Une discussion sur la Géométrie Algébrique Non Commutative
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From: madore@news.ens.fr (GroTeXdieck)
Newsgroups: ens.forum.sciences.maths
Subject: Modules
Date: 22 Jan 1999 18:06:56 GMT
Lines: 7
Sender: madore@galion.ens.fr
Message-ID: <78aeo0$gof$1@clipper.ens.fr>
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NNTP-Posting-Date: 22 Jan 1999 18:06:56 GMT
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Xref: eleves ens.forum.sciences.maths:309
Si A est un anneau commutatif, notons Mod(A) la catégorie des A-modules.
Est-ce que la donnée de Mod(A) ainsi que de la fibration Mod(A)->Mod(Z)
(qui correspond à oublier qu'un A-module est un A-module pour ne garder
de lui qu'un groupe abélien) suffit à retrouver A ? (En fait, est-ce
que le foncteur qui à A associe la catégorie fibrée Mod(A)->Mod(Z) est
pleinement fidèle ?)
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From: chenevie@news.ens.fr (Gaga)
Newsgroups: ens.forum.sciences.maths
Subject: Re: Modules
Date: 22 Jan 1999 23:58:50 GMT
Lines: 2
Sender: chenevie@jangada.ens.fr
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NNTP-Posting-Date: 22 Jan 1999 23:58:50 GMT
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J'imagine qu'un argument du genre "A s'identifie aux endomorphismes
du foncteur identité de Mod(A)" ne te convient pas...
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From: madore@news.ens.fr (GroTeXdieck)
Newsgroups: ens.forum.sciences.maths
Subject: Re: Modules
Date: 23 Jan 1999 16:19:02 GMT
Lines: 39
Sender: madore@clipper.ens.fr
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NNTP-Posting-Date: 23 Jan 1999 16:19:02 GMT
X-Newsreader: Flrn (0.3.1 - 12/98)
Xref: eleves ens.forum.sciences.maths:313
Tiens, oui, je pensais que ce serait plus compliqué. Mais
effectivement ça marche.
Enfin, ça montre que le foncteur qui à un anneau commutatif A associe
la catégorie Mod(A) des A-modules, est essentiellement injectif. Je
ne crois pas finalement qu'il soit pleinement fidèle : fidèle, j'y
crois (c'est même certainement trivial mais je suis un peu perdu à ce
niveau d'abstraction) mais plein c'est délirant si je ne regarde pas
Mod(A) comme catégorie abélienne (le foncteur d'oubli qui à une
catégorie abélienne associe la catégorie sous-jacente est fidèle et
essentiellement injectif mais il n'est pas plein - tout foncteur n'est
pas un foncteur additif - ou alors je n'ai rien compris).
Ce qui est intéressant c'est que tu as seulement besoin de la
structure de catégorie de Mod(A) pour réconstituer A (c'est plus que
je n'en demandais). Alors que si A n'est plus supposé commutatif, ce
n'est plus vrai : c'est la théorie de l'équivalence de Morita (A et A'
sont Morita équivalents ssi les catégories Mod(A) et Mod(A') sont
équivalentes - par exemple les M_n(k) pour tout n sont Morita
équivalentes entre elles). C'est pour ça que j'avais proposé de
regarder non pas Mod(A) tout seul mais Mod(A) comme catégorie sur
Mod(S) où S est la base (au pire, S=Z). (Par exemple, Mod(C) et
Mod(M_n(C)) sont équivalentes, mais les fibrations Mod(C)->Mod(C) et
Mod(M_n(C))->Mod(C) ne le sont pas parce que l'une est l'identité et
que l'autre n'est pas une équivalence de catégories puisqu'elle n'est
même pas essentiellement surjective.)
Je pose donc une question subtilement différente : soit A une algèbre
non nécessairement commutative sur un anneau k commutatif (on pourra
pour simplifier prendre k=C et A algèbre de dimension finie). On
considère le foncteur F qui à A associe la catégorie Mod(A) des
A-modules à gauche munie de la fibration (le foncteur d'oubli)
Mod(A)->Mod(k) vers la catégorie Mod(k) des k-modules. Ce foncteur F
est-il fidèle et essentiellement injectif ? Mieux, est-il fidèle et
plein ?
-- David, qui est persuadé que l'équivalence de Morita
empêche l'étude correcte de la géoalg non commutative
puisqu'elle ne sait pas distinguer k et M_n(k)
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From: deglise@news.ens.fr (Frederic Deglise)
Newsgroups: ens.forum.sciences.maths
Subject: Re: Modules
Date: 23 Jan 1999 20:05:38 GMT
Lines: 15
Sender: deglise@jonque.ens.fr
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NNTP-Posting-Date: 23 Jan 1999 20:05:38 GMT
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Xref: eleves ens.forum.sciences.maths:314
GroTeXdieck, dans son post <78cspm$t3c$2@clipper.ens.fr>, a écrit :
>
> Je pose donc une question subtilement différente : soit A une algèbre
> non nécessairement commutative sur un anneau k commutatif (on pourra
> pour simplifier prendre k=C et A algèbre de dimension finie). On
> considère le foncteur F qui à A associe la catégorie Mod(A) des
> A-modules à gauche munie de la fibration (le foncteur d'oubli)
> Mod(A)->Mod(k) vers la catégorie Mod(k) des k-modules. Ce foncteur F
> est-il fidèle et essentiellement injectif ? Mieux, est-il fidèle et
> plein ?
>
Mais c'est quoi exactement la categorie but ici (des k-algebre dans la
categorie des Mod(k)-categories fibrees ?)
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Path: eleves!not-for-mail
From: chenevie@news.ens.fr (Gaga)
Newsgroups: ens.forum.sciences.maths
Subject: Re: Modules
Date: 23 Jan 1999 23:30:03 GMT
Lines: 11
Sender: chenevie@aviso.ens.fr
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References: <78aeo0$gof$1@clipper.ens.fr> <78b3bq$btl$1@clipper.ens.fr> <78cspm$t3c$2@clipper.ens.fr>
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NNTP-Posting-Date: 23 Jan 1999 23:30:03 GMT
X-Newsreader: Flrn (0.3.0 - 10/98)
Xref: eleves ens.forum.sciences.maths:315
Ca me semble facile toujours par la meme idée: ce qui ne fait
pas fonctionner le coup des transformations naturelles de l'identite du cas
commutatif est que précisement la multiplication par un élément de A n'est pas
un morphisme de mod(A) si cet élément n'est pas central, mais c'est par
contre toujours un endomorphisme de mod(Z). Il suffit donc d'envoyer tout
dans mod(Z), par l'oubli, puis de prendre les transformations naturelles du composé de
l'identité par l'oubli... La fonctorialité impose qu'ils sont tous de la
forme multiplication par un élément de A et donc finalement A (ou peut-etre son opposé) est
isomorphe aux endomorphismes du foncteur oubli Mod(A) -> Mod(Z).
Gaga
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From: madore@news.ens.fr (GroTeXdieck)
Newsgroups: ens.forum.sciences.maths
Subject: Re: Modules
Date: 24 Jan 1999 00:41:10 GMT
Lines: 9
Sender: madore@clipper.ens.fr
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References: <78aeo0$gof$1@clipper.ens.fr> <78b3bq$btl$1@clipper.ens.fr> <78cspm$t3c$2@clipper.ens.fr> <78da2i$a7b$1@clipper.ens.fr>
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NNTP-Posting-Date: 24 Jan 1999 00:41:10 GMT
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Xref: eleves ens.forum.sciences.maths:316
La catégorie source, c'est les k-algèbres. La catégorie but... ben
j'espérais que personne ne poserait la question. Oui, ça doit être
les catégories fibrées sur Mod(k) et je suppose qu'il faut la voir
comme 2-catégorie (et en plus, pour te faire plaisir, il doit falloir
prendre les catégories appartenant à un univers donné) avec pour
1-flèches les foncteurs au-dessus du foncteur identité sur Mod(k) et
pour 2-flèches les transformations naturelles comme on pense. Bref,
le genre d'horreurs qu'on trouve expliquées dans les premiers chapitres
du bouquin de Giraud sur la cohomologie non abélienne.
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Path: eleves!not-for-mail
From: madore@news.ens.fr (GroTeXdieck)
Newsgroups: ens.forum.sciences.maths
Subject: Re: Modules
Date: 24 Jan 1999 01:17:02 GMT
Lines: 4
Sender: madore@clipper.ens.fr
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NNTP-Posting-Date: 24 Jan 1999 01:17:02 GMT
X-Newsreader: Flrn (0.3.1 - 12/98)
Xref: eleves ens.forum.sciences.maths:317
Grassouille ! Gaëtan, tu es génial. Si je reçois la médaille Fields
pour mes travaux en géométrie algébrique non commutative, je dirai bien
que c'est grâce à toi. (J'aime bien prendre des engagements qui ne
m'engagent à rien.)
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Path: eleves!not-for-mail
From: madore@news.ens.fr (GroTeXdieck)
Newsgroups: ens.forum.sciences.maths
Subject: Re: Modules
Date: 24 Jan 1999 14:31:05 GMT
Lines: 4
Sender: madore@clipper.ens.fr
Message-ID: <78far9$bo3$3@clipper.ens.fr>
References: <78aeo0$gof$1@clipper.ens.fr> <78b3bq$btl$1@clipper.ens.fr> <78cspm$t3c$2@clipper.ens.fr> <78da2i$a7b$1@clipper.ens.fr> <78dq76$ooc$1@clipper.ens.fr>
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NNTP-Posting-Date: 24 Jan 1999 14:31:05 GMT
X-Newsreader: Flrn (0.3.1 - 12/98)
Xref: eleves ens.forum.sciences.maths:323
Tiens, je déconne. Mod(A)->Mod(k) n'est pas une fibration. Il y a même
quelque chose de très intéressant là-dessous... À étudier de plus près.
-- David, qui ferait mieux de s'occuper de sa thèse
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Path: eleves!not-for-mail
From: chenevie@news.ens.fr (Gaga)
Newsgroups: ens.forum.sciences.maths
Subject: Re: Modules
Date: 24 Jan 1999 15:23:58 GMT
Lines: 4
Sender: chenevie@jangada.ens.fr
Message-ID: <78fdue$g4q$1@clipper.ens.fr>
References: <78aeo0$gof$1@clipper.ens.fr> <78b3bq$btl$1@clipper.ens.fr> <78cspm$t3c$2@clipper.ens.fr> <78da2i$a7b$1@clipper.ens.fr> <78dq76$ooc$1@clipper.ens.fr> <78far9$bo3$3@clipper.ens.fr>
NNTP-Posting-Host: jangada.ens.fr
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NNTP-Posting-Date: 24 Jan 1999 15:23:58 GMT
X-Newsreader: Flrn (0.3.0 - 10/98)
Xref: eleves ens.forum.sciences.maths:325
GroTeXdieck, dans le message (sciences.maths:323), a écrit :
> Tiens, je déconne. Mod(A)->Mod(k) n'est pas une fibration.
Euh, c'est quoi une fibration d'une catégorie par une autre?
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Path: eleves!not-for-mail
From: madore@news.ens.fr (GroTeXdieck)
Newsgroups: ens.forum.sciences.maths
Subject: Re: Modules
Date: 24 Jan 1999 17:46:43 GMT
Lines: 29
Sender: madore@clipper.ens.fr
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References: <78aeo0$gof$1@clipper.ens.fr> <78cspm$t3c$2@clipper.ens.fr> <78da2i$a7b$1@clipper.ens.fr> <78dq76$ooc$1@clipper.ens.fr> <78far9$bo3$3@clipper.ens.fr> <78fdue$g4q$1@clipper.ens.fr>
NNTP-Posting-Host: clipper.ens.fr
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Content-Type: text/plain; charset=ISO-8859-1
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X-Trace: clipper.ens.fr 917200004 25015 129.199.129.1 (24 Jan 1999 17:46:43 GMT)
X-Complaints-To: forum@clipper.ens.fr
NNTP-Posting-Date: 24 Jan 1999 17:46:43 GMT
X-Newsreader: Flrn (0.3.1 - 12/98)
Xref: eleves ens.forum.sciences.maths:327
D'abord, si F:D->C est un foncteur, une flèche m:x->y de D est dite
C-cartésienne ssi pour tout objet z de D d'image F(z)=F(x), toute
flèche h:z->y de D dont l'image par F est la même que celle de m (soit
F(h)=F(m)) il existe une unique flèche g:z->x de D dont l'image par F
soit l'identité et vérifiant h=mg. On dit encore que m est une image
inverse par F(m) de y.
Le foncteur F est dit fibrant ssi pour toute flèche a:U->V de C et
tout objet y tel que F(y)=V il existe une flèche m:x->y C-cartésienne
telle que F(m)=a (une image inverse de y par a), et que d'autre part
la composée de deux flèches C-cartésiennes est C-cartésiennes.
C'est dans la section 1 du chapitre I du bouquin de Giraud
(``Cohomologie non abélienne'' - un bouquin sacrément imbittable).
Ici je n'ai pas beaucoup de mérite à avoir déroulé les définitions :
j'ai utilisé une condition suffisante très faible, à savoir que toute
flèche a:U->V se remonte d'au moins une façon avec un but y tel que
F(y)=V donné. Or il n'est pas vrai que si y est un A-module à gauche,
a:U->V un morphisme de k-modules (disons, de groupes abéliens) avec V
le k-module sous-jacent à y, alors il existe un m:x->y de A-modules à
gauche auquel a soit sous-jacent. C'est même idiot. En revanche, (si
A est commutatif - je ne veux pas me mouiller) le foncteur
Alg(A)->Alg(k) des A-algèbres (commutatives pour ne pas me mouiller)
vers les k-algèbres, est une fibration.
[...]
¶
Path: eleves!not-for-mail
From: madore@news.ens.fr (GroTeXdieck)
Newsgroups: ens.forum.sciences.maths
Subject: Re: Modules
Date: 26 Jan 1999 14:37:42 GMT
Lines: 123
Sender: madore@kayak.ens.fr
Message-ID: <78kjvm$ebu$1@clipper.ens.fr>
References: <78aeo0$gof$1@clipper.ens.fr> <78b3bq$btl$1@clipper.ens.fr> <78cspm$t3c$2@clipper.ens.fr>
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Mime-Version: 1.0
Content-Type: text/plain; charset=ISO-8859-1
Content-Transfer-Encoding: 8bit
X-Trace: clipper.ens.fr 917361462 14718 129.199.129.14 (26 Jan 1999 14:37:42 GMT)
X-Complaints-To: forum@clipper.ens.fr
NNTP-Posting-Date: 26 Jan 1999 14:37:42 GMT
X-Newsreader: Flrn (0.3.1 - 12/98)
X-Algebraic-Geometry-Alert: yes
Xref: eleves ens.forum.sciences.maths:350
Alors pour les *très* nombreuses personnes qui se passionnent pour les
catégories et la géométrie algébrique (si possible non commutative),
je vais résumer mes idées.
Par définition, la catégorie des schémas affines est la catégorie
opposée de celle des anneaux commutatifs. D'après le lemme de Yoneda,
on peut identifier un schéma affine S=Spec A au foncteur y(S)=Hom(-,S)
qui envoie un schéma affine U=Spec T sur l'ensemble des morphismes
U->S (ou morphismes d'anneaux A->T) (c'est le préfaisceau représenté
par S).
Quelque chose qu'on sait faire pour un préfaisceau c'est considérer sa
catégorie des sections : si F est un préfaisceau sur une catégorie C
(i.e. un foncteur contravariant de C vers les ensembles), la catégorie
des sections de F est la catégorie dont les objets sont les couples
(U,s) avec U objet de C et s élément de F(U) (section de F sur U). Un
morphisme de (U,s) vers (V,t) est une flèche f de U vers V dans C
telle que F(f)(t)=s. La catégorie, notons-là &F, des sections de F,
est munie d'un foncteur canonique &F->C (qui est une fibration de
catégories, mais peu importe) ; on peut en fait identifier le
préfaisceau F avec la catégorie &F munie du foncteur &F->C
(techniquement, le foncteur qui à un préfaisceau F sur C associe la
catégorie &F avec le foncteur &F->C, les morphismes étant les
foncteurs au-dessus de C, est pleinement fidèle).
Dans le cas d'un préfaisceau représentable comme y(Spec A), la
catégorie des sections est juste la catégorie slice, la catégorie des
schémas affines sur Spec A. Ou, si on préfère, la catégorie opposée
de la catégorie des A-algèbres commutatives.
Tout le problème de la géométrie est de savoir quels genres d'objets
on appelle objets géométriques. En géométrie algébrique les objets de
base sont les schémas affines (autrement dit, les anneaux). On
s'intéresse à des catégories plus grosses que celle des schémas
affines mais qui possèdent quand même des propriétés géométriques. Or
on vient de donner deux foncteurs pleinement fidèles qui montrent la
catégorie des schémas affines comme sous-catégorie de catégories plus
grosses. D'une part, celle des préfaisceaux en ensembles sur les
schémas affines - et entre les schémas affines et les préfaisceaux en
ensembles sur eux il y a différentes catégories de faisceaux (pour
différentes topologies, typiquement Zariski, étale, fppf, fpqc) et la
catégorie des schémas, ou celle des espaces algébriques. Pour les
champs (généralisation des faisceaux - ou champs algébriques,
généralisation des schémas ou espaces algébriques), il faut utiliser
non pas la description en tant que préfaisceau mais en tant que
catégorie de sections. (Le problème est que la restriction d'une
section d'un champ est définie seulement à un isomorphisme près.)
Bref...
Bref, on peut décrire un object géométrique comme Spec A par une
catégorie comme la catégorie des schémas affines sur Spec A, disons
plutôt des A-algèbres, munie d'un foncteur d'oubli vers la catégorie
des anneaux commutatifs (Z-algèbres). Et pour faire les choses plus
proprement on travaille en relatif, et on dit qu'on décrit un objet
géométrique comme Spec A->Spec k par la catégorie des A-algèbres
au-dessus de celle des k-algèbres.
Finalement, une A-algèbre T, c'est un A-module T muni de deux
applications A-linéaires, i:A->T (l'élément neutre) et m:T*T->T
(multiplication - * est un produit tensoriel au-dessus de A) qui
vérifient différentes relations (associativité, neutralité,
commutativité puisqu'ici on est dans le cas commutatif). Alors à ce
stade-là on se dit, c'est bête de regarder des choses aussi
compliquées, autant regarder bêtement la catégorie des A-modules.
Mais il ne faut pas oublier de la prendre au-dessus de la catégorie
des k-modules parce que sinon on va se fait tester par la Morita
équivalence et je l'ai déjà dit et je le répète, la Morita équivalence
c'est *MAL* (même si dans le cas commutatif on ne la voit pas).
Bref je prends k un anneau commutatif, A une k-algèbre plus forcément
commutative, et à A j'associe la catégorie Mod(A) des A-modules à
gauche munie du foncteur d'oubli Mod(A)->Mod(k) (exemple, si A est
M_n(C) avec k=C, alors Mod(A) est équivalente à Mod(k) mais le
foncteur d'oubli n'est pas une équivalence). Cette « association »
est un foncteur contravariant (de la catégorie des k-algèbres gauches
(i.e. non nécessairement commutatives) vers la catégorie des
catégories au-dessus de Mod(k) les morphismes étant les foncteurs qui
font commuter le triangle évident). Gaëtan a expliqué que ce foncteur
était essentiellement injectif. Il est aussi assez facile de voir
qu'il est pleinement fidèle (le tout est de ne pas se perdre dans les
notations) :
Si A et B sont deux k-algèbres, f un foncteur de Mod(B) vers Mod(A)
qui composé au foncteur d'oubli p:Mod(A)->Mod(k) redonne le foncteur
d'oubli q:Mod(B)->Mod(k), considérons le A-module à gauche f(B) (où B
est le B-module à gauche B). Puisque f(B) est le même k-module que B,
on a un élément 1 dans f(B), et pour a dans A on peut définir h(a)
comme la multiplication de l'élément 1 du A-module f(B) par l'élément
a de A. Ceci définit une fonction h:A->B (dans f(B) en fait mais dans
B parce que B et f(B) ont le même k-module sous-jacent donc le même
ensemble sous-jacent). Elle vérifie h(a+b)=h(a)+h(b) parce que f(B)
est un A-module (donc (a+b)1=a1+b1 dans f(B)) et que l'addition dans
f(B) est la même que dans B, et de même elle est k-linéaire. Montrer
que h(ab)=h(a)h(b) c'est plus technique et j'ai dû m'y reprendre à
plein de fois (il n'y a qu'à voir mes brouillons sur le tableau blanc
du passage saumon). En fait, c'est vrai : si M est un B-module, la
fonctorialité de f montre que la multiplication par a dans f(M) (pour
a dans A) coïncide avec la multiplication par h(a) dans M (modulo
l'identification entre f(M) et M comme k-modules) - c'était là la clé
de l'argument de Gaëtan. On applique ça à M=B et on voit que la
multiplication par h(a) dans f(B) coïncide avec la multiplication par
a dans B, donc que l'image de b1 est ab1 et que h(a)h(b)=h(ab).
Ensuite, il est trivial de voir que f est justement le foncteur qui
voit un B-module comme A-module grâce à f. C'est-à-dire que j'ai
montré la pleine fidélité.
Youpi.
Ensuite il s'agit de savoir quels genres de catégories, plus générales
que des catégories de A-modules à gauche, on admet comme objets
géométriques. Je note un résultat positif : si on prend le produit
fibré sur Mod(k) de deux catégories Mod(A) et Mod(B) avec A et B des
k-algèbres (c'est-à-dire qu'on prend la catégorie dont les objets sont
les couples d'objets de Mod(A) et Mod(B) ayant même image par Mod(k)
et pareil pour les flèches), ben cette catégorie est justement la
catégorie des modules sur A*B, avec pour * la somme amalgamée
(au-dessus de k) de A et de B (attention, c'est la somme amalgamée
pour les algèbres non commutatives, donc ce n'est pas le bête produit
tensoriel mais un produit tensoriel dans lequel on n'impose pas de
commutativité).
Y'a encore des gens réveillés ?
¶
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From: chenevie@news.ens.fr (Gaga)
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Subject: Re: Modules
Date: 26 Jan 1999 22:24:13 GMT
Lines: 48
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Xref: eleves ens.forum.sciences.maths:357
oulala, t'es pas fou d'ecrire des messages aussi longs.
Je trouve que le début partait bien mais devier sur mod(A) ca me
déprime un peu, peut-etre que c'est bien la seule chose résonnable sur
laquelle on peut compter.. Comme tu l'expliques au début, ce que l'on doit regarder
c'est les préfaisceaux sur les A-algèbres (non commutatives) et essayer d'en
dégager un qui est sensé représenter (comme son nom l'indique..) correctement
A (a la spec). En ce qui concerne MOD-OUB: A -> (mod(A) , mod(A)->mod(Z)), c'est bien, on a obtenu
un truc pleinement fidèle, ceci dit c'est quand meme essentiellemnet mod(A),
mis a part que la fibration sert a assurer la pleine fidélité et donc par
exemple de ne pas se faire avoir par morita. Ceci dit, mod(A) reflete assez mal la non
commuativite de A, en ce sens que:
- l'on peut y construire a peu pres les meme théories globales que
dans le cas commutatif, homologiques (je pense a ext, tor..) ou encore autre
du genre k_o...
- Il s'agit essentiellement de la catégorie des représentations
linéaires de A, elle reflete donc plutot le fait que A est un anneau
d'opérateurs linéaires.
Dans le cas commutatif, spec A c'est quand meme autre chose que
mod(A). Il fait apparaitre A comme anneau non comme A-module, de plus il
contient quand meme une bonne dose de constructions naturelles a partir de
A, du genre les localises, les anneaux de fractions, les quotients, et
permet de tout manipuler a la fois, le tout sous un angle topologique ce qui
est assez merveilleux. On n'aura jamais ca en non commutatif. Ce qui parait
clair pourtant est qu'il faille considérer comme tu le dis le cas non commutatif comme fibré
sur le cas commutatif. Je pense qu'on doit d'abord comprendre la signification
"naturelles" des k-algèbres les plus simples, chose que tu as regarde je
crois. Les cas qui me paraissent les plus fondamentaux sont Mn(k) et kG ou G
est un groupe fini non commutatif. Pour le premier, il est assez difficile
de croire qu'il puisse apparaitre plus canoniquement que les endomorphismes
d'un k-ev, ce qui laisse d'ailleurs encore "malheureusement" croire que notre
foncteur MOD-OUB est peut-etre le seul bien approprié. D'un autre coté, pour
le second, je suis perplexe et me ronge depuis longtemps pour essayer d'en
dire quoi que ce soit. Il s'agit la de donner un sens géométrique a la
théorie des groupes finis, il me semble qu'un tel cardre devrait faire
apparaitre G comme opérant naturellement sur plusieurs choses, pas seulement
par la représentation réguliere (qui est la definition de groupe que l'on a
dans Bourbaki: a G est associé l'espace du groupe, qui est l'ensemble G, sur
lequel opere G regulierement a gauche disons). Bien sur, la théorie des
groupes finis montre que la représentation regulière contient toutes les
autres, mais il faudrait faire apparaitre en un objet et plus naturellement
les représentations naturelles de conjugaison, les sous-groupes distingués,
donner un sens a la localisation en un p-groupe... Il y a comme pour mod(A)
l'alternative G-set-OUB, puisque G est la encore isomorphe aux automorphisme
de OUB G-set -> ens. Ce serait bien dommage s'il n'y avait rien d'autre.
Gaga, deprimé.
¶
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Subject: Re: Modules
Date: 27 Jan 1999 13:10:17 GMT
Lines: 152
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Xref: eleves ens.forum.sciences.maths:362
Gaga in litteris (sciences.maths:357) scripsit :
> oulala, t'es pas fou d'ecrire des messages aussi longs.
Ben oui. Mais on le savait déjà.
> Je trouve que le début partait bien mais devier sur mod(A) ca me
> déprime un peu, peut-etre que c'est bien la seule chose résonnable sur
> laquelle on peut compter.. Comme tu l'expliques au début, ce que l'on doit regarder
> c'est les préfaisceaux sur les A-algèbres (non commutatives) et essayer d'en
> dégager un qui est sensé représenter (comme son nom l'indique..) correctement
Ça n'a pas vraiment d'importance. Tout le problème est de trouver la
bonne catégorie (et les bons foncteurs depuis et vers cette
catégorie). La manière précise dont cette catégorie est représentée
(comme sous-catégorie d'une catégorie de faisceaux, ou comme catégorie
fibrée, ou comme je ne sais quoi encore) est sans importance.
> A (a la spec). En ce qui concerne MOD-OUB: A -> (mod(A) , mod(A)->mod(Z)), c'est bien, on a obtenu
> un truc pleinement fidèle, ceci dit c'est quand meme essentiellemnet mod(A),
> mis a part que la fibration sert a assurer la pleine fidélité et donc par
> exemple de ne pas se faire avoir par morita. Ceci dit, mod(A) reflete assez mal la non
Je pense que la fibration est plus importante que ça. La catégorie
Mod(A) toute seule elle ne dit pas grand chose (une catégorie c'est
quand même un truc qui n'a pas énormément de structure). C'est
vraiment la fibration (qui d'ailleurs n'en est pas une) qui joue le
rôle important je pense - et qui permet de travailler en relatif, ce
dont Grothendieck disait que c'était très important.
Certaines personnes interprètent l'équivalence de Morita comme
signifiant que k et M_n(k) ont la même géométrie (un point, quoi). Je
pense que ce n'est pas un bon point de vue. Plutôt, k et M_n(k) ont
des géométries exactement analogues.
> commuativite de A, en ce sens que:
> - l'on peut y construire a peu pres les meme théories globales que
> dans le cas commutatif, homologiques (je pense a ext, tor..) ou encore autre
> du genre k_o...
Mais c'est un *avantage* ça. Si tous les outils de l'algèbre linéaire
et homologique peuvent resservir c'est plutôt une bonne nouvelle, je
trouve.
Il y a quand même un truc avec le produit tensoriel : quelque chose de
magique dans le cas commutatif c'est que le produit tensoriel, qui à
la base est vraiment une construction universelle sur les _modules_
(c'est le AVEC de la logique linéaire ;-) se trouve aussi être la
somme amalgamée dans la catégorie des anneaux. Pour les anneaux non
commutatifs ce n'est plus vrai. Je ne sais pas quelles conséquences
ça peut avoir.
> - Il s'agit essentiellement de la catégorie des représentations
> linéaires de A, elle reflete donc plutot le fait que A est un anneau
> d'opérateurs linéaires.
Je comprends pas bien ce qui te gêne, là.
> Dans le cas commutatif, spec A c'est quand meme autre chose que
> mod(A). Il fait apparaitre A comme anneau non comme A-module, de plus il
> contient quand meme une bonne dose de constructions naturelles a partir de
> A, du genre les localises, les anneaux de fractions, les quotients, et
> permet de tout manipuler a la fois, le tout sous un angle topologique ce qui
Il n'est pas clair que ces constructions ne puissent pas se « lire »
sur Mod(A). Par exemple, j'ai noté à la fin de mon message, et ça m'a
surpris, que les sommes amalgamées peuvent se lire sur les
Mod(A)->Mod(k).
Encore une fois, ce qui compte n'est pas comment la catégorie est
construite, mais ce que sont ses flèches, et quelle terminologie on
leur donne. Il serait bon d'avoir quelque chose comme des immersions
ouvertes ou des morphismes étales, ou des morphismes plats... En tout
cas, il faut plus de morphismes vers Spec M_n(k) (ou depuis M_n(k))
que n'en autorise la catégorie des anneaux. (M_n(k) est simple donc
il y a peu de morphismes qui en partent - je veux « casser » ce fait.)
Une topologie, je ne sais pas. Ça semble difficile - mais aussi
indispensable parce que la géométrie demande quand même une certaine
forme de topologie. Mais quelle forme ? J'ai remarqué que les
schémas (au sens habituel) représentaient des foncteurs en espaces
topologiques (et pas seulement en ensembles - autrement dit on peut
définir les schémas en groupes comme ceux qui représentent des
foncteurs en groupes, mais ce n'est pas la peine de définir des
schémas en espaces topologiques parce que *tous* les schémas sont des
schémas en espaces topologiques).
Pour que mes idées aient une chance de marcher, il faut encore espérer
que si X est un schéma quelconque sur une base S, le foncteur qui lui
associe Mod(X)->Mod(S) où cette fois Mod(X) est la catégorie des
faisceaux quasi-cohérents sur X (et Mod(X)->Mod(S) est le foncteur
image directe), est lui aussi pleinement fidèle. J'y crois fortement
(mais je sais aussi que si j'essaye de le démontrer j'aurai l'air
absolument ridicule).
> est assez merveilleux. On n'aura jamais ca en non commutatif. Ce qui parait
> clair pourtant est qu'il faille considérer comme tu le dis le cas non commutatif comme fibré
> sur le cas commutatif. Je pense qu'on doit d'abord comprendre la signification
(Quand je considère Mod(A)->Mod(k) avec k commutatif, c'est juste pour
éviter les ennuis mais l'idée est quand même de pouvoir avoir une base
quelconque.)
> "naturelles" des k-algèbres les plus simples, chose que tu as regarde je
> crois. Les cas qui me paraissent les plus fondamentaux sont Mn(k) et kG ou G
> est un groupe fini non commutatif. Pour le premier, il est assez difficile
Dans les deux cas, j'ai l'impression qu'il y a des points qui sont
« collés » ou plus exactement indistingables donc inséparables. Dans
M_n(k) il y en a n. Dans kG, à mon avis, chaque représentation de
rang d détermine d points collés. Je cherche à trouver une théorie de
Galois qui permette de déployer ces points collés et les séparer, de
même que la théorie de Galois classique déploie les points « collés »
d'un schéma étale sur un corps non séparablement clos en faisant un
changement de base vers un corps séparablement clos.
> de croire qu'il puisse apparaitre plus canoniquement que les endomorphismes
> d'un k-ev, ce qui laisse d'ailleurs encore "malheureusement" croire que notre
> foncteur MOD-OUB est peut-etre le seul bien approprié. D'un autre coté, pour
Un bon exemple. En fait, est-ce qu'on connaît des cas où des anneaux
d'endomorphismes (de structures plus riches qu'un k-vectoriel bien
sûr) sont commutatifs ? De sorte qu'on pourrait regarder leur
géométrie et essayer de deviner comment doit être la géométrie de
M_n(k)...
> le second, je suis perplexe et me ronge depuis longtemps pour essayer d'en
> dire quoi que ce soit. Il s'agit la de donner un sens géométrique a la
Je ne connais rien à la théorie de la représentation.
Si je ne dis pas trop de bêtises, Spec kG avec G commutatif c'est le
schéma en groupe constant (sur Spec k) de valeur le groupe dual de G.
Si G n'est plus commutatif, on veut trouver un schéma gauche en groupe
dont le dual de Cartier soit un schéma en groupe...
> théorie des groupes finis, il me semble qu'un tel cardre devrait faire
> apparaitre G comme opérant naturellement sur plusieurs choses, pas seulement
> par la représentation réguliere (qui est la definition de groupe que l'on a
> dans Bourbaki: a G est associé l'espace du groupe, qui est l'ensemble G, sur
> lequel opere G regulierement a gauche disons). Bien sur, la théorie des
> groupes finis montre que la représentation regulière contient toutes les
> autres, mais il faudrait faire apparaitre en un objet et plus naturellement
> les représentations naturelles de conjugaison, les sous-groupes distingués,
> donner un sens a la localisation en un p-groupe... Il y a comme pour mod(A)
> l'alternative G-set-OUB, puisque G est la encore isomorphe aux automorphisme
> de OUB G-set -> ens. Ce serait bien dommage s'il n'y avait rien d'autre.
Je suis un peu perdu.
> Gaga, deprimé.
Bienvenue au club des déçus par la géoalg non commutative.
¶
Path: eleves!not-for-mail
From: schiffma@news.ens.fr (Olivier Schiffmann)
Newsgroups: ens.forum.sciences.maths
Subject: Re: Modules
Date: 27 Jan 1999 13:46:48 GMT
Lines: 7
Sender: schiffma@galion.ens.fr
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NNTP-Posting-Date: 27 Jan 1999 13:46:48 GMT
X-Newsreader: Flrn (0.3.0 - 10/98)
Xref: eleves ens.forum.sciences.maths:363
Vous etes decus de la "geo. alg. noncommutative"?
Vous revez d' avoir un jour la medaille Fields?
Rassurez vous, Kontsevich est la, et il a ecrit un preprint
de l' IHES sur les bases de sa version de la geo alg noncommutative
avec Rosenberg..
¶
Path: eleves!not-for-mail
From: madore@news.ens.fr (GroTeXdieck)
Newsgroups: ens.forum.sciences.maths
Subject: Re: Modules
Date: 27 Jan 1999 14:37:07 GMT
Lines: 32
Sender: madore@galion.ens.fr
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NNTP-Posting-Date: 27 Jan 1999 14:37:07 GMT
X-Newsreader: Flrn (0.3.1 - 12/98)
Xref: eleves ens.forum.sciences.maths:364
Olivier Schiffmann in litteris (sciences.maths:363) scripsit :
> Vous etes decus de la "geo. alg. noncommutative"?
Oui. Je suis déçu parce que j'ai une intuition *très* précise sur ce
à quoi doivent ressembler des objets comme Spec M_n(k) ou Spec k[u,v :
uv-vu=1], et qu'en même temps je n'ai pas de formalisme pour exprimer
cette intuition.
> Vous revez d' avoir un jour la medaille Fields?
Bien sûr, mais c'est sans rapport. La satisfaction d'avoir développé
une théorie qui marche de la géoalg non commutative devrait être
largement supérieure à la satisfaction de recevoir la médaille Fields.
> Rassurez vous, Kontsevich est la, et il a ecrit un preprint
> de l' IHES sur les bases de sa version de la geo alg noncommutative
> avec Rosenberg..
Mouais... J'avais lu l'article de Rosenberg en juin 98 dans
Compositio Mathematica, et j'avais été déçu : c'était assez
incompréhensible, sans aucun exemple, avec des foncteurs partout mais
sans pour autant réussir quelque chose d'élégant... Et puis il
commençait en disant que de la catégorie des faisceaux quasi-cohérents
sur un schéma on peut retrouver ce schéma : cela pose deux problèmes,
d'abord il affirme une essentielle injectivité alors qu'une
essentielle injectivité sans une pleine fidélité c'est de la m***e et
ensuite il n'a pas affirmé le résultat en relatif.
Si Kontsevich et Rosenberg font un truc décevant (et je suis sûr que
ce sera le cas), que dois-je conclure ? Qu'ils ne sont pas assez
forts ou que les maths sont décevantes ? Les deux sont difficiles à
croire...
¶
Path: eleves!not-for-mail
From: madore@news.ens.fr (GroTeXdieck)
Newsgroups: ens.forum.sciences.maths
Subject: Re: Modules
Date: 28 Jan 1999 12:32:09 GMT
Lines: 58
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X-Newsreader: Flrn (0.3.1 - 12/98)
Xref: eleves ens.forum.sciences.maths:365
Ego in litteris (sciences.maths:362) scripsi :
> Dans les deux cas, j'ai l'impression qu'il y a des points qui sont
> « collés » ou plus exactement indistingables donc inséparables. Dans
> M_n(k) il y en a n. Dans kG, à mon avis, chaque représentation de
> rang d détermine d points collés. Je cherche à trouver une théorie de
> Galois qui permette de déployer ces points collés et les séparer, de
> même que la théorie de Galois classique déploie les points « collés »
> d'un schéma étale sur un corps non séparablement clos en faisant un
> changement de base vers un corps séparablement clos.
Tiens, mais c'est très intéressant ce que j'ai écrit là. Ça mérite au
moins la médaille Fields. (Oui, je sais, je suis trop modeste.)
Mon dada, c'est qu'il y a n points dans Spec M_n(k). Tout le problème
est de savoir ce qu'on veut dire par n points.
Par exemple, si on regarde, Spec R[X:X^2-1=0] (au-dessus de Spec R),
c'est bêtement la somme de deux copies de Spec R et donc ça a
clairement deux points. Mais si on regarde Spec R[X:X^2+1=0]
(autrement dit Spec C), toujours au-dessus de Spec R, combien a-t-il
de points ? Au sens idiot des idéaux premiers, il n'en a qu'un (C est
un corps donc il a un seul idéal premier) - mais justement, c'est
idiot.
Il y a une autre façon de regarder les choses, et j'ai l'impression
que les géomètres algébristes n'en sont en général pas très
conscients. [PUBLICITÉ : Venez assister à l'exposé de Frédéric sur
les topos au groupe de travail sur la logique - ça sera nettement plus
clair que ce que je raconte dans forum.] Les schémas sont des objets
d'un topos (disons, le topos des faisceaux pour la topologie étale),
et en tant que tels on peut pour en parler utiliser le langage de
Mitchell-Bénabou qui permet de formuler des affirmations de la logique
intuitionniste dans un topos quelconque. Donc pour se demander si
Spec C a deux points (en tant que schéma sur Spec R), on peut se
demander s'il vérifie les affirmations suivantes (pour le langage de
Mitchell-Bénabou dans le topos étale sur Spec R) : (a) (il existe x de
Spec C) (il existe y de Spec C) (x!=y) et (b) (il existe x de Spec C)
(il existe y de Spec C) (pour tout t de Spec C) (OU (t=x) OU (t=y)).
C'est-à-dire que (a) dit que Spec C a au moins deux éléments distincts
et (b) dit qu'il en a au plus deux. J'ai montré (a) et je me suis à
peu près convaincu de (b) (c'est assez difficile parce que chaque
quantificateur dans l'affirmation dans le langage de Mitchell-Bénabou
introduit à peu près deux quantificateurs sur les morphismes ou les
revêtement étales donc on s'y perd).
Bilan : en tant qu'ensemble au sens intuitionniste, Spec C (le
faisceau sur le gros site étale de Spec R représenté par Spec C) a
exactement deux éléments.
Pourtant, ces deux éléments, ils ne sont pas faciles à « voir ».
Justement, c'est tout le rôle de la théorie de Galois de les
expliciter en les déployant - et plus généralement de déployer
n'importe quel schéma étale sur un corps.
Donc il s'agit de faire une longue marche au terme de laquelle on
trouvera une théorie de Galois susceptible de déployer Spec M_n(k) et
d'en révéler la nature profonde comme constitué de n points. Oyez,
oyez la prophétie de la géométrie algébrique non commutative.
¶
[Annulé]
¶
Path: eleves!not-for-mail
From: madore@news.ens.fr (GroTeXdieck)
Newsgroups: ens.forum.sciences.maths
Subject: Re: Modules
Date: 28 Jan 1999 13:06:05 GMT
Lines: 26
Sender: madore@fregate.ens.fr
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NNTP-Posting-Date: 28 Jan 1999 13:06:05 GMT
X-Newsreader: Flrn (0.3.1 - 12/98)
Xref: eleves ens.forum.sciences.maths:367
Joel Bellaiche in litteris (sciences.maths:366) scripsit :
> Question idiote : Soit G un groupe fini. Considerons le topos des G-ensembles.
> Combien a t-il de points, en ton sens intuitionniste (je sais, je pourrais
> reflechir, mais ca implique descendre a la bibli pour retrouver la def d'un
> topos)
Le topos lui-même, on ne peut pas donner son nombre de points (enfin,
pour toute définition raisonnable, ce nombre serait infini). En
revanche, on peut donner le nombre de points au sens intuitionniste
d'un objet de ce topos (dans l'absolu, ce nombre n'est pas forcément
défini - mais ici je pense qu'il doit toujours l'être et toujours être
égal au cardinal du G-ensemble au sens classique, cela dit c'est une
réponse formulée en trente secondes sans réfléchir). Par exemple,
l'objet terminal, qui est le singleton avec action triviale, a bien un
point.
> Autre question : Il parait que Cartier a ecrit un papier ou il retrace
> l'histoire, et les perspectives telles qu'il les voit, des efforts
> pour
> "trouver la bonne notion d'espace geometrique", en particulier les
> topos et la geometrie non commutative, et qu'il etudie de pres les
> realtions entre les deux. Cet article est dans le numero special de
> l'IHES, consacre au quarantenaire, qui n'a pas ete publie. As-tu deja
> vu cet article?
Non, mais ça m'intéresse beaucoup. Il va être publié ?
¶
Path: eleves!not-for-mail
From: jbellaic@news.ens.fr (Joel Bellaiche)
Newsgroups: ens.forum.sciences.maths
Subject: Re: Modules
Date: 28 Jan 1999 13:16:02 GMT
Lines: 9
Sender: jbellaic@drakkar.ens.fr
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References: <78aeo0$gof$1@clipper.ens.fr> <78lfad$ra$1@clipper.ens.fr> <78n37p$1e2$1@clipper.ens.fr> <78plc9$ijo$1@clipper.ens.fr> <78pmje$lft$1@clipper.ens.fr> <78pnbt$nre$1@clipper.ens.fr>
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NNTP-Posting-Date: 28 Jan 1999 13:16:02 GMT
X-Newsreader: Flrn (0.3.0 - 10/98)
Xref: eleves ens.forum.sciences.maths:368
Oui, j'ai dit une betise, c'est d'ailleurs pour ca que j'ai censure mon
message. Je pensais corriger en demandant le nombre de points de l'action a
gauche de G sur lui-meme, par exemple. Alors tu dis que de toute facon, le
nombre de point d'un G-ensemble A est #A, comme dans le topos des ensembles.
Bon, je vais y reflechir, et me replonger dans les bouquins aue j'avais lu
dans le temps mais completement oublie depuis.
Pour l'article de Cartier, il devrait arriver a la bibli prochainement.
¶
Path: eleves!not-for-mail
From: madore@news.ens.fr (GroTeXdieck)
Newsgroups: ens.forum.sciences.maths
Subject: Re: Modules
Date: 28 Jan 1999 15:19:22 GMT
Lines: 48
Sender: madore@goelette.ens.fr
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NNTP-Posting-Date: 28 Jan 1999 15:19:22 GMT
X-Newsreader: Flrn (0.3.1 - 12/98)
Xref: eleves ens.forum.sciences.maths:369
Alors j'ai passé un bon petit bout de temps en bibliothèque à regarder
d'un peu plus près ce topos des G-ensembles[...]
En fait, il est à la fois surprenant et décevant, ce topos. Ce qui
m'a surpris, c'est qu'il est booléien (autrement dit, sa logique n'est
pas intuitionniste mais bien classique). Encore plus : il est
complètement indistingable du topos des ensembles, dans le sens qu'une
formule du langage de Mitchell-Bénabou (dont les quantificateurs ont
pour domaine des G-ensembles X1,...,Xn) est vraie dans le topos des
G-ensembles ssi elle est vraie (lorsqu'on remplace X1,...,Xn par les
ensembles sous-jacents) dans le topos des ensembles. En particulier,
le cardinal d'un G-ensemble vu par le topos des G-ensembles est bien
son cardinal en tant qu'ensemble.
Pire, si X est un G-ensemble et X0 l'ensemble sous-jacent à X, vu
comme G-ensemble avec l'action triviale, alors le topos des
G-ensembles voit que X et X0 sont isomorphes. Cela ne signifie pas
qu'ils soient isomorphe dans le topos en question, mais ils sont
internement isomorphes dans le topos en question, i.e. la formule qui
traduit l'existence d'un isomorphisme entre eux est
(inconditionnellement) vraie. En fait, c'est tout bête : on a un
objet qui représente leurs isomorphismes - cet objet c'est bêtement le
G-ensemble des bijections (d'ensembles) entre X et X0, l'action de G
étant donnée par (g.f)(x)=g.(f(g^-1.x)) (soit f(g^-1.x) puisque
l'action sur X0 est triviale, mais c'est vrai en toute généralité).
Cet objet des isomorphismes est donc non vide (le topos le voit comme
tel) mais il n'a pas d'élément globalement défini (un élément
globalement défini dans le topos des G-ensembles c'est un point fixe
pour l'action de G et là clairement il n'y en a pas si X n'a pas une
action triviale) car un tel élément donnerait un isomorphisme
(externe !) entre X et X0.
Cette découverte m'a complètement déstabilisé. J'ai voulu consulter
le Lambek & Scott pour savoir ce qu'ils disent des objets d'un topos
dont le topos pense qu'ils ont des éléments et qui pourtant n'ont
aucun point globalement défini. (Donc, typiquement, un G-ensemble qui
n'a pas de point fixe.) Mais le Lambek & Scott avait disparu de la
bibliothèque. En tout cas, je comprends que pour rendre le topos des
G-ensembles intéressant il faut introduire une notion de... disons...
topos galoisien (voire multigaloisien). Tiens, c'est curieux, j'ai
l'impression de suivre les traces de quelqu'un - mais qui cela
pourrait-il être ?
De votre envoyé spécial au pays des topoi,
-- David
¶
Path: eleves!not-for-mail
From: chenevie@news.ens.fr (Gaga)
Newsgroups: ens.forum.sciences.maths
Subject: Re: Modules
Date: 28 Jan 1999 17:01:46 GMT
Lines: 29
Sender: chenevie@flute.ens.fr
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NNTP-Posting-Date: 28 Jan 1999 17:01:46 GMT
X-Newsreader: Flrn (0.3.0 - 10/98)
Xref: eleves ens.forum.sciences.maths:370
GroTeXdieck, dans le message (sciences.maths:365), a écrit :
>> Dans kG, à mon avis, chaque représentation de
>> rang d détermine d points collés. Je cherche à trouver une théorie de
>> Galois qui permette de déployer ces points collés et les séparer, de
>> même que la théorie de Galois classique déploie les points « collés »
>> d'un schéma étale sur un corps non séparablement clos en faisant un
>> changement de base vers un corps séparablement clos
Mis a part les cas exceptionnels de non semisimplicité, on sait bien
que l'on peut se ramener par changement de base "commutatif" sur un corps
séperablement clos a M_n(k). Ce dernier genre d'anneau n'est a mon sens rien
d'autre qu'un point et un espace vectoriel de dimension finie au dessus,
mais bon ca chacun ses convictions. La thérorie de galois dont tu parles me
semble simplement etre l'objet du groupe de brauer, qui est bien connu. Je
ne vois pas ce qu'on peut rajouter dans cette direction. Bien entendu, si tu
persistes a imaginer que tu dois décomposer M_n en tes fameux n points,...,
tu dois inventer des changement de base non commutatifs?! Mais bon, en ce
qui me concerne, comme je te l'ai deja dit, il me semble que
M_n(A), A commutatif, n'est "naturelement" rien d'autre, que les
endomorphismes du module libre de rang n sur spec(A).
Ceci dit, si est G un groupe, il me semble qu'on a une géométrie
instrinseque a la spec, qui disparait peut-etre si on regarde ZG ou kG puisque
cela revient a regarder G comme operateurs lineaires, et donc a retomber sur le
foncteur "inintéressant" mod(kG). De plus l'analogue "permutation" G-ens me
semble plus apprprié a ce que je pense, bien que tel quel il est encore vide
de géométrie. Il faudrait que quelqu'un qui a bien pigé le topos dont vous
venez de parler, puisse l'expliquer peut-etre sans le cadre général.
¶
Path: eleves!not-for-mail
From: chenevie@news.ens.fr (Gaga)
Newsgroups: ens.forum.sciences.maths
Subject: Re: Modules
Date: 28 Jan 1999 17:47:32 GMT
Lines: 8
Sender: chenevie@aviso.ens.fr
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References: <78aeo0$gof$1@clipper.ens.fr> <78kjvm$ebu$1@clipper.ens.fr> <78lfad$ra$1@clipper.ens.fr> <78n37p$1e2$1@clipper.ens.fr> <78plc9$ijo$1@clipper.ens.fr> <78q55q$gne$1@clipper.ens.fr>
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NNTP-Posting-Date: 28 Jan 1999 17:47:32 GMT
X-Newsreader: Flrn (0.3.0 - 10/98)
Xref: eleves ens.forum.sciences.maths:371
Gaga, dans le message (sciences.maths:370), a écrit :
> La thérorie de galois dont tu parles me semble simplement etre l'objet du
> groupe de brauer, qui est bien connu.
D'ailleurs elle contient déjà une description de certains changement de
base noncommutatifs (pris sur une partie centrale). Un formule du genre H \tens
_R H \iso M_16(R), si ce n'est pas de la th. de galois ca...
¶
Path: eleves!not-for-mail
From: madore@news.ens.fr (GroTeXdieck)
Newsgroups: ens.forum.sciences.maths
Subject: Re: Modules
Date: 28 Jan 1999 18:29:03 GMT
Lines: 101
Sender: madore@steamer.ens.fr
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References: <78aeo0$gof$1@clipper.ens.fr> <78kjvm$ebu$1@clipper.ens.fr> <78lfad$ra$1@clipper.ens.fr> <78n37p$1e2$1@clipper.ens.fr> <78plc9$ijo$1@clipper.ens.fr> <78q55q$gne$1@clipper.ens.fr>
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NNTP-Posting-Date: 28 Jan 1999 18:29:03 GMT
X-Newsreader: Flrn (0.3.1 - 12/98)
Xref: eleves ens.forum.sciences.maths:372
Gaga in litteris (sciences.maths:370) scripsit :
> GroTeXdieck, dans le message (sciences.maths:365), a écrit :
>>> Dans kG, à mon avis, chaque représentation de
>>> rang d détermine d points collés. Je cherche à trouver une théorie de
>>> Galois qui permette de déployer ces points collés et les séparer, de
>>> même que la théorie de Galois classique déploie les points « collés »
>>> d'un schéma étale sur un corps non séparablement clos en faisant un
>>> changement de base vers un corps séparablement clos
>
> Mis a part les cas exceptionnels de non semisimplicité, on sait bien
> que l'on peut se ramener par changement de base "commutatif" sur un corps
> séperablement clos a M_n(k). Ce dernier genre d'anneau n'est a mon sens rien
Ce que tu dis là, je suppose, c'est que si G est fini et k de
caractéristique ne divisant pas #G, alors kG est semisimple donc
s'écrit comme produit d'algèbres de matrices sur des algèbres à
division sur k, et qu'en faisant un changement de base vers la clôture
séparable de k on peut se ramener à M_n(k).
OK. Ça me plaît bien. Ça veut dire que (disons, pour k
algébriquement clos) si on a une description géométrique de M_n(k)
alors on en a une de kG.
> d'autre qu'un point et un espace vectoriel de dimension finie au dessus,
> mais bon ca chacun ses convictions. La thérorie de galois dont tu parles me
Évidemment ça n'est pas faux. Mais ça manque quand même
singulièrement de contenu géométrique.
Par exemple, Z[t] (enfin, Spec Z[t]), tu peux dire « c'est l'anneau
des polynômes à coefficients entiers à une indéterminée », ou encore
« c'est l'objet qui représente le foncteur d'oubli de la catégorie des
anneaux vers la catégorie des ensembles », ou « c'est l'anneau des
endomorphismes de [...] » (je suppose qu'on doit pouvoir trouver de
quoi remplir les guillemets), ou encore « c'est l'objet universel dans
la catégorie des anneaux munis d'un élément ». Mais aucune de ces
descriptions n'est aussi bonne que « c'est La Droite ». Là, on
comprend.
Maintenant, je cherche à trouver ce que c'est que La Gauche (hum...
là j'ai vraiment trop fumé, désolé %-).
> semble simplement etre l'objet du groupe de brauer, qui est bien connu. Je
> ne vois pas ce qu'on peut rajouter dans cette direction. Bien entendu, si tu
Mais si. Le groupe de Brauer ça m'amène jusqu'à M_n(k) avec k
algébriquement clos, et ça ne sait pas aller plus loin.
> persistes a imaginer que tu dois décomposer M_n en tes fameux n points,...,
> tu dois inventer des changement de base non commutatifs?! Mais bon, en ce
Exactement.
Parce que tu vois, tu pourrais très bien dire, Spec C il n'y a rien à
en dire, c'est un corps, ça ne se décompose pas plus, *finit*. Mais
en fait si. Parce que si tu tensorises C avec C au-dessus de R tu
trouves que le C se décompose en deux copies de C. La théorie de
Galois c'est ça l'idée : machin tensorisé avec lui-même au-dessus de
bidule égale somme de copies de machin. Après ce que j'ai dit à Joël,
je comprends que ça signifie que dans un certain topos, machin est en
fait isomorphe - mais isomorphe internement, c'est-à-dire vu par la
logique du topos - à une somme de copies de bidule.
Bref, M_n(k) (pour k algébriquement clos - c'est-à-dire lorsque la
théorie de Galois classique capitule) il peut ressembler à un seul
point, mais je suis sûr que le bon changement de base, par M_n(k)
lui-même, va le déployer en une structure plus riche. (Probablement
prédite par Skolem-Noether : les automorphismes de M_n(k) c'est
GL_n(k), qui devrait être une sorte de groupe de Galois.)
La théorie de Galois classique de C sur R, pour moi c'est ça : si tu
prends un Mod(R) avec deux structures de Mod(C) (autrement dit, un
élément du produit fibré de Mod(C) avec Mod(C) au-dessus de Mod(R)),
mais qui commutent quand même parce qu'on n'est pas trop ambitieux,
c'est-à-dire que tu prends un R-vectoriel avec deux endomorphismes i
et j tels que i^2=j^2=-1 et ij=ji, alors le R-vectoriel se coupe en
deux, ker(i-j) et ker(i+j). C'est ça le déploiement de C comme R+R.
Il faut donc que je trouve un truc semblable sur les k-vectoriels
munis de deux structures de M_n(k)-modules ne commutant pas
forcément...
> qui me concerne, comme je te l'ai deja dit, il me semble que
> M_n(A), A commutatif, n'est "naturelement" rien d'autre, que les
> endomorphismes du module libre de rang n sur spec(A).
Oui, mais comme Z[t], un truc peut être « naturellement » plein de
choses.
> Ceci dit, si est G un groupe, il me semble qu'on a une géométrie
> instrinseque a la spec, qui disparait peut-etre si on regarde ZG ou kG puisque
> cela revient a regarder G comme operateurs lineaires, et donc a retomber sur le
Comprends pas...
> foncteur "inintéressant" mod(kG). De plus l'analogue "permutation" G-ens me
> semble plus apprprié a ce que je pense, bien que tel quel il est encore vide
> de géométrie. Il faudrait que quelqu'un qui a bien pigé le topos dont vous
> venez de parler, puisse l'expliquer peut-etre sans le cadre général.
Attrape-moi au passage un jour où je n'ai pas trop fumé et force-moi à
parler clairement...
¶
Path: eleves!not-for-mail
From: chenevie@news.ens.fr (Gaga)
Newsgroups: ens.forum.sciences.maths
Subject: Re: Modules
Date: 28 Jan 1999 20:20:05 GMT
Lines: 42
Sender: chenevie@flute.ens.fr
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References: <78aeo0$gof$1@clipper.ens.fr> <78lfad$ra$1@clipper.ens.fr> <78n37p$1e2$1@clipper.ens.fr> <78plc9$ijo$1@clipper.ens.fr> <78q55q$gne$1@clipper.ens.fr> <78qa9f$ql0$2@clipper.ens.fr>
NNTP-Posting-Host: flute.ens.fr
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X-Complaints-To: forum@clipper.ens.fr
NNTP-Posting-Date: 28 Jan 1999 20:20:05 GMT
X-Newsreader: Flrn (0.3.0 - 10/98)
Xref: eleves ens.forum.sciences.maths:373
> Par exemple, Z[t] (enfin, Spec Z[t]), tu peux dire « c'est l'anneau
> des polynômes à coefficients entiers à une indéterminée », ou encore
> « c'est l'objet qui représente le foncteur d'oubli de la catégorie des
> anneaux vers la catégorie des ensembles », ou « c'est l'anneau des
> endomorphismes de [...] » (je suppose qu'on doit pouvoir trouver de
> quoi remplir les guillemets), ou encore « c'est l'objet universel dans
> la catégorie des anneaux munis d'un élément ». Mais aucune de ces
> descriptions n'est aussi bonne que « c'est La Droite ». Là, on
> comprend.
>Oui, mais comme Z[t], un truc peut être « naturellement » plein de
>choses.
Une derniere chose a ce sujet: je suis bien d'accord qu'un objet
tout particulier comme Z[T] peut avoir tout un tas de propriétés bien
esthetiques qui le caractérise, je ne pense pas a des propriétés
particulieres sur certains anneaux precis, mais je regarde COM-RING ou
NONCOM-RING c'est tout. Ce que je pense, c'est qu'au meme titre
qu'en général les anneaux sont des anneaux de fonctions
(un anneau est génériquement introduit par la phrase: "on considère l'anneau
des fonctions sur..." un esp.top, une var.alg, une var hol..., meme sans
le spec général la plupart des anneaux sont comme ca), les anneaux non
commutatifs que l'on obtient par des constructions usuelles sont tous des
anneaux d'endomorphismes. L'objet de la géométrie serait donc la
commutativité, la non commutativité étant les transformations de l'objet
géométrique. Tout ce que j'ai dit est seulement motivée par cette
observation, sous cet angle Z[T] est bien la droite et M_n .... Le seul truc,
c'est que j'ai l'impression qu'il existe une géométrie des groupes abstraits,
mon seul espoir est dans cette direction.
Ceci dit, essayons quand meme de diagonaliser M_n(k), k alg cl.
Comme pour diagonaliser spec C, il faut le faire au dessus de quelque chose,
sinon M_n(C)\tens_C M_q(C) n'apporte pas grand chose et en plus modifie le
_n que l'on veut, il faudrait donc tensoriser par un truc de dimension 1 si
on ne veut pas modifier le n. De plus, ce que tu veux arriver a faire c'est
en partie extraire abstraitement le n de M_n. Il est rigolo de voir que la
(a conj .pres) sous-algèbre commutative max de M_n est C^n, mais bon c'est
peut-etre un hazard, on ne peut pas l'obtenir par un bon changement de base?
En récapitulant, il faudrait peut-etre regarder des trucs du genre
C\tens_{C GL_n(C)}M_n(C), mais la il ne reste deja plus rien... mystere.
Il faudrait peut-etre aussi songer a arreter de polluer le forum
avec nos c....ries.
¶
Path: eleves!not-for-mail
From: madore@news.ens.fr (GroTeXdieck)
Newsgroups: ens.forum.sciences.maths
Subject: Re: Modules
Date: 28 Jan 1999 21:21:15 GMT
Lines: 81
Sender: madore@clipper.ens.fr
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References: <78aeo0$gof$1@clipper.ens.fr> <78n37p$1e2$1@clipper.ens.fr> <78plc9$ijo$1@clipper.ens.fr> <78q55q$gne$1@clipper.ens.fr> <78qa9f$ql0$2@clipper.ens.fr> <78qgpl$96i$1@clipper.ens.fr>
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Content-Transfer-Encoding: 8bit
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X-Complaints-To: forum@clipper.ens.fr
NNTP-Posting-Date: 28 Jan 1999 21:21:15 GMT
X-Newsreader: Flrn (0.3.1 - 12/98)
Xref: eleves ens.forum.sciences.maths:374
Gaga in litteris (sciences.maths:373) scripsit :
> NONCOM-RING c'est tout. Ce que je pense, c'est qu'au meme titre
> qu'en général les anneaux sont des anneaux de fonctions
> (un anneau est génériquement introduit par la phrase: "on considère l'anneau
> des fonctions sur..." un esp.top, une var.alg, une var hol..., meme sans
> le spec général la plupart des anneaux sont comme ca), les anneaux non
> commutatifs que l'on obtient par des constructions usuelles sont tous des
> anneaux d'endomorphismes. L'objet de la géométrie serait donc la
Je ne pense pas du tout.
M_n(k) ou kG nous paraissent être des anneaux d'endomorphismes parce
qu'ils sont artiniens (à gauche et à droite), et si on se base sur le
cas commutatif on imagine bien qu'un anneau artinien ça ne va pas
chercher très loin.
Mais le contre-exemple habituel c'est k[q,p] avec q et p des
indéterminées vérifiant qp-pq=1. C'est l'anneau des « fonctions » sur
l'espace des phases de la mécanique quantique. Et on s'attend à une
structure géométrique semblable à celle qu'on a en mécanique
quantique, soit : il est possible de mesurer q et p seulement avec un
produit des incertitudes au moins égal à 1. (Bien sûr, c'est
méga-top-pipo, ne serait-ce que parce que « supérieur ou égal à 1 » ça
ne veut strictement rien dire, mais enfin ça doit quand même avoir un
vague contenu géométrique.) Ou encore k[u,v] avec vu=quv, où q est
une racine de l'unité (ou, si k=C, plus généralement, un complexe de
module 1) - à ce sujet, Manin, Connes, Kontsevich et compagnie ont dit
plein de choses intéressantes et assez géométriques. D'après les
théories fumeuses de certains physiciens (comme mon popa à moi) la
structure de l'espace à petite dimension doit aussi être non
commutative.
> Ceci dit, essayons quand meme de diagonaliser M_n(k), k alg cl.
> Comme pour diagonaliser spec C, il faut le faire au dessus de quelque chose,
> sinon M_n(C)\tens_C M_q(C) n'apporte pas grand chose et en plus modifie le
> _n que l'on veut, il faudrait donc tensoriser par un truc de dimension 1 si
> on ne veut pas modifier le n. De plus, ce que tu veux arriver a faire c'est
Je crois avoir montré (si je ne me suis pas trop laissé emporté par
mon enthousiasme) que le produit tensoriel tressé (la somme amalgamée
dans la catégorie des anneaux non nécessairement commutatifs - je ne
sais pas quel est le terme standard - c'est comme le produit tensoriel
mais on n'impose plus que les éléments des deux anneaux doivent
commuter) de M_n(k) (pour k algébriquement clos) avec lui-même
au-dessus de k est le produit direct de copies de M_n(k) pour tous les
sigma de GL_n(k). Si je ne me suis pas trompé c'est exactement le
genre de choses que je voulais - sauf que j'obtiens infiniment trop de
copies mais enfin je ne vais pas me plaindre nom plus. Le morphisme
serait celui qui envoie une matrice m du M_n(k) de gauche sur la
famille constante de valeur m pour tout sigma et une m du M_n(k) de
droite sur la famille de valeur sigma m sigma^-1 sur sigma. C'est
vraiment très semblable à la théorie de Galois des corps.
> en partie extraire abstraitement le n de M_n. Il est rigolo de voir que la
> (a conj .pres) sous-algèbre commutative max de M_n est C^n, mais bon c'est
> peut-etre un hazard, on ne peut pas l'obtenir par un bon changement de base?
Le fait que k^n soit sous-algèbre de M_n(k) est pour moi un des
arguments essentiels dans ma justification de ma théorie des n
points : ça veut dire qu'on a un morphisme de Spec M_n(k) vers n
copies de Spec k, qui est dominant (car injectif sur les anneaux).
Dans ces circonstances, il *doit bien* y avoir n points dans Spec
M_n(k)... au moins. Le problème c'est que quand on essaye de tirer à
peu près n'importe quel morphisme de but Spec k^n par ce morphisme on
tombe sur le vide. Pour moi, c'est surtout ça qui est déprimant.
> En récapitulant, il faudrait peut-etre regarder des trucs du genre
> C\tens_{C GL_n(C)}M_n(C), mais la il ne reste deja plus rien... mystere.
Ben oui.
> Il faudrait peut-etre aussi songer a arreter de polluer le forum
> avec nos c....ries.
Mais non. Quand nous aurons la médaille Fields ils seront tout
contents de dire qu'ils étaient là à lire nos idées géniales et qu'ils
comprenaient tout.
[...]
¶
Path: eleves!not-for-mail
From: chenevie@news.ens.fr (Gaga)
Newsgroups: ens.forum.sciences.maths
Subject: Re: Modules
Date: 29 Jan 1999 03:22:22 GMT
Lines: 15
Sender: chenevie@aviso.ens.fr
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Content-Transfer-Encoding: 8bit
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NNTP-Posting-Date: 29 Jan 1999 03:22:22 GMT
X-Newsreader: Flrn (0.3.0 - 10/98)
Xref: eleves ens.forum.sciences.maths:376
Je ne connais rien aux anneaux provenant de la physique,
je ne peux pas expliquer ce que tu dis. Tant pis, l'argument spe
spec M_n est aussi terrible. J'abandonne je dois avoir tout faux
trouve tes idées interessantes, c'est vrai.
Tu peux expliquer un peu mieux ton truc sur la somme "amalgamee" de
M_n par lui meme au dessus de k. Une simple remarque, si on prend n=1, on
obtient k donc il doit falloir au moins regarder PGL_n=Aut(M_n) plutot que GL_n,
ce qui rejoint ce que tu as deja dis a ce sujet.
- Gagggggaaaaaaaaaahhhhhmmmm, épuisé.
¶
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From: hivert@news.ens.fr (florent hivert)
Newsgroups: ens.forum.sciences.maths
Subject: Re: Modules
Date: 29 Jan 1999 10:53:07 GMT
Lines: 9
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NNTP-Posting-Date: 29 Jan 1999 10:53:07 GMT
X-Newsreader: Flrn (0.3.0 - 10/98)
Xref: eleves ens.forum.sciences.maths:377
Juste pour tempérer ce debordement de geometrie...
k[t] c'est CLAIREMENT l'anneau des fonctions symétriques sur un
alphabet de une variable... C'est trivial mais loin d'être idiot... Ça
permet de deduire que c'est l'anneau des représentation de GL(1)...
donc la droite.
Averell, qui met un message dans forum math avant de perdre son
compte sur clipper.
¶
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From: aicardi@news.ens.fr (Stephane Aicardi)
Newsgroups: ens.forum.sciences.maths
Subject: Re: Modules
Date: 29 Jan 1999 11:21:06 GMT
Lines: 9
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NNTP-Posting-Date: 29 Jan 1999 11:21:06 GMT
X-Newsreader: Flrn (0.3.0 - 10/98)
Xref: eleves ens.forum.sciences.maths:378
On peut aussi voir spec Z[t] comme le groupe additif. (Ce qui est une
presentation pas ininteressante a mon avis)
Par ailleurs, je ne comprends pas pourquoi tu tiens absolument a voir deux
points pour spec C, avec comme argument que CxC sur R donne deux copies de
C. Pourquoi choisir R ? Qu'est-ce que R a de naturel vis a vis de C, dans cette
histoire ?
Steph'
¶
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From: madore@news.ens.fr (GroTeXdieck)
Newsgroups: ens.forum.sciences.maths
Subject: Re: Modules
Date: 29 Jan 1999 15:47:43 GMT
Lines: 16
Sender: madore@clipper.ens.fr
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NNTP-Posting-Date: 29 Jan 1999 15:47:43 GMT
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Xref: eleves ens.forum.sciences.maths:379
Stephane Aicardi in litteris (sciences.maths:378) scripsit :
> On peut aussi voir spec Z[t] comme le groupe additif. (Ce qui est une
> presentation pas ininteressante a mon avis)
Oui, j'avais oublié ça. C'est effectivement très important.
> Par ailleurs, je ne comprends pas pourquoi tu tiens absolument a voir deux
> points pour spec C, avec comme argument que CxC sur R donne deux copies de
> C. Pourquoi choisir R ? Qu'est-ce que R a de naturel vis a vis de C, dans cette
> histoire ?
Je veux voir deux points dans Spec C en tant que schéma au-dessus de
Spec R (en fait, je devrais plutôt écrire Spec R[x]/(x^2+1) pour être
plus clair). Naturellement, en tant que schéma sur Spec C, Spec C n'a
qu'un seul point (et en tant que schéma sur Spec Z il en a beaucoup,
mais alors vraiment beaucoup).
¶
Path: eleves!not-for-mail
From: madore@news.ens.fr (GroTeXdieck)
Newsgroups: ens.forum.sciences.maths
Subject: Re: Modules
Date: 29 Jan 1999 23:57:40 GMT
Lines: 7
Sender: madore@clipper.ens.fr
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NNTP-Posting-Date: 29 Jan 1999 23:57:40 GMT
X-Newsreader: Flrn (0.3.1 - 12/98)
Xref: eleves ens.forum.sciences.maths:381
J'ai louzu sur la somme amalgamée. D'abord pour une simple question
de cardinalité les deux côtés ne peuvent pas être isomorphes. Mais en
fait c'est nettement plus grave que ça.
Je crois que je vais finir ce thread. Mais je ne déséspère pas de
trouver une façon de déployer Spec M_n(k) ou en tout cas d'en faire
quelque chose d'intéressant.