David Madore's WebLog: Les centres (points remarquables) d'un triangle

La première chose est de fixer un système de coordonnées approprié. Il y a deux systèmes assez naturels qui conviennent au triangle A,B,C générique (dont je note comme d'habitude a,b,c les longueurs des côtés BC,AC,AB) :

• les coordonnées barycentriques par rapport aux sommets, (c'est-à-dire que le point de coordonnées (u:v:w) est le barycentre (u·A+v·B+w·C)/(u+v+w)) des sommets affectés des points u, v et w ; et
• les coordonnées trilinéaires par rapport aux côtés (le point de coordonnées (u:v:w) est celui dont les distances algébriques aux côtés BC, AC, AB, sont proportionnelles à u, v, w respectivement).

Ces deux systèmes laissent manifestement un degré de liberté flotter sous la forme d'une proportionnalité globale (c'est-à-dire que le point (u:v:w) est le même que (λu:λv:λw)) : ce sont des systèmes de coordonnées projectives (c'est ce que je rappelle en séparant les coordonnées par un symbole ‘:’ plutôt qu'une virgule). Dans cette optique, ils peuvent se définir par le fait que (1:0:0) est le point A, (0:1:0) est le point B, (0:0:1) est le point C, et, dans le premier système (1:1:1) est le centre de gravité tandis que dans le second système, (1:1:1) est le centre du cercle inscrit. On peut passer du premier au second système (barycentriques vers trilinéaires) en divisant les coordonnées u,v,w par a,b,c respectivement. (Par ailleurs, si on veut absolument normaliser, on aura tendance à imposer aux barycentriques la condition u+v+w=1, et aux trilinéaires plutôt d'être les vraies longueurs aux côtés, mais le mieux est sans doute de ne pas normaliser et de penser en projectif.)

Quand on parle d'un centre du triangle, on demande a priori que ses coordonnées u,v,w dans l'un ou l'autre de ces systèmes soient des fonctions (des longueurs a,b,c des côtés et/ou des lignes trigonométriques des angles α,β,γ) qui soient symétriques (covariantes)[#2] quand on permute les sommets d'un triangle : c'est-à-dire que u doit dépendre symétriquement de b et c (et de même pour les angles) et que si on permute cycliquement a,b,c (et de même pour les angles), ceci doit permuter cycliquement u,v,w. Donc il suffit de se donner l'expression de u pour déterminer le centre, les deux autres coordonnées s'en déduisant par permutation cyclique. Ceci s'appelle la fonction du centre (par exemple, dans les coordonnées trilinéaires, la fonction 1 définit le centre du cercle inscrit puisque ses coordonnées sont (1:1:1), la fonction 1/a ou 1/sin(α) définit le centre de gravité puisqu'il s'écrit (1/a:1/b:1/c) = (1/sin(α):1/sin(β):1/sin(γ)), et la fonction cos(β−γ) définit le centre (cos(β−γ):cos(γ−α):cos(α−β)) du cercle des neuf points X5). Cette description d'un centre du triangle par une seule fonction est déjà assez plaisante, mais elle a l'inconvénient de ne pas être unique : si on multiplie les trois coordonnées (donc notamment la fonction de centre) par la même fonction totalement symétrique, on obtient une autre représentation du même centre ; par ailleurs, j'ai passé un peu sous silence la question de relier entre elles les lignes trigonométriques des angles et les longueurs des côtés. Je vais donc chercher à faire les choses un tout petit peu différemment, ou en tout cas de façon plus précise.

Avant d'aller plus loin, je veux décrire ou paramétrer l'espace des triangles eux-mêmes. Le paramétrage évident, c'est par les longueurs a,b,c des trois côtés, mais il ne m'arrange pas notamment parce que je vais vouloir faire intervenir des lignes trigonométriques des angles et aussi parce qu'il ne facilite pas l'invariance par homothétie que je souhaite certainement voir. Donc je vais utiliser comme paramètres les angles ou, plutôt, leurs lignes trigonométriques, et en fait la tangente t de l'angle moitié puisque c'est le paramètre rationnel standard (le sinus et le cosinus s'expriment en fonction de lui comme 2t/(1+t²) et (1−t²)/(1+t²)). Les longueurs des côtés sont proportionnelles aux sinus des angles opposés, donc une fonction homogène (pour l'invariance par homothétie) des longueurs des côtés va facilement pouvoir se transformer en une fonction des lignes trigonométriques des angles.

Disons que j'appelle t=tan(α/2), q=tan(β/2), q′=tan(γ/2) les tangentes des trois demi-angles. Ma notation un peu bizarre vient du fait que je vais rapidement chercher des expressions symétriques en les variables q,q′. En fait, on n'a pas trois paramètres indépendants mais seulement deux, à cause de la relation qui lie les trois angles : leur somme doit être égale à π, ce qui se traduit sur t,q,q′ en la relation (1−qq′)/(q+q′) = t. J'appellerai rapidement s = q+q′ et p = qq′ la somme et le produit de q et q′, de sorte que cette relation devient p = 1−ts. Ainsi, t et s paramètrent, si j'ose dire, un triangle (à similitude près) avec un sommet marqué et les deux autres indistinguables.

Pour un triangle dont aucun sommet n'est marqué, on va utiliser les fonctions symétriques élémentaires de t,q,q′, soit la somme S = t+q+q′ = t+s, la fonction mixte M = ts+p = tq+tq′+qq′, et le produit P = tqq′ = tp. La relation liant les trois angles, cette fois, s'exprimera tout simplement comme le fait que M=1, donc on a juste les paramètres S et P, qui paramètrent l'ensemble des triangles (à similitude près, et à permutation complète de leurs sommets).

Maintenant je veux faire apparaître un centre du triangle. Disons pour fixer les idées que j'adopte désormais les coordonnées trilinéaires, c'est-à-dire les coordonnées projectives proportionnelles aux distances aux côtés (le point A sera (1:0:0), B sera (0:1:0), C sera (0:0:1), et (1:1:1) est le centre du cercle inscrit ; la droite à l'infini est celle d'équation au+bv+cw=0 si on note a=BC, b=AC et c=AB, et le centre de gravité est (1/a:1/b:1/c)).

Un centre du triangle doit avoir des coordonnées (h(tan(α/2), tan(β/2), tan(γ/2)) : ⋯) où les points de suspension recouvrent les permutations circulaires de A,B,C et où h(t,q,q′) est une fonction symétrique en q,q′. En plus de ça, je vais demander que l'expression de h soit algébrique en ces trois arguments (parce que je suis géomètre algébriste) et, en fait, qu'elle soit rationnelle (l'idée étant que si ce n'est pas le cas, on est en fait en train de définir plusieurs points, au moins sur les complexes, qui sont les solutions d'une certaine équation algébrique, et que je veux regarder des centres qui sont vraiment bien définis — j'avoue que c'est un peu arbitraire, ceci dit ça ne changera pas grand-chose).

Bref, à ce stade-là, un centre est défini par une fonction rationnelle non nulle de t,q,q′ qui soit symétrique dans les deux derniers arguments. Comme les fonctions rationnelles symétriques de deux variables q,q′ sont les fonctions rationnelles de la somme s=q+q′ et du produit p=qq′ de ces deux variables, je suis ramené à une fonction de trois variables t,s,p. Et j'ai expliqué que je pouvais éliminer p par la relation p=1−ts reliant les trois angles d'un triangle.

Par exemple, la fonction 1 définit le centre du cercle inscrit, et la fonction (1+t²)/t définit le centre de gravité (c'est l'expression de 2/sin(α) en fonction de tan(α/2)).

L'ennui, c'est que cette représentation n'est pas unique : si je multiplie ma fonction par n'importe quelle fonction totalement symétrique de t,q,q′, alors j'obtiens le même centre. Mais les fonctions rationnelles totalement symétriques de t,q,q′, on sait que ce sont les fonctions rationnelles de S=t+q+q′, M=tq+tq′+qq′ et P=tqq′.

Maintenant, regardons un peu à quoi ressemble l'extension de corps donnée par l'inclusion de ℝ(S,P) dans ℝ(t,s). Je commence par l'extension ℝ(t,s,p) sur ℝ(S,M,P) en oubliant la contrainte p=1−ts ou M=1 : c'est-à-dire, les fonctions rationnelles symétriques en q,q′ au-dessus des fonctions rationnelles totalement symétriques en t,q,q′. C'est une extension de degré 3 (non galoisienne). Il est facile de trouver une description explicite de cette extension : le polynôme minimal de t sur ℝ(S,M,P) est évidemment t³−St²+Mt−P=0, c'est-à-dire que ℝ(t,s,p) = ℝ(S,M,P)[t]/(t³−St²+Mt−P) (et on a ensuite s = S−t et p = M−ts = M−St+t²). Du coup je peux exprimer un élément de ℝ(t,s,p) de façon unique sous la forme h₀ + h₁·t + h₂·t² avec h₀,h₁,h₂ dans ℝ(S,M,P). La multiplication par un élément de ℝ(S,M,P) est juste obtenue en multipliant h₀,h₁,h₂ par cet élément. Pour ℝ(S,P) au-dessus de ℝ(t,s), c'est-à-dire en réintroduisant la contrainte p=1−ts et M=1, les choses sont très semblables : l'extension est toujours de degré 3, le polynôme minimal de t sur ℝ(S,P) est t³−St²+t−P=0, c'est-à-dire que ℝ(t,s) = ℝ(S,P)[t]/(t³−St²+t−P), et on a ensuite s = S−t et p = 1−ts = 1−St+t². Du coup, de nouveau, un élément de ℝ(t,s) s'écrira de façon unique de la forme h₀ + h₁·t + h₂·t² avec h₀,h₁,h₂ dans ℝ(S,P).

Bref, un centre du triangle se décrit par h₀,h₁,h₂ non tous nuls dans ℝ(S,P), définissant la fonction h₀ + h₁·t + h₂·t² dans ℝ(t,s), deux centres étant identiques exactement quand leurs h₀,h₁,h₂ sont proportionnels (par un élément non nul de ℝ(S,P)). C'est-à-dire, par ‹h₀:h₁:h₂› trois coordonnées projectives homogènes dans ℝ(S,P) (j'utilise la notation ‹⋯› pour distinguer ces coordonnées projectives de celles (u:v:w) dont je suis parti). C'est comme ça que je vais désigner un centre du triangle. Par ailleurs, je peux chasser les dénominateurs et me ramener à trois polynômes en S et P premiers entre eux dans leur ensemble, auquel cas la représentation est unique à une constante globale près.

Par exemple, le centre du cercle inscrit est donné par la fonction 1, autrement dit ‹h₀:h₁:h₂› = ‹1:0:0›. Le centre de gravité est donné par la fonction 2/sin(α) soit (1+t²)/t = 1/t + t = (1−St+t²)/P + t = (1+(P−S)t+t²)/P soit, quitte à multiplier par P les trois coordonnées, ‹h₀:h₁:h₂› = ‹1:P−S:1›.

Avec ce système de représentation, les dix premiers centres de Kimberling deviennent :

• Centre du cercle inscrit : ‹1:0:0›.
• Centre de gravité : ‹1:P−S:1›.
• Centre du cercle circonscrit : ‹S+P:−2:0›.
• Orthocentre : ‹S²−P²−4 : 2(S−P) : −4›.
• Centre du cercle des neuf points : ‹S²−P²−8 : 6(S−P) : −8›.
• Point de Lemoine : ‹0:S:−1›.
• Point de Gergonne : ‹1:0:1›.
• Point de Nagel : ‹SP−P²−1 : S−P : −1›.
• Mittenpunkt : ‹1:−S:1›.
• Centre de Spieker : ‹SP−P²−2 : 2(S−P) : −2›.

Ce système de représentation peut paraître compliqué, mais il a un certain nombre d'avantages, outre l'unicité que j'ai déjà signalée. Il s'agit de vraies coordonnées projectives, ce qui permet par exemple de caractériser l'alignement : par exemple, la droite d'Euler a l'équation 2h₀ + (S+P)h₁ + (S²−P²−2)h₂ = 0, ce qui permet de vérifier l'alignement du centre de gravité, du centre du cercle circonscrit, de l'orthocentre et du centre du cercle des neuf points ; la droite à l'infini a pour équation 2h₀ + (S−3P)h₁ + (S²−SP−2)h₂ = 0 ; la droite u+v+w=0 devient 3h₀ + Sh₁ + (S²−2)h₂ = 0. Le conjugué isogonal de ‹h₀:h₁:h₂› (c'est-à-dire l'intersection des symétriques par rapport aux bissectrices des droites reliant ce point aux sommets) est ‹S²h₀h₂−SPh₂²+Sh₀h₁+Sh₁h₂−Ph₁h₂+h₀²+h₁²−2h₀h₂+h₂² : −S²h₁h₂−Sh₁²−Sh₂²+Ph₂²−h₀h₁ : Sh₁h₂+h₁²−h₀h₂+h₂²› (il s'agit essentiellement de l'expression de l'inverse dans ℝ(S,P)[t]/(t³−St²+t−P)).

Mais indépendamment de ces calculs précis, une propriété notable est la suivante : si on considère par exemple les centres ‹1:0:0›, ‹0:1:0›, ‹0:0:1›, ‹1:1:1› (ou disons ‹1:2:1›, qui est un petit peu plus naturel) et ‹1:S:P›, alors ils permettent de construire à la règle seule, et par une construction universelle (i.e., ne dépendant pas du triangle) n'importe quel autre point vérifiant les contraintes que j'ai demandées d'un centre pour le triangle générique. En effet, les quatre premiers définissent un repère projectif, et le cinquième permet de construire les quantités S et P, donc toute fraction rationnelle en eux, donc tout point ayant de telles coordonnées.

On peut toujours relaxer un peu l'hypothèse qu'un centre ait des coordonnées rationnelles en t,q,q′ : même si h(t,q,q′) est une fonction plus générale (mais néanmoins symétrique en q,q′), on peut toujours définir h₀,h₁,h₂ comme les uniques fonctions symétriques en t,q,q′ telles que h = h₀ + h₁·t + h₂·t².

Ceci étant, même si le principe d'écrire les centres d'un triangle par leurs coordonnées projectives (fonctions de S et P dans le plan quotient par permutations) est certainement très bon, le système de coordonnées ‹h₀:h₁:h₂› obtenu ci-dessus n'est certainement pas le meilleur. Mais je n'ai pas vraiment idée de quelle serait la façon la plus satisfaisante de le rendre plus simple tout en gardant quelque chose de vraiment naturel. (Par exemple, je me suis dit qu'au lieu d'utiliser h₀,h₁,h₂ les coordonnées de h sur la base 1,t,t², on pourrait prendre la trace de h et sa trace après multiplication par t et par t², ou par d'autres choses, mais je n'ai rien trouvé d'élégant qui donne des expressions simples.)

Addendum : Juste après avoir publié cette entrée, j'ai trouvé un système de coordonnées qui me satisfaisait assez. Je n'ai pas envie de tout réécrire, alors je vais juste donner sa définition et les coordonnées des dix premiers centres dedans. Je noterai «λ:μ:ν» ces nouvelles coordonnées : elles sont définies par le fait que la droite à l'infini est ν=0 (autrement dit, λ/ν et μ/ν sont des coordonnées affines du plan), le centre de gravité est «0:0:1», le centre du cercle circonscrit est «1:0:1» et le centre du cercle inscrit est «0:1:1» (donc, si on préfère, on prend un repère affine centré au centre de gravité du triangle et dont les deux vecteurs de base relient ce dernier au centre du cercle circonscrit et au centre du cercle inscrit respectivement). La droite d'Euler est donc μ=0, tandis que λ=0 est la droite sur laquelle sont alignés le centre du cercle inscrit, le centre de gravité, le point de Nagel et le centre de Spieker. Dans ces coordonnées, les dix premiers centre de Kimberling sont :

• Centre du cercle inscrit : «0:1:1».
• Centre de gravité : «0:0:1».
• Centre du cercle circonscrit : «1:0:1».
• Orthocentre : «−2:0:1».
• Centre du cercle des neuf points : «−1:0:2».
• Point de Lemoine : «−4P² : SP+P²+2 : −2SP+2».
• Point de Gergonne : «−4P : S+P : S».
• Point de Nagel : «0 : 2(S+P) : 2S−P».
• Mittenpunkt : «−4P : S+P : −2S».
• Centre de Spieker : «0 : 2(S+P) : 2S−4P».

L'expression de ces points est d'une simplicité assez satisfaisante. Pour vérifier que le système de coordonnées est vraiment bon, il faudrait aussi exprimer le conjugué isogonal d'un point, la forme quadratique naturelle du plan euclidien, la réunion des trois côtés du triangle (vue comme une conique), etc.

[#2] En disant ça, je passe une subtilité sous silence, que le lecteur attentif aura remarquée de lui-même : même si on demande que le point (u:v:w) soit covariant par permutation des sommets du triangle (et notamment de a,b,c), ce n'est pas évident que les coordonnées u,v,w elles-mêmes le sont, puisque, après tout, ces coordonnées ne sont définies qu'à multiplication près. Il est néanmoins bien vrai qu'on peut s'arranger pour que les coordonnées soient effectivement covariantes. Pour s'en convaincre, notons τ l'échange de b et c (et de β et γ), et σ la permutation cyclique envoyant a sur b sur c : on fait l'hypothèse que le point Ω:=(u:v:w) vérifie (^τu:^τw:^τv)=(u:v:w) et (^σw:^σu:^σv)=(u:v:w), et on veut trouver d'autres coordonnées du même point Ω telles qu'on ait effectivement (†) (^τu,^τw,^τv)=(u,v,w) et (‡) (^σw,^σu,^σv)=(u,v,w). On commence par écrire Ω=(u^τu:v^τu:w^τu) en multipliant les trois coordonnées par ^τu, qui garantit la condition (†) sur les coordonnées. Puis, en supposant celle-ci déjà vérifiée, on écrit Ω = (ξ+^σξu/v+^σ²ξu/w : ξv/u+^σξ+^σ²ξv/w : ξw/u+^σξw/v+^σ²ξ) en multipliant les trois coordonnées par ξ/u+^σξ/v+^σ²ξ/w, où ξ est quelconque vérifiant ^τξ=ξ et n'annulant pas les coordonnées en question (par exemple, Ω = (1+(u/v)+(u/w) : (v/u)+1+(v/w) : (w/u)+(w/v)+1) conviendra généralement). Le lecteur sophistiqué aura remarqué que ce que j'ai fait là est essentiellement invoquer le théorème 90 de Hilbert (pour affirmer qu'un cocycle de 𝔖₃ à valeurs dans PGL₃ se factorisant par GL₃ est trivial, i.e. que la forme tordue du plan projectif correspondante n'est en fait pas tordue, parce qu'il s'agit d'une variété de Severi-Brauer ayant un point rationnel).