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Subject: Re: fonction et rationnels
Date: 31 May 1999 20:26:58 GMT
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Bon, j'y crois toujours, mais ce serait très technique à démontrer.
En revanche, j'ai un résultat légèrement plus faible, tout aussi
impressionnant (voire plus) et qui répond à la question initiale.

Il existe une fonction C^\infty, strictement croissante bijective de R
sur R qui envoie l'ensemble des algébriques dans un sous-ensemble de
l'ensemble des rationnels.

Démonstration.  Soit (a_n) une énumération des algébriques.  On part
d'une fonction phi_-1 de classe C^\infty strictement croissante
bijective quelconque.  On va lui ajouter différentes fonctions phi_n,
qu'on va maintenant définir.

Pour chaque a_n successivement, on considère b le plus grand des a_i
tels que i<n et a_i<a_n (b=a_n-1 par exemple si tous les a_i tels que
i<n sont >a_n), et c le plus petit des a_i tels que i<n et a_i>a_n
(c=a_n+1 par exemple si [...]).

On considère alors une fonction phi_n de classe C^\infty à support
dans ]b;c[, dont la valeur u en a_n est choisie de sorte que l'image
de a_n par la somme des phi_-1,...,phi_n (qui ne sera pas modifiée par
les additions ultérieures) soit rationnelle.  De plus, on choisit
phi_n suffisamment petite pour que les n premières dérivées de phi_n
soient partout inférieures à 1/2^n et pour que la somme des
phi_-1,...,phi_n soit encore strictement croissante.

Ainsi, la série des phi_n converge normalement ainsi que toutes ses
dérivées donc on obtient à la fin une fonction C^\infty, strictement
croissante et bijective, et celle-ci envoie chaque a_n sur un
rationnel.

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Subject: Re: fonction et rationnels
Date: 2 Jun 1999 16:07:33 GMT
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Ben non, on peut quand même trouver une fonction analytique de R dans R
qui envoie les algébriques dans un sous-ensemble des rationnels.

Démonstration : on énumère les algébriques en une suite (a_n).  On part
de la fonction nulle.  Pour chaque n successivement, on considère un
polynôme phi_n qui s'annulle en a_i pour i<n, qui prend une valeur u en
a_n choisie de sorte que la somme des phi_i, i<=n, prenne une valeur
rationnelle en a_n, et de plus on prend phi_n suffisamment petit pour
que sur l'intervalle [-n;n] le polynôme phi_n ainsi que toutes ses
dérivées soit partout inférieur à 1/2^n en valeur absolue.

Alors la somme des phi_n converge normalement sur tout compact.  Il
s'agit d'une série de polynômes, et si on applique un théorème que j'ai
oublié mais qui est certainement vérifié ici, la somme est analytique. 
Par construction, elle prend une valeur rationnelle sur tout
algébrique.

Ah oui, il faudrait savoir qu'on n'est pas tombé sur 0.  Je laisse ça
en exercice au lecteur qui partira d'une fonction non nulle du genre
x^2 et qui ajoutera des choses assez petites pour s'assurer de ne pas
pouvoir la manger tout entière.

Il resterait à savoir si on peut trouver une fonction analytique
striment croissante (de dérivée >0 même) bijective de R sur R qui se
restreigne en une bijection des algébriques sur les rationnels.  Je ne
sais pas, et, pour être honnête, je m'en fous.