David Madore's WebLog: Mon obsession pour la symétrie (et un peu de mysticisme)

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(jeudi)

Mon obsession pour la symétrie (et un peu de mysticisme)

J'ignore dans quelle mesure ma fascination pour la symétrie est commune à beaucoup de gens, à tous les mathématiciens, ou peut-être seulement les algébristes et apparentés, ou si elle m'est propre, mais elle a parfois tendance à tourner à l'obsession, voire à la compulsion.

Je pourrais donner l'exemple suivant, anecdotique, mais assez représentatif de l'esprit dont je parle. Il y a, dans l'entrée de la maison de mes parents (où j'ai vécu entre les âges de 10 et 28 ans environ), quatre interrupteurs identiques en ligne. Les trois premiers commandent des lampes (celle de l'entrée, celle de l'extérieur, et celle de l'escalier, mais peu importe), le quatrième n'est relié à rien. La plupart des gens, sans doute, n'actionneraient que les trois premiers, le quatrième restant donc toujours dans la même position, sauf au hasard des personnes de passage qui tenteraient de s'en servir. Mais mon sens de l'esthétique demandait que je recherchasse la manière la plus symétrique de positionner ce quatrième interrupteur en fonction des trois autres : spontanément, quand j'ai emménagé dans cette maison, j'ai décidé que la « bonne » position pour celui-ci était d'être dans la position telle qu'il y ait un nombre pair d'interrupteurs dans chaque position (ou, si on préfère, que le quatrième soit le ou exclusif des trois premiers ; ou encore : si les trois premiers sont dans une même position, le quatrième doit l'être aussi, tandis que si les trois premiers sont dans deux positions différentes, le quatrième adoptera la position minoritaire pour la rendre égale en nombre à l'autre). J'ai donc pris l'habitude, pendant tout le temps que j'ai habité là, de positionner cet interrupteur inutile selon cette considération esthétique de symétrie. Et le plus bizarre, c'est que je ne saurais pas dire exactement en quoi ce système est le plus symétrique, mais je suis tout à fait persuadé que c'est la bonne réponse à la question comment choisir la position du quatrième interrupteur en fonction de celle des trois autres pour maximiser la symétrie ? — et que la grande majorité de ceux qui se donneraient la peine de réfléchir à cette question seront d'accord avec moi. Ce qui est sûr, aussi, c'est que ce système est idiot, ou en tout cas peu économique, du point de vue pratique, puisqu'il signifie que, si je suis seul à la maison (donc que personne ne dérange mon arrangement), je vais devoir actionner le quatrième interrupteur à chaque fois que j'en actionne un autre.

Cette obsession pour la symétrie n'affecte pourtant pas tout ce que je fais, et je ne saurais pas expliquer pourquoi je m'en préoccupe dans certaines choses et pas dans d'autres. Je ne dispose pas mes couverts de façon spécialement symétrique, par exemple (en tout cas, je ne mets pas mon verre au milieu de mon assiette). En fait, je ne recerche pas tant les symétries géométriques que structurales, abstraites, conceptuelles, mais la symétrie géométrique peut bien sûr en faire partie. Pour donner un exemple, dans une vidéo récente, j'ai été amené à choisir comment colorier les faces d'un dodécaèdre — donc comment choisir 12 couleurs et comment les attribuer aux 12 pentagones — et j'ai passé sans doute plus de temps pour faire ce choix totalement sans importance que pour le reste de la vidéo (et d'ailleurs, je ne suis pas content du choix que j'ai fait[#]). Je serais curieux de savoir ce que d'autres mathématiciens et/ou passionnés de symétries auraient fait comme choix !

[#] Précisément : on peut trouver quatre sommets du dodécaèdre qui forment un tétraèdre régulier, j'affecte arbitrairement à chacun une couleur parmi {rouge, jaune, vert, bleu}, puis les trois pentagones se rencontrant en ce sommet reçoivent la couleur en question dans une variante respectivement claire, moyenne ou foncée selon que le pentagone contient le segment reliant le sommet au sommet auquel j'ai attribué la couleur respectivement suivante, opposée ou précédente dans l'ordre cyclique sur {rouge, jaune, vert, bleu}. Les couleurs claire moyenne et foncée pour le rouge ont dans l'espace RGB les valeurs (255,128,128), (192,64,64) et (128,0,0) ; pour le vert et le bleu, on fait les changements évidents. Le jaune est le max composante par composante entre le rouge et le vert : vous ne pouvez pas savoir combien j'ai hésité entre ce choix-là (plus agréable visuellement) et celui consistant à espacer de façon égale le rouge, jaune, vert et bleu sur l'hexagone des teintes RGB (c'est-à-dire, disons, garder le jaune et le bleu, mais remplacer le vert par une couleur à mi-chemin entre vert et cyan, et le rouge par une couleur à mi-chemin entre le rouge et le magenta).

Un problème avec la symétrie est qu'on est parfois obligé de la briser. Pour prendre un exemple parfaitement trivial, le cycle des sept jours de la semaine (lundi, mardi, mercredi, jeudi, vendredi, samedi, dimanche) a une symétrie cyclique d'ordre 7 : mais si je veux écrire les jours de la semaine comme je viens de le faire dans la parenthèse précédente, il faut bien que j'en choisisse un par lequel commencer, ce qui brise la symétrie. (D'ailleurs, il y a deux conventions culturelles sur la façon de briser ce cycle : commencer le lundi ou commencer le dimanche. Sinon, je peux bien sûr écrire les jours sur le bord d'un cercle pour éviter de briser la symétrie, encore qu'il faudra bien décider comment positionner ce cercle sur une feuille de papier ou une page Web.) Mais pour des structures mathématiques plus complexes, ou en tout cas plus symétriques, se demander ce qu'on doit briser comme symétries, et quelle est la façon la moins désagréable de le faire, peut être un problème délicat : je m'en étais rendu compte en faisant des petits jeux de taquin autour du groupe de Mathieu M24 (voir ici, ic et mes tentatives à ce sujet, seule la dernière étant vaguement satisfaisante à mes yeux). Le problème est que la structure sous-jacente à M24 (le système de Steiner (5,8,24)) est un objet immensément symétrique, c'est bien ce que traduit le groupe de Mathieu, et la représentation graphique choisie, que ce soit un tableau de taille 6×4 ou 8×3 ou 12×2, va forcément casser presque toute cette symétrie — encore faut-il trouver la façon la moins déplaisante de le faire. Même des structures a priori plus simples, comme les plans projectif sur les corps finis, sont difficiles à représenter de façon satisfaisante. Heureusement, il y a des structures mathématiques dont la symétrie se prête mieux à une représentation graphique, et j'en ai aussi fourni des exemples sur ce blog (comme ici, ou tous les endroits où j'ai parlé de E₈, comme — la vidéo liée depuis cette dernière entrée est d'ailleurs intéressante, parce qu'on montre un objet qui a énormément de symétries passer par toutes sortes de représentations graphiques avec des symétries différentes, donc des façons différentes de briser la symétrie du tout).

Mais il y aussi un lien entre mon obsession pour la symétrie et ma fascination artistique pour l'ésotérisme. J'expliquais cette dernière dans une entrée récente de la façon suivante :

Et il y a un autre intérêt à mes yeux, que tout le monde ne partage pas : c'est l'aspect artistique de la théorie crackpot. Car certaines peuvent être comparées à des œuvres d'art par la fascination qu'elles dégagent. C'est un côté qu'Umberto Eco a beaucoup exploré (notamment dans Le Pendule de Foucault), et sur lequel Dan Brown (s'il existe vraiment) a fait beaucoup d'argent. Je parle soit de mettre en scène des crackpots dans une œuvre de fiction, soit de considérer la théorie crackpot comme un cadre dans lequel pourrait se dérouler une œuvre de fiction (comme de la science-fiction), soit encore d'utiliser un schéma ésotérique comme base pour une règle oulipienne (voyez ce qu'Italo Calvino fait avec le jeu de tarot dans Le Château des destins croisés ; on peut faire des choses semblables avec l'astrologie, l'alchimie, etc.), soit enfin de considérer la théorie elle-même comme de l'art, obéissant à ses propres règles ; ou, bien sûr, un mélange de tout ça. J'ai déjà expliqué que les frontières entre l'art et la crackpoterie peuvent être poreuses, et aussi que la vérité n'est pas forcément ce qui est le plus intéressant du point de vue artistique.

Or il se trouve que les ésotéristes ont aussi une certaine fascination pour la symétrie. N'ayant pas de réalité à laquelle se confronter (la réalité a elle-même ses symétries, mais il faut une certaine habileté aux physiciens pour les découvrir), les astrologues, par exemple, peuvent inventer toutes les symétries qu'ils veulent dans leurs systèmes mystiques. C'est d'ailleurs en cherchant une correspondance ésotériques entre les planètes et les solides réguliers que Kepler a découvert, presque par accident, les lois qui régissent réellement le mouvement des planètes — et c'est avec beaucoup de regret qu'il a abandonné le cercle et son élégante symétrie en faveur de l'ellipse, moins satisfaisante pour l'esprit mais qui a l'avantage d'être correct. Mais sinon, quand la réalité n'a pas toute l'élégance qu'on voudrait, on peut toujours se réfugier dans la fiction.

J'avais beaucoup aimé, quand j'étais ado, le jeu informatique Ultima VI et son successeur Ultima VII, et c'est un des rares jeux informatiques auxquels j'aie vraiment accroché et joué assez longtemps. Or une des caractéristiques du monde de la série Ultima est le système des « huit vertus » : l'idée, expliquée plus en détails ici, est que trois principes fondamentaux (Vérité, Amour et Courage) créent, par leur présence ou absence, huit vertus (les huit combinaisons booléennes des trois principes : Humilité pour aucun des trois, Honnêteté, Compassion et Valeur pour un seul principe, Justice, Honneur et Sacrifice pour deux des trois, et Spiritualité pour les trois). Manifestement, les concepteurs du jeu avaient le même genre de sens de l'esthétique et de la symétrie que moi ; par exemple, les couleurs associées aux huit vertus (et qui réapparaissent régulièrement dans le jeu) sont les huit couleurs déterminées par les combinaisons correspondantes d'un système de couleurs primaires (la Vérité étant associée au bleu, l'Amour au jaune, le Courage au rouge), ce qui est exactement le genre de choses que j'aurais fait. Sauf que j'aurais utilisé les couleurs primaires RGB à la place (pas seulement parce que ça fait des couleurs secondaires plus jolies, mais aussi parce qu'elles correspondent, du coup, aux pierres précieuses colorées les plus célèbres, rubis, émeraude et saphir ; je pourrais évoquer trois couleurs héraldiques, gueules, sinople et azur, mais il ne faut jamais parler sur le Web d'héraldique ou de vexillologie de peur de voir débarquer des légions de pédants pénibles). Enfin, je ne sais pas pourquoi je dis que j'aurais utilisé les couleurs primaires RGB, parce que je les ai utilisées dans quantité d'œuvres de fiction faisant plus ou moins référence à l'ésotérisme ou simplement à des considérations d'esthétiques proches de mes idées sur la symétrie. Notamment dans les armoiries (euh, non, pas les armoiries — cf. la dernière phrase de la parenthèse précédente — disons le logo) de la ville de Tekir dans le roman La Larme du Destin que j'ai écrit quand j'étais petit, et qui sont des anneaux borroméens rouge, vert et bleu. D'ailleurs, quand on voit la page Wikipédia en question, on s'aperçoit que je ne suis certainement pas le premier ni le dernier à trouver que les anneaux borroméens sont élégants par leur symétrie, et que cette façon particulière de les colorier leur convient bien.

Je pourrais multiplier les exemples. Avant de jouer à Ultima VI, j'avais lu le Livre dont Vous Êtes le Héros Les Sept Serpents de Steve Jackson, où les sept créatures éponymes sont affectées au feu, à la terre, à l'eau, à l'air, à la lune, au soleil et au temps : j'ai repris cette affectation, à l'ordre et un petit changement près, dans le scénario du jeu informatique Légendes, que j'ai passé un bon bout de mes années lycée à écrire avec deux amis (on peut le récupérer ici, et il doit être jouable avec DOSbox ou équivalent). Les variations ésotériques autour des éléments, qu'ils soient au nombre de quatre, cinq, cinq différents, sept comme je viens de le citer, ou encore huit, sont innombrables. Quelque part, comme Kepler avec son ellipse, on ne peut que se sentir désolé que la science moderne ait remplacé ces systèmes esthétiquement satisfaisants et tragiquement faux par un système irrégulier avec plus d'une centaine d'éléments parmi lesquels des choses aussi absurdement bizarres que le praséodyme ou le thulium. (Franchement, si vous êtes en train de jouer à un jeu de rôles et que le maître du jeu vous dit que vous rencontrez un élémental de praséodyme, ça ne le fait pas. Je n'ai rien contre les terres rares, certains de mes meilleurs amis sont des terres rares, mais à moins qu'il y ait des eaux rares, des airs rares et des feux rares parmi les éléments, elles ne sont ni très élégantes ni très symétriques.)

Sinon, bien sûr, il y a le Yi Jing (et certains de ses épigones comme le Tai Xuan Jing — une sorte de Yi Jing ternaire plutôt que binaire), qui a fasciné des générations de mystiques, de philosophes et d'artistes par sa combinatoire. (Même si le manque de logique de l'arrangement traditionnel des hexagrammes Yi Jing ne peut qu'énerver celui qui, comme moi, recherche partout la symétrie.) Combinatoire qui procède de la symétrie simple mais incontournable des principes fondamentaux de la dualité taoiste, manifeste dans son si célèbre symbole à la beauté intrigante.

Bref, les mystiques et ésotéristes de toutes sortes, qu'ils croient vraiment en leurs théories ou qu'elles soient une construction artistique, ont aussi tendance à rechercher la symétrie, et je suis en bonne, ou devrais-je dire en mauvaise, compagnie.

Néanmoins, en tant que mathématicien, je me désole un peu que la symétrie impliquée par ces différents jeux ésotériques soit toujours quelque chose de très simple : dans la mesure où on arrive à la formaliser, il s'agit typiquement d'un groupe cyclique, ou diédral, ou peut-être le groupe symmétrique tout entier, mais c'est tout. Quel manque d'originalité ! Merde, quoi, si une théorie physique a la contrainte de devoir coller avec l'expérience, une théorie magique n'a que la contrainte d'être élégante et satisfaisante pour l'esprit, alors la moindre des choses est de le faire bien. [Heptagramme mystique] Par exemple, si votre système ésotérique a sept éléments (ou sept planètes, ou je ne sais quoi), et que vous voulez un système de domination / transmutation / quidlibet entre ces sept entités, il devrait être donné par le graphe orienté de Paley d'ordre 7, qui a le maximum de symétries (21) pour un tournoi sur sept objets (cf. la figure à droite, si elle s'affiche : on peut envoyer n'importe quelle flèche sur n'importe quelle autre flèche par une unique symétrie). S'ils faisaient correctement leur boulot, les astrologues, alchimistes et autres auraient dû découvrir plein d'objets mathématiques intéressants.

(Hum, en écrivant ça, j'ai tout d'un coup peur que des lecteurs aient un degrémètre mal calibré et me prennent au sérieux : la phrase précédente devrait mesurer 2.236±0.015 à votre degrémètre, sinon il est à réviser.)

Ceci m'amène à poser une question (sérieuse) et à proposer un défi (amusant). La question est la suivante : quelles sont les structures mathématiques (combinatoires) les plus complexes qui aient été introduites dans le cadre d'une recherche non-mathématique d'élégance et de symétrie ? Les hexagrammes du Yi Jing seraient un exemple intéressant si ce n'était que, comme je l'ai mentionné, leur ordre traditionnel est ad hoc ; c'est une des raisons pour lesquelles j'ai mentionné le Tai Xuan Jing : il semble que ses tétragrammes soient ordonnés selon le système ternaire (modulo l'ignorance du nombre zéro et donc le fait qu'il faudrait numéroter de 0 à 80 au lieu de 1 à 81), mais bon, la traduction que j'ai de ce texte est tellement mauvaise et bourrée d'erreurs que c'est impossible d'en être vraiment sûr. Y a-t-il une occurrence quelconque d'un graphe un peu intéressant (comme le tournoi de Paley d'ordre 7 que je viens de mentionner) dans un texte mystique ancien ? L'écriture décimale positionnelle peut aussi compter comme une structure mathématique intéressante, mais je ne sais pas dans quelle mesure elle a été inspirée par l'intérêt de représenter les longs cycles de la cosmogonie hindoue (par exemple le mahākalpa, ou durée de vie de Brahmā, de 311 040 000 000 000 = 100 × 12 × 30 × 2 × 1000 × 12000 × 12 × 30 ans), ou si c'est au contraire le fait de pouvoir écrire des nombres comme ça et les multiplier qui a conduit à inventer de tels cycles. (Néanmoins, ces nombres sont loin d'atteindre ceux que, par exemple, Archimède décrit dans L'Arénaire. Et ils ne semblent pas non plus associés à une structure combinatoire intéressante. Le calendrier maya, de ce point de vue-là, est déjà peut-être plus intéressant.)

Le défi, c'est, à supposer que la réponse à la question précédente est essentiellement négative, de combler ce manque. Autrement dit, d'inventer, comme une construction oulipienne, un système ésotérique — par exemple, les règles de la magie dans un monde imaginaire, un oracle tel que le Yi Jing, une théorie astrologique, une théologie ou cosmogonie, le Vrai Nom de Dieu, la musique qui amène la fin du monde, quelque chose de ce genre — dont la construction repose sur un objet mathématique un peu complexe et possédant une très grande symétrie. Mais attention, il faut prendre les symétries très au sérieux : par exemple, si on voulait introduire, disons, les douze signes du zodiaque, il faudrait prendre garde au fait que ceux-ci forment naturellement un 12-cycle et que la symétrie de ce 12-cycle doit être reflétée dans l'utilisation qui en est faite (à titre d'exemple, on ne doit pas utiliser les signes du zodiaque pour représenter le groupe de Mathieu M12 parce que ce dernier ne contient pas de 12-cycle ; on peut s'en servir, avec 12 autres symboles formant un autre 12-cycle, pour représenter M24, comme le montre le tableau ci-contre dont je vous laisse comprendre la logique, parce que M24 contient un produit de deux 12-cycles, mais encore faut-il trouver un narratif qui expliquerait quoi faire de cet agencement). J'avais proposé une piste possible (faisant intervenir E₈), mais ce n'est pas du tout évident d'en tirer vraiment quelque chose. Je pense que c'est un défi comparable en difficulté à celui d'écrire un roman basé sur le parcours hamiltonien d'un cavalier sur un échiquier (pour prendre un exemple, euh, complètement au hasard).

Suite : cette entrée-ci est une sorte de continuation (ou au moins, de pendant) de celle-là.

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