David Madore's WebLog: 2013-10

Je donne à Télécom ParisChose un cours d'Analyse (cela me demande d'ailleurs beaucoup de travail parce que je ne suis pas du tout analyste) dont un des points centraux est la théorie de Fourier. J'avais l'an dernier fait un petit catalogue de quelques énoncés sur la théorie des séries de Fourier (dépassant largement le niveau du cours que j'enseigne, mais nécessaire pour me clarifier les idées). Mais il faudrait que je parle un peu aussi de la transformée de Fourier, pour expliquer à quel point c'est subtil à définir.

Si f est L¹ (=intégrable au sens de Lebesgue) sur ℝ, on définit sa transformée de Fourier ℱf par

$$ℱf\left(\xi \right)={\int }_{-\infty }^{+\infty }f\left(x\right)e^{-2i\pi \xi x}dx$$

(pour ceux qui ont un de ces vieux navigateurs qui ne comprennent pas le MathML, il s'agit de l'intégrale de f(x)·exp(−2iπξx) pour x allant de −∞ à +∞, vue comme fonction de la variable ξ). Cette fonction ℱf est continue (de ξ), de limite nulle à l'infini.

Si f est L² (=de carré intégrable) mais pas forcément L¹, la formule ci-dessus n'a pas de sens en général ; on peut cependant définir une transformée de Fourier sur L² : par exemple, on utilise la formule ci-dessus pour définir la transformée de Fourier sur L²∩L¹ (ou sur un espace plus petit, comme l'espace de Schwartz), dense dans L², on démontre que l'opération « transformée de Fourier » est une isométrie au sens L², et on la prolonge par continuité. C'est déjà quelque chose d'assez subtil pédagogiquement.

L'autre subtilité pédagogique, c'est que nos élèves sortent (généralement) de prépa et que si on leur y a défini une intégrale de −∞ à +∞, c'est comme limite des intégrales à bornes finies quand ces bornes tendent vers −∞ et +∞ ; alors que l'intégrale dont il est question ci-dessus est l'intégrale de Lebesgue, définie de façon holiste sur ℝ, et il se trouve que si elle existe, elle est effectivement égale à la limite des intégrales à bornes finies (par le théorème de convergence dominée), mais la réciproque n'est pas vraie.

Les choses deviennent catastrophiques parce que ces deux subtilités se combinent de façon encore plus subtile : si on considère la fonction f_M = f×1_[−M;+M] égale à f sur l'intervalle [−M;+M] et à 0 ailleurs, alors f_M converge vers f au sens L² quand M→+∞, donc les transformées de Fourier des f_M convergent vers celle de f au sens L² ; or f_M est L¹ et sa transformée de Fourier est donc donnée par l'intégrale de −M à +M de de f(x)·exp(−2iπξx). On a donc (pour tout f∈L²) :

$${\int }_{-M}^{+M}f\left(x\right)e^{-2i\pi \xi x}dx\underset{M\to +\infty }{\to }ℱf\left(\xi \right)$$

mais il s'agit d'une convergence au sens L² (d'une fonction de ξ vers une autre fonction de ξ), qui ne dit rien sur ce qui se passe pour un ξ ou un autre. Et là où ça devient subtilissimement subtilissime, c'est que en fait, si, il y a bien convergence pour presque tout ξ, mais cette convergence p.p. est un théorème très difficile (le théorème de Carleson).

En revanche, je suis assez convaincu, même si je n'ai pas de contre-exemple, qu'il est parfaitement possible qu'une fonction f localement intégrable ait une transformée de Fourier au sens des distributions g elle aussi localement intégrable, c'est-à-dire qu'on ait ∫(f·ψ)=∫(g·φ) pour toute fonction φ de l'espace de Schwartz ayant transformée de Fourier ψ (automatiquement elle-même dans l'espace de Schwartz), et pourtant que la limite écrite ci-dessus n'existe pour aucun ξ. Je me demande bien, d'ailleurs, s'il est possible que la limite existe pour tout ξ mais ne soit jamais égale à g(ξ) ; mais je n'ai pas du tout le temps d'y réfléchir.

Comment faire pour enseigner quelque chose qui soit rigoureux et qui ne noie pas pour autant les élèves sous la subtilité ?

La eZ430-Chronos (dont il existe plusieurs sous-modèles, en l'occurrence il s'agit de celle qui communique à 433MHz) est une montre fabriquée par Texas Instruments, probablement pour servir de vitrine à une de leurs puces (le CC430, un microcontrôleur intégré avec un contrôleur radio).

Ce qui la rend intéressante pour les geeks, c'est que cette montre est programmable, au sens où elle est fournie avec une interface JTAG facilement accessible et un petit dongle USB permettant très facilement d'en réécrire le firmware, ainsi que les sources du firmware de démonstration ; comme on a aussi accès aux spécifications détaillées du microcontrôleur utilisé, et à des instructions assez précises qui incluent notamment le diagramme complet de la montre, on peut dire qu'il s'agit d'un matériel très ouvert.

En outre, la montre contient des accéléromètres, un capteur de temérature et de pression atmosphérique / altimètre, et, comme je l'ai déjà dit, un émetteur/récepteur radio à 433MHz (il y a aussi des modèles à d'autres fréquences ; le 433MHz n'a pas forcément la meilleure portée, mais il est utilisable dans le monde entier), et le kit vendu par TI contient un contrôleur USB (lui-même très ouvert) permettant de communiquer avec la montre. On peut donc imaginer toutes sortes d'applications amusantes, et comme le tout ne coûte que USD 58 (livraison comprise), je me suis dit que ce serait bête de ne pas en acheter une pour voir.

Je l'ai reçue tout récemment et je suis trop occupé en ce moment pour avoir le temps de jouer beaucoup avec pour l'instant. J'ai juste eu l'occasion de vérifier que j'arrivais bien à compiler un nouveau firmware (un OpenChronos, que j'ai compilé avec un mspgcc version 20120406) et à l'installer sur la montre, et que je pouvais communiquer avec elle pour écrire l'heure dessus depuis l'ordinateur. (Par contre, l'altimètre a cessé de fonctionner, et je n'ai pas eu le temps de chercher à comprendre la raison.) Je ne peux donc pas dire grand-chose pour l'instant à part que c'est potentiellement intéressant.

Il faut remarquer, cependant, que l'écran LCD est un peu limité (essentiellement 4+5 blocs standard de 7 traits arrangés en chiffre 8, plus encore deux traits formant un chiffre 1, plus quelques icônes fixes : c'est à peu près impossible d'afficher des lettres, par exemple). Et que le firmware doit tenir dans 32ko, ce qui n'est pas énorme surtout si on garde la possibilité de communiquer par radio.

En tout cas, c'est amusant de regarder à quoi peuvent ressembler les sources d'une montre. C'est assez pédestre, en fait ; par exemple :

void clock_tick(void)
{
	// Use sTime.drawFlag to minimize display updates
	// sTime.drawFlag = 1: second
	// sTime.drawFlag = 2: minute, second
	// sTime.drawFlag = 3: hour, minute
	sTime.drawFlag = 1;

	// Increase global system time
	sTime.system_time++;

	// Add 1 second
	sTime.second++;

	// Add 1 minute
	if (sTime.second == 60)
	{
		sTime.second = 0;
		sTime.minute++;
		sTime.drawFlag++;

		// Add 1 hour
		if (sTime.minute == 60)
		{
			sTime.minute = 0;
			sTime.hour++;
			sTime.drawFlag++;

			// Add 1 day
			if (sTime.hour == 24)
			{
				sTime.hour = 0;
				add_day();
			}
		}
	}
}

Il y a peut-être moyen de tirer de ce truc un projet intéressant à proposer à nos étudiants à Télécom MachinBiduleTech, même si je ne sais pas si je me sens vraiment le courage d'encadrer ça.

To whom it may concern:

This is a referee report on the thesis titled The Character Table of the Weyl Group of E₈: Applications to the Arcane Arts, a dissertation submitted by M. Parry Hotter in partial fulfillment of the degree of Magiæ Doctor at the University of Hogsbridge.

Context: To put this study in its proper historical perspective, which M. Hotter himself does at length in the first chapter of the thesis under review, would require more space than can be afforded here. As the author aptly recalls, the E₈ perspective on the arcane arts can be traced back to the unification, proposed by Leibniz in 1710, of six of the seven classical schools of magic (Earth, Water, Air, Fire, Macrocosm, Life and Spirit, arranged linearly by Paracelsus) with six of the seven oriental phases (Earth, Water, Wind, Fire, Heaven, Change and Unchange, with Change and Unchange branching from Heaven), by equating Heaven with Macrocosm and Change with Life (and renaming Unchange as Time). The asymetrical nature of the resulting diagram — which we now know as the Dynkin diagram of E₈ — prompted a number of attempts to identify at least one more house — attempts that we presently understand to be misguided.

But it is in the year 1918, which saw the publication of Hermann Weyl's now classic Earth, Water, Air, Fire, Space, Time, Life and Spirit, that the 240 directions of the mysticohedron were put upon a firm theoretical footing. This represents a considerable paradigm shift, whose practical consequences were slow to come to fruition (starting with the startling realization of where the level grades, 1, 248, 3 875, 27 000, 30 380, 147 250, 779 247… appear). And as examined in more detail in Aldus Bumblebore's The Eight Elements (or: What's so Special about the Number 696 729 600?), it was only considerably recently that any attention was given to the profond interconnection between the largest exceptional Weyl group and the transmutations of magic.

As explained in the abstract, M. Hotter's work consists of two main parts. The first explores applications of the « pure » character theory of W(E₈) beyond the mere, and previously known, identification of the 112 representations (lines of the character table) and conjugacy classes (columns) with the arcane circles and astral configurations. The second, and much deeper, part of this thesis, develops an invariant theory for E₈ that is analogous to the classical Schur-Weyl duality between representations of the linear group and those of the symmetric group, and then applies this duality to obtain esoterica. Eight specific and illustrative examples are given in an appendix. We now review each of the chapters in greater detail.

---

Some commentary: (Generally I don't discuss the references in my texts but I've made exceptions before.)

I've often said that E₈ (and the cohort of related objects) is so deeply fascinating and profoundly beautiful (see here and there) that if the Universe has any sense of æsthetics, it really should involve E₈ in some way (some people have indeed tried to find it, but with dubious success: it is possible that the Universe we live in does not have the same notion of æsthetics as mathematicians). At any rate, in a world in which magic is real and wizards who (after their elementary and high school years spent doing more applied work like fighting supervillain wizards) go to university and write doctoral theses in pure and theoretical magic, I cannot conceive the mathematical foundations of magic to be anything but E₈ (OK, maybe I'll take the largest Mathieu group as an acceptable substitute). Of course, in my vision of magic, the head magician does not look so much like this as like that (seriously, if anyone is a real world magician, it's John Conway). Anyway.

So if magic is to be built on E₈, then the system at the root of all arcana is represented by the following diagram:

—and there should definitely be some labels attached here. (They would actually be of some use to real world mathematicians because nobody can agree on how to number the vertices of this diagram. Unfortunately, Conway, the great inventor of witty names, did not do his job here.) So I propose to name the seven on the bottom line, from left to right: Spirit, Life, Macrocosm, Fire, Air, Water and Earth, and the top one, Time. There isn't much rationale to my suggestion that the Europeans and Chinese(?) should have discovered the A₇ (i.e., all but the top node) and D₇ (i.e., all but the leftmode node) subdiagrams of the above, but it is true that Leibniz was fascinated by the Yi Jing and popularized it in Europe. (It seemed right to make Leibniz play a role here when I had had fun with Newton in a previous fragment.)

More importantly, Hermann Weyl, something of a magician himself, to whom we owe much of the theory of representations of compact Lie groups (and in particular the formula which allows to compute the sequence I mention), wrote a book called Space, Time, Matter, one of the first expositions of Einstein's theory of general relativity (and indeed one of the books — found in my father's library — through which I myself learned the subject): in an alternate universe, it would certainly have been a book on magic.

Incidentally, I wish someone would tell me how one can construct some kind of analogue of Schur-Weyl duality for the exceptional groups (or in any way relate the representations of E₈ to those of W(E₈)).

Addendum: as mentioned in the comments, I should probably link to this later entry, and perhaps enve more relevantly to this one, for various explanations on E₈ (and why it fascinates me).