David Madore's WebLog: astro

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(samedi)

Les petits machins qui tournent dans notre système solaire

Je me rappelle en commençant cette entrée que j'ai créé une catégorie astro sur ce blog, qui ne me sert franchement pas beaucoup. D'ailleurs, je suis assez nul en astronomie sauf peut-être dans ses aspects les plus mathématiques (genre, la mécanique céleste), et comme je suis trop myope pour voir les étoiles même quand je ne suis pas à Paris où c'est essentiellement impossible de toute façon, regarder le ciel nocturne a assez peu d'intérêt pour moi. Mon papa m'a montré Saturne à travers un télescope emprunté à l'Université de Toronto quand j'étais petit, mais ma pratique de l'observation directe s'est arrêtée là.

Pour autant, je ne peux pas nier que, parmi d'autres objets monstrueux qu'il est intéressant de s'exercer à imaginer, les planètes et autres corps du système solaire exerçaient et exercent toujours sur moi une certaine fascination et si j'ose dire une certaine collectionnite. Soit en raison de leur similarité avec la Terre qui les rend au moins vaguement imaginables : Mars, maintenant, on en a tellement de photos en très haute résolution, de vidéos, et de toutes sortes de mesures, que ce n'est même plus drôle de l'imaginer (enfin bon, si par hasard la NASA lit mon blog, j'aimerais bien voir des vues d'Olympus Mons depuis une bonne distance, et de Valles Marineris depuis son bord). Titan est, de nos jours, ce que Mars était quand j'étais petit, et j'ai déjà mentionné que cette photo, la seule que nous ayons prise depuis la surface d'autre chose que la Terre, la Lune, Mars ou Vénus, est, à mes yeux, l'image la plus extraordinaire de l'astronomie et peut-être de toute la science, parce que ces cailloux d'apparence banale (et qui sont d'ailleurs essentiellement de la glace d'eau) ont été photographiés à plus d'un milliard de kilomètres d'ici, sur un astre qui a une surface solide, une atmosphère de pression semblable à celle de la Terre (certes pas très respirable pour nous), et même des vrais lacs et mers (d'hydrocarbures). Je rêve de voir une vidéo des lacs de Titan (y a-t-il des vagues dessus ? [ajout : apparemment non et c'est un peu un mystère]). Mais si on écarte cet intérêt pour ce qui ressemble au moins formellement à la Terre, j'ai tendance à trouver que c'est la taille qui compte, et (comme Randall Munroe) j'aimerais bien voir des photos de près des nuages des planètes géantes. Ou d'ailleurs, des bonnes photos d'Uranus et Neptune, parce que franchement celles qu'on en a ne sont pas terribles : à tel point que quand on cherche Uranus dans Google Images, une bonne partie des images renvoyées sont, en fait, celles de Neptune (bizarrement, celles renvoyées pour Neptune ont bien l'air d'être de Neptune — mais c'est aussi un peu toujours la même).

Au rayon c'est la taille qui compte, d'ailleurs, bien avant que Pluton ne soit dégradé au rang de planète naine, je militais pour qu'on arrête d'appeler par le même nom les satellites sérieux qui ont une forme bien ronde (ceux qui sont à peu près en équilibre hydrostatique sous l'effet de leur propre gravité) et les autres petites merdes qui tournent autour des différentes planètes. Non, dis-je fermement, Jupiter n'a pas 67 lunes (nombre qui change d'ailleurs régulièrement, quand j'étais petit c'était évidemment beaucoup moins, et il ne peut que tendre vers des quantités colossales quand on en sera à répertorier chaque molécule de son système d'anneaux), il en a exactement 4, à savoir celles, Io, Europe, Ganymède et Callisto, connues depuis Galilée, et les autres cailloux qui orbitent autour méritent à peine qu'on les compte, pas qu'on les range dans la même catégorie, et certainement pas qu'on leur donne des noms individuels (je sais que Zeus était gros coucheur, mais au bout d'un moment, l'arrachage de cheveux pour trouver la nymphe violée après laquelle on va nommer le caillou du mois, ça devient ridicule). Évidemment, quelle que soit la définition, il y aura des cas tangents (comme Mimas ou Encélade, si bien que je ne sais pas combien de lunes « sérieuses » a Saturne), mais au moins si on convient de ne nommer que les objets ronds sous l'effet de leur propre gravité, on a un espoir que le système solaire ait un nombre d'objets localement exhaustible, c'est-à-dire, dont on puisse énumérer la totalité jusqu'à une distance donnée du Soleil.

À ce titre-là, la consultation de cette page Wikipédia ou de celle-ci est assez intéressante comme catalogue des objets sérieux du système solaire. La liste des transneptuniens, notamment, c'est-à-dire des objets du même genre que Pluton et qui ont fait qu'on a dû déclasser ce dernier parce que sinon on arrivait à un nombre ridicule de planètes, est très rigolote, et on peut légitimement s'interroger sur ce que peut être la taille du plus gros objet qui tourne autour du Soleil au-delà de l'orbite de Neptune. Je ne comprends pas parfaitement le diagramme de Venn des différentes classifications d'objets transneptuniens (ceinture de Kuiper, disque épars, plutinos, objets à orbites classiques ou résonantes, objets « détachés », objets intérieurs du nuage d'Oort), et les définitions ne sont peut-être pas très bien établies, mais ce qui est sûr c'est qu'il y a beaucoup plus d'objets ronds connus dans le système solaire que quand j'étais petit, et qu'ils ont des caractéristiques rigolotes. Dites bonjour à : Éris, à peu près de la taille de Pluton mais avec une orbite bien excentrique et très inclinée qui l'emmène nettement plus loin que lui ; Haumea, qui tourne incroyablement vite sur lui-même et qui du coup est déformé en un ellipsoïde très aplati ; Makemake, le plus gros connu après Pluton et Éris et dont l'orbite ressemble à celle de Haumea ; Orcus, qui a une orbite sembablable en taille, excentricité et inclinaison à celle de Pluton (on dit que c'est un Plutino) ; 2007 OR₁₀, qui n'a même pas encore été nommé, et qui a une orbite semblable à Éris ; Quaoar, qui a une orbite bien classique (ronde et peu inclinée) et qui est apparemment la première du lot à avoir été découverte ; et Sedna, dont l'orbite extrêmement elliptique l'entraîne à plus de 900 unités astronomiques du Soleil (pour mémoire, Neptune est autour de 30 ; actuellement, Sedna est autour de 90UA — c'est bien sûr parce qu'il est vers son périhélie qu'on a pu le détecter), ce qui pose plein de questions sur le nombre d'objets de ce genre. Si comme moi vous avez du mal à vous y repérer, voyez ce diagramme ou celui-ci pour les orbites (demi-grand-axe et inclinaison) ou si vous voulez voir Sedna dans le tas, et pour une idée de la taille, forme et couleur de ces objets.

Tout ça pour dire que je suis content qu'on ait enfin de jolies photos de Pluton, mais que maintenant je voudrais en avoir d'Éris et autres (voire une vidéo de Haumea en train de tourner ?), et en tout cas j'ai plein d'images que je rêve d'avoir du système solaire. Par comparaison, les planètes extrasolaires, je n'arrive pas du tout à m'y intéresser, même quand on nous pipote qu'elles ressemblent à la Terre.

(samedi)

Comment lire un diagramme d'éclipse ?

[Diagramme de l'éclipse du 2015-03-20]Si vous avez cherché à vous renseigner précisément sur l'éclipse solaire qui a eu lieu hier, ou sur quelque éclipse solaire que ce soit, vous êtes certainement tombé sur un diagramme tel que celui ci-contre (cliquez pour agrandir) et que je tire en l'occurrence d'un site de la NASA [note : l'image est dans le Domaine Public, comme le sont généralement les productions des organismes du gouvernement fédéral des États-Unis], on trouve aussi l'image centrale sur Wikimedia Commons. L'apparence de la carte n'est pas toujours la même (regardez notamment la forme des courbes rose / magenta, qui est une des choses dont je veux parler) : comparez par exemple les diagrammes pour l'éclipse solaire totale du 2016-03-09, l'éclipse solaire partielle du 2018-02-15, l'éclipse solaire annulaire du 2019-12-26, l'éclipse solaire hybride du 2031-11-14 et l'éclipse solaire totale du 2041-04-30 (regardez bien la forme de la courbe magenta de gauche : elle est séparée de celle de droite, et elle a un nœud) — ces exemples donnent une idée de la diversité des formes possibles.

Je ne peux pas tout expliquer parce qu'il y a des choses que je ne sais pas exactement, ou même si je devine quelque chose, je n'en suis pas sûr et je ne sais pas forcément le dire de façon simple. Par exemple, la magnitude d'une éclipse est définie notamment sur Wikipédia comme la proportion recouverte par la Lune du diamètre angulaire du Soleil selon l'axe qui relie les centres géométriques des deux astres, sauf que Wikipédia se contredit immédiatement en disant que pendant une éclipse totale cette quantité peut dépasser 1 (alors qu'une proportion de diamètre recouverte, elle ne va certainement pas dépasser 1), et de même, cette page donne deux définitions adjacentes qui ne sont pas compatibles l'une avec l'autre, avec une phrase bizarre (this could also apply to a total solar eclipse : il faudrait savoir, on utilise quoi ? si mes spéculations ci-dessous sont correctes, il faut simplement ignorer cette parenthèse) ; du coup, je ne sais pas avec certitude quelle est la définition exacte. L'astronomie est pleine de petites subtilités comme ça où on peut assez bien comprendre l'idée générale, mais dès qu'on commence à couper les cheveux en quatre on n'y comprend plus rien.

Si des gens veulent couper les cheveux en quatre avec moi pour cette histoire de magnitude d'une éclipse, voici comment je vois les choses : mettons qu'on mette des coordonnées affines sur la droite reliant les centres géométriques du Soleil et de la Lune de sorte que les deux bords du Soleil aient les coordonnées 0 et 1, et ceux de la Lune a et b (je peux bien sûr supposer a<b). Il semble que si 0<a<1<b (situation d'éclipse partielle, donc), la magnitude de l'éclipse vaille 1−a (ce qui colle bien à la fois avec la définition donnée par Wikipédia et la première formule de la page néerlandaise citée ci-dessus) ; et si 0<a<b<1 (éclipse annulaire), on doit utiliser la formule ba (ce qui colle à la fois avec la définition de Wikipédia et la seconde formule de la page citée ci-dessus). Pour des raisons de symétrie, si a<0<b<1, la magnitude doit valoir b. Les formules 1−a et b respectivement peuvent encore resservir dans les cas où 0<1<a<b et a<b<0<1 respectivement (pas d'éclipse), ce qui colle avec la première formule de la page néerlandaise mais pas avec la définition de Wikipédia qui dit juste 0 (pour se contredire après en parlant des near miss). La question est surtout de savoir quelle formule prendre si a<0<1<b (éclipse totale), et je pense que la bonne formule est, en fait, min(1−a, b) (qui se recolle continûment avec les autres formules), ce qui coïncide effectivement avec la première formule (½ + ½(ba) + |½(a+b) − ½|) donnée par la page néerlandaise, pas la seconde (ba), qui causerait des discontinuités. Tous ces cas se rassemblent sous une seule formule : min(1−a, b, ba) (toujours sous la condition a<b). Maintenant, je ne sais pas s'il y a une façon simple de le dire (le mieux que je trouve est : la plus petite des mesures (algébriques) des trois intervalles, portées sur le diamètre solaire passant par le centre géométrique de la Lune, entre le bord gauche du Soleil ou de la Lune, et le bord droit du Soleil ou de la Lune, au moins l'un des deux bords devant être celui de la Lune). Toujours est-il que c'est un exemple de ce qui m'énerve souvent en astronomie, les définitions approximatives qu'on ne sait pas comment prolonger à tous les cas.

Pour les généralités sur les éclipses (la notion de ligne des nœuds, de mois et d'année draconitiques, de saros, etc.), je renvoie à cette vieille entrée. Ici, je veux parler avant tout des figures comme ci-dessus, et de l'aspect géographique des éclipses. Je me contenterai donc de rappeler, à tout hasard, que le cône de pénombre à un instant donné est le cône des points de l'espace d'où on voit le Soleil partiellement éclipsé par la Lune, c'est-à-dire le cône tangent simultanément au Soleil et à la Lune dont le sommet est entre les deux, tandis que le cône d'ombre est celui des points d'où on voit le Soleil totalement éclipsé, c'est-à-dire le cône tangent simultanément au Soleil et à la Lune dont le sommet est situé approximativement au niveau de la Terre, la partie située de l'autre partie de ce cône étant le cône d'annularité, qu'on peut aussi considérer comme faisant partie du cône d'ombre. Venons-en à la figure. Sous réserve d'erreurs et d'incomplétudes de ma part, donc :

Voir aussi cette page pour une description des sigles divers et variés utilisés dans les cartes.

J'aimerais bien faire un programme qui calcule ce genre de diagrammes (il ne semble pas en exister qui soit libre), mais je n'ai vraiment ni le temps ni la patience pour ça.

D'autre part, je n'ose même pas essayer d'imaginer à quels endroits j'ai fait la supposition abusive que la Terre est sphérique, ou que la vitesse de la lumière est infinie, et ce qu'il faut changer (if anything) quand on ne le suppose plus.

[#] Exemple : ce que je crois avoir compris (et que j'explique ci-dessus), c'est que la courbe magenta passant par P1 est la courbe des endroits où le point du Soleil éclipsé en premier par la Lune se situe au niveau de l'horizon quand ceci se produit (i.e., le point du Soleil par lequel l'éclipse commence se lève justement quand l'éclipse commence). Mais je peux aussi considérer la courbe des endroits où le point le plus bas du Soleil au niveau de l'horizon au moment où l'éclipse commence (i.e., le Soleil finit de se lever quand l'éclipse commence), ou bien où le point le plus haut du Soleil au niveau de l'horizon au moment où l'éclipse commence (i.e., le Soleil commence à se lever quand l'éclipse commence), ou encore où le centre géométrique du Soleil au niveau de l'horizon au moment où l'éclipse commence (i.e., le Soleil se lève astronomiquement quand l'éclipse commence). Ceci fait quatre courbes différentes, les deux premières passant par P1. Et puis je peux considérer les mêmes choses en remplaçant quand l'éclipse commence par quand l'éclipse finit ou quand l'éclipse atteint son maximum (ça ça ne fait que trois courbes). Donc j'ai défini onze courbes différentes d'éclipse au lever du Soleil, et franchement, je me mélange un peu entre elles, parce que je n'y vois pas grand-chose. Mais aucun texte d'astronomie ne semble s'exprimer suffisamment clairement pour qu'on puisse vraiment être sûr que j'ai bien identifié laquelle de mes onze courbes, ou du moins des deux passant par P1, est celle marquée en magenta.

(dimanche)

Méditations sur la taille de la Terre

Supposons que je sois perdu tel Robinson Crusoë sur une île déserte, sans aucun instrument de mesure précis : aurais-je un moyen d'estimer la taille de la Terre, ou au moins d'en connaître l'ordre de grandeur ?

On connaît sans doute la fameuse expérience d'Ératosthène qui consiste à mesurer la différence d'angle entre la position du Soleil au même moment à deux villes passablement éloignées et dont la distance est connue : cette expérience donne une bonne précision, mais évidemment, sur mon île, je n'ai pas le moyen de la mener. Comment faire ?

L'observation la plus classique permettant de démontrer que la Terre est ronde consiste à regarder un bateau apparaître à l'horizon et remarquer qu'on en voit le sommet du mât avant (ou après, si le bâteau s'éloigne) la coque. Mais si je vois un bâteau à l'horizon, je serai plus intéressé à l'appeler à l'aide qu'à mesurer la taille de la Terre.

h R R α α

Ce que je peux faire en principe, en revanche, c'est utiliser un coucher de Soleil. Le principe, où l'on suppose la Terre parfaitement ronde, est le suivant : si un point à l'infini est exactement sur l'horizon au niveau du sol, alors quand on le regarde depuis une hauteur h, ce point apparaît au-dessus de l'horizon d'un angle α tel que cos(α)=R/(R+h) où R est le rayon de la Terre, c'est-à-dire, plus exactement, que l'horizon est plus bas de cet angle α. Cet angle α est aussi l'angle, mesuré au centre de la Terre, entre la base du point d'où l'on observe, et la limite de visibilité (le point le plus loin qu'on puisse voir). Lorsque h est très petit devant R, ceci donne α=√(2h/R). Si on arrive à mesurer α, on connaît donc h/R.

La difficulté, évidemment, c'est que mesurer α va être très technique. On peut essayer d'attendre un coucher du Soleil, mettre ses yeux au niveau de l'eau (puisqu'on est sur une île), attendre l'instant exact où le Soleil a fini de disparaître à l'horizon, puis se redresser de toute sa hauteur et estimer la fraction du disque solaire qu'on voit remonter au-dessus de l'horizon (ce sera vraiment très grossier parce que l'angle α sera de l'ordre de 2′, ou quelque chose comme un quinzième du diamètre apparent du Soleil ; on peut aussi l'estimer en se faisant une idée du temps qu'il faut pour que le Soleil disparaisse de nouveau complètement depuis la hauteur qu'on a prise — ce sera de l'ordre d'une dizaine de secondes — mais ceci dépend bien sûr de la latitude de l'île, encore qu'on peut estimer celle-ci en cherchant l'élévation du pôle céleste autour duquel les étoiles semblent tourner ; une autre source d'imprécision sera la réalisation du niveau de la mer, parce qu'une erreur de quelques centimètres sur celui-ci donne facilement une erreur de quelques fractions de minute sur l'angle α). Tout de même, si on cherche simplement à avoir un ordre de grandeur très grossier sur R (ou plutôt, sur R/h), c'est déjà quelque chose. Peut-être qu'une meilleure mesure consisterait, si l'île est dotée de falaises, à regarder à quelle vitesse l'ombre de la nuit monte sur la falaise.

Je ne sais pas bien dans quelle mesure la valeur assez précise trouvée par Ératosthène pour la taille de la Terre était encore connue au Moyen-Âge ou à la renaissance. On s'imagine parfois que les gens au Moyen-Âge croyaient que la Terre était plate, c'est complètement faux et je ne sais pas d'où est sortie cette légende urbaine, qui va parfois jusqu'à suggérer l'idée totalement saugrenue que Christophe Colomb aurait navigué vers l'ouest pour prouver — ou parce qu'il était le seul à savoir — que la Terre était ronde, ce qui est tout de même assez stupide comme idée. Ce qui est sans doute plus vrai, c'est que Colomb croyait pour une raison ou une autre à une valeur fausse (i.e., nettement plus petite) de la taille de la Terre, alors que tout le monde voyait bien que c'était déraisonnable, sauf à supposer rencontrer un providentiel continent en chemin, de partir de Palos de la Frontera pour arriver à Cipango (qui mûrit le fabuleux métal en ses mines lointaines) par l'ouest.

Dans cet ordre de question, je me suis toujours demandé si lors de l'expédition de Magellan on avait pensé que les membres de l'expédition verraient s'écouler un jour de moins que ceux restés en Espagne. (L'article Wikipédia suggère que ce fait a causé une grande excitation et qu'on en a même fait part au pape : ça ne dit pas vraiment si on y avait pensé avant, si le fait était controversé, si c'était une véritable découverte, ou quoi encore.) Je pense que c'est la première manière dont on a pu se rendre compte, concrètement, de l'existence d'un décalage horaire entre les parties du globe (parce que les premières horloges suffisamment précises pour permettre d'estimer correctement la longitude ne sont venues qu'assez tard — en fait, la question qui se pose concrètement est de comparer d'une part la vitesse du bateau par rapport à la vitesse de la Terre et d'autre part la précision des meilleures horloges : ce n'est que quand le premier devient supérieur au second qu'on peut apercevoir concrètement un décalage horaire sans faire le tour de la Terre).

J'ai toujours trouvé assez fascinant de me demander quels phénomènes astronomiques, ou quels ordres de grandeur, on peut réussir à estimer, au moins grossièrement, par des expériences extrêmement simples. Notre Robinson Crusoë sera peut-être plus intéressé à estimer sa latitude (ou déjà à chercher, s'il ne le sait pas, dans quel hémisphère il se trouve, en voyant si le Soleil va plutôt de la gauche vers la droite ou de la droite vers la gauche dans le ciel) qu'à mesurer la taille de la Terre, mais admettons. Peut-on estimer d'autres choses ? Il semble qu'historiquement la taille de la Lune ait été estimée — par Aristarque de Samos — lors d'une éclipse de Lune : on peut alors remarquer que l'ombre de la Terre est très grossièrement trois ou quatre fois plus grosse que la Lune, ce qui donne à la fois un ordre de grandeur de sa taille et de sa distance (puisqu'on connaît son diamètre apparent) ; je ne vois pas trop d'autre moyen d'y arriver sans connaître les lois de Newton. Quant à la distance ou la taille du Soleil, je ne vois qu'une façon d'en obtenir une minoration (très très grossière) en constatant que lors d'un quartier de Lune (c'est-à-dire lorsque l'angle Soleil-Lune-Terre, mesuré à la Lune, est droit) la séparation angulaire entre le Soleil et la Terre (c'est-à-dire l'angle Soleil-Terre-Lune, mesuré à la Terre) est à peu près aussi droit qu'on peut le juger : ceci ne permet que de se rendre compte que le Soleil est beaucoup plus loin de la Terre que ne l'est la Lune, mais il semble que la première détermination à peu près précise de la distance Soleil-Terre n'a été faite qu'en 1672 par Cassini et Richer (par mesure du parallaxe de Mars entre Paris et Cayenne).

L'estimation, extrêmement grossière, de la distance à une étoile proche, a été faite une vingtaine d'années plus tard par Huygens en partant du principe que les étoiles avaient la même luminosité intrinsèque que le Soleil (ce qui est complètement faux en général, et assez faux pour l'étoile qu'il avait choisie, mais pas déraisonnable comme principe si on veut se faire une idée des distances cosmiques) : il a cherché à réaliser un trou dans un disque de métal d'une taille telle que le Soleil vu à travers ce trou soit à peu près de la même luminosité, jugée à l'œil, que Sirius ; c'est une estimation incroyablement difficile à faire, et de fait, Huygens s'est trompé d'un ordre de grandeur : il a trouvé que Sirius vu depuis la Terre était environ 30000² fois moins lumineux que le Soleil (i.e., qu'il fallait faire un trou de 1/30000 du diamètre apparent du Soleil pour obtenir la même luminosité) alors qu'en fait il est plutôt 100000² (c'est-à-dire 1010) fois moins lumineux ; comme en plus il ne savait pas que Sirius est intrinsèquement 25 fois plus lumineux que le Soleil, il a trouvé une distance Terre-Sirius de 30000 unités astronomiques (distances Terre-Soleil) au lieu de 540000 : mais peu importe, le principe de l'idée est absolument génial, et je ne vois pas comment on aurait pu faire mieux à son époque. (On a pu commencer à mesurer vraiment la distance aux étoiles en observant leur parallaxe, mais ça a été plus compliqué que prévu parce que Bradley, en cherchant à y arriver vers 1725, est d'abord tombé sur le phénomène d'aberration de la lumière.)

Je redescends sur Terre, ou du moins, plus près d'elle.

Parlons un peu de la station spatiale internationale. Beaucoup de gens s'imaginent sans doute qu'elle est très loin de la Terre, et que la raison pour laquelle les astronautes à l'intérieur sont en état d'impesanteur est que cette distance est suffisamment grande pour que la gravité soit très faible. C'est tout à fait faux : la station spatiale internationale est à une altitude très faible par rapport au rayon de la Terre (autour de 400km : c'est certes 50 fois la hauteur de la plus haute montagne du monde — le K2 — mais c'est à peine 6% du rayon de la Terre) : l'accélération de la gravité y est donc quasiment la même qu'à la surface (plus exactement, elle est 11% plus faible). La raison pour laquelle l'intérieur de l'ISS est en impesanteur est simplement le principe d'équivalence : la station spatiale est en chute libre (au sens où elle n'est soumise qu'à la gravitation), et plus exactement, en orbite, ainsi que tout ce qui est à l'intérieur.

Quelle est la vitesse (horizontale, bien sûr) de la station spatiale par rapport au sol ? En fait, l'altitude n'a guère d'importance vu qu'elle est faible, on pourrait se poser la question au niveau du sol : à quelle vitesse faut-il se déplacer à la surface de la Terre pour être en orbite au niveau du sol, c'est-à-dire, ne plus sentir de poids ? La réponse est simplement, à la vitesse v telle que l'accélération centrifuge ressentie du fait de parcourir le tour de la Terre à vitesse v compense justement l'accélération g de la pesanteur. C'est-à-dire v²/R = g ou v=√(R·g). Comme R vaut environ 6400km (soit 6.4×106m) et g vaut 9.8m/s², on en déduit une vitesse de 7900m/s (ou 28000km/h) : juste en allant tout droit à cette vitesse on est en état d'impesanteur. (Pour la station spatiale, c'est un chouïa moins, 7700m/s.) C'est amusant parce que, à un chiffre significatif, le calcul se fait vraiment de tête, sans rien savoir : je pense que c'est un bon test pour savoir si quelqu'un a compris sa physique de lycée, « quelle est la vitesse de la station spatiale internationale ». On peut aussi y arriver avec la troisième loi de Kepler ou avec le principe que, pour un objet en orbite circulaire, l'énergie cinétique égale −½ fois l'énergie potentielle gravitationnelle.

Et il y a un rapport avec la première chose que je racontais. En effet, mettons que je monte à une certaine hauteur h (très petite devant le rayon R de la Terre) : depuis cette hauteur, je vois le sol jusqu'à une distance d=√(2R·h) (c'est-à-dire R·α avec mes notations précédentes) ; eh bien cette distance est justement celle v·t que parcourt la station spatiale (ou du moins un objet en orbite au niveau du sol) dans le temps t=√(2h/g) qu'il faut pour qu'un objet en chute libre (sans frottements) tombe depuis la hauteur h. Pour dire ça de façon plus imagée : si je monte en haut d'une tour et que quand la station spatiale est à mon niveau je fais tomber une balle du haut de cette tour, la balle touche le sol au même moment que la station arrive au niveau de mon horizon de visibilité. Ce n'est pas un hasard : c'est justement ce que fait la station : de façon très imagée, elle est en chute libre et, pour compenser cette chute libre, elle doit se déplacer à juste la distance qu'il faut pour que la convexité de la Terre crée la même hauteur sous ses pieds.

Ça me fait penser à une autre égalité astucieuse un peu dans la même ligne de pensée : si la Terre s'arrêtait brutalement sur son orbite, combien de temps faudrait-il pour qu'elle tombât dans le Soleil ? (Je pose la question avec la Terre et le Soleil plutôt qu'avec un objet qui orbiterait la Terre au niveau de la surface, parce qu'il faut que la source de gravité soit ponctuelle.) La réponse est : à peu de choses près, trois mois. Pourquoi ? parce que la troisième loi de Kepler s'applique encore pour décrire la trajectoire elliptique dégénérée de la chute en question, dont le demi-grand-axe est quasiment le même que la trajectoire orbitale précédente, c'est-à-dire une distance Terre-Soleil, donc la période orbitale doit être la même, et le temps de tomber dans le Soleil correspond à un quart de période, i.e., le quart de douze mois. (Cette question avait été posée au Concours général de physique l'année où je l'avais passé, et j'avais été assez content de trouver cette réponse.) [Correction () : Je dois mal me rappeler la question, parce que, comme on me le signale en commentaire, j'ai mélangé grand-axe et demi-grand-axe dans cette histoire : la trajectoire de chute a un grand-axe égal au demi-grand-axe (rayon) de la trajectoire normale de la Terre (et par ailleurs le temps de chute est une demi-période), donc on ne peut plus rien dire d'intelligent (à moins d'invoquer la relation précise dans la troisième loi de Kepler, ce qui fait 3/√2 mois, mais n'est clairement pas l'esprit donc le problème devait être différent ; peut-être qu'il s'agissait simplement de trouver un ordre de grandeur).]