Comments on Les centres (points remarquables) d'un triangle

Here's one thing I find interesting about the orthocenter. If H is the orthocenter of the triangle ABC, then it follows that A is the orthocenter of the triangle CBH, B is the orthocenter of the triangle CAH, and C is the orthocenter of the triangle ABH.

une condition légitime pour un "centre" serait qu'il soit situé à l'intérieur, pour tout triangle aigu. Une autre qu'il dépende continûment des sommets. …

Les centres peuvent-ils alors vraiment être n'importe où ou sont-ils concentrés dans quelque zone délimitée?

J'abonde dans le sens de Sylvie, et je suis patient ! :)

Bon, je crois que c'est le moment ou jamais de (gentiment) te rappeler que tu avais commencé à rédiger une série d'articles sur la géométrie (le premier était « Géométrie plane : I. Géométrie projective ») et que, depuis maintenant presque 3 ans, tes lecteurs attendent la suite… C'était vraiment très prometteur !

D'ailleurs je ne sais pas si c'est purement anecdotique ou s'il y a une bonne raison, mais sur les 10 points de ta liste, 9 points sont en fait explicitables dans ce repère à partir de P/S seulement (la seule exception étant le point de Lemoine).

Intéressant, mais en fait ce que tu dis implicitement dans l'addendum c'est que la géométrie projective ne sert à rien, il suffit de prendre des fractions rationnelles qui décrivent les coordonnées dans le repère affine (G,O,I) :-) (ν est nécessairement non nul, contrairement à h2)

Quelques petites coquilles :

> remarquez qu'en itérant ces procédés à partir des quatre points définis ci-dessus, on obtient certes une infinité de points en général, mais tout de même pas tous les centres de Kimberling

Trois de ces points sont alignés, donc ça ne marche pas (on ne peut pas construire de cinquième point).

> la droite à l'infini est ν=1

-> ν=0

Et sinon tu as dû échanger λ et μ en cours de route :

> le centre du cercle circonscrit est «0:1:1»
> Centre du cercle circonscrit : «1:0:1».

Je connaissais déjà l'expression "triangle scalène" mais j'ai appris assez récemment que dans un triangle rectangle, une cathète est un côté adjacent à l'angle droit.
Les coordonnées barycentriques (à coefficients positifs ou nuls) me rappellent plutôt des souvenirs de 'Spé (du style le théorème de Carathéodory) plus que de Terminale (quoique j'ai vu un exercice, pour le triangle, à ce niveau).
Enfin c'est loin dans mon esprit, j'ai pu me tromper.
Je reste dans le flou du triangle des Bermudes…