ? Bien sûr, faire ça en double sourd.

Bob (2018-06-19T12:22:38Z)

Était-il évident a priori que la 3-sphère ait un son de cloche ?