David Madore's WebLog: Le Spectre d'Atacama — et quelques spectres de groupes de Lie à écouter

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(lundi)

Le Spectre d'Atacama — et quelques spectres de groupes de Lie à écouter

(La première partie de cette entrée parle d'un roman qui parle de maths, la second parle de maths vaguement inspirées par le roman en question : à part cette proximité d'idées, il n'y a pas vraiment de rapport entre elles. Si les maths vous ennuient, à la fin, il y a des sons bizarres à écouter.)

Je viens de finir de lire le livre Le Spectre d'Atacama d'Alain Connes, Danye Chéreau et Jacques Dixmier, et j'avoue que je ne sais pas bien ce que j'en ai pensé. Pour commencer, c'est un livre assez difficilement classable : une sorte de mélange entre roman de science-fiction, fantaisie poétique, vulgarisation scientifique, plaidoyer sur l'intelligence artificielle, conte philosophique, récit picaresque et transposition en fiction de cet essai sur l'hypothèse de Riemann. Chacun des ingrédients me plaît a priori, et j'aime beaucoup l'idée de faire de la fiction à partir de la science, y compris de façon un peu poétique ; mais je trouve le mélange trop peu homogène… disons qu'il y a des grumeaux.

Le style est souvent un peu faible, mais ça ne me gêne pas tant que ça ; ce qui me gêne nettement plus, en revanche, c'est que l'intrigue part tellement dans tous les sens, accumule tellement d'invraisemblances et de rebondissements en apparence gratuits que ma suspension d'incrédulité, à force d'être tellement secouée, finit par lâcher complètement le coup. Parfois le roman devient didactique, parfois il est humoristique, parfois encore onirique, mais il y a trop de moments où on ne sait pas vraiment à quel degré le lire. L'idée de départ est bonne : un astrophysicien travaillant au réseau d'antennes de l'Atacama détecte un spectre d'absorption qui l'intrigue et fait appel à un ami mathématicien (de l'IHÉS…) pour essayer de le comprendre. Il y a aussi quelques tableaux du milieu académique qui sont plutôt réussis. Mais rapidement, et quitte à divulgâcher jusqu'à la fin de ce paragraphe, il est question d'une physicienne qui a volontairement passé son cerveau dans le rayon du LHC et qui a acquis la conscience quantique de vivre dans un espace de Hilbert et des capacités transhumaines mais seulement quand elle est à proximité d'un certain ordinateur : et là, je trouve que c'est vraiment un peu trop ; en plus de ça, le mathématicien part dans un périple dont on ne comprend pas vraiment le sens, qui l'emmène à Valparaiso puis sur une île perdue au milieu de nulle part puis à Sainte-Hélène, et tout ça ne sert pas vraiment l'intrigue. Et quand il est question d'ordinateurs, on sent que les auteurs ne sont pas du tout dans leur élément.

Ceci étant, je pense que c'est un ouvrage intéressant sur le plan de la communication scientifique : pas tellement d'idées scientifiques (il y a un peu de vulgarisation, mais ce n'est certainement pas l'objet principal du livre, et elle est plutôt light), mais de l'amour de la science et — et c'est important — des liens qui relient mathématiques, physique et informatique, et aussi du fait que la science « dure » peut avoir des aspects poétiques. Sur ce plan-là, je dirais que c'est plutôt une réussite. Peut-être finalement que ce roman, qui ne présuppose pas de connaissances scientifiques ou mathématiques, plaira plus à ceux qui justement l'abordent sans a priori.

J'en viens à des maths : la lecture du roman décrit ci-dessus m'a au moins convaincu (ou rappelé) que « les spectres » c'est important et intéressant. Je sais bien, pour avoir souvent entendu des gens le dire, que le spectre du laplacien (sur une variété riemannienne, disons), par exemple, c'est archi-super-important, mais j'avoue que je ne sais essentiellement rien de ce qu'il y a à dire, justement, sur ce spectre du laplacien, même dans des cas idiots (compacts, agréablement symétriques, tout ça tout ça).

En guise d'exercice, je me suis dit que j'allais calculer le spectre du laplacien pour des groupes de Lie compacts G (ou éventuellement des espaces homogènes G/H, par exemple des espaces riemanniens symétriques ou bien des R-espaces (variétés de drapeaux réelles), choses que je confonds d'ailleurs trop facilement[#]).

[#] Digression : Les espaces riemanniens symétriques irréductibles de type compact et simplement connexes sont (les groupes de Lie compacts simples simplement connexes eux-mêmes ainsi que) les quotients G/KG est un groupe de Lie compact simple simplement connexe et K le sous-groupe compact connexe maximal d'une forme réelle G₀ de G (par exemple, la sphère de dimension n est Spin(n+1)/Spin(n) où Spin(n) est le compact connexe maximal de la forme Spin(n,1) de Spin(n+1)), et on peut aussi voir K comme les points fixes d'une involution de G qui correspond à l'involution de Cartan définissant G₀ ; j'ai certainement commis quelques erreurs en disant ça (notamment dans la connexité et la simple connexité), mais l'idée générale doit être à peu près ce que j'ai dit. Les R-espaces, eux, s'obtiennent sous la forme G₁/PP est un parabolique d'un groupe de Lie réel semisimple G₁, qu'on peut aussi voir comme G/(GP) où G est un sous-groupe compact connexe maximal de G₁ et GP un sous-groupe compact maximal (du facteur de Levi) de P (par exemple, l'espace projectif réel dimension n est défini par le quotient de SL(n+1,ℝ) par son parabolique maximal associé à la première racine simple, i.e., les matrices dont la première colonne n'a que des zéros à partir de la deuxième ligne, et on peut le voir comme le quotient SO(n+1)/S(O(n)×O(1)) du sous-groupe compact connexe maximal SO(n+1) de SL(n+1,ℝ)) ; de nouveau, j'ai certainement commis quelques erreurs en disant ça, mais l'idée générale doit être ça. Je n'ai jamais vraiment compris « pourquoi » il y avait ces deux types de quotients très importants des groupes de Lie réels compacts, comment il faut y penser, par exemple du point de vue de l'analyse harmonique, et, de façon encore plus perturbante, pourquoi certains espaces peuvent se voir à la fois comme un espace riemannien symétrique et comme un R-espace (ou presque : cf. l'exemple que je viens de donner de la sphère et de l'espace projectif réel). Si quelqu'un a des éléments de réponse à m'apporter ou simplement des références où ces deux types de quotients sont discutés côte à côte de manière à me désembrouiller, ça m'intéresse ! (J'ai regardé l'article Geometry of Symmetric R-spaces de Tanaka, et j'ai eu l'impression de comprendre encore moins bien et de confondre encore plus après sa lecture.)

Mais aussi, j'avais (peut-être même que j'ai encore) vaguement l'espoir que des spectres intéressants, comme le spectre du laplacien sur tel ou tel espace bien sympathique, pourrait conduire à des sons harmonieux et donc répondre à ma question de trouver un objet mathématique qui s'« auditorise » de façon intéressante et agréable (plutôt que de se « visualiser ») ; dans cet ordre d'idées j'avais bien produit ceci, mais ce n'était pas du tout agréable à écouter et la construction de ces sons n'était pas franchement des plus naturelles.

L'idée générale, cette fois-ci, est qu'une fois connu le spectre du laplacien on peut s'en servir pour résoudre l'équation des ondes et obtenir les fréquences des vibrations propres de l'objet considéré (comme les racines carrées des opposées des valeurs propres du laplacien). Et donc produire des sons qui correspondraient à la manière dont « vibre » l'objet considéré — un groupe de Lie compact G ou un espace homogène G/H — quand, par exemple, on donne un coup dessus.

J'avoue que l'idée de taper un groupe de Lie pour voir comment il résonne me plaît énormément. (Et si j'en crois la lecture du Spectre d'Atacama, ça a aussi des chances de plaire à Connes et/ou Dixmier.)

Bref. Du peu que je sais de l'analyse harmonique sur les groupes de Lie et du théorème de Peter-Weyl, et si je comprends bien que le Casimir fournit la valeur du laplacien sur ce qui correspond à chaque représentation irréductible, le spectre du laplacien sur un groupe de Lie compact G est donné, à un facteur multiplicatif près (essentiellement arbitraire(?), mais négatif), par l'ensemble des valeurs C(v) := ⟨v,v+2ρ⟩ où v parcourt le réseau des poids dominants pour G. (Si tout ceci est du chinois pour vous, ce n'est pas très important, mais l'idée est qu'à G est associé un réseau euclidien appelé le « réseau des poids » et un cône polyédral de sommet l'origine dans cet espace euclidien appelé la « chambre de Weyl », auquel appartient le vecteur ρ dit « vecteur de Weyl », et les poids dominants sont les éléments de la chambre de Weyl ; chaque tel v, ou plus exactement le « caractère » χv associé, peut se concevoir comme un mode propre — un mode de vibration, si on veut — du groupe G, et la valeur du Casimir C(v) := ⟨v,v+2ρ⟩, est essentiellement l'opposé de la valeur propre du laplacien dont le vecteur propre est le caractère : Δχv = −C(vχv pour une certaine normalisation de Δ. S'il y a dans l'assistance des gens qui s'y connaissent en analyse harmonique et qui pourraient confirmer que j'ai bien compris, et peut-être même recommander un endroit où ce que je viens de dire serait écrit noir sur blanc sous cette forme y compris avec la valeur du Casimir, je leur serais reconnaissant.) Par exemple, pour les groupes de rang 2 : pour A₂ (i.e., SU₃), je trouve des valeurs (proportionnelles à) 8/3, 6, 20/3, 32/3, 12, 16, 50/3, 56/3, 68/3, 24, 80/3, 30… (où seules celles qui sont entières sont possibles pour la forme adjointe PSU₃) ; pour B₂ (i.e., Spin₅), je trouve 5/2, 4, 6, 15/2, 10, 21/2, 12, 29/2, 16, 35/2, 18, 20… (où seules celles que j'ai soulignées sont possibles pour la forme adjointe SO₅) ; et pour G₂, je trouve 12, 24, 28, 42, 48, 60, 64, 72, 84, 90, 100, 108… ; et sinon, pour F₄ : 12, 18, 24, 26, 32, 36, 39, 40, 42, 46, 48, 52… ; et vous devinez évidemment j'ai fait le calcul pour E₈ : 60, 96, 120, 124, 144, 160, 180, 186, 192, 196, 200, 210…

Et pour les espaces homogènes G/H, il doit s'agir de se limiter aux plus hauts poids v qui définissent des représentations de G dont la restriction à H a des points fixes (ou, ce qui revient au même par réciprocité de Frobenius, des représentations qui apparaissent dans l'induite à G de la représentation triviale de H, mais je ne suis pas si ça aide de le dire comme ça). J'arrive (mais laborieusement) à faire les calculs sur des cas particuliers en utilisant l'implémentation des règles de branchement dans Sage. Par exemple, le spectre de G₂/SO₄ (l'espace des sous-algèbres de quaternions dans les octonions) semble être : 28, 60, 72, 112, 132, 168, 180, 208, 244, 264, 300, 324… Mais je comprends trop mal les règles de branchement pour savoir s'il faut chercher une logique d'ensemble ou ce à quoi elle ressemblerait (sur les coordonnées de v dans la base des poids fondamentaux ; ce n'est même pas clair pour moi les v en question forment un sous-réseau du réseau des poids ou quel est son rang). Ajout () : À la réflexion, pour les espaces riemanniens symétriques, je crois que je comprends au moins à peu près la situation (tout est dans la notion de système de racines restreintes) ; je crois même que tout est dit dans le chapitre V (par ex., théorème V.4.1) du livre de 1984 de Sigurður Helgason (Groups and Geometric Analysis), même si j'ai vraiment du mal à le lire ; je crois bien que le rang du réseau des poids v tels que la restriction à H ait des points fixes non triviaux coïncide avec le rang de l'espace symétrique G/H, même si j'aimerais bien voir ça écrit noir sur blanc.

Une chose qui m'étonne beaucoup est que ces suites ne semblent pas être dans l'OEIS. Tout le monde parle de l'importance du spectre du laplacien et personne n'a pris la peine de mettre le résultat, pour les cas les plus évidents que sont les groupes de Lie compacts, dans l'OEIS ‽ Comment est-ce possible ‽ J'hésite cependant à les soumettre moi-même parce que, à vrai dire, je ne suis pas très sûr de bien comprendre ce que je fais. (Et, entre autres choses, je ne sais pas du tout si les valeurs que j'ai listées ci-dessus ont un sens dans l'absolu ou seulement à proportionalité près. La valeur du Casimir semble dépendre d'une normalisation un peu arbitraire sur la longueur des racines ou quelque chose comme ça, et du coup je ne sais pas bien quoi prendre ou quoi soumettre.)

Pour ce qui est de produire des sons à partir de ça, il y a un autre truc sur lequel je n'ai pas des idées claires, c'est quelles amplitudes relatives il serait logique d'utiliser pour ces différentes harmoniques. Si on donne un coup de marteau sur le groupe de Lie G₂ (mais pas assez fort pour le casser !), il va peut-être résonner à des fréquences proportionnelles aux racines carrées de 12, 24, 28, 42, 48, 60, etc., mais avec quelles amplitudes ? Le problème se pose déjà sur une sphère de dimension 2 (SO₃/SO₂, si on veut) : les valeurs propres du laplacien sphérique sont (proportionnelles à) (+1), donc si on fait vibrer une sphère, elle produit des fréquences proportionnelles à 1, √3, √6, √10, etc., mais une fois ce spectre connu, ça ne donne pas pour autant un son (même si ça peut faire de jolies animations). Un bout de la réponse est fourni par la multiplicité des valeurs propres en question (sur la sphère, par exemple, (+1) a la multiplicité +1 parce qu'il y a ce nombre-là d'harmoniques sphériques de niveau  indépendantes) ; s'agissant d'un groupe de Lie G, les multiplicités sont les carrés N(v)² des dimensions N(v) = χv(1) des représentations irréductibles correspondantes (par exemple, s'agisant de G₂, les valeurs propres avec multiplicité sont (12,7²), (24,14²), (28,27²), (42,64²), (48,77²), (60,77²), etc.). Mais ensuite ? Il me semble que, pour parler abusivement, les « coefficients » de la distribution δ (centrée en 1∈G) sur la base des caractères χv sont les N(v) = χv(1) et qu'il serait donc logique de donner à la fréquence √C(v) une amplitude proportionnelle à N(v)² (si on tape un coup sec et très localisé sur notre groupe de Lie), mais évidemment ceci diverge très méchamment. Je peux régulariser en remplaçant δ par une gaussienne, ce qui doit revenir à multiplier les coefficients par exp(−C(vσ²) avec σ une sorte d'écart-type de la gaussienne, mais le choix de σ est complètement arbitraire dans l'histoire. Bref, je peux produire des sons en superposant des fréquences proportionnelles aux √C(v) avec des amplitudes proportionnelles aux N(v)²·exp(−C(vσ²), mais le son en question dépend de façon énorme de σ. Une autre idée est de faire varier l'amplitude avec le temps pour donner une dissipation aux modes de vibration, par exemple en exp(−C(vt) (inspiré de l'équation de la chaleur).

Pour faire quand même des essais, de façon assez arbitraire, j'ai décidé de faire que l'intensité de la fréquence √C(v) décroisse en exp(−(C(v)/C(v₀))·(1+t/3s)) où v₀ est le poids qui correspond à la représentation adjointe de G (c'est-à-dire, la plus haute racine), et j'ai de même normalisé les fréquences pour que la fréquence de v₀ soit à 440Hz. C'est-à-dire que j'ai superposé des sin(2π·440Hz·(C(v)/C(v₀))·t) · N(v)² · exp(−(C(v)/C(v₀))·(1+t/3s)) où t est le temps et v parcourt les poids de G. Je n'aime pas le côté assez arbitraire de tout ça (et en particulier de mon 1+), donc je suis preneur d'idées plus naturelles, mais au moins les sons sont intéressants et, pour une fois, pas du tout désagréables à écouter.

Ceci n'est qu'une première expérience : j'en ferai sans doute d'autres quand j'aurai des idées plus claires sur ce que je veux faire et ce qui est intéressant, mais en attendant, voici quelques essais de ce que ça peut donner comme son de frapper différents groupes de Lie compacts (calibrés pour que leur représentation adjointe sonne le la à 440Hz) : en rang 1 : A₁ (c'est-à-dire SU₂, qui est vraiment une 3-sphère, je voulais vérifier que ça avait un son de cloche plausible et ça a effectivement un son de cloche vaguement plausible, c'est déjà ça) ; en rang 2 : A₂ (c'est-à-dire SU₃), B₂ (c'est-à-dire Spin₅) et G₂ ; en rang 4 : A₄ (c'est-à-dire SU₅), B₄ (c'est-à-dire Spin₉), C₄ (c'est-à-dire Sp₄), D₄ (c'est-à-dire Spin₈) et F₄ ; et bien sûr : E₆ et E₈. Tous ces fichiers sont du FLAC et chacun dure 6 secondes, si votre navigateur ne les ouvre pas spontanément, téléchargez-les et vous trouverez certainement un truc qui les lit. Tous les groupes que je viens de donner sont la forme simplement connexe, mais j'ai aussi produit des essais pour comparer le son de la forme simplement connexe avec la forme adjointe (laquelle a moins d'harmoniques) : Spin₅ versus SO₅ d'une part, et SU₃ versus PSU₃ de l'autre.

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