From madore@news.ens.fr Path: eleves!not-for-mail From: madore@news.ens.fr (GroTeXdieck) Newsgroups: ens.forum.sciences.maths Subject: Re: cohomologie Date: 23 Apr 1999 18:00:45 GMT Lines: 70 Sender: madore@clipper.ens.fr Message-ID: <7fqcgd$a5e$1@clipper.ens.fr> References: <7fp66p$t6$1@clipper.ens.fr> <7fpc6q$55t$1@clipper.ens.fr> <7fpecr$88s$1@clipper.ens.fr> <7fphcf$ajf$1@clipper.ens.fr> <7fphe9$b85$1@clipper.ens.fr> <7fpirp$c4q$1@clipper.ens.fr> NNTP-Posting-Host: clipper.ens.fr Mime-Version: 1.0 Content-Type: text/plain; charset=ISO-8859-1 Content-Transfer-Encoding: 8bit X-Trace: clipper.ens.fr 924890445 10414 129.199.129.1 (23 Apr 1999 18:00:45 GMT) X-Complaints-To: forum@clipper.ens.fr NNTP-Posting-Date: 23 Apr 1999 18:00:45 GMT X-Newsreader: Flrn (0.4pre1 - 03/99) Xref: eleves ens.forum.sciences.maths:463 Tu me permettras d'avoir un point de vue plus naïf. Quand j'étais petit, j'ai lu le Dold sur la topologie algébrique. Puis en maîtrise j'ai réappris les mêmes choses. C'était l'homologie singulière, bébête, sur les espaces topologiques, définie comme quotient des cocycles par les cobords. Parallèlement, j'ai suivi un cours de géodiff (celui de maîtrise de Labourie) et j'ai appris qu'il y avait un machin appelé cohomologie de De Rham, sur les variétés différentiables. Je me suis douté qu'il devait y avoir un vague rapport entre l'homologie singulière et la cohomologie de De Rham, mais personne ne m'a jamais expliqué ça : le cours de géodiff supposait qu'on était ignorant en topologie algébrique et réciproquement. Déjà, ce n'était pas clair. Certaines personnes prononçaient des mots mystérieux, comme « dualité de Poincaré » et ça devenait encore plus mystérieux ; on ne m'a même jamais dit clairement s'il existait une cohomologie singulière ou une homologie de De Rham, ou ce qui se passait au juste sur les espaces topologiques qui ne sont pas des variétés différentiables. Ensuite, j'ai suivi le cours d'Illusie. Alors, les choses qui étaient déjà parfaitement confuses le sont devenues encore beaucoup plus. On m'a parlé de cohomologie des faisceaux, on m'a défini ça comme les foncteurs dérivés du foncteur sections globales. Et on m'a dit que c'était la bonne façon de définir une cohomologie (tout d'un coup, les bords et les cobords avaient disparu ; où ? ; et quels foncteurs est-ce que les choses que j'avais apprises précédemment dérivent ?). On m'a encore dit que la cohomologie des faisceaux était trop compliquée à calculer, et donc qu'on utilisait un succédané, la cohomologie de Cech. Celle-ci se définit à nouveau avec des bords et des cobords. Illusie nous a dit plein de choses à ce sujet mais en fin de compte je ne savais pas du tout quel faisceau j'étais censé cohomologiser si je voulais faire des calculs (au début, pour moi, la cohomologie donnait des informations sur la forme de l'espace, maintenant elle en donnait sur la gueule des faisceaux). Je n'ai jamais su, et je ne sais toujours pas, si les (co)homologies que j'avais vues avant pouvaient s'obtenir comme cohomologies de certains faisceaux, et/ou comme cohomologies de Cech, et pour résumer je n'ai rien compris, mais alors rien du tout. Et ce n'est pas tout. Ensuite est arrivé la cohomologie étale, et parallèlement il y avait un cours de théorie des nombres où on m'a parlé de cohomologie galoisienne et de cohomologie des groupes. Et j'ai compris de moins en moins. En plus dans tout ça je mélange ce qui concerne les espaces topologiques, les variétés différentielles, les schémas... Par exemple, quand j'étais petit, pour moi, la cohomologie d'une sphère, ça devait avoir quelque chose comme un Z en degrés 0 et 2 et 0 en degré 1. Je serais parfaitement incapable de dire si (et pourquoi) il y a un faisceau sur Spec Z[X,Y]/(X^2+Y^2-1) (oui, c'est quand même ça une sphère, enfin, aux dernières nouvelles, c'était encore ça) qui ait une cohomologie ayant cette allure. Et puis on me balance des mots compliqués comme « hypercohomologie » ou « suite spectrale » sans que j'aie la moindre idée de ce que c'est. Alors, je suis désolé, mais si les motifs sont l'objet universel dans tout ce bordel-là, ça doit être vraiment immonde, un motif, et je comprends que Grothendieck soit parti élever les chèvres. Tous les livres qui étaient censé m'expliquer des choses sont partis dans d'obscurs détails parfaitement chiants sur les familles paracompactifiantes et je ne sais quelle autre idiotie encore. Moi je n'en ai rien à faire de leurs familles paracompactifiantes, j'aimerais qu'on m'explique les choses aux ras des paquerettes, mais en étant quand même synthétique et complet. Donc, il ne s'agit pas d'un GT qui produise quelque chose de nouveau, mais simplement d'un GT pour comprendre des choses qu'on sait déjà, et dont je suis sûr que je ne suis pas le seul à les trouver obscures.