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Subject: Re: Groupe fondamental
Date: 25 Oct 1998 23:01:31 GMT
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Le problème de la géométrie algébrique, c'est qu'il y a une quantité
ahurissante de formalisme à ingurgiter avant de pouvoir faire la
moindre petite assertion.  Et effectivement personne ne s'est jamais
donné la peine d'écrire nulle part la moindre petite indication sur le
contenu géométrique des notions définies.  Il m'a fallu plus d'un an
pour comprendre que grosso modo ``lisse'' ça veut dire ``submersif''
et ``net'' ça veut dire ``immersif'' (à ce sujet, je cherche toujours
un équivalent de ``plat'' en géométrie différentielle - sachant qu'un
morphisme plat est ouvert, qu'un morphisme plat et net est étale, donc
moralement un isomorphisme local, qui pourra suggérer un analogue
sympathique).  Les pages de la section A du mân ne sont pas là
uniquement pour me foutre de la g* du monde, et je pense assez
sérieusement écrire un truc comme ``la géométrie algébrique pour les
nuls'' un jour (si je cesse d'en être un moi-même), pour essayer
peut-être d'éviter d'être aussi ridicules que moi et Fabrice l'avons
été l'autre jour en discutant un moment des résultats pointus de
descente des faisceaux cohérents pour la minute suivante ne pas être
capable de calculer la fibre en un point du faisceau structural de Z
(censément l'objet le plus trivial de la géométrie algébrique).

Je crois que tu es injuste envers l'algèbre.  Lorsque les affirmations
de la géométrie algébrique sont réduites au cas affine, et deviennent
donc des questions d'algèbre commutative, ça les rend tout de même
plus agréables à manipuler.  Et surtout, quand on les pose dans forum,
puisqu'il est surtout question de modules et d'anneaux plutôt que de
faisceaux quasi-cohérents et de schémas, il y a plus de gens
susceptibles de répondre, donc c'est mieux.  Ce qui est surtout lourd,
c'est le formalisme qui (tente) de faire le lien entre l'algèbre et la
géométrie.

Ma question concernait spécifiquement ce formalisme.  En termes
géométriques, je demande comment une représentation d'image finie et
de rang r du groupe fondamental d'un [machin géométrique] détermine
sur le [machin] un fibré vectoriel.  Mais je veux aussi savoir comment
ça se formalise dans le langage certes abscons de la topologie étale.
Si je connaissais une formulation purement algébrique, je la poserais
bien aussi.  En tout état de cause, donnée une représentation du
groupe de Galois d'un corps (faute de mieux), on doit pouvoir en
déduire quelque chose d'intéressant par cette construction.  C'est
quand même un élément de beauté indéniable de la géoalg que de faire
le lien entre deux phénomènes aussi disparates que sont le groupe
fondamental d'une variété et le groupe de Galois d'un corps - une
longue marche à travers la théorie de Galois, et qui doit bien mener,
disons, vers les hauts plateaux du massif central.

``When in Grothendieckland, (try to) do as Grothendieck does.''

Enfin, mon problème c'est surtout que dans une semaine je soutiens un
DEA, et que dans un mois je vais faire un exposé, le tout sur un sujet
auquel je ne comprends pas grand chose devant des gens qui en
connaîtront tous entre mille et un omega cube fois plus que moi, et
qui poseront des questions qu'en entendant je resterai soit bouche bée
d'incompréhension, ce qui sera embarassant, soit je ferai une réponse
à laquelle je ne comprendrai rien mais grâce aux qualités maïeutiques
de laquelle la solution germera dans l'esprit de l'interrogateur où
s'y trouvait déjà la graine, et ce sera encore plus embarrassant
finalement.

Déjà que je ne comprends pas pourquoi les programmes que j'écris
marchent, je sens que je ne vais bientôt pas comprendre non plus
les démonstrations que j'écrirai (ce qui, en vertu de l'isomorphisme
de Curry-Howard, revient fondamentalement au même).

La question essentielle, c'est à quel moment commence-t-on à entrevoir
une lueur de compréhension en géométrie algébrique.  Mais peut-être
que ça n'est jamais le cas et que les gens très fort de nos jours
n'ont jamais été des étudiants paumés, qu'ils ont simplement été
amenés sur Terre par des extra-terrestres désireux de troubler les
humains et d'obtenir un fromage de chèvre de meilleure qualité
(resp. plus d'informations sur la ``pattern theory'').

Ahem, je me suis peut-être un peu écarté du sujet.