From madore@news.ens.fr Path: eleves!not-for-mail From: madore@news.ens.fr (GroTeXdieck) Newsgroups: ens.forum.syst.forum,ens.forum.sciences.maths Subject: Re: =?iso-8859-1?Q?Une_question_b=EAte=2C_comme_=E7a=2E=2E=2E?= Followup-To: ens.forum.sciences.maths Date: 21 Jul 1999 19:37:19 GMT Lines: 68 Sender: madore@clipper.ens.fr Message-ID: <7n57hf$pnl$1@clipper.ens.fr> References: <7lvfme$c31$1@clipper.ens.fr> <7n4fv1$l1m$1@clipper.ens.fr> <7n4j22$omo$1@clipper.ens.fr> <7n4jp3$pne$1@clipper.ens.fr> <7n4jr6$ps5$2@clipper.ens.fr> <7n4lo1$scv$1@clipper.ens.fr> NNTP-Posting-Host: clipper.ens.fr Mime-Version: 1.0 Content-Type: text/plain; charset=ISO-8859-1 Content-Transfer-Encoding: 8bit X-Trace: clipper.ens.fr 932585839 26357 129.199.129.1 (21 Jul 1999 19:37:19 GMT) X-Complaints-To: forum@clipper.ens.fr NNTP-Posting-Date: 21 Jul 1999 19:37:19 GMT X-Newsreader: Flrn (0.4.0 - 07/99) X-Censorship: yes X-Rumor: They say that naturally a wand of wishing would be heavily guarded. X-Number-Of-The-Day: 873 Xref: eleves ens.forum.syst.forum:1349 ens.forum.sciences.maths:663 1729 est le plus petit naturel qui peut s'écrire de deux façons différentes comme la somme de deux cubes : 1+1728 et 729+1000. C'est aussi le 3e nombre de Carmichael, et il n'y en a pas des masses (même si on sait maintenant qu'il en existe une infinité) : n^1729 est congru à n modulo 1729 pour tout n. La première de ces propriétés est célèbre en raison de l'anecdote suivante, rapportée par Hardy : « Sa façon [il s'agit de Ramanujan] de retenir les particularités des nombres était presque inquiétante. Chaque entier positif, disait même Littlewood, était pour lui comme un ami personnel. Je me souviens que, lorsque j'étais allé le voir sur son lit d'hôpital à Putney, j'avais pris le taxi n°1729. En arrivant, je lui fis remarquer que ce nombre me semblait plutôt terne, et que j'espérais qu'il ne fût pas de mauvais augure. ``Non, me répondit-il, c'est un nombre fort intéressant ; c'est le plus petit nombre exprimable en tant que somme de deux cubes, de deux façons différentes.'' » En fait, on a tendance à s'imaginer que Ramanujan a vu cette propriété « sur le coup », mais ce n'est évidemment pas le cas. Et il est naturel qu'il ait retenu la décomposition 1728+1 puisque 1728 ce n'est pas n'importe quoi, c'est la valeur en omega=i de l'invariant modulaire j(z), et celle qui fait que les courbes elliptiques sont désagréables à manier dans les caractéristiques qui divisent 1728 (on pourrait dire « les caractéristiques 2 et 3 », mais comme Jean Marot l'a fait remarqué avec beaucoup de subtilité, il vaut mieux parler des « nombres premiers divisant 1728 » que de parler de « 2 et 3 » car cela assure la compatibilité avec les versions ultérieures des mathématiques). Les valeurs entières de la fonction modulaire étaient connues de Ramanujan qui les avait étudiées. On sait maintenant que si E est l'anneau des entiers d'un corps de nombres quadratique imaginaire de nombre de classe 1 (i.e. principal) alors l'invariant modulaire de E (considéré comme réseau complexe - i.e. comme courbe elliptique à multiplication complexe) est un entier (en fait, pour toute courbe elliptique à multiplication complexe, j(E) est un entier algébrique, et son degré, le degré du corps qu'il engendre, est le nombre de classe car le corps en question est précisément le corps de classe de Hilbert de E). Cela, Ramanujan ne le savait pas. On sait aussi, et il ne le savait pas non plus, que le plus grand discriminant en valeur absolue pour lequel Q(\sqrt(-D)) ait nombre de classe 1 est -163. C'est-à-dire que la valeur de l'invariant modulaire j en (1+\sqrt(-163))/2 est un entier - précisément -640320^3. En insérant cette valeur dans le développement de j(z) = 1/q + 744 + 196884 q + ... (où q est exp(2i\pi z)), on voit que -640320^3 = -exp(\pi\sqrt(163)) + 744 + ... ce qui montre que exp(\pi\sqrt(163)) est « presque » égal à l'entier 640320^3+744, coïncidence numérique remarquable (valable avec une précision assez stupéfiante) et que Ramanujan avait observée. Donc pour conclure sur 1728 et 1729, on a 1728 = 1/q + 744 + 196884 q + 2149760 q^2 + ... où q est exp(-2\pi) soit 1728 = 535.491... + 744 + 367.669... + 74.956... + 5.628... + ... Et je conclus en beauté : exp(2\pi)=535.491... est proche d'un entier, à savoir 984. C'est ce qui fait tout l'intérêt du nombre 1728 (et donc aussi 1729). :-)