David Madore's WebLog: Comment définir efficacement ce qu'est un schéma

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(samedi)

Comment définir efficacement ce qu'est un schéma

[Cette entrée m'a pris environ deux mois à écrire : j'ai commencé à cause de ceci qui m'a donné envie de m'éclaircir les idées en les racontant. Au début je pensais que ça ne ferait que quelques lignes !]

Introduction

Il est souvent intéressant, en mathématiques, de prendre une notion, et d'essayer de la redéfinir (ou, s'il s'agit d'un théorème, de le redémontrer) de novo, je veux dire en partant de rien (ou du minimum). Ceci permet de se rendre compte de ce dont on a besoin pour arriver à ce point, de chercher les raccourcis pour y arriver, et de gagner en clarté sur la notion en question. Je vais prendre l'exemple de la notion de schéma, qui est une notion centrale de la géométrie algébrique depuis Grothendieck.

Je m'adresse ici au lecteur qui sait ce qu'est un anneau commutatif (ainsi que les notions qui vont forcément avec : morphisme d'anneaux commutatifs, idéal, quotient par un idéal ; et aussi : polynômes à coefficients dans un anneau commutatif ; je suppose aussi qu'on sait ce qu'est un corps), mais qui n'a pas de connaissances en géométrie algébrique et qui, en particulier, ne sait pas ce qu'est un schéma. Le but est de montrer qu'on peut définir ce terme-là de façon relativement efficace (c'est-à-dire : rapide, mais pas forcément pédagogiquement idéale) en évitant de parler de tout le fatras d'idéaux premiers, faisceaux d'anneaux, espaces localement annelés, etc., qui servent normalement à définir ce qu'est un schéma.

(L'expert en géométrie algébrique n'a certainement rien à apprendre ici, mais il pourra trouver intéressante ma définition d'une immersion ouverte comme tiré en arrière d'une immersion universelle ; et s'il n'a jamais réfléchi à la question, l'exercice de décrire le foncteur des points de la droite avec origine doublée et de quelques uns de ses avatars est amusante.)

La définition proprement dite est ce qui figure dans les parties encadrées (pour montrer qu'elle est effectivement plutôt courte même si cette entrée dans son ensemble est extrêmement longue) : 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 et 9. On peut donc en principe se contenter de lire ces passages-là. Le commentaire autour sert à essayer de la rendre pas totalement incompréhensible, en donnant quelques exemples et quelques explications, et à motiver un peu ce qu'on fait.

Plan de cette entrée :

Préliminaires : Je vais fixer un anneau de base k (tous les anneaux considérés sont commutatifs et ont un élément unité). Si on ne sait pas ce qu'est une k-algèbre (sous-entendu : commutative), c'est simplement un anneau A accompagné d'un morphisme d'anneaux kA (appelé morphisme structural) ; et un morphisme AB de k-algèbres est défini comme un morphisme d'anneaux tel que la composée kAB avec le morphisme structural de A soit le morphisme stuctural de B. Mais pour lire ce qui suit, si on préfère, on peut par exemple imaginer que k est un corps (la notion de k-algèbre est sans doute mieux connue dans ce contexte), ou bien que k est l'anneau ℤ des entiers auquel cas il faut comprendre l'expression k-algèbre comme exactement synonyme de anneau. Cet anneau de base k est sous-jacent à toute la construction (ce qu'on définit, ce sont les k-schémas), il ne sera jamais varié, et parfois j'omettrai sa mention (je parlerai par exemple de l'espace affine pour ce qu'il conviendrait d'appeler l'espace affine sur k).

Motivation : Le type d'objets que la géométrie algébrique étudie, ce sont des solutions d'équations polynomiales (en plusieurs variables), considérés comme des objets géométriques ; pour prendre un exemple, je pourrais appeler cercle unité (affine) l'« objet » C d'équation x²+y²=1 : quand j'écris ça, cela signifie que pour n'importe quel corps K sur k, ou plus généralement n'importe quelle k-algèbre A, je vais considérer l'ensemble C(K) ou C(A) des solutions de cette équation dans K ou A, c'est-à-dire l'ensemble des couples (x,y) de deux éléments de K ou A tels que x²+y²=1. A priori ce sont plutôt les solutions sur un corps K qui ont historiquement intéressé les géomètres algébriques, mais pour toutes sortes de raisons il est pertinent (et utile pour la formalisation) de s'intéresser aux solutions sur une k-algèbre A quelconque (même si l'intuition et, dans une certaine mesure, la terminologie, viennent du cas des corps).

À titre d'exemples, C(ℤ) n'a que quatre points ((±1,0) et (0,±1)), tandis que C(ℝ) correspond vraiment à ce qu'on appelle naïvement un cercle (celui qu'on peut paramétrer de façon transcendante par (cos(θ),sin(θ)) ; C(ℚ) est infini même si ce n'est pas forcément si évident à première vue (il contient des points tels que (3/5, 4/5)) ; et on peut montrer que C(F), si F est un corps fini à q éléments (q nécessairement une puissance d'un nombre premier), a q−1, q+1 ou q éléments selon que q est respectivement congru à 1 modulo 4, congru à 3 modulo 4, ou bien une puissance de 2. (En fait, si K est un corps de caractéristique différente de 2 — c'est-à-dire que 2 y est inversible — alors C(K) peut être paramétré, à l'exception du seul point (−1,0), par t↦((1−t²)/(1+t²),2t/(1+t²)) tant que t²≠−1.)

Schémas algébriques affines

Équations dans l'espace affine, exemples

L'objet basique et prototypal de la géométrie algébrique est celui défini par des équations polynomiales f1=…=fr=0 en plusieurs variables (t1,…,tn) dans l'espace affine. Ce qui fait l'objet de la définition suivante :

Si on se donne r polynômes f1,…,fr à coefficients dans k et en n variables t1,…,tn, on appelle schéma algébrique affine [sur k] défini par f1,…,fr [dans l'espace affine de dimension n] l'« objet » X (que je vais rendre plus précis un peu plus loin) qui à toute k-algèbre A associe l'ensemble X(A) des solutions communes des équations fj(t1,…,tn)=0 dans An, autrement dit l'ensemble X(A) des n-uplets (t1,…,tn) d'éléments de A tels que tous les polynômes s'annulent (fj(t1,…,tn)=0 pour tout j). On dit que X(A) est l'ensemble des A-points de X.

Voyons tout de suite quelques exemples basiques de tels objets pour montrer à quoi ils peuvent ressembler :

  • J'ai déjà mentionné le « cercle unité » C={x²+y²=1} dont l'ensemble C(A) des A-points est (pour toute k-algèbre A) l'ensemble des solutions de l'équation x²+y²=1 dans A, c'est-à-dire que C est défini dans le plan affine par l'unique équation x²+y²−1=0.
  • On peut aussi considérer l'hyperbole H={x·y=1} d'équation x·y=1 (ou, ce qui revient au même, x·y−1=0), dont l'ensemble H(A) des A-points est, pour toute k-algèbre A, l'ensemble des couples (x,y) d'éléments de A tels que x·y=1, c'est-à-dire l'ensemble des couples d'éléments de A inverses l'un de l'autre. Notons que, comme dans n'importe quel anneau, l'inverse d'un élément, s'il existe, est uniquement défini, on peut aussi ignorer une coordonnée et considérer H(A) comme l'ensemble des éléments x inversibles de la k-algèbre A (sachant que y s'en déduit alors, de façon unique, comme l'inverse de x) : on verra plus loin que ce sera la manière dont on verra l'« ouvert complémentaire de l'origine » dans la droite affine.
  • De façon plus basique, on peut considérer le schéma algébrique affine défini par zéro équations, qu'on appelle espace affine de dimension n lui-même, noté 𝔸n (il s'agit d'un ‘A’ gras-tableau-noir), dont les A-points, pour toute k-algèbre A, sont l'ensemble 𝔸n(A):=An des n-uplets d'éléments de A. En particulier, la droite affine est l'objet 𝔸¹ dont les A-points (pour n'importe quelle k-algèbre A) sont simplement les éléments de A.
  • De façon encore plus basique, le point (qu'on peut considérer comme l'espace affine de dimension 0, ou bien comme, disons, l'origine de l'espace affine de n'importe quelle dimension) a exactement un A-point pour n'importe quelle k-algèbre A : on le note parfois {*}, mais on verra plus loin qu'il est aussi opportun de le noter Spec(k). Encore plus trivial est le schéma algébrique affine défini par l'équation 1=0, c'est-à-dire l'ensemble vide ∅, qu'on pourra aussi noter Spec(0).
  • Un peu moins trivial : considérons le schéma algébrique affine Γ défini (dans la droite affine, c'est-à-dire, en une seule variable t) par l'équation t²=t, ou, si on préfère, t(t−1)=0 : si K est un corps, alors Γ(K) a toujours exactement deux éléments, à savoir 0 et 1, puisque ce sont les seules solutions de t(t−1)=0 dans K ; en revanche, si A est une k-algèbre quelconque, l'ensemble Γ(A) dont les éléments sont les idempotents de A (c'est-à-dire, les éléments vérifiant t²=t) peut avoir plus de deux éléments (par exemple, dans k×k, qui est une k-algèbre pour les opérations terme à terme, les quatre éléments (0,0), (0,1), (1,0) et (1,1) de k×k appartiennent à Γ(k×k)). Néanmoins, comme les corps sont la structure principale sur laquelle on cherche à visualiser les objets géométriques, on considérera tout de même que Γ « a » deux points, 0 et 1. (C'est ainsi que souvent, en géométrie algébrique, on utilisera une terminologie qui est inspirée du cas des points dans un corps, même si elle ne vaut pas sur toutes les k-algèbres.) Soit dit en passant, une k-algèbre A n'ayant que les deux idempotents 0 et 1 est appelée connexe.
  • De même si que ci-dessus j'ai considéré « deux points », je peux fabriquer « deux droites parallèles », c'est-à-dire {y²=y} dans le plan affine de coordonnées (x,y). Mais je peux aussi considérer « deux droites qui se coupent », c'est-à-dire {x·y=0} (toujours dans le plan affine).
  • La courbe {y²=x³} dans le plan, aussi appelée cubique cuspidale. Quand on aura défini la notion de morphismes, on pourra dire que les applications t↦(t²,t³) des points de la droite affine 𝔸¹ sur n'importe quelle k-algèbre A vers les points de la cubique cuspidale sur cette même algèbre A, définissent un morphisme de la droite affine vers la cubique cuspidale ; sur un corps K, ce « paramétrage » t↦(t²,t³) est d'ailleurs bijectif (les solutions de y²=x³ sur un corps s'écrivent toujours sous la forme (t²,t³) avec un unique t, à savoir y/x si (x,y)≠(0,0) et 0 si (x,y)=(0,0)), mais en général ce n'est pas le cas.
  • Considérons enfin l'objet Θ défini (toujours dans la droite affine, donc en une seule variable t) par l'équation t²=0. Si K est un corps, alors Θ(K) a un unique élément, 0. Néanmoins, on ne considère pas que Θ soit identique à l'objet trivial d'équation t=0 (qui n'a qu'un seul point, 0, sur n'importe quelle k-algèbre A), une k-algèbre A peut très bien avoir des éléments non-nuls vérifiant t²=0 (de tels éléments s'appellent des nilpotents d'ordre 2). On dit que Θ est un point épaissi (d'ordre 2), et même si le sens géométrique de tels objets n'est pas évident, il s'avère qu'il est extrêmement utile de les admettre dans l'étude de la géométrie algébrique.
  • Bien sûr, si tous les exemples que j'ai donnés n'utilisent qu'une seule équation, ce n'est pas le cas en général. Par exemple, dans l'espace affine de dimension 3 on peut considérer les équations z=x³ et y=x², qui définissent une courbe appelée cubique gauche affine (on pourra voir qu'elle est isomorphe à la droite affine par le paramétrage t↦(t,t²,t³)) ; ou encore, dans le plan, on peut considérer les équations x·y=0 et y²=0 : on obtient ce qu'on appelle une droite avec l'origine épaissie.

L'anneau d'un schéma algébrique affine

Reprenons la situation ci-dessus : on se donne r polynômes f1,…,fr en n variables t1,…,tn, et on a défini X le schéma algébrique affine correspondant, dont l'ensemble X(A) des A-points, pour n'importe quelle k-algèbre A, est l'ensemble des solutions des équations polynomiales fj=0 dans An. Une k-algèbre très importante associée à cette situation est le quotient R := k[t1,…,tn]/(f1,…,fr) de l'anneau k[t1,…,tn] des polynômes en n variables par l'idéal qu'y engendrent les r polynômes f1,…,fr. Pourquoi ce R est-il important ? Pour deux raisons intimement liées :

  1. On va considérer R comme l'algèbre des fonctions « régulières » (comprendre : polynomiales) sur X. En effet, intuitivement, un polynôme en n variables est (par définition !) un polynôme sur l'espace affine 𝔸n de dimension n, et le fait de quotienter par les fj fait qu'on se restreint à l'endroit où ils s'annulent en ignorant toute combinaison de ces polynômes. Plus précisément, si A est une k-algèbre quelconque et h un élément de R représenté par un polynôme ĥ en n variables, un élément x=(x1,…,xn)∈X(A) est, par définition, un n-uplet d'éléments de A qui annule tous les fj, et si on définit h(x) comme la valeur de ĥ en (x1,…,xn) (noter qu'il s'agit d'un élément de A), alors celle-ci ne dépend pas du choix de ĥ représentant h (puisque deux tels choix diffèrent par un élément de l'idéal engendré par les fj, donc s'annule en (x1,…,xn)).
  2. Se donner un élément x de X(A) revient exactement à se donner un morphisme RA de k-algèbres (à savoir le morphisme d'évaluation-en-x qui à un élément h de R associe sa valeur h(x) telle que définie au point ci-dessus). En effet, se donner un morphisme k[t1,…,tn]→A revient exactement à se donner les images (x1,…,xn) dans A des indéterminées par ce morphisme (il est facile de voir qu'elles peuvent être quelconques, et qu'elles déterminent complètement le morphisme) et ce morphisme « passe au quotient » (i.e., s'annule sur l'idéal engendré par les fj, définissant donc un morphisme RA) si et seulement si (x1,…,xn) vérifie les équations fj=0, c'est-à-dire, appartient à X(A). On peut donc identifier X(A) à l'ensemble des morphismes (de k-algèbres) RA.

Remarquons qu'en vertu du deuxième point, la k-algèbre R détermine complètement X (au moins au sens où elle détermine X(A) à bijection près, en fait cette bijection sera « naturelle » en A mais je vais revenir dessus) : on pourra donc dire que X est le spectre de la k-algèbre R, noté X=Spec(R). Pour l'instant, ceci signifie simplement, si on a écrit R comme k[t1,…,tn]/(f1,…,fr), que X est l'objet géométrique (schéma algébrique affine) défini par les équations f1,…,fr.

Les k-algèbres R qui peuvent s'écrire sous la forme k[t1,…,tn]/(f1,…,fr) pour certains polynômes fj en n variables t1,…,tn, sont appelées les k-algèbres de présentation finie (le mot « présentation » fait référence au fait qu'on se donne n éléments qui engendrent R — à savoir les images des ti — et r relations entre eux — à savoir les fj).

On va vouloir définir Spec(R) pour une k-algèbre R quelconque, toujours comme l'ensemble des morphismes RA pour A variable ; mais tout d'abord il faut un peu que je parle de fonctorialité.

Fonctorialité

Foncteurs et schémas affines généraux

Reprenons toujours la situation où X est le schéma algébrique affine défini par r polynômes f1,…,fr en n variables t1,…,tn, c'est-à-dire que X(A), pour n'importe quelle k-algèbre A, est l'ensemble des solutions des équations polynomiales fj=0 dans An. Si maintenant φ:AB est un morphisme de k-algèbres et qu'on applique φ à (chaque coordonnée d')un élément xX(A), il est évident, par la définition d'un morphisme, que le φ(x) ainsi obtenu va continuer à vérifier les mêmes équations, donc appartient à X(B). Autrement dit, X associe non seulement à n'importe quelle k-algèbre A un ensemble X(A), mais il associe aussi à n'importe quel morphisme AB (de k-algèbres) une application X(A)→X(B), et la composée X(A)→X(B)→X(C) déduite de deux morphismes ABC de k-algèbres, est évidemment bien l'application X(A)→X(C) associée au morphisme composé AC. C'est cela qu'on appelle la fonctorialité de X.

Alternativement, si on préfère voir X(A) comme l'ensemble des morphismes RAR une k-algèbre (de présentation finie) dont X est le spectre, alors la fonctorialité est encore plus évidente à voir : l'application X(A)→X(B) déduite d'un morphisme φ:AB est simplement la composition par φ (qui envoie un morphisme RA sur le morphisme RB composé de lui avec φ).

Un foncteur (covariant) X des k-algèbres vers les ensembles (encore appelé préfaisceau [sur les k-schémas affines]), est une donnée qui à toute k-algèbre A associe un ensemble X(A) et à tout morphisme φ:AB (de k-algèbres) une application X(φ):X(A)→X(B), de sorte que X(idA)=idX(A) (en notant id l'identité), et que si φ:AB et ψ:BC sont deux morphismes alors X(ψφ)=X(ψ)∘X(φ).

Si R est une k-algèbre, on définit un foncteur noté Homk(R,—) ou Spec(R), qui à une k-algèbre A associe l'ensemble Homk(R,A) des morphismes RA de k-algèbres, et à un morphisme φ:AB la composition par φ. On dit qu'il s'agit du foncteur représenté par R ou du spectre de R ; un foncteur qui est de cette forme (ou isomorphe à un tel foncteur, cf. plus loin) est appelé foncteur représentable [par une k-algèbre] ou schéma affine (sur k).

Remarque : Si X est un foncteur (covariant des k-algèbres vers les ensembles) et φ:AB un morphisme de k-algèbres, et ξX(A), on notera souvent abusivement φ(ξ) pour l'image de ξ par l'application X(φ).

(La raison de la double terminologie foncteur représentable / spectre est que le premier est un terme général de théorie des catégories tandis que le second est spécifique au cas des schémas : comme ici nous voyons les schémas comme des foncteurs, les deux mots s'appliquent. Comme les seuls foncteurs dont je parlerai ici sont les foncteurs covariants des k-algèbres vers les ensembles, je dirai souvent simplement foncteur. De même, comme je fixe l'anneau k de base, je me permets souvent d'omettre sa mention et de parler simplement de schémas affines pour dire k-schémas affines.)

Les schémas affines sont, par définition, des foncteurs particuliers (ceux qui sont représentés par une k-algèbre). Les schémas plus généraux, qu'il s'agit de définir, en seront aussi : autrement dit, on décrit les schémas en les identifiant à leur « foncteur point ». Mais tous les foncteurs (covariants des k-algèbres vers les ensembles) ne seront pas des schémas.

Pour donner déjà un avant-goût des schémas non affines, je peux mentionner celui qui est le plus simple à définir : il s'agit du foncteur U qui à une k-algèbre A associe l'ensemble U(A) des couples (x,y) d'éléments de A qui engendrent l'idéal unité (l'idéal unité signifie A lui-même : c'est-à-dire qu'on peut trouver u,v tels que u·x+v·y=1) ; et qui à un morphisme φ:AB associe, bien sûr, l'application U(A)→U(B) envoyant (x,y) sur (φ(x),φ(y)) (il est clair que si x,y engendrent l'idéal unité de A alors φ(x),φ(y) engendrent celui de B). Ce foncteur n'est pas un schéma affine, et on va voir qu'il faut le considérer comme le schéma complémentaire de l'origine dans le plan affine.

Je dois aussi donner un exemple d'un foncteur qui ne sera pas un schéma, mais qui a néanmoins son importance : il s'agit du foncteur Ω qui à une k-algèbre A associe l'ensemble de ses idéaux et à un morphisme φ:AB associe l'application envoyant un idéal de A sur l'idéal engendré par son image dans B.

Morphismes entre foncteurs

Maintenant, pour faire de la géométrie, il ne faut pas seulement avoir des objets géométriques, il faut aussi pouvoir définir des applications ou morphismes entre eux. Par exemple, on a envie de pouvoir parler de la projection C→𝔸¹ du cercle d'équation x²+y²=1 sur sa première coordonnée x, ou encore de celle H→𝔸¹ de l'hyperbole x·y=1 sur la coordonnée x (on aura envie de dire que ce sera un isomorphisme sur l'ouvert complémentaire de l'origine dans la droite affine, notion qui reste à définir).

Or si on veut donner un sens à un morphisme YX (de schémas, quand on saura ce que c'est), puisque chacun sera vu comme un foncteur qui à une k-algèbre A quelconque associe un ensemble X(A) (resp. Y(A)) de A-points, il faudra bien se donner pour chaque A une application Y(A)→X(A), et de fait, les exemples suggérés (les projections C→𝔸¹ et H→𝔸¹ sur la première coordonnée) donnent bien une application pour chaque k-algèbre A. Mais il y a plus : lorsqu'on utilise la fonctorialité pour passer d'une k-algèbre A à une autre B, alors les applications sont compatibles. Précisément :

Si X et Y sont deux foncteurs (covariants des k-algèbres vers les ensembles), une transformation naturelle ou morphisme de foncteurs u:YX est une donnée qui à toute k-algèbre A associe une application u(A):Y(A)→X(A), et qui vérifie la condition (de « naturalité ») suivante : si φ:AB est un morphisme (de k-algèbres) alors les deux composées X(φ)∘u(A) (soit Y(A)→X(A)→X(B)) et u(B)∘Y(φ) (soit Y(A)→Y(B)→X(B)) coïncident.

Si u:YX et v:ZY sont deux morphismes de foncteurs, leur composée uv est définie comme le morphisme de foncteurs ZX qui à chaque k-algèbre A associe l'application composée u(A)∘v(A). On dit par ailleurs d'un morphisme de foncteurs u:XY qu'il est un isomorphisme lorsque chaque application u(A) est une bijection, auquel cas les bijections réciproques définissent un isomorphisme de sens inverse avec lequel la composée est l'identité ; on peut dire alors que les foncteurs X et Y sont isomorphes.

Remarque : Si u:YX et ξX(A), on notera souvent abusivement u(ξ) pour l'image de ξ par l'application u(A).

Cette définition est assez formelle, mais si on prend les exemples que j'ai suggérés des deux projections C→𝔸¹ et H→𝔸¹ sur la première coordonnée, on se rend compte que vérifier qu'on a bien affaire à un morphisme de foncteurs est très facile (tout ce que ça dit est qu'appliquer un morphisme φ à x et y puis ne garder que la première revient au même que ne garder que la première et lui appliquer φ : on conviendra que c'est assez évident !).

Le lemme de Yoneda

Le résultat suivant, très formel mais suprêmement important, permet de comprendre les morphismes entre foncteurs représentables, ou simplement qui partent d'un foncteur représentable Spec(S), en termes des anneaux impliqués :

Si λ:RS est un morphisme de k-algèbres, il se déduit un morphisme λ*:Spec(S)→Spec(R) entre les foncteurs représentés par R et R de la manière suivante : pour toute k-algèbre A, l'application λ*(A) de l'ensemble Homk(S,A) (des morphismes SA) vers l'ensemble Homk(R,A) (des morphismes RA) est simplement la composition par λ.

Plus généralement, si X est un foncteur (covariant des k-algèbres vers les ensembles) et S une k-algèbre, de tout ξX(S), on déduit un morphisme Spec(S)→X, qu'on notera également ξ* : pour toute k-algèbre A, l'application ξ*(A) de l'ensemble Homk(S,A) (des morphismes SA) vers l'ensemble X(A) est celle qui envoie un morphisme σ:SA sur l'image de ξ par X(σ).

Lemme de Yoneda : Les morphismes de foncteurs Spec(S)→Spec(R) entre deux foncteurs représentables sont exactement les λ* pour λ un morphisme λ:RS (c'est-à-dire que λ* détermine uniquement λ et que tous les morphismes sont de cette forme). Plus généralement, les morphismes Spec(S)→X sont exactement les ξ* pour ξX(S).

Bref, les morphismes de foncteurs Spec(S)→Spec(R) s'identifient aux morphismes de k-algèbres RS, et les morphismes de foncteurs Spec(S)→X s'identifient aux points de X(S).

Voyons un cas particulier pour expliquer un peu ce que ceci signifie : rappelons qu'on a défini la droite affine 𝔸¹ comme le foncteur qui envoie une k-algèbre A sur l'ensemble de ses points ; or on a vu que ce foncteur est représentable par l'algèbre de la droite affine, k[t] (autrement dit, un élément x de A détermine un morphisme k[t]→A envoyant l'indéterminée t sur x) : 𝔸¹=Spec(k[t]). Le lemme de Yoneda nous assure alors les morphismes 𝔸¹→𝔸¹ s'identifient aux morphismes k[u]→k[t] (j'ai appelé u la coordonnée sur le 𝔸¹ à l'arrivée et t celle sur le 𝔸¹ au départ), or, toujours pour la même raison, se donner un morphisme k[u]→k[t] est pareil que se donner un élément de k[t], autrement dit, un polynôme h ; et quand on déroule les choses, on voit qu'effectivement le morphisme 𝔸¹→𝔸¹ correspondant à h revient simplement à appliquer h à un élément x∈𝔸¹(A)=A. Bref, le lemme de Yoneda assure, entre autres, que tous les morphismes 𝔸¹→𝔸¹ dont automatiquement des polynômes — on est bien en train de faire de la géométrie algébrique.

Plus généralement, grâce au lemme de Yoneda, on peut voir que les morphismes de l'espace affine 𝔸n=Spec(k[t1,…,tn]) de dimension n vers l'espace affine 𝔸m=Spec(k[u1,…,um]) de dimension m sont donnés par des m-uplets de polynômes en n variables ; et si S = k[t1,…,tn]/(f1,…,fr) est une k-algèbre de présentation finie et R = k[u1,…,um]/(g1,…,gs) en est une autre, les morphismes Spec(S)→Spec(R) entre le schéma algébrique affine défini par les équations fj dans 𝔸n et celui défini par les équations gj dans 𝔸m, sont donnés par des m-uplets (h1,…,hm) d'éléments de S qui vérifient les équations gj(h1,…,hm)=0 pour tout j — bref, de nouveau, les morphismes sont donnés polynomialement.

Monomorphismes et produits fibrés

Il faut maintenant définir quelques adjectifs sur les morphismes. Commençons par ceux qui sont une injection des A-points pour tout A :

Si u:YX est un morphisme entre foncteurs (covariants des k-algèbres vers les ensembles), on dit que u est un monomorphisme lorsque u(A):Y(A)→X(A) est une injection pour toute k-algèbre A ; on dit aussi que Y est vu comme un sous-foncteur de X (c'est-à-dire comme la donnée d'un sous-ensemble Y(A) de chaque X(A) qui soit préservé par les morphismes).

À titre d'exemple, si X est défini par des équations polynomiales f1,…,fr dans l'espace affine 𝔸n de dimension n, alors on a un monomorphisme X→𝔸n évident, celui qui à un n-uplet solution des équations de X (dans une k-algèbre A quelconque) associe le même n-uplet vu comme un élément de l'espace affine (i.e., où on a oublié les contraintes) : ceci s'appellera bientôt une immersion fermée. Un exemple peut-être moins évident de monomorphisme est la projection H→𝔸¹ de l'hyperbole d'équation x·y=1 vers sa première coordonnée, car, comme je l'ai signalé, la connaissance de x, dans n'importe quelle k-algèbre A, permet de retrouver y tel que x·y=1 s'il y en a un ; ceci s'appellera bientôt une immersion ouverte (on pense au foncteur H comme celui qui à A associe l'ensemble de ses inversibles : en fait, il s'agira moralement du complémentaire de l'origine dans la droite affine).

Avant de pouvoir définir les immersions fermées et ouvertes, j'ai besoin de la notion de produit fibré et de tiré en arrière d'un morphisme : le produit cartésien est bien ce qu'on pense (point à point, l'ensemble des couples), et le produit fibré est l'ensemble des couples ayant même image par deux morphismes de même but ; formellement :

Si X et Y sont deux foncteurs, on définit un foncteur X×Y (produit cartésien de X et Y) comme le foncteur qui à tout A associe le produit cartésien de X(A) et Y(A) (l'action des morphismes se faisant composante par composante). Si de plus on a deux morphismes de foncteurs u:XZ et v:YZ vers un même foncteur Z, on définit le produit fibré de X et Y au-dessus de Z, noté X×ZY, comme le sous-foncteur de X×Y qui à A associe l'ensemble formé des couples (x,y)∈X(AY(A) tels que u(x)=v(y) dans Z(A).

La projection X×ZYX sur la première coordonnée définit un morphisme qu'on appelle le tiré en arrière (pullback) de v le long de u (et symétriquement, la seconde projection est le tiré en arrière de u le long de v). Il est évident que le tiré en arrière d'un monomorphisme est encore un monomorphisme.

(On remarquera que le produit cartésien est un cas particulier du produit fibré où Z est le foncteur {*}=Spec(k) qui à toute k-algèbre A associe un singleton.)

Fait : Si X=Spec(R) et Y=Spec(S) ainsi que Z=Spec(T) sont tous les trois représentables(=affines), alors le produit fibré X×ZY est représentable : la k-algèbre qui le représente est notée RTS et appelée produit tensoriel des algèbres R et S au-dessus de T.

Le fait ci-dessus peut servir de définition du produit tensoriel d'algèbres. Néanmoins, si k est un corps, le produit tensoriel sur k peut être défini de façon élémentaire : en tant que k-espace vectoriel, RkS a pour base le produit cartésien des bases de R et S comme k-espaces vectoriels ; on notera ef la base produit (où e parcourt une base de R et f une base de S) ; et plus généralement, si xR et yS, on définit alors xy en imposant à l'opération ⊗ d'être k-bilinéaire (c'est-à-dire k-linéaire à gauche et à droite). On peut alors définir RTS pour T une k-algèbre quelconque, en quotientant RkS par son idéal engendré par tous les z⊗1−1⊗z pour z parcourant T.

Comme exemple facile, mentionnons par exemple que le produit de 𝔸¹ (la droite affine) avec elle-même donne bien 𝔸² (le plan affine) comme on s'y attend : ceci correspond au fait que k[x]⊗kk[y] donne k[x,y]. Plus généralement, le produit de deux espaces affines est l'espace affine ayant la somme de leurs dimensions.

Un cas particulier de produit fibré est simplement la notion d'intersection de deux sous-faisceaux : si u:XZ et v:YZ sont des monomorphismes, l'intersection de X et Y vus comme sous-faisceaux de Z est ce qu'on pense (le foncteur qui à toute k-algèbre A associe l'intersection de X(A) et Y(A) vus comme des sous-ensembles de Z(A) via u et v), et il s'agit bien du produit fibré. On peut donc désormais parler, par exemple, de l'intersection de deux schémas algébriques affines dans l'espace affine de même dimension (et les choses se passent comme on le pense : par exemple, l'intersection du cercle {x²+y²=1} avec l'axe des abscisses {y=0} est bien défini par la conjonction de ces deux équations).

En revanche, s'il est vrai que la réunion de sous-foncteurs donne bien un sous-foncteur, ce n'est pas du tout ce qu'on aura envie d'appeler la réunion en géométrie algébrique : par exemple, j'ai déjà expliqué que la « réunion de deux points distincts » devrait être le spectre de k[t]/(t²−t)=k×k, qui envoie une k-algèbre A sur l'ensemble de ses idempotents, et pas simplement le foncteur qui à une k-algèbre A associe l'ensemble de ses deux éléments 0 et 1. Je vais y revenir.

Immersions fermées et ouvertes, faisceaux

Immersions fermées dans le cas affine

Je vais maintenant chercher à définir ce qu'est une immersion fermée. Commençons par discuter le cas affine, qui doit servir de modèle : en fait, la manière même dont j'ai défini les schémas algébriques affines était au moyen d'une algèbre de présentation finie R=k[t1,…,tn]/(f1,…,fr), ce qui permettait de voir Spec(R) à l'intérieur de 𝔸n=Spec(k[t1,…,tn]), et c'est ce qu'on va vouloir considérer comme un fermé. Supposons que λ:SS/I est la surjection d'une k-algèbre S sur son quotient par un idéal I (rappelons à ce propos que tout morphisme surjectif de k-algèbres permet de voir sa cible comme le quotient de sa source par l'idéal I=ker(λ)), alors le λ*:Spec(S/I)→Spec(S) qui s'en déduit est un monomorphisme (autrement dit, il y a au plus un morphisme SA possible qui définisse un S/IA donné) ; ce sera là le modèle de la notion d'immersion fermée. Autrement dit, un fermé d'un schéma affine Spec(S) est défini par un idéal (et correspond intuitivement à l'ensemble des points où toutes les fonctions de cet idéal s'annulent simultanément).

L'exemple le plus simple d'immersion fermée est donc l'inclusion de {*}=Spec(k) comme l'origine {t=0} dans 𝔸¹=Spec(k[t]) définie par l'idéal (t) : rappelant que 𝔸¹ est le foncteur qui à toute k-algèbre A associe l'ensemble A lui-même, il s'agit ici du sous-foncteur qui choisit le singleton {0} dans n'importe quel A. On aura aussi envie de définir un ouvert complémentaire à ce fermé : en se rappelant que la terminologie de la géométrie est inspirée du cas des corps et n'est pas forcément appropriée sur n'importe quel anneau, le mot « complémentaire » ici ne signifie pas qu'on va prendre pour tout A le complémentaire de {0} (l'ensemble des éléments non-nuls), ne serait-ce que parce que ce n'est pas un foncteur (l'image d'un élément non nul par un morphisme peut très bien devenir nulle !) : on va plutôt définir l'ouvert complémentaire de l'origine comme le sous-foncteur de la droite affine qui à toute k-algèbre A associe l'ensemble de ses inversibles : sur les corps, bien entendu, « inversible » signifie la même chose que « non nul » (c'est même la définition d'un corps), mais en général c'est une notion qui se comporte mieux (pour commencer, il s'agit bien là d'un foncteur : l'image d'un inversible de A par un morphisme d'anneaux AB est un inversible de B).

Immersions ouvertes et fermées

Pour motiver la définition suivante, rappelons qu'on a appelé Ω le foncteur qui à A associe l'ensemble de ses idéaux : si Spec(S) est un schéma affine, se donner un morphisme Spec(S)→Ω revient, par le lemme de Yoneda, à se donner un idéal I de S, donc une immersion fermée Spec(S/I)→Spec(S), qui peut se retrouver comme le tiré en arrière le long de Spec(S)→Ω d'un morphisme 0:Spec(k)→Ω défini ci-dessous :

Soit Ω le foncteur qui à une k-algèbre A associe l'ensemble de ses idéaux (et à un morphisme φ:AB associe l'application envoyant un idéal de A sur l'idéal engendré par son image dans B). Soient 0 et 1 les sous-foncteurs de Ω qui choisissent l'idéal nul et l'idéal unité respectivement, c'est-à-dire : 0:Spec(k)→Ω envoie (pour toute k-algèbre A) l'unique élément du singleton Spec(k) sur l'idéal nul de A, tandis que 1:Spec(k)→Ω l'envoie sur l'idéal A tout entier.

On dit qu'un morphisme de foncteurs YX (nécessairement un monomorphisme) est une immersion fermée (resp. ouverte) lorsqu'il s'obtient en tirant en arrière le morphisme 0 (resp. 1) par un certain morphisme XΩ. (Et lorsqu'on considère les tirés en arrière de 0 et 1 par le même morphisme XΩ on peut dire qu'on a affaire à des immersions ouverte et fermée complémentaires.)

Autrement dit, le morphisme 0:Spec(k)→Ω est le modèle de l'immersion fermée, et toute immersion fermée s'obtient en le tirant en arrière. Comme les tirés en arrière se composent (le tiré en arrière de v le long de u′∘u s'obtient en tirant d'abord le long de u′ puis le long de u), on en déduit que le tiré en arrière d'une immersion fermée est encore une immersion fermée. En particulier, si YX est une immersion fermée, alors pour toute k-algèbre R et tout ξX(R), il existe un idéal I de R tel que le tiré en arrière de YX le long de ξ*:Spec(R)→X soit Spec(R/I)→Spec(R) (ou plus concrètement : pour tout morphisme φ:RA, on a φ(ξ)∈Y(A) si et seulement si φ s'annule sur I) ; et en fait, cette propriété peut servir de définition d'une immersion fermée : une immersion fermée est un morphisme de foncteurs qui, quand on le tire en arrière par un Spec(R)→X, est représentable par l'immersion fermée définie par un quotient Spec(R/I)→Spec(R). Comme le quotient détermine complètement l'idéal I, on peut voir ainsi que le morphisme XΩ qui définit une immersion fermée est uniquement déterminé par celle-ci ; on peut (un peu abusivement) l'appeler le faisceau d'idéaux définissant cette immersion fermée.

Les immersions ouvertes sont un peu moins faciles à voir, parce que contrairement aux immersions fermées qui vérifient la propriété que si on en tire une YX en arrière le long de Spec(R)→X on obtient un morphisme Spec(S)→Spec(R) entre schémas affines (comme je viens de l'expliquer, S est un quotient de R ; mais en ignorant ce fait, on dit que les immersions fermées sont représentables ou affines), ce n'est pas le cas des immersions ouvertes : notamment, un sous-foncteur d'un foncteur représentable (=schéma affine) défini par une immersion ouverte n'est pas forcément lui-même un schéma affine.

Une immersion ouverte U→Spec(R) est définie par un idéal I de R : mais contrairement à l'immersion fermée Spec(R/I)→Spec(R) dont elle est complémentaire, qui envoie une k-algèbre A sur le sous-ensemble des morphismes RA qui s'annulent sur I, l'immersion ouverte U→Spec(R) définie par I envoie A sur le sous-ensemble U(A) des morphismes φ:RA tels que φ(I) engendre l'idéal unité de A. Un cas particulièrement important, où l'immersion ouverte est affine, est celui où I est engendré par un unique élément fR (i.e., principal) :

Localisations et ouverts principaux

Si R est une k-algèbre, et fR, on désigne par R[1/f] (et on appelle localisation de R inversant f) le quotient R[z]/(z·f−1) de l'anneau R[z] des polynômes en une indéterminée z sur R par son idéal engendré par z·f−1 (ce qui fait de z un inverse de f) ; on notera g/fi l'image de zi·g dans ce quotient (et tous les éléments de R[1/f] sont de cette forme).

Les morphismes R[1/f]→A (vers une k-algèbre A quelconque) s'identifient naturellement aux morphismes φ:RA tels que φ(f) soit inversible. Autrement dit, Spec(R[1/f])→Spec(R) est une immersion ouverte (associée à l'idéal principal engendré par f). On dit que Spec(R[1/f]) est l'ouvert principal défini par f.

Il est opportun de remarquer que R[1/f][1/f′] s'identifie à R[1/(f·f′)].

Autrement dit, il s'agit de l'ouvert {f≠0} de Spec(R) ; on le note parfois D(f) (c'est donc le complémentaire du fermé {f=0}=Spec(R/(f))→Spec(R)). On peut remarquer que les morphismes de R[1/f] vers une k-algèbre A quelconque s'identifient précisément aux morphismes de R vers A qui envoient f sur un élément inversible.

On retrouve en particulier l'exemple de l'hyperbole x·y=1, vue, par la projection sur la première coordonnée, comme un ouvert de la droite affine : ce foncteur, qui à une k-algèbre A associe l'ensemble de ses éléments inversibles, est représenté comme Spec(k[t,1/t]) (l'anneau des « polynômes de Laurent » : on admet des puissances positives comme négatives de l'indéterminée). Un exemple d'immersion ouverte qui n'est pas affine est le complémentaire {(x,y)≠(0,0)} de l'origine dans le plan : le foncteur en question associe à une k-algèbre A l'ensemble des couples (x,y) d'éléments de A qui engendrent l'idéal unité (c'est-à-dire qu'on peut trouver u,v tels que u·x+v·y=1). C'est l'exemple le plus simple de quelque chose qui sera un schéma mais qui n'est pas un schéma affine.

Il sera bon de remarquer que l'intersection de D(f) et de D(f′) (dans Spec(R), si f,f′∈R) est D(f·f′) (rappelons que l'intersection de sous-foncteurs est un foncteur).

Faisceaux pour la topologie de Zariski

Si R est une k-algèbre, et f1,…,fr des éléments de R, on dit que les ouverts D(fi) « recouvrent » Spec(R) lorsque les fi engendrent l'idéal unité de A ; ceci est justifié intuitivement par le fait que l'intersection des fermés {fi=0} est vide.

Soit X un foncteur (covariant des k-algèbres vers les ensembles). Si A est une k-algèbre et si f1,…,fr sont des éléments de A qui engendrent l'idéal unité de A, on appelle famille compatible d'éléments xiX(A[1/fi]) une famille telle que xi et xj aient la même image dans X(A[1/(fi·fj)]). Remarquons que tout élément xX(A) définit (si on appelle xi son image par la flèche X(A)→X(A[1/fi]) de fonctorialité) une telle famille compatible.

On dit que X est un faisceau [pour la topologie] de Zariski lorsque (pour toute k-algèbre A et toute famille f1,…,fr d'éléments A qui engendrent l'idéal unité), l'application qui à un xX(A) associe la famille compatible qu'il définit, est une bijection. Si cette application est seulement une injection, on dit que X est un préfaisceau séparé pour la topologie de Zariski.

Fait : Les foncteurs représentables Spec(R) (ainsi que le foncteur Ω) sont des faisceaux de Zariski. Par ailleurs, si X, Y et Z sont des faisceaux, alors X×ZY en est aussi un.

Il s'agit là d'une notion absolument centrale : le fait qu'on foncteur soit un faisceau dans ce sens signifie intuitivement qu'il se définit localement : les éléments x de X(A) sont déterminés par leur « restriction » xi à tous les ouverts principaux D(fi) de X, censés « recouvrir » Spec(A), et réciproquement des données locales, si elles coïncident aux intersections D(fi) ∩ D(fj). Le fait d'être un faisceau constituera une condition nécessaire pour être un schéma (mais pas suffisante puisque Ω ne sera pas un schéma).

Mention légale en petits caractères : la condition que X soit un faisceau implique entre autres que, si A est l'anneau nul 0 (l'anneau ayant un unique élément, le seul où 0=1), alors X(0) est un singleton. Ceci résulte (en prenant r=0 dans la définition) du fait que la famille vide engendre l'idéal unité dans l'anneau nul (et seulement dans l'anneau nul !, puisqu'elle engendre toujours l'idéal nul) ; et pour cette famille il existe une unique famille compatible (puisqu'il n'y a pas de coordonnées du tout), du coup X(0) doit être en bijection avec un singleton.

Pour rendre la notion plus transparente, il convient sans doute de donner un exemple de foncteur qui n'est pas un faisceau de Zariski : il s'agit du foncteur qui à n'importe quel anneau A associe le sous-ensemble {0,1} de A (c'est bien fonctoriel car 0 et 1 sont préservés par les morphismes ; cet ensemble a deux éléments sauf dans l'anneau nul où il en a un). Montrons que ce n'est pas un faisceau. Pour cela, je considère A=k×k (l'algèbre formée des couples d'éléments de k avec les opérations terme à terme ; c'est aussi k[t]/(t²−t) si on identifie le couple (x,y)∈k×k à la classe modulo t²−t du polynôme x·t+y·(1−t)), et que je pose f₁=(1,0) et f₂=(0,1), alors f₁ et f₂ engendrent l'idéal unité (puisque leur somme est 1=(1,1)), on a A[1/f₁]=k (par la première coordonnée), A[1/f₂]=k (par la seconde), et A[1/(f₁·f₂)]=0 (l'anneau nul), donc les familles compatibles d'éléments de n'importe quel foncteur X sur ce A=k×k pour ces f₁,f₂ sont des couples d'éléments de X(k) : bref, pour tout faisceau de Zariski X, on doit avoir X(k×k)=X(kX(k). Comme ce n'est pas le cas pour l'ensemble {0,1} au sens naïf, il ne définit pas un faisceau (et c'est la raison pour laquelle la bonne définition de « deux points », celle qui définit un faisceau, est de prendre dans toute k-algèbre A l'ensemble de ses idempotents, pas simplement {0,1}).

Le fait suivant n'est pas nécessaire pour définir un schéma, mais c'est utile pour en construire : à tout foncteur X (covariant des k-algèbres vers les ensembles) on peut associer un nouveau foncteur X+, qui à une k-algèbre A associe l'ensemble des familles compatibles d'éléments X(A[1/fi]) pour une famille f1,…,fr quelconque engendrant l'idéal unité (et où on identifie deux telles familles compatibles relativement à des f1,…,fr et g1,…,gs lorsque leurs images relativement aux fi·gj — qui engendrent aussi l'idéal unité — coïncident). On dispose d'un morphisme XX+ (envoyant x sur n'importe quelle famille compatible qu'il définit). On peut alors montrer que (1) X+ est toujours un préfaisceau séparé et est un faisceau si X est un préfaisceau séparé, et que (2) XX+ est un monomorphisme si et seulement si X est séparé, et un isomorphisme si et seulement si X est un faisceau. En particulier, en appliquant deux fois la construction, X++ est toujours un faisceau : on l'appelle le faisceautisé du foncteur X. À titre d'exemple, si on faisceautise le foncteur qui envoie toute k-algèbre A sur {0,1}, on obtient le foncteur Spec(k×k) envoyant A sur l'ensemble de ses idempotents (et ce, en une seule application de l'opération « plus » si on convient que l'anneau nul s'envoie sur un singleton, tandis qu'il en faut une de plus si on associe aussi à l'anneau nul deux éléments, la première servant justement à réparer ce problème).

La faisceautisation est « universelle » au sens suivant : si Y et X sont des foncteurs et que X est un faisceau, alors tout morphisme YX s'écrit de façon unique comme la composée d'un morphisme Y++X et du morphisme naturel YY++ de Y vers son faisceautisé : donc se donner un morphisme de Y vers X est « la même chose » qu'un morphisme du faisceautisé de Y vers X.

La définition d'un schéma, et quelques exemples

La définition d'un schéma

Voici enfin la définition d'un schéma :

Un schéma [sur k] est un foncteur (covariant des k-algèbres vers les ensembles) X tel que :

  1. ce foncteur X est un faisceau pour la topologie de Zariski, et
  2. il existe une famille d'immersions ouvertes UαX telles que :
    1. chaque Uα soit un schéma affine (Uα=Spec(Rα)), et
    2. pour toute k-algèbre A, tout élément xX(A) appartient « localement » à un des Uα, au sens où il existe f1,…,fr engendrant l'idéal unité dans A tel que l'image de x dans chaque X(A[1/fi]) soit dans l'image d'un Uα(A[1/fi])
    (on dit encore que les Uα recouvrent X).

Il revient au même de demander qu'il existe une famille d'immersions ouvertes UαX telles que X soit le faisceautisé de la réunion des Uα dans X.

[Ajout : On peut aussi exprimer le dernier point (b2) de la façon suivante : pour tout corps K (qui soit une k-algèbre), l'ensemble X(K) est la réunion des Uα(K).]

Même si le but de cette entrée était de donner cette définition et rien d'autre, il faut au moins que je donne quelques exemples de schémas (qui ne soient pas des schémas affines).

J'ai déjà évoqué l'exemple assez peu intéressant de certains ouverts même de l'espace affine, le plus simple étant l'ouvert complémentaire de l'origine, foncteur U qui à une k-algèbre A associe l'ensemble des couples (x,y) d'éléments de A qui engendrent l'idéal unité : pour montrer que c'est bien un schéma, on peut considérer ses deux ouverts U₁ et U₂ formés respectivement des couples (x,y) tels que x soit inversible pour U₁ et que y soit inversible pour U₂, et vérifier que U₁ et U₂ recouvrent U se fait simplement en constatant que pour chaque couple (x,y) d'éléments d'une k-algèbre A engendrant l'idéal unité, l'image de ce couple dans U(A[1/x]) appartient à U₁(A[1/x]) et son image dans U(A[1/y]) appartient à U₂(A[1/y]).

L'espace projectif

Un exemple beaucoup plus intéressant (et plus loin d'être affine !) est donné par l'espace projectifn de dimension n. Pour commencer, sur un corps K (extension de k), ℙn est l'ensemble des (n+1)-uplets d'éléments de K non tous nuls, considérés à multiplication près par une constante (autrement dit, on identifie (x0:⋯:xn) avec (x0:⋯:xn)) lorsqu'il existe λ (non nul) dans K tel que xi=λ·xi pour tout i ; ou, si on préfère, l'espace projectif ℙn est l'espace des droites passant par l'origine (éventuellement considérées privées de l'origine mais peu importe) dans l'espace affine de dimension n+1. On identifie 𝔸n(K) au sous-ensemble de ℙn(K) formé des (x0:⋯:xn) pour lesquels x0 n'est pas nul, ce qui permet, quitte à diviser par lui, d'écrire l'élément comme (1:x1:⋯:xn) et de l'identifier avec (x1,…,xn) dans 𝔸n(K) ; mais plus généralement, pour chaque 0≤in, on peut définir de façon complètement analogue une partie (qui sera un ouvert) de ℙn(K) formé des tuples dont la coordonnée xi n'est pas nulle et l'identifier à l'espace affine de dimension n : on dit qu'il s'agit des n+1 cartes affines standard de l'espace projectif.

À présent, si A est non plus un corps mais une k-algèbre quelconque, la bonne façon de définir ℙn(A) est la suivante. Tout d'abord, on doit considérer les sous-modules M de An+1, c'est-à-dire les ensembles de (n+1)-uplets d'éléments de A qui soient stables par addition (et contenant 0) et multiplication par un élément de A (pour n=0 ceci correspond à la définition d'un idéal ; et dans le cas d'un corps K ceci correspond à la définition d'un sous-espace vectoriel de Kn+1). Parmi ceux-ci, on considère ceux qui sont facteur direct (ou sous-module projectif, ou sous-module supplémenté) de An+1, c'est-à-dire qu'il existe un autre sous-module N avec MN=An+1 ce qui signifie que chaque élément de An+1 s'écrit de façon unique comme somme d'un élément de M et d'un élément de N (dans le cas d'un corps, cette définition est vide : tout sous-espace vectoriel a toujours un supplémentaire de la sorte). Enfin, parmi ces sous-modules facteurs directs de An+1, on veut s'intéresser à ceux qui sont de rang 1, ce qui peut se définir de différentes manières, par exemple par le fait que pour tout corps κ qui soit quotient de l'anneau A le sous-κ-espace vectoriel de κn+1 obtenu en réduisant les coordonnées à κ est de dimension 1 (une autre formulation serait de dire que « localement » — pour un sens de « localement » semblable à celui qui a servi dans la définition des schémas, le sous-module est engendré par un unique élément dont les coordonnées engendrent l'idéal unité). Bref, on définit ℙn(A) comme l'ensemble des sous-modules facteurs directs L de rang 1 de An+1 comme généralisation des droites vectorielles dans le cas d'un corps K.

À titre d'exemple, ¹(ℤ/6ℤ) a 12 éléments, à savoir les sous-modules de (ℤ/6ℤ)² engendrés par chacun des éléments suivants : (1:0), (0:1), (1:1), (2:1), (3:1), (4:1), (5:1), (1:3), (4:3), (1:4), (3:4), (5:4) (ce sont les six sous-groupes de (ℤ/6ℤ)² ayant exactement six éléments ; ici il se trouve que tout élément de ¹(ℤ/6ℤ) peut effectivement s'écrire sous la forme (u:v)).

Si (x0,…,xn) sont des éléments de A engendrant l'idéal unité, on peut définir un point (x0:⋯:xn) de ℙn(A) par le sous-module L engendré par (x0,…,xn) (i.e., l'ensemble des multiples de ce (n+1)-uplet), sous-module qui est automatiquement un facteur direct de rang 1 (un supplémentaire étant donné par l'ensemble des (z0,…,zn) tels que ∑yi·zi=0, où (y0,…,yn) sont tels que ∑xi·yi=1, attestant que les xi engendrent l'idéal unité). Mais tous les éléments de ℙn(A) ne peuvent pas forcément s'écrire sous cette forme : c'est le cas si A est un anneau principal (=un anneau intègre dans lequel tout idéal peut être engendré par un unique élément), mais un contre-exemple est fourni sur A=ℤ[√−5] (ensemble des nombres de la forme a+b√−5 avec a et b entiers) par le point de ℙ¹ donné par le sous-module de A² engendré par (1+√−5,2) et (3,1−√−5) — les coordonnées d'aucun de ces couples, ni d'aucun des éléments du sous-module, n'engendrent l'idéal unité, mais toutes ensemble elles le font, et le sous-module en question a un supplémentaire engendré par exemple par (1+√−5,3) et (2,1−√−5).

Pour montrer que ℙn ainsi défini constitue bien un schéma, il faut effectuer différentes vérification : qu'il s'agit bien d'un foncteur (donné AB un morphisme de k-algèbres, on envoie un sous-modules facteurs directs L de rang 1 de An+1 vers le sous-module engendré par son image dans Bn+1, qui s'avère posséder automatiquement les mêmes propriétés), puis qu'il s'agit d'un faisceau, et quant aux ouverts Uα recouvrant ℙn, on utilise les cartes affines standard, à savoir Ui défini pour 0≤in comme l'ensemble des L pour lesquels la i-ième coordonnée prend la valeur 1 (i.e., se projette surjectivement sur A), autrement dit, le sous-module formé des multiples d'un certain (x0,…,1,…,xn) dont les n coordonnés (la i étant omise) montrent que ce Ui s'identifie encore à 𝔸n.

L'espace projectif, malgré la difficulté qu'on vient de voir à le définir sur un anneau quelconque, est un des objets fondamentaux de la géométrie algébrique. Des petites variations sur la construction donnent d'ailleurs d'autres objets intéressants (par exemple au lieu de considérer les sous-modules facteurs directs de rang 1 on peut considérer ceux de rang r, auquel cas on obtient les variétés dites grassmanniennes dont on peut ainsi voir qu'elles sont aussi des schémas).

La droite à l'origine doublée

Je veux conclure par un schéma beaucoup moins intéressant sur le plan théorique mais qui est source de contre-exemples possiblement intéressants et tel que des petites variations sur sa définition permettent de construire des objets géométriques qui ne sont pas des schémas même s'ils en sont très proches (des espaces algébriques). C'est ce qu'on appelle la droite avec l'origine doublée.

(Digression : en topologie générale, la droite avec l'origine doublée s'obtient en prenant deux copies de la droite réelle et en ré-identifiant le point t de l'une avec le point t de l'autre pour tout t≠0, ce qui ne dédouble donc que l'origine : l'espace topologique ainsi formé — en prenant la topologie quotient par l'identification qu'on a faite — est un espace topologique non séparé puisque les deux origines ne peuvent pas admettre des voisinages disjoints.)

En géométrie algébrique, on voudra que sur un corps K les points de la droite avec origine doublée soient ceux de la droite affine 𝔸¹ (autrement dit, les éléments de K) plus un seul point. Comme d'habitude, je vais simplement asséner ce qu'on choisi d'appeler ainsi sur une k-algèbre A quelconque : c'est l'ensemble Λ(A) des couples (t,e) où t est un élément de A et e un idempotent de l'anneau quotient A/tA (de A par l'idéal que t y engendre ; un idempotent, on le rappelle, est un élément e tel que e²=e : ici, et la donnée de e et cette égalité sont entendues dans l'anneau quotient). En fait, on peut montrer, et ce n'est pas extrêmement difficile (en termes sophistiqués, c'est essentiellement le fait que Γ défini par l'équation e²=e est étale), que la donnée d'un tel idempotent-modulo-t (pour un t quelconque fixé) équivaut exactement à la donnée d'un tel idempotent modulo t², t³, etc. En oubliant purement et simplement la coordonnée e, c'est-à-dire en envoyant (t,e) sur t, on définit un morphisme de cette droite avec origine doublée Λ vers la droite affine ordinaire 𝔸¹ (le morphisme qui « oublie le doublement » en réidentifiant les deux origines) ; a contrario, on a deux morphismes 𝔸¹→Λ, celui qui envoie t sur (t,0) et celui qui l'envoie sur (t,1), qu'on appelle les deux droites recollées : on peut vérifier que ce sont des immersions ouvertes et que leur intersection (=produit fibré au-dessus de Λ) est le complémentaire de l'origine (dont les A-points sont les t tels que t soit inversible).

À titre d'exemple, Λ(ℤ/6ℤ) a 12 éléments, à savoir les (t,e) suivants : (0,0), (0,1), (0,4), (0,3), (1,0), (2,0), (2,1), (3,0), (3,1), (4,0), (4,1), (5,0).

On dit que ce schéma n'est pas séparé (au-dessus de k) pour la raison suivante : la diagonale, c'est-à-dire l'ensemble des couples (t₁,e₁,t₂,e₂) de Λ² pour lesquels t₁=t₂ et e₁=e₂, n'est pas donnée par une immersion fermée dans Λ².

Voici une petite variation sur la droite avec l'origine doublée : je suppose ici que k est le corps ℝ des réels, et je considère le foncteur Λ′ qui à une ℝ-algèbre A associe l'ensemble des couples (t,i) où t est un élément de A et où i est un élément de A/tA qui, cette fois, vérifie i²=−1. Si je mettais i²=+1 j'obtiendrais exactement la même chose que la droite avec origine doublée Λ définie ci-dessus (la correspondance étant donnée par e=½(1+i) et réciproquement i=2e−1 ; on utilise le fait que 2 est inversible dans ℝ), mais avec i²=−1 on obtient une « droite [réelle] dont l'origine a été complexifiée ». Ce foncteur n'est pas un schéma, c'est quelque chose de plus général (un espace algébrique au sens d'Artin, qui pourrait se définir de façon assez proche de la définition qu'on a donnée d'un schéma, mais il faudrait utiliser la topologie étale au lieu de la topologie de Zariski).

Un autre exemple d'objet assez proche de la droite avec l'origine doublée et qui n'est pas un schéma mais un espace algébrique, c'est la droite avec l'espace tangent à l'origine doublé : il s'agit du foncteur qui à une k-algèbre (ici k peut de nouveau être arbitraire) A associe l'ensemble des couples (t,x) où t appartient à A et x appartient à A/t²A vérifie x(tx)=0 (cette fois il faut se donner x modulo t², après quoi, comme précédemment il détermine un élément vérifiant la même équation modulo t³, etc. ; j'avoue ne pas avoir vérifié ça extrêmement soigneusement).

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