David Madore's WebLog: Le problème de l'anniversaire de Cheryl, et les autres du genre

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(mardi)

Le problème de l'anniversaire de Cheryl, et les autres du genre

Il semble qu'il y ait un problème de logique (je ne sais pas s'il faut le qualifier de problème de maths…) posé dans une école à Singapour qui est en train d'avoir un petit côté « viral » sur le Web : il s'agit de déduire la date de naissance de Cheryl à partir d'un petit ensemble de possibilités et d'un dialogue entre deux personnes dont l'une à reçu l'information du mois et l'autre du jour dans le mois (cf. le lien précédent pour les détails). J'avais moi-même concocté, il y a une douzaine d'années, le problème suivant dans ce genre (et ce n'est certainement pas moi qui ai inventé le genre, même si je ne sais plus d'où je tirais l'idée) :

M. Magie dit, je vais secrètement choisir deux entiers entre 2 et 3000, et j'en dirai la somme à Stéphane et le produit à Pierre, et, bien sûr, il le fait. Pierre observe, je ne sais pas quels sont les deurs entiers. Stéphane remarque, ouais, je le savais. Sur quoi Pierre dit, ah ? eh bien maintenant je sais ce qu'ils sont. Et immédiatement Stéphane dit, maintenant moi aussi. M. Magie demande alors à Alice (qui écoutait aussi la conversation), savez-vous quels sont les deux nombres ?, et Alice répond bien sûr que non. Alors M. Magie donne à Alice le plus petit des deux entiers. Et Alice répond, maintenant je sais quel est l'autre.

Quels sont les deux nombres ?

Ce problème est fastidieux à résoudre parce qu'il y a beaucoup de cas à traiter (il faut utiliser un ordinateur) ; je ne sais d'ailleurs plus très bien comment je l'avais produit, mais certainement pas de tête. Mais le raisonnement basique est exactement celui expliqué (de façon assez claire) par le mathématicien Alex Bellos dans la vidéo sur le site de la BBC que j'ai liée un peu plus haut : en fait, ce raisonnement est très simple, il ne se fait qu'à un seul niveau de profondeur, si j'ose dire (c'est-à-dire que chacun tire des conclusions sur ce qu'une autre personne sait, mais on ne va pas plus loin). À la différence du problème des chapeaux de couleur, où il faut raisonner à une profondeur nettement plus élevée, mais où, pour compenser, les cas à traiter sont très limités. Il serait intéressant d'essayer de produire un problème qui combine un peu ces deux difficultés (disons au moins, demande des déductions au niveau de profondeur 2). Et il serait aussi intéressant de voir si et comment on peut résoudre systématiquement ce genre de problèmes (comme je le disais dans l'entrée sur les chapeaux de couleur, je ne vois pas vraiment mieux que d'invoquer la logique modale avec autant de modalités que de personnes, chacune suivant le système S5). J'avoue que je n'ai pas les idées aussi claires que je voudrais.

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