Axiome du Choix

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Quelques variantes de l'axiome du choix...

• (CCXXX) (Axiome du choix) Toute famille d'ensembles non vide admet une fonction de choix.
• (CCCXX) (Axiome du choix dénombrable) Toute suite d'ensembles non vide admet une fonction de choix.
• (CCDXX) (Axiome des choix dépendants) Si R est une relation sur un ensemble non vide telle que pour tout x il existe y vérifiant xRy alors il existe une suite (x_n) telle que x_n R x_n+1 pour tout n.
• (UXX) (Théorème de l'ultrafiltre de Tarski) Tout filtre peut être étendu en un ultrafiltre.
• (UEX) Sur tout ensemble non vide il existe un ultrafiltre.
• (RCA1) (Régularité de aleph1) Toute suite à valeurs dans aleph₁ est bornée.
• (RSR) R n'est pas une réunion dénombrable d'ensembles dénombrables.
• (KNIDI) (Postulat de Dedekind) Tout ensemble infini a un sous-ensemble dénombrable.
• (CCXFX) Toute famille d'ensembles finis admet une fonction de choix.
• (CCX2X) Toute famille de paires admet une fonction de choix.
• (CCC2X) Toute suite de paires admet une fonction de choix.
• (CCC2SPR) Toute suite de paires d'ensembles de réels admet une fonction de choix.
• (OXT) Tout ensemble peut être totalement ordonné.
• (OXW) (Théorème du bon ordre) Tout ensemble peut être bien ordonné.
• (OPWW) L'ensemble des parties d'un ensemble bien ordonné peut être bien ordonné.
• (MNA) Tout ensemble infini est l'union de deux ensembles infinis disjoints.
• (KNITI) Si X est infini, il existe une chaîne dans P(X) sans élément maximal.
• (KTIDI) S'il existe une chaîne dans P(X) sans élément maximal alors X a un sous-ensemble dénombrable.
• (CRXXX) (Principe de sélection) Pour toute famille d'ensembles à au moins deux éléments, on peut choisir des sous-ensembles propres de chacun des membres.
• (KXSPW) Tout ensemble a le cardinal d'un sous-ensemble de l'ensemble des parties d'un certain ordinal.
• (KPNIDI) L'ensemble des parties d'un ensemble infini a un sous-ensemble dénombrable.
• (CCX4X) Toute famille d'ensembles a 4 éléments a une fonction de choix.
• (CCXWX) Toute famille d'ensembles bien-ordonnables a une fonction de choix.
• (MCOF) Tout ensemble totalement ordonné a un sous-ensemble bien-ordonné cofinal.
• (MVEL) (Axiome de constructibilité) Tout ensemble est constructible.
• (MODF) Tout ensemble est ordinal-définissable.
• (ODVW) Il existe un bon-ordre ordinal-définissable sur l'univers (cette affirmation ne peut pas s'écrire dans ZF).
• (OVW) Il existe un bon-ordre sur l'univers (cette affirmation ne peut pas s'écrire dans ZF).
• (MNAD) (Négation de l'axiome de détermination) Il existe un ensemble A de suites de naturels tel qu'aucun des deux joueurs ne possède une stratégie gagnante dans le jeu suivant : I et II jouent tour à tour un naturel, et I gagne ssi la suite formée appartient à A.
• (MNMCA1) aleph₁ n'est pas un cardinal mesurable.
• (MNCUMCA1) Le filtre clos cofinal sur aleph₁ n'est pas un ultrafiltre.
• (1) 1=1
• (0) 0=1

Voici à présent quelques implications entre ces différents axiomes. Ce ne sont pas là toutes les implications. En particuliers, les implications (n'importe quoi)->(1) et (0)->(n'importe quoi) n'y figurent pas...

• (CCXXX)->(CCDXX)->(CCCXX)
• (CCCXX)->(RCA1)->(RSR)
• (CCCXX)->(KNIDI)<->(KNITI)&(KTIDI)
• (KNITI)->(MNA)
• (KNIDI)->(KPNIDI)
• (CCXXX)->(UXX)->(UEX)
• (CCXXX)->(UXX)->(OXT)
• (CCXXX)->(OXT)->(CCXFX)->(CCX2X)->(CCC2X)->(CCC2SPR)
• (CCXXX)->(CRXXX)<->(KXSPW)->(OXT)
• (CCXXX)->(CCXWX)->(CCXFX)->(CCX2X)->(CCX4X)
• (CCXXX)<->(OXW)
• (OXW)<->(OPWW)
• (OXW)<->(OXT)&(MCOF)
• (MVEL)->(MODF)->(ODVW)->(OVW)->(CCXXX)
• (CCXXX)->(MNMCA1)->(MNCUMCA1)->(MNAD)
• (RCA1)v(MNMCA1)

Voici d'autre part quelques résultats d'indépendance. Le signe -* signifie « ne permet pas de démontrer ». En particulier, (1)-*(x) signifie que « x n'est pas démontrable dans ZF », et (x)-*(0) signifie que « x est consistant avec ZF » (tous ces résultats supposent que ZF est consistant).

• (CCCXX)-*(CCDXX)-*(CCXXX)
• (1)-*(RSR)
• (1)-*(MNA)
• (UEX)-*(UXX)-*(CCXXX)
• (OXT)-*(UXX)
• (1)-*(CCC2SPR)
• (OXT)-*(CRXXX)-*(CCXXX)
• (CRXXX)*-*(UXX)
• (CCX4X)-*(CCX2X)-*(CCXFX)
• (CCXWX)*-*(OXT)
• (CCXXX)-*(MVEL)
• (MVEL)-*(0)
• (1)-*(MNAD) moyennant une hypothèse de grands cardinaux (à savoir l'existence d'une infinité de cardinaux Woodin)
• (1)-*(MNMCA1) moyennant l'existence d'un cardinal mesurable

Cela dit, toute suggestion quant à un axiome à rajouter, ou toute nouvelle implication est la bienvenue.

Autre liens concernant l'Axiome du Choix: la page d'Eric Schechter à ce sujet, et un groupe de musique dont le nom est précisément "Axiom of Choice".

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