Mathématiques (vieille page)

Table des matières

• Avant-propos
• Recherche
• Exposés
• Réflexions
• Didactique
• Divers
• Khôlles
• DEUG MIAS

Avant-propos

Si vous êtes à la recherche de mon site Web professionel, il est ailleurs.

Comme son titre l'indique, ceci est ma « vieille » page mathématique. C'est un répertoire de différents textes mathématiques qu j'avais écrit quand j'étais étudiant (à l'ENS essentiellement, ou avant), que je conserve pour son intérêt « historique » (il y a des gens qui trouvent certaines choses sur cette page intéressantes pour des raisons diverses, donc je ne veux pas simplement les retirer du Web). Ce n'est pas mon activité de recherche mathématique actuelle, seulement des choses anciennes : pour ma liste de publication et ce genre de choses, voyez mon site Web professionnel (qui n'est pas non plus à jour, malheureusement).

Pour la même raison, je ne suis généralement pas intéressé à ce qu'on me signale des erreurs dans ces papiers : je sais qu'il y en a, mais ce sont des vieux trucs, et le style de TeX et le mode de compilation ont changé au point que ce serait très malcommode pour moi d'y faire des changements maintenants (dans certains cas, je peux même avoir perdu le source).

Il y a d'autres pages de maths sur ce site, dont certaines sont possiblement plus à jour que celle-ci (par exemple les posts de maths sur mon blog).

Recherche

Voir mon site Web professionnel.

Exposés

• Ma thèse de doctorat, faite sous la direction de Jean-Louis Colliot-Thélène, s'intitule Hypersurfaces cubiques : équivalence rationnelle, R-équivalence et approximation faible (pdf)

• Mon mémoire de magistère inclut une copie de mon exposé de maîtrise et de mon rapport de DEA (ci-dessous). Il contient aussi une présentation simplifiée de ce dernier ainsi que quelques notes sur la logique intuitionniste comme une sorte de résumé du groupe de travail que j'ai organisé sur le sujet l'an dernier. (ps (comprimé) ; français et anglais)

• Mon rapport de DEA, fait sous la direction de Michel Raynaud (michelraynaudmathu-psudfr) dans lequel je démontre deux résultats de Raynaud sur les diviseurs thêta et l'ordinarité des courbes et des recouvrements. En fait, ceci n'est pas exactement mon exposé de DEA mais les notes d'un exposé que j'ai donné un mois plus tard au CIRM de Luminy sur le même sujet. (LaTeX, dvi ou ps (comprimé) ; anglais)

• Mon exposé de maîtrise, fait conjointement avec Jean Marot (marotquatramaranensfr), sous la direction d'Yves Laszlo (laszlomathpolytechniquefr) sur le théorème de Belyj (au sujet des recouvrements étales de la droite projective moins trois points). (ps; français)

• Le texte d'un exposé que j'ai fait lors du cours de géométrie algébrique du professeur Illusie, au sujet des idéaux premiers associés et de la décomposition primaire. (dvi ou ps (comprimé); français)
• Le texte d'un exposé que j'ai donné pendant l'introduction aux groupes de Lie, par Vincent Lafforgue, sur les produits tensoriels et représentations de sl2(C). (dvi ou ps (comprimé); français), et la préversion initiale (et bien plus complète) du même (dvi ou ps (comprimé); français).

J'ai organisé à l'ENS un groupe de travail d'élèves sur la logique, la théorie des ensembles et le forcing (classiques et intuitionnistes) pendant l'année scolaire 1998–1999. Voici la liste des exposés qui ont eu lieu :

1. Prolégomènes (par moi-même). Disponible (dvi ou ps (comprimé); français).
2. L'Univers Constructible (par Itaï Ben-Yaacov). Non disponible.
3. Grands cardinaux (par Benoît Collins). Disponible (dvi ou ps (comprimé); français).
4. Introduction à la logique catégorique (par moi-même). Disponible (dvi ou ps (comprimé); français).
5. Forcing classique àla Cohen (par Jean Marot). Veuillez vous réferer au livre de Jech.
6. Semantiques de topos et forcing intuitionniste (par Frédéric Déglise). Pas de notes, mais mon exposé de magistère (voir plus haut) peut en jouer le rôle ; sinon, se référer au livre de MacLane.

Réflexions

• Depuis la fin de 2001, je tiens un journal mathématique, avec différentes réflexions (référencées) sur des questions variées. Il est maintenant disponible depuis cette page (dvi, pdf ou ps (comprimé); anglais)

• J'ai écrit une assez longue série de réflexions sur la théorie hypothétique de la géométrie algébrique non commutative. Maintenant je ne suis plus tellement d'accord avec certaines de ces idées (et en particulier la manière dont j'insite pour essayer de faire les choses sans briser la symétrie est stupide ; mais je suis toujours d'accord avec ce que j'ai dit au sujet de l'absence de colimites satisfaisantes dans la catégorie des anneaux). Quoi qu'il en soit, voici la plupart de ces pensées (par ordre d'intérêt décroissant) :

  • Version 9 (dvi ou ps (comprimé); anglais)
  • Version 11 (dvi ou ps (comprimé); anglais)
  • Version 7 (dvi ou ps (comprimé); anglais)
  • Version 4 (dvi ou ps (comprimé); anglais)

• Également lié à la géométrie algébrique non commutative, il y a ce thread de discussion qui a eu lieu sur le newsgroup local de l'ENS et dans un message duquel je présente certaines de mes idées sur le sujet.

• Un plus récent programme pour la géométrie algébrique a été posté dans le même newsgroup.

• J'ai amusé une partie du département de géométrie algébrique d'Orsay avec mes réflexions sur les schémas placides (dvi ou ps (comprimé); français).

• Essayer de donner un sens à la logique catégorique (dvi ou ps (comprimé); français).

• Voici maintenant quelques pensées sur la philosophie des mathématiques et la notion de Vérité : (dvi ou ps (comprimé); anglais).

• Et, last but not least, j'ai découvert le sens de la Vie, l'Univers et Tout le reste (dvi ou ps (comprimé); anglais).

Quelques posts que j'ai fait dans le forum des élèves (newsgroup local) de l'ENS, inclus dans mon Best Of sont d'intérêt mathématique :

• Un rant concernant la géométrie algébrique.
• Quelques commentaires sur le paradoxe EPR et les « probabilités négatives ».
• Un rant sur la cohomologie.
• Construction d'une certaine fonction.
• Srinivasa Ramanujan in memoriam : au sujet du nombre 1729.
• Remarque sur les actions de groupes transitives.
• Un programme pour la géométrie algébrique qui est surtout intéressant à lire si vous avez déjà lu mon rapport de magistère (voyez plus haut), et qui a également des relations avec la géométrie algébrique non commutative.
• Pourquoi le plan ne peut pas être écrit comme réunion de disques fermés de rayon non nul.
• Une expliquation simple de ce qu'est un « faisceau inversible ample ».
• Concernant l'axiome de régularité.
• Des remarques élémentaires sur les projections planes de la géométrie Lobatchevskienne.

Didactique

Deuxième cycle

• Une introduction à la théorie des catégories (de 50 pages de long) (dvi ou ps (comprimé); anglais), et une version antérieure de la même (dvi ou ps (comprimé); anglais).
• Quelques réflexions sur la théorie des jeux (notez que j'ai écrit ça avant de lire les travaux de Conway sur le sujet) (dvi ou ps (comprimé); anglais).

Premier cycle

• Une démonstration de l'indépendance linéaire sur les rationnels des racines carrées des entiers sans facteur carré (dvi ou ps (comprimé); français).
• Un texte sur les aspects mathématiques de la cartographie (pdf ou ps (comprimé); français).

Débutants

• Une page sur les pièges des probabilités (html; français).
• Une introduction à l'infini en mathématiques (remplace ou complète l'item suivant) que j'ai donnée en exposée au lycée Saint Louis (dvi, pdf ou ps; français).
• Une introduction aux nombres ordinaux, qui a été publiée dans le journal « VIRUS » du lycée Louis le Grand (html ou ps; français).
• Une introduction aux nombres p-adiques, que j'ai écrit pour les lecteurs du newsgroup sci.math (révisé 2000/12/07; dvi, pdf ou ps; anglais).

Trucs anciens

Ce qui suit a été écrit il y a longtemps (essentiellement, avant que je rentre à l'ENS), et peut être horriblement faux, daté ou quelque chose comme ça : caveat sumptor.

• Un rapide tour du cryptosystème RSA (dvi ou ps; français)
• Une introduction à la géométrie riemannienne et à la relativité générale (dvi ou ps (comprimé); français)
• Une première introduction à la géométrie algébrique (dvi ou ps (comprimé); français)
• Un bref tour de la théorie des ensembles (dvi ou ps (comprimé); français)
• Une démonstration du paradoxe de Banach-Tarski (dvi, pdf ou ps (comprimé); français)
• Exemples en théorie algébrique des nombres (dvi ou ps (comprimé); français)
• Plus sur la théorie des ensembles (dvi ou ps (comprimé); français)
• 99 questions pour jeunes génies (dvi ou ps (comprimé); français) (celui-ci contient beaucoup de fautes)
• La liste des 23 problèmes de Hilbert (dvi ou ps (comprimé); français)
• La correction de la composition de mathématiques de la session 1995 du concours d'entrée à l'École Normale Supérieure de Lyon (dvi ou ps (comprimé); français)

Divers

• Les premiers diagrammes de Dynkin (ps).
• Diverses listes de groupes simples non abéliens (html).
• Quelques variantes de l'axiome du choix (html; français).

Khôlles

J'ai fait passer des khôlles entre la rentrée 1996 et l'été 1999. Les deux premières années j'ai pris le soin de taper en TeX les exercices que je posais. Les voici donc :

Année scolaire 1996–1997, MPSI à Orsay

1. Logique, ensembles, applications, relations d'équivalence, relations d'ordre... dvi ou ps (comprimé)
2. Lois de composition, entiers naturels, récurrence... dvi ou ps (comprimé)
3. Nombres réels, suites réelles (début) dvi ou ps (comprimé)
4. Suites réelles (suite [sic!]), segments emboîtés, Bolzano-Weierstrass dvi ou ps (comprimé)
5. Suites réelles (fin), critère de Cauchy, séries (notions), fonctions réelles (début) (fichiers perdus !)
6. Fonctions réelles dvi ou ps (comprimé)
7. Structures algébriques classiques dvi ou ps (comprimé)
8. Espaces vectoriels dvi ou ps (comprimé)
9. Fonctions définies sur un intervalle dvi ou ps (comprimé)
10. Dérivabilité et TAF dvi ou ps (comprimé)
11. DL dvi ou ps (comprimé)
12. Nombres complexes dvi ou ps (comprimé)
13. Polynômes dvi ou ps (comprimé)
14. Intégration (ssspoir!) dvi ou ps (comprimé)
15. Dimension finie dvi ou ps (comprimé)
16. Matrices dvi ou ps (comprimé)
17. Fonctions classiques et fonctions rationnelles dvi ou ps (comprimé)
18. Espaces euclidiens, Cauchy-Schwarz dvi ou ps (comprimé)
19. Systèmes linéaires (!) dvi ou ps (comprimé)
20. Intégrales impropres dvi ou ps (comprimé)
21. Groupe symétrique et déterminants dvi ou ps (comprimé)
22. Programme indécidable dvi ou ps (comprimé)
23. Courbes planes dvi ou ps (comprimé)
24. Fonctions de plusieurs variables et calcul différentiel dvi ou ps (comprimé)
25. Réduction des endomorphismes dvi ou ps (comprimé)
26. équations différentielles et convexité dvi ou ps (comprimé)
27. Arithmétique dvi ou ps (comprimé)
28. Géométrie (?) euclidienne (??) dvi ou ps (comprimé)
29. Révisions générales I dvi ou ps (comprimé)
30. Révisions générales II dvi ou ps (comprimé)

Année scolaire 1997–1998, MPSI à Orsay

1. Ensembles dvi ou ps (comprimé)
2. Relations dvi ou ps (comprimé)
3. Suites réelles dvi ou ps (comprimé)
4. (absent cette semaine)
5. Entiers, dénombrement, récurrence dvi ou ps (comprimé)
6. Suites réelles, fonctions numériques dvi ou ps (comprimé)
7. Fonctions numériques dvi ou ps (comprimé)
8. Structures algébriques, analyse locale dvi ou ps (comprimé)
9. Dérivabilité dvi ou ps (comprimé)
10. Dérivabilité, développements limités dvi ou ps (comprimé)
11. Espaces vectoriels dvi ou ps (comprimé)
12. Nombres complexes dvi ou ps (comprimé)
13. Polynômes dvi ou ps (comprimé)
14. Intégrales dvi ou ps (comprimé)
15. Coup de paresse...
16. Dimension dvi ou ps (comprimé)
17. Matrices dvi ou ps (comprimé)
18. Fonctions rationnelles dvi ou ps (comprimé)
19. Espaces euclidiens dvi ou ps (comprimé)
20. Systèmes linéaires dvi ou ps (comprimé)
21. Déterminants dvi ou ps (comprimé)
22. Réduction et intégrales généralisées dvi ou ps (comprimé)
23. EVN, courbes paramétrées dvi ou ps (comprimé)
24. Quelque chose du même genre dvi ou ps (comprimé)
25. Calcul « différentiel » (sans différentielles !) dvi ou ps (comprimé)
26. Équadiffs, fonctions convexes dvi ou ps (comprimé)
27. Espaces euclidiens de dimension 2 et 3 dvi ou ps (comprimé)
28. Géométrie affine dvi ou ps (comprimé)
29. Arithmétique, intégrales doubles dvi ou ps (comprimé)
30. Révisions générales dvi ou ps (comprimé)

Année scolaire 1997–1998, MP^* à Louis le Grand

1. Ensembles, groupes, anneaux dvi ou ps (comprimé)
2. Espaces vectoriels, espaces métriques, topologie dvi ou ps (comprimé)
3. Dualités, matrices, espaces métriques dvi ou ps (comprimé)
4. (absent cette semaine)
5. Polynômes, fractions rationnelles, evn dvi ou ps (comprimé)
6. Divers dvi ou ps (comprimé)
7. Réduction, analyse locale dvi ou ps (comprimé)
8. Formes quadratiques, suites de fonctions dvi ou ps (comprimé)
9. Espaces euclidiens, suites de fonctions dvi ou ps (comprimé)
10. Espaces euclidiens, intégrale dvi ou ps (comprimé)
11. Espaces hermitiens, intégrale généralisée dvi ou ps (comprimé)
12. (absent cette semaine)
13. Espaces affines, intégrales dépendant d'un paramètre dvi ou ps (comprimé)
14. Géométrie plane, séries dvi ou ps (comprimé)
15. Géométrie plane, séries (encore) dvi ou ps (comprimé)
16. Géométrie plane, séries (encore), séries entières dvi ou ps (comprimé)
17. Géométrie dans l'espace (kezako?), séries entières dvi ou ps (comprimé)
18. Coup de paresse...
19. Courbes paramétrées, séries de Fourier dvi ou ps (comprimé)
20. Calcul différentiel dvi ou ps (comprimé)
21. (bis)
22. Équations différentielles dvi ou ps (comprimé)
23. (malade)
24. Best of dvi ou ps (comprimé)

Note : Certains de ces énoncés comportent des erreurs. Cela ne signifie pas nécessairement que j'ai posé un exercice incorrect : le plus souvent, je rectifie au dernier moment mais pas dans le fichier. Ou bien je ne pose simplement pas l'exercice.

Enfin, je termine par la liste de mes exercices d'oraux aux Écoles Normales Supérieures, tels que soumis à la revue de mathématiques spéciales (dvi ou ps (comprimé))

DEUG MIAS

Depuis septembre 2000, je donne des TD en première année de DEUG MIAS (Mathématiques, Informatique et Applications aux Sciences) à l'Université de Paris XI (Orsay), en tant que moniteur.

La plupart des documents pédagogiques sont accessibles sur le site général de ce DEUG. Cependant, il m'arrive de rédiger personnellement, par écrit, la correction de tel ou tel exercice. Voici donc quelques documents d'utilité douteuse (parfois l'énoncé de l'exercice corrigé est rappelé, et parfois non).

Année scolaire 2000–2001

1. Quelques exercices de méthodologie dvi, ps (comprimé) ou pdf
2. Intersections et réunions de familles d'intervalles dvi, ps (comprimé) ou pdf
3. Valeurs intermédiaires dvi, ps (comprimé) ou pdf
4. Accroissements finis : un exercice délicat dvi, ps (comprimé) ou pdf

Année scolaire 2001–2002

1. Quelques exemples de calculs de limites dvi, ps (comprimé) ou pdf