Comments on Comment définir efficacement ce qu'est un schéma

ModP (2020-02-23T17:54:44Z)

Salut,

J'ai une nouvelle question : à la fin de ton texte tu parles un peu d'espace algébrique en donnant l'exemple du foncteur $X : R \mapsto \{ (t,x) \in R \times R/t^2R \mid x(t-x)=0 \}$. Est-ce que c'est bien celui-là et non pas $x(1-x) = 0$ ?
Je veux dire l'équation $x(1-x) =0$ et étale si bien que si tu te donnes $x$ dans $R/t^2R$ tu peux remonter les solutions mais l'équation $x(t-x)$ n'est pas étale !(du moins je ne vois pas) !

On essayes de vérifier un des critères pour être un espace algébrique et on trouve beaucoup de difficultés (vraiment débutant).

Merci d'avance,

ModP (2019-04-25T09:16:38Z)

Merci ! C'est ok pour moi, je continu un peu la lecture !

Ruxor (2019-04-24T16:35:31Z)

@ModP: Oui, c'est bien un faisceau de Zariski. Pour le vérifier à la main, on commence par noter que R↦R² est lui-même un faisceau, donc on peut au moins relever (x,y) à R² et il n'y a plus qu'à vérifier que si x et y engendrent l'idéal unité dans des R[1/f] pour des f qui eux-mêmes engendrent l'idéal unité, alors x et y engendrent l'idéal unité dans R ; et pour ça, on peut écrire des relations du type x·u + y·v = f^n (avec u,v,f,n variables), pour des f (donc des f^n) qui engendrent l'idéal unité, et en écrivant 1 comme combinaison de ces f^n on obtient une combinaison de x et de y qui donne 1.

Plus généralement on peut définir le complémentaire d'un sous-faisceau : si G est un sous-faisceau de F (c'est-à-dire que G(R) est un sous-ensemble de F(R) pour tout R, ou plus exactement qu'on s'est donné un monomorphisme G→F de faisceaux permettant d'identifier G(R) à un sous-ensemble de F(R)), on définit le (pseudo-)complémentaire de G dans F comme le sous-faisceau de F qui à un anneau R associe l'ensemble des s ∈ F(R) tels que s ∉ G(R′) pour tout R→R′ sauf si R′ est l'anneau nul. On peut vérifier que ça donne bien un faisceau (manifestement un sous-faisceau de F) et que la construction de mon U est le complémentaire du sous-faisceau (0,0) (c'est-à-dire R↦{(0,0)}) dans le faisceau R↦R².

ModP (2019-04-23T22:20:23Z)

Salut,

Tout d'abord merci pour le texte. Agréable à lire.

Une question : est-ce que tu es certain que ce que tu as noté $U$, donc le foncteur des anneaux vers les ensembles, qui a un anneau $R$ associe l'ensemble des couples (x,y) de R^2 qui engendrent l'idéal R est un faisceau de Zariski ?

SM (2018-03-31T22:22:53Z)

Merci, c'était très clair. (Typo : "a fonction" -> "la fonction")

Ruxor (2018-03-31T20:28:26Z)

@SM: Sur un espace topologique X, si tu as un ouvert fermé U, de complémentaire V (donc lui aussi ouvert fermé), a fonction valant 1 sur U et 0 sur V est un idempotent dans l'anneau des fonctions continues X→ℝ. Et réciproquement, un tel idempotent est une fonction continue X→{0,1}, donc l'ensemble des points où elle vaut 1 est un ouvert fermé. Ceci montre que X est connexe si et seulement si l'ensemble des fonctions continues X→ℝ a pour seuls idempotents 0 et 1 (je veux dire, les fonctions constantes de ces valeurs).

SM (2018-03-31T19:57:13Z)

Pourrais-tu expliquer pourquoi le mot "connexe" pour "y a pas d'idempotent inattendu" ? Sinon, typo "De même si que ci-dessus". Et merci !!

Ruxor (2013-10-07T18:14:48Z)

@anonyme: Le foncteur U que je mentionne dans le 2e paragraphe que vous citez est un cas particulier de celui que je définis dans le 1er paragraphe : plus précisément, dans ce cas particulier, R est l'algèbre k[X,Y] des polynômes en deux variables X,Y (de sorte que Spec(R)=𝔸² est le plan affine, qui à une k-algèbre A associe les couples (x,y) d'éléments de A), et I est l'idéal (X,Y) engendré par X et Y (autrement dit, l'idéal des polynômes qui s'annulent en (0,0)) : alors l'ouvert U défini par I est celui dont je parle.

anonyme (2013-10-07T18:08:12Z)

Bonjour,

C'est ma dernière question sur cette entrée.
Vous écrivez
"Une immersion ouverte U→Spec(R) est définie par un idéal I de R : mais contrairement à l'immersion fermée Spec(R/I)→Spec(R) dont elle est complémentaire, qui envoie une k-algèbre A sur le sous-ensemble des morphismes R→A qui s'annulent sur I, l'immersion ouverte U→Spec(R) définie par I envoie A sur le sous-ensemble U(A) des morphismes φ:R→A tels que φ(I) engendre l'idéal unité de A. "

Est ce que U désigne le foncteur que vous décrivez dans
"il s'agit du foncteur U qui à une k-algèbre A associe l'ensemble U(A) des couples (x,y) d'éléments de A qui engendrent l'idéal unité (l'"idéal unité" signifie A lui-même : c'est-à-dire qu'on peut trouver u,v tels que u·x+v·y=1) ; et qui à un morphisme φ:A→B associe, bien sûr, l'application U(A)→U(B) envoyant (x,y) sur (φ(x),φ(y)) "

Je pense que non mais si c'est oui je ne comprends pas.
Encore merci.

anonyme (2013-10-06T06:49:01Z)

Merci pour cette réponse rapide qui me permettra de poursuivre la compréhension de cette entrée.

Ruxor (2013-10-05T21:44:44Z)

@anonyme: Je conviens que ce passage est fort mal écrit.

• Si ξ∈X(R) et si φ:R→A est un morphisme d'anneaux, alors φ(ξ) désigne l'élément de X(A) obtenu par fonctorialité de X, c'est-à-dire l'image de ξ par l'application X(φ):X(R)→X(A) (abusivement notée φ, comme je l'ai remarqué à la fin de la définition des foncteurs). Maintenant, Y→X est un monomorphisme, c'est-à-dire que pour toute k-algèbre A, Y(A) est un sous-ensemble de X(A), et on peut se demander si ce φ(ξ) (qui appartient a priori à X(A) comme je viens de le dire) appartient en fait à Y(A). La condition est qu'il existe un idéal I tel que ce soit le cas si et seulement si φ s'annule sur I (i.e., se factorise par R/I).

• Je confirme que si u:X→Ω définit une immersion fermée et si ξ∈X(R) alors l'idéal I en question est u(ξ) (autre abus de notation pour u(R)(ξ)) : l'immersion fermée Spec(R/I)→Spec(R) est celle définie par la composée de ξ^*:Spec(R)→X et de u:X→Ω.

anonyme (2013-10-05T15:28:27Z)

Bonjour

Dans le paragraphe, immersions fermées et ouvertes, vous écrivez

"Autrement dit, le morphisme 0:Spec(k)→Ω est le modèle de l'immersion fermée, et toute immersion fermée s'obtient en le tirant en arrière. Comme les tirés en arrière se composent (le tiré en arrière de v le long de u′∘u s'obtient en tirant d'abord le long de u′ puis le long de u), on en déduit que le tiré en arrière d'une immersion fermée est encore une immersion fermée. En particulier, si Y→X est une immersion fermée, alors pour toute k-algèbre R et tout ξ∈X(R), il existe un idéal I de R tel que le tiré en arrière de Y→X le long de ξ*:Spec(R)→X soit Spec(R/I)→Spec(R) (ou plus concrètement : pour tout morphisme φ:R→A, on a φ(ξ)∈Y(A) si et seulement si φ s'annule sur I) "

J'ai des difficultés à comprendre ce passage.
Notamment que signifie φ(ξ)∈Y(A) puisque φ:R→A?
Par ailleurs l'idéal I dont l'existence est à prouver serait il l'idéal u(R)(ξ)
si l'on considère que l'immersion fermée Y→X est défini par le produit fibré de Spec(k) et X au dessus de Ω et par les morphismes 0:Spec(k)→Ω et u:X→Ω ?
Y désignerait alors ce produit fibré.
Merci.

Ruxor (2013-09-29T15:47:23Z)

@Fred le marin:

D'abord, je pense qu'il existe différentes façons concurrentes et pas tout à fait équivalentes de fonder les mathématiques sur la théorie des catégories. Il n'y en a aucune que je connaisse vraiment bien, et surtout je ne sais pas le rapport exact entre elles.

Je crois qu'il y en a une qui est due à Lawvere et/ou MacLane, qui consiste à axiomatiser les « topoï bien-pointés » (« well-pointed topoi », WPT) : le concept primitif est alors celui de flèche, mais en fait je ne sais pas exactement quels sont les axiomes qu'on prend. (Normalement c'est expliqué dans §VI.10 du livre *Sheaves in Geometry and Logic* de MacLane et Moerdijk, mais à moins que je n'aie pas les yeux en face des trous, ils ont « oublié » de lister exactement leurs axiomes, c'est balot; il est possible que ça coïncide avec ceux de <URL: http://www.tac.mta.ca/tac/reprints/articles/11/tr11abs.html > mais je ne suis pas sûr.) En tout cas, les ensembles sont alors définis comme des sortes d'« arbres » dans le topos (voir loc.cit.), et les axiomes de la théorie des ensembles deviennent, effectivement, des théorèmes (et inversement, les axiomes de la théorie des topos bien-pointés sont des théorèmes de la théorie des ensembles : les théories sont « mutuellement interprétables »).

Cependant, la théorie des ensembles qu'on obtient n'est pas ZFC, c'est une théorie strictement plus faible (la théorie de Zermelo dans laquelle l'axiome de séparation est restreint aux prédicats à quantificateur borné) : sa force logique est étudiée en détail dans <URL: https://www.dpmms.cam.ac.uk/~ardm/maclane.pdf >. Il est, bien sûr, possible, de renforcer la théorie en ajoutant des axiomes qui vont la rendre absolument équivalente à ZFC, mais ces axiomes sont alors très artificiels. (D'un autre côté, il n'y a pas non plus de commandement divin qui dise que ZFC est le « bon » cadre pour faire des mathématiques.)

Fred le marin (2013-09-29T14:27:32Z)

@ooten: Mon problème était de savoir si un "ensemble" correspondait bien à la même chose, avec le second point de départ choisi.
De plus, les deux théories sont-elles strictement équivalentes, ou bien l'une d'elle est-elle plus "forte" que l'autre ?
J'ai vu des choses (aujourd'hui même) sur les théories "NBG" (et "MK") que je devrais creuser (si possible ?).
Aussi, il y a des divergences sur le nombre fini d'axiomes, ou bien la présence de schémas d'axiomes.
Attention : cette dernière notion est bien-sûr différente des schémas présentés dans le post de référence.
(encore les facéties d'un certain "Club Contexte", j'imagine…)
En bref, je me prends les pieds dans le tapis : tant pis, c'est amusant.

ooten (2013-09-29T10:52:58Z)

@Fred le marin : je ne vois pas en quoi il serait gênant d'avoir des théories pour lesquelles des théorèmes dans certaines seraient des axiomes dans les autres. Ce serait simplement des théories différentes.

Fred le marin (2013-09-29T07:00:30Z)

Bonjour,
Une question (plus ou moins liée) me brûle l'esprit : si la théorie des catégories peut servir de base à l'édifice mathématique, comment construit-on les ensembles à partir de là ?
Est-ce à dire que les axiomes de ZF(C) seraient des théorèmes ? (dérivés des axiomes de ladite théorie des catégories… et quels sont-ils d'ailleurs ?)
Je dis cela car d'autres personnes peuvent être "gênées" également par ce point de vue, schématiquement différent.

Ruxor (2013-09-28T23:17:03Z)

@anonyme: Oui, bien sûr. J'ai corrigé.

anonyme (2013-09-27T07:25:50Z)

Bonjour,
Vous écrivez
Si X et Y sont deux foncteurs (covariants des k-algèbres vers les ensembles), une transformation naturelle ou morphisme de foncteurs u:Y→X est une donnée qui à toute k-algèbre A associe une application u(A):Y(A)→X(A), et qui vérifie la condition (de « naturalité ») suivante : si φ:A→B est un morphisme (de k-algèbres) alors les deux composées X(φ)∘u(A) (soit Y(A)→X(A)→X(B)) et u(B)∘Y(φ) (soit Y(A)→Y(B)→X(B)) coïncident.

Si u:Y→X et v:Z→Y sont deux morphismes de foncteurs, leur composée v∘u est définie comme le morphisme de foncteurs Z→X qui à chaque k-algèbre A associe l'application composée v(A)∘u(A).

N'auriez vous pas inverser u et v dans les trois dernières lignes.
Merci.

Arnaud Spiwack (2013-09-26T08:11:43Z)

For what it's worth, c'était juste ce dont j'avais besoin pour comprendre un peu la géométrie algébrique (j'admets avoir un profil un peu particulier cependant). Tout ce que j'avais vu écrit avant donnait trop d'importance aux espaces vectoriels complexes, ça paraissait toujours arbitraire, et je n'arrivait pas à avancer.

Cette perspective très algébrique m'a permis d'y voir un peu plus clair quant aux objets étudiés.

Ruxor (2013-09-23T15:19:55Z)

@Dam's: Effectivement, il revient au même de demander que X(K) soit réunion des U_α(K), c'est d'ailleurs ce que proposent Eisenbud et Harris dans *The Geometry of Schemes* (GTM 197), théorème VI-14. J'ai ajouté une remarque à ce sujet. Mais personnellement je préfère éviter autant que possible de mentionner les corps.

Pour la définition avec les espaces annelés, je suis d'accord, mais mon but était justement d'éviter complètement de parler d'espaces annelés (ou localement annelés), qui ne sont pas à mon avis quelque chose de très naturel et qui empêchent de bien généraliser la définition (aux espaces algébriques ou autre chose). À la base, on s'intéresse à des solutions d'équations polynomiales, ça donne plus naturellement des foncteurs de points que des espaces localement annelés.

En vérité je suis médiocrement convaincu que les schémas soient une catégorie très naturelle : le fait que la droite réelle avec l'origine complexifiée ne soit pas un schéma (alors qu'avec l'origine doublée elle l'est : donc il y aune descente galoisienne complètement évidente qu'on ne peut pas faire), ou que la droite avec tangente à l'origine doublée n'en soit pas non plus un (alors qu'elle a un recouvrement par un schéma tel que le produit fibré soit un recouvrement de Zariski dans tout sens raisonnable du terme), tout ceci me fait penser que la catégorie des schémas n'est pas très bonne. La catégorie des espaces algébriques a l'air meilleure, encore que la voûte étoilée de Zariski (limite projective de tous les éclatements possibles du plan projectif) n'est toujours pas un espace algébrique, ce qui n'est toujours pas très plaisant.

Ceci étant, je reconnais que définir les espaces localement annelés comme objets en anneaux locaux dans le topos des faisceaux sur un espace topologique (pour mémoire, le théorème est VIII.6.prop(1) dans le MacLane & Moerdijk (*Sheaves in Geometry and Logic*)) a son élégance. Mais il y a un peu d'arnaque quand même, parce que ça dit que pour chaque espace topologique X, les faisceaux en anneaux locaux sur X sont quelque chose de naturel, mais ce n'est pas pareil que dire que la catégorie de tous les espaces localement annelés (avec X variable) l'est. 'Fin bon, je ne sais pas bien.

Dam's (2013-09-23T13:31:34Z)

@Cargo du Mystère

Étant donné que ma définition définit les mêmes objets, c'est bien
"essentiellement" la même suivant le niveau de poussière que l'on se permet
de cacher sous le tapis ;) (poussière consistant en la démonstration que
les deux notions sont bien équivalentes).

Le problème avec la définition purement fonctorielle des schémas c'est que
l'on ne comprend pas pourquoi parmi tous les foncteurs, la sous catégorie
des schémas est intéressante.

En introduisant la catégorie ESP des espaces localement annelés, on peut
motiver ça de la façon suivante:
- on a un foncteur Spec, adjoint du foncteur section globale O. Comme
O(Spec A)=A, la catégorie (opposée) des anneaux se plonge dans ESP.
- On a un autre plongement canonique de la catégorie (opposée) des anneaux
dans Z-FONCTEURS via Yoneda.
- La catégorie des schémas est "l'intersection" de ces deux catégories.
De manière plus précise:
via le plongement précédent, en prenant Yoneda de ESP restreinte à la
sous-catégorie (opposée) des anneaux, on a un foncteur S de ESP dans
Z-FONCTEURS.

Th: Le foncteur S admet un adjoint à gauche R (réalisation géométrique)
Pr: Si on a un Z-foncteur F, alors F est la limite inductive de la
catégorie /F, ie on prend les x \\in F(A) où on voit x \\in F(A) via un
morphisme de R dans F.
On pose alors R(F)=limite inductive des Spec A.

Déf: Les schémas sont la sous-catégorie de ESP (ou Z-FONCTEURS) où R et S
forment une équivalence de catégorie.

Remarque: la catégorie ESP admet limite inductive et projective. Comme Spec
est adjoint à droite, les Spec sont stables par limite projective, mais pas
par limite inductive. De manière amusante, via la définition précédente on
peut voir que les schémas sont 'les plus petites limites inductives de
Spec'. Dans le sens qu'un espace géométrique X est un schéma si et
seulement si X=R(S(X)), ie non seulement X est limite inductive de schémas
affines (car dans l'image de R), mais même X est isomorphe à la limite
inductive de la catégorie des schémas affines/X.

@David

Si je ne me trompe pas, comme l'espace topologique d'un espace localement
annelé X est uniquement donné par les X(K), où K est un corps, pour la
définition de recouvrement il suffit de demander que X(K)=\\cup
U_{\\alpha}(K) pour tout corps K.

Cargo du Mystère (2013-09-22T21:09:21Z)

@Dam's: ta définition n'est PAS "essentiellement la même" que celle de David. La définition donnée par David traduit en particulier -hautement non trivialement-en termes de foncteur ce que signifie "localement affine", notion évidente dans la définition de schéma comme espace localement annelé.

Cargo du Mystère (2013-09-22T20:51:49Z)

C'est un fantasme souvent exprimé de définir un schéma comme un foncteur satisfaisant à certaines propriétés.
Ton texte est, et de loin, le plus pédagogique allant dans ce sens (le seul texte plus complet à ma connaissance étant la monstruosité de Demazure-Gabriel). Tu dis (et c'est fort compréhensible) qu'il t'a coûté des mois de travail: le résultat en vaut la peine et il serait bien intéressant de voir ton texte prolongé en une introduction complète à la théorie des schémas vue sous cet aspect fonctoriel.
On attend :-)

Dam's (2013-09-22T14:23:36Z)

Pour une autre définition courte (qui bien sûr est essentiellement la même que la version fonctorielle que tu présentes) on peut:
- définir les espaces localement annelés, ce qui est rapide une fois qu'on a la notion de faisceau (ou alors on triche en les définissant comme les anneaux locaux (internes) du topos des faisceaux d'un espace topologique).
- définir les espaces affines comme venant du foncteur 'Spec' adjoint au foncteur sections globales sur les espaces localement annelés
- définir les schémas comme étant les espaces localement annelés localement affines.

Hum du coup je me demande s'il est possible de définir une notion de schéma correspondant à un topos quelconque.

Fantômas ironise (2013-09-22T11:38:59Z)

Connais-tu l'article de l'Encyclopedia Universalis (signé Jean Bénabou) consacré aux Catégories & Foncteurs ?

En voici les premières lignes :

Introduite en 1945 par Eilenberg et MacLane pour rendre compte de propriétés très générales des structures mathématiques, la théorie des catégories a quelque peu pâti, au début, de cette généralité qui lui valut auprès des "mathématiciens sérieux" l'appelation de "Abstract Nonsense".

Fantômas fait des maths (2013-09-22T10:31:44Z)

C'est certainement plus efficace contre le rhume de cerveau que toute ta pharmacopée … prenez une immersion en infusion + un foncteur en application et vous serez guéri par la magie des schémas !