Je parle souvent de maths un peu compliquées sur ce blog, alors pour changer (et pour me changer les idées) je vais parler de choses un peu plus simples : de géométrie plane, et plus précisément de points et de droites. Je voudrais évoquer un petit projet que j'ai — qui, comme beaucoup de projets que j'ai, risque de n'aboutir nulle part — et qui ferait intervenir les maths (pour le sujet de fond), la mécanique classique (pour l'animation), l'informatique (pour le calcul) et un côté artistique (parce que le but serait surtout de faire quelque chose de joli à regarder). Enfin, ça c'était l'idée initiale, sauf que, comme d'habitude quand j'écris une entrée dans ce blog (mais bon, c'est un peu l'idée, aussi), je suis tombé dans un terrier de lapin, je me suis perdu dans les méandres de ce que je dois raconter, et au final ça ne ressemble à rien.
J'ai expliqué par le passé (et souvent fait référence depuis au fait) que j'étais fasciné par la symétrie et par les objets mathématiques très symétriques. En même temps, il ne faut pas oublier que je suis géomètre, et au sein de la géométrie, j'aime beaucoup ce qui en est la forme la plus épurée, la géométrie projective (plane, disons) où il n'est question que de points et de droites. (Je faisais d'ailleurs souvent remarquer à mes élèves agrégatifs quand ils faisaient des développements sur les constructions à la règle et au compas qu'il pouvait être bienvenu de consacrer une certaine attention aux constructions à la règle seule, qui sont les constructions « pures » de la géométrie projective, où on ne peut que relier deux points à la règle et intersecter deux droites.)
À la croisée de ces deux intérêts, il y a la notion de configuration de points et de droites (dans le plan) : une configuration est simplement un ensemble fini de points et un ensemble fini de droites[#]. Les figures ci-contre à droite sont des exemples de configurations de neuf points et neuf droites telles que par chaque point de la configuration passent exactement trois droites et chaque droite passe par exactement trois points. Bien sûr, on peut voir sur cette figure d'autres points, à l'intersection de deux droites de la configuration, mais ceux qui sont des points de la configuration sont uniquement ceux que j'ai marqués en rouge, pas n'importe quel point que vous pouvez voir comme intersection de deux droites (et symétriquement, on peut considérer d'autres droites en reliant deux des points, mais ceux qui sont des droites de la configuration sont celles qui ont été tracées, pas n'importe quelle droite que vous pouvez faire apparaître en reliant deux points).
[#] Pour éviter de considérer des objets sans intérêt, on demandera que chaque point de la configuration soit situé sur au moins une des droites de la configuration (sinon c'est un point isolé qui ne sert à rien), voire deux (sinon c'est un point isolé sur sa droite), voire trois (sinon c'est juste le marqueur d'une intersection), et symétriquement, que chaque droite passe par au moins un des points, voire deux, voire trois. De toute façon, comme je le dis plus bas, on demande en général que la configuration soit régulière, c'est-à-dire que par chaque point passe le même nombre q de droites et que chaque droite passe par le même nombre k de points.
Je ne veux pas parler longuement des configurations de points et de droites, parce que ce n'est pas tellement mon sujet, mais disons-en quand même quelques mots. (Enfin, quelques mots qui, comme d'habitude, se sont multipliés en quelques pages.) Ceux qui veulent juste savoir ce qu'est mon projet peuvent sauter directement plus bas.
Généralement on s'intéresse aux configurations possédant un certain
degré de régularité, au moins numérique, c'est-à-dire que par chaque
point passe le même nombre de droites et chaque droite passe par le
même nombre de points (voire que ces deux nombres sont égaux, ce qui
est le cas sur mes exemples), voire un certain degré de symétrie.
Spécifiquement, on dit qu'une configuration est de type
(pq,nk),
où p,q,n,k sont quatre
entiers ≥2 (ou en fait plutôt ≥3), lorsqu'elle
comporte p points et n droites, que par chaque
point passent q droites et que chaque droite passe
par k points (ces informations sont donc redondantes et on
a pq = nk, ce qui se voit
en comptant le nombre total d'incidences d'un point et d'une droite) ;
la plupart des textes sur les configurations de points et droites
utilisent le mot configuration
pour désigner spécifiquement les
configurations régulières, c'est-à-dire celles qui sont de type
(pq,nk)
pour certains
paramètres p,q,n,k≥3.
Lorsque de plus p=n (ou ce qui revient au
même, q=k), on dit simplement qu'on a affaire à
une configuration de type (nk),
c'est-à-dire n points, n droites, chaque droite
passant par k points et par chaque point
passant k droites : mes figures à droite sont donc des
configurations de type (9₃).
Pour être plus précis, je dois distinguer la notion
de configuration abstraite et de réalisation
géométrique de la configuration : deux configurations
géométriques ont la même configuration abstraite lorsqu'on peut
étiqueter (i.e., donner des noms, ce que je n'ai volontairement pas
fait sur les figures ci-contre) aux points et aux droites des deux
configurations de manière à ce qu'elles se correspondent avec les
mêmes incidences, c'est-à-dire que si la droite nommée ℓ
passe par le point nommé P sur une figure, ça doit aussi
être le cas sur l'autre. (Cela pourrait être le cas parce qu'on a
déplacé juste un petit peu les points et les droites d'une des figures
pour former l'autre, mais ce n'est pas forcément le cas qu'on puisse
passer continûment de l'une à l'autre.) Une configuration abstraite
est donc la manière de demander quelles droites doivent passer par
quels points (par exemple, un triangle abstrait consisterait à
dire trois points A,B,C et trois
droites a,b,c de manière
que a passe par B et C,
que b passe par C et A et
que c passe par A et B
; et une
réalisation géométrique de cette configuration abstraite est
simplement un triangle).
Bref, une configuration abstraite est simplement
la donnée de deux ensembles finis d'objets, arbitrairement
appelés points
et droites
, et d'une relation
d'incidence
entre points et droites (on peut dire qu'une droite
[abstraite] passe par
un point [abstrait] lorsque cette
relation est satisfaite) ; si on veut, c'est
un graphe
bipartite ; et on demandera en outre qu'il existe au plus
une droite incidente avec deux points distincts donnés et au
plus un point incident avec deux droites distinctes données (ceci
correspond au fait que, dans le plan, deux points distincts
définissent une droite et que deux droites distinctes se coupent en au
plus un point). Une réalisation géométrique d'une
configuration abstraite est une façon de trouver des points distincts
et des droites distincts dans le plan (encore qu'il faut préciser quel
plan : plan euclidien, ou ce qui revient au même, affine réel, plan
projectif réel, ou des plans affines ou projectifs différents), en
correspondance avec la configuration abstraite à réaliser, de façon
qu'une droite passe par un point exactement quand l'incidence a lieu
dans la configuration abstraite.
Il y a donc plusieurs questions qui se posent naturellement : quelles sont les configurations abstraites possibles ? (peut-on, par exemple, les dénombrer ? les classifier ? a priori non, cela reviendrait en gros à classifier les graphes bipartites, ce qui n'a guère de sens, il y a juste trop de possibilités, mais on peut s'intéresser à celles qui vérifient certaines contraintes, par exemple ont beaucoup de symétries ; ou on peut simplement en chercher qui sont particulièrement remarquables et intéressantes, et je vais donner quelques exemples ci-dessous) ; parmi elles, quelles sont celles qui sont réalisables ? (peut-on tester ce fait efficacement sur tel ou tel corps ? je dois mentionner que cela revient en fait à tester si un système d'équations polynomiales tout à fait général a des solutions, ce qui est décidable mais très coûteux sur les complexes, décidable mais extraordinairement coûteux sur les réels, et possiblement indécidable sur les rationnels) ; puis on peut encore se poser des questions sur les réalisations d'une configuration donnée, par exemple peut-on passer continûment de l'une à l'autre ? Malheureusement, je doute qu'on puisse dire quoi que ce soit de vraiment intelligent sur aucune de ces questions à ce niveau de généralité (il faut se contenter de résultats du type : pour tout n≥9, il existe au moins une configuration géométrique de type (n₃) dans le plan euclidien).
Il n'est pas toujours évident, visuellement, de reconnaître quand une configuration abstraite est la même qu'une autre. Par exemple, les trois configurations (9₃) ci-dessus à droite sont distinctes non seulement géométriquement (c'est évident) mais même abstraitement ; et celle qui est ci-contre à gauche, est une réalisation géométrique (différente) d'une des trois configurations abstraites en question, et ce n'est pas forcément immédiat de reconnaître laquelle ! Le lecteur saura-t-il reconnaître laquelle, et saura-t-il montrer que les trois de départ sont bien distinctes ? Pour ça, on peut suggérer l'indication consistant à relier (d'une couleur différente, disons) les paires de points qui ne sont pas situées sur une même droite de la configuration, et regarder le graphe ainsi formé (par exemple, y a-t-il des triplets de points dont aucune paire n'est située sur une droite de la figure ? combien de tels « anti-triangles » y a-t-il ?).
Plus difficile, on peut chercher à montrer qu'il n'y a que trois configurations (9₃) abstraites possibles, et que je les ai donc toutes les trois réalisées géométriquement. (La plus en haut, (9₃)①, s'appelle la configuration de Pappus, parce qu'elle est celle qui intervient dans l'énoncé du théorème de Pappus.) Il y a une unique configuration (8₃) abstraite possible, la configuration de Möbius-Kantor, mais elle n'est pas réalisable géométriquement dans le plan réel même si elle l'est sur les complexes (on peut par exemple l'obtenir en retirant un point et les droites qui vont avec à une autre, de type (9₄,12₃) celle-là, la configuration de Hesse, elle aussi non réalisable sur les réels mais réalisable sur les complexes, qui est celle des neuf points d'inflection d'une courbe cubique lisse). Il y a aussi une unique configuration (7₃) abstraite possible, la configuration de Fano, mais celle-ci n'est réalisable que sur un corps de caractéristique 2.
De même, bien sûr, il faut distinguer les symétries d'une configuration géométrique (qui peuvent d'ailleurs elles-mêmes être des symétries euclidiennes, ou simplement affines, projectives, que sais-je encore) des symétries purement « combinatoires » de la configuration abstraite. Les trois configurations (9₃) que j'ai données comme exemple ont toutes été réalisées avec une symétrie d'ordre 3 (le groupe cyclique à trois éléments, en l'occurrence des rotations de 0°, 120° et 240° autour du centre évident) ; mais combinatoirement, elles ont respectivement 108 (pour celle d'en haut, (9₃)①), 9 (pour celle du milieu, (9₃)②) et 12 (pour celle d'en bas, (9₃)③) symétries : c'est-à-dire qu'il y a par exemple 108 façons d'échanger les points entre eux, et les droites entre elles, de la première figure (9₃)①, de manière à garder la même relation d'incidence, donc seule une petite partie de ces symétries combinatoires sont manifestes sur la figure géométrique. (Le lecteur peut chercher à montrer que ce groupe de symétries combinatoires est isomorphe au groupe des matrices 3×3 triangulaires supérieures à coefficients dans ℤ/3ℤ dont le coefficient en haut à gauche vaut 1.) La figure du bas (9₃)③ a plus de symétries que celle du milieu (9₃)②, mais en un certain sens elle est moins symétrique parce que, de mes trois figures, c'est la seule dont les points ne sont pas tous interchangeables (le groupe des symétries combinatoires n'agit pas transitivement dessus) : il y a trois points qui ont un rôle différent des six autres.
Juste un peu plus complexes que la configuration (9₃) on a les configurations (10₃) (il y en a 10 abstraites, dont 9 sont réalisables géométriquement sur les réels ; je ne sais pas si la dixième l'est sur un corps quelconque). La configuration la plus célèbre parmi les (10₃) est la configuration de Desargues (parce que c'est celle du théorème de Desargues) : si je la décris comme ça (prendre deux triangles ABC et A′B′C′ tels que les droites AA′, BB′ et CC′ soient concourantes en un point O : les dix points de la configuration sont les points O,A,B,C,A′,B′,C′ et les points U,V,W d'intersections respectives des côtés correspondants des triangles, c'est-à-dire BC et B′C′, de AC et A′C′ et AB et A′B′ (le théorème de Desargues affirme que U,V,W sont alignés) ; et les dix droites de la configuration sont les côtés des triangles, les trois droites qui se coupent en O, et la droite sur laquelle U,V,W sont alignés). La description que je viens d'en faire n'est pas franchement très symétrique (on voit bien que A,B,C jouent un rôle symétrique, en faisant agir une permutation d'entre eux de la même façon sur A′B′C′ et U,V,W, mais O semble jouer un rôle à part). Pourtant, en fait, elle possède une très grande symétrie combinatoire : on peut nommer ses points P(1,2) jusqu'à P(4,5), avec toutes les paires (non ordonnées) possibles de nombres distincts parmi {1,2,3,4,5} et ses droites ℓ(1,2) jusqu'à ℓ(4,5) de même, la condition qu'un point soit sur une droite étant alors que les quatre nombres qui les numérotent soient distincts (par exemple, P(1,2) est situé sur les droites ℓ(3,4), ℓ(3,5) et ℓ(4,5)). Il y a une façon très élégante de décrire cette configuration : considérons un simplexe dans l'espace de dimension 4 (c'est-à-dire cinq points dont quatre quelconques ne sont pas dans un espace de dimension 3), dont on peut numéroter les sommets 1,2,3,4,5 : il a 10 arêtes et 10 faces de dimension 2, si on intersecte ces objets avec un espace (suffisamment général) de dimension 3 on obtient 10 points et 10 droites dans l'espace en question, et en projetant sur un plan (suffisamment général) on obtient 10 points et 10 droites dans le plan qui sont une configuration de Desargues (les points étant numérotés par la paire de sommets que reliait l'arête, et les droites étant numérotées par le complémentaire du triplet de sommet que reliait la face). Sous cette forme, il est évident que les symétries de la configuration de Desargues sont toutes les permutations de {1,2,3,4,5}, au nombre de 5! = 120. Mais il n'y a pas de manière très symétrique de la représenter dans le plan euclidien : le mieux qu'on puisse faire est une étoile de David (appeler ABC un sommet sur deux d'un hexagone régulier, et A′B′C′ les sommets opposés, si bien que O est le centre de l'hexagone : alors U,V,W sont à l'infini, la configuration a donc trois points à l'infini et une des droites est la droite à l'infini).
Je devrais aussi mentionner que chaque configuration a une configuration duale : le dual d'une configuration abstraite s'obtient simplement en échangeant points et droites (qui jouent à tous égards des rôles complètement symétriques), mais le point intéressant est aussi que si on peut réaliser géométriquement une configuration, on peut réaliser son dual, en fixant une conique et en remplaçant chaque point de la configuration par sa droite polaire par rapport à cette conique et chaque droite par le point polaire par rapport à elle.
Il y a plein de choses à dire sur l'étude des configurations de points et de droites en général : pour ceux qui veulent en savoir plus, je renvoie au livre de Branko Grünbaum, Configurations of Points and Lines (2009), ainsi qu'à celui (plus rigolo) de Tomaž Pisanski & Brigitte Servatius, Configurations from a Graphical Viewpoint (2013), qui se complètent bien parce que le premier prend une approche plutôt géométrique tandis que le second prend celui de la théorie des graphes (par ailleurs, il commence par une jolie introduction en quelques pages à l'Hexagrammum Mysticum de Pascal, qui indépendamment de tout le reste mérite d'être lue). Mais ce n'est pas tellement ça qui m'intéresse tant. Je suis plutôt fasciné par quelques configurations particulières qui présentent des symétries spécialement jolies, ou des connexions élégantes avec d'autres constructions mathématiques ou géométriques : à ce sujet, l'article d'Igor Dolgachev, Abstract configurations in algebraic geometry, qui part un peu dans tous les sens, est une mine d'or ; il y a aussi le livre d'Eric Lord, Symmetry and Pattern in Projective Geometry (2010), même si je n'ai pas réussi à comprendre au juste de quoi il est question dedans, qui évoque beaucoup de configurations d'origine géométrique.
Mentionnons par exemple la configuration de Reye (de type (12₄,16₃)), bien connue de tous ceux qui ont fait des dessins en perspective : elle s'obtient en voyant un cube en perspective, ses douze points sont les projections des huit sommets du cube, de son centre, et les trois points de fuite des trois directions principales du cube, tandis que les seize droites sont les (projections des) douze arêtes et quatre diagonales du cube. Une autre configuration que je ne peux pas ne pas mentionner est celle liée aux 27 droites de la surface cubique : en intersectant les 27 droites d'une surface cubique avec un plan Π (suffisamment général) fixé, ce qui donne 27 points sur ce plan Π, et en considérant les intersections avec Π des 45 plans tritangents de la surface (i.e., les plans où se situent 3 des 27 droites), on obtient une configuration de type (27₅,45₃) aux nombreuses symétries combinatoires (51 840 je crois). Celle-ci a elle-même une sous-configuration de type (15₃) dite configuration de Cremona-Richmond qui a été énormément étudiée (et qui a toutes sortes de rapports avec l'Hexagrammum Mysticum) : les points de la configuration de Cremona-Richmond sont étiquetés par les paires (non ordonnées) de nombres distincts de {1,2,3,4,5,6} (ce qui fait 15 possibilités), et ses droites par les façon de regrouper les éléments de {1,2,3,4,5,6} en trois paires (ce qui fait aussi 15 possibilités, appelées synthèmes, cf. cette entrée passée), et un point est sur une droite lorsque la paire étiquetant le point fait partie des trois paires étiquetant la droite ; la configuration de Cremona-Richmond a 720 symétries combinatoires (toutes les permutations de {1,2,3,4,5,6}).
Enfin, pour donner un exemple intéressant de configuration avec strictement plus que trois points sur chaque droite et strictement plus que trois droites par chaque point, signalons la configuration de Grünbaum-Rigby de type (21₄) (déjà connue de Felix Klein, et en lien avec sa quartique).
Bon, mais tout ça est une sorte de longue digression, et je n'ai
pas parlé de mon projet, qui ne porte pas sur les configurations en
général, mais sur la manière dont telle ou telle configuration
abstraite peut se réaliser, et surtout, la manière dont ces
réalisations peuvent se déformer. Je dois mentionner que, si on peut
définir de façon « évidente » une variété algébrique des réalisations
géométriques d'une configuration abstraite donnée (je ferai ça à la
fin de cette entrée), il n'y a pas grand-chose à dire dessus en
général. Comme l'écrit Laurent Lafforgue
dans un
passage vaguement célèbre pour son style et l'usage très élégant
du mot trivialement
accolé à l'invocation de Thalès de Milet
pour justifier un résultat que Thalès n'aurait peut-être pas
reconnu : Comme Ofer Gabber l'a fait remarquer à l'auteur (citant
en particulier le livre [Artin, Geometric
Algebra (1957)]) il résulte trivialement du théorème de Thalès
que tout schéma intègre de type fini sur ℤ contient comme ouvert un
espace […] de configurations de points dans le plan projectif. En
effet, le théorème de Thalès dit que la multiplication et l'addition,
donc aussi tout polynôme à coefficients entiers, se modélisent par des
relations d'alignement dans le plan. […Il résulte] de ces remarques
que [les espaces de configurations] sont universels au sens des motifs
et ont des singularités arbitraires.
(Noter que ce dont il parle,
ici, ce sont essentiellement les réalisations d'une configuration
abstraite dans la terminologie que j'ai utilisée ci-dessus.) Je ne
sais notamment pas dire quoi que ce soit d'intelligent (et je doute
qu'on puisse) sur la question de quand une réalisation est déformable
(autrement que par l'effet de transformations projectives sur
l'ensemble des points et droites), mis à part que c'est le cas pour
des raisons de dimension pour une configuration de type
(pq,nk)
si (mais pas seulement si)
2(p+n)>pq+8 (parce
qu'on a 2(p+n) degrés de liberté pour placer les
points et les droites, pq contraintes
d'incidence à satisfaire qui tuent chacune au plus un degré de
liberté, et 8 degrés de liberté qui doivent partir dans les
transformations projectives globales).
❦
Bref, j'ai une certaine fascination pour les configurations de points et de droites mais surtout pour certaines configurations particulières comme celles de Desargues ou de Cremona-Richmond, et je voudrais trouver moyen de les représenter de façon belle à voir. Les symétries combinatoires de la configuration ne peuvent pas forcément se manifester géométriquement, ce qui rend une image fixe un peu pauvre. J'aimerais donc faire des représentations animées de certaines configurations.
Ce que je veux dire, c'est que je veux que les points et les droites se déplacent, mais toujours en satisfaisant aux contraintes d'incidence de la configuration (quand une droite passe par un point dans la configuration, cela doit rester le cas tout au long de l'animation ; à certains moments exceptionnels il pourrait y avoir des coïncidences de certains points ou de certaines droites, ou des incidences non prescrites par la configuration parce qu'une droite se trouverait passer par là de façon transitoire, mais le moment « général » de l'animation ne doit vérifier que les incidences imposées par la configuration abstraite).
En soi, ce n'est pas forcément très difficile. Beaucoup de configurations intéressantes ont des degrés de liberté en plus des degrés qui existent forcément et qui correspondent à effectuer des déplacements, des homothéties ou autres transformations projectives sur l'ensemble de la configuration ; on doit souvent(?) pouvoir utiliser un programme comme GeoGebra, fixer un certain nombre de points de la configuration, en déclarer d'autres comme « libres » et les faire bouger pour voir l'ensemble de la configuration s'animer. Mais ce qui me déplaît avec cette solution, c'est son caractère artificiel et surtout, rompant la symétrie : on va prescrire arbitrairement le mouvement de certains points et voir comment ils entraînent le reste de la configuration comme une sorte de pantographe — mais pourquoi ces points précis plutôt que d'autres, et quel mouvement leur imposer ? Je veux quelque chose de plus « naturel ».
Et voici ce qui m'apparaît comme naturel : un mouvement inertiel libre. C'est-à-dire qu'on imagine que la configuration est un système physique dont les seules contraintes de mouvement (contraintes parfois qualifiées d'holonomes) sont de respecter les incidences prescrites par la configuration abstraite, pour le reste les points et droites se déplacent librement sans être sujets à aucune force. Non seulement je trouve le principe d'un mouvement inertiel libre très élégant, mais c'est aussi quelque chose qui peut être visuellement très joli à regarder comme le prouve cette vidéo que j'avais calculée il y a bien des années, et dont il faudra sans doute que je m'inspire (si j'arrive à recomprendre comment j'ai fait le calcul, ce qui n'est pas gagné).
Autrement dit, il faut imaginer qu'on ait réalisé mécaniquement la configuration en attachant les droites, en chacun des points de la configuration, par une liaison qui leur permet de glisser librement mais de manière à toujours passer par ce point (notamment, si trois droites concourent en un point, elles doivent continuer à concourir tout au long de l'évolution).
Pour rendre le mouvement inertiel libre encore plus élégant à mes yeux, et j'espère visuellement plus joli, je pense qu'il est préférable de travailler en géométrie sphérique/elliptique qu'en géométrie euclidienne (je renvoie à cette entrée passée pour une explication générale à ce sujet) : autrement dit, plutôt que de considérer des points et droites dans le plan euclidien, je pense considérer des points (en fait plutôt des couples de points antipodaux) et des droites (c'est-à-dire des grands cercles) sur la sphère. Cela ne change rien du point de vue des configurations (par l'intermédiaire de la projection gnomonique, c'est-à-dire la projection centrale depuis le centre de la sphère, cette dernière, ou plus exactement la sphère modulo antipodie c'est-à-dire les couples de points antipodaux, s'identifie avec le plan projectif réel, j'en avais déjà parlé par le passé), mais cela devrait permettre un mouvement plus intéressant au lieu que les points partent bêtement à l'infini, et en outre cela renforce la symétrie profonde entre points et droites (comme je vais l'expliquer), et cela devrait rendre l'animation esthétiquement plus satisfaisante (comme un tas de points et grands cercles tournant autour d'une sphère, cela devrait évoquer un peu la vidéo YouTube liée ci-dessus). Dans la situation la plus simple possible, où la « configuration » se réduit à un seul point ou bien une seule droite, on obtient un point tournant autour de la sphère selon un grand cercle, ou bien un grand cercle tournant autour d'un axe (situé dans son plan, je vais revenir là-dessus), c'est plus intéressant qu'un point se déplaçant simplement en ligne droite, ou une droite se déplaçant à vitesse constante, dans le plan euclidien.
Passer à la sphère rend en outre le calcul de l'animation plus
naturel : chacun des points de la configuration sera représenté par un
point de la sphère (i.e., un vecteur unitaire), chacune des droites
par le point polaire du grand cercle correspondant (autrement
dit, le pôle nord si on imagine que le grand cercle est l'équateur :
il faut prendre une orientation permettant de distinguer pôle nord et
pôle sud), et les relations d'incidence prescrites par la
configuration se traduisent par des orthogonalités entre ces points
(le point P est sur la droite ℓ
devient le vecteur unitaire donnant le point P est
orthogonal au vecteur unitaire donnant le point polaire du grand
cercle ℓ
). On a donc un système physique formé d'un
certain nombre de points massifs qui évoluent librement sur une
sphère, avec des contraintes d'orthogonalité entre certains d'entre
eux, et il s'agit de calculer l'évolution dans le temps de ce système,
ce qui revient en fait simplement à calculer des géodésiques (sur la
variété des réalisations de la configuration, i.e., la sous-variété
d'un produit de sphères décrite par les contraintes d'orthogonalité).
En principe, tout n'est dès lors que calcul numérique. Mais je n'ai
pas encore vraiment réfléchi à la manière de le mener (surtout s'il
faut un minimum de stabilité numérique, au moins au sens où on doit
pouvoir passer des positions dégénérées sans sacrifier les contraintes
au passage) ; je n'ai pas non plus du tout réfléchi à la manière de
faire l'affichage derrière (peut-être en générant des
fichiers POV-Ray,
comme je l'avais fait pour la vidéo YouTube déjà évoquée, mais il y a
peut-être moyen de faire plus efficace quitte à ce que ce soit un poil
moins joli, avec du WebGL qui permettrait à l'animation
d'être calculée directement dans un navigateur).
J'ai glissé un peu de poussière sous le tapis dans le paragraphe précédent : le mouvement inertiel libre d'un grand cercle sur la sphère n'est pas le même que le mouvement libre de son point polaire (de même masse, disons). La différence est qu'un cercle massif possède une inertie longitudinale (il peut tourner dans son propre plan, c'est-à-dire tourner autour de son axe polaire, et ce mouvement a une inertie — donc un moment cinétique, une énergie cinétique), tandis qu'un point massif assujetti à rester sur une sphère ne possède pas d'inertie de rotation autour de lui-même. J'ai donc essentiellement trois options pour mon animation : Ⓐ décréter que mes droites (grands cercles) sont faites dans un matériau magique qui fait qu'elles n'ont pas d'inertie longitudinale, de manière à garder la parfaite symétrie entre points et droites, Ⓑ décréter, au contraire, que les points ont une inertie de rotation (ce ne sont donc pas des points mais des sortes de petites toupies), ce qui rend sans doute le calcul plus pénible (au lieu d'avoir juste une géodésique à calculer dans un produit de sphères, on a affaire à un produit de SO₃ avec une métrique invariante à gauche, ou quelque chose comme ça, il faut que j'y réfléchisse plus), ou enfin Ⓒ accepter que le comportement inertiel des points et des droites n'est pas le même. J'écrira probablement du code permettant de faire n'importe lequel des trois (ou, en fait, de simuler tout paramétrage de l'inertie des points et des droites dans chacun de leurs mouvements). Si je choisis Ⓐ ou Ⓑ il y aura peut-être lieu de montrer le résultat comme faisant intervenir uniquement des points sur la sphère ou uniquement des grands cercles sur la sphère.
En tout état de cause, je m'attends à ce que le système soit chaotique, et que son mouvement soit ergodique, c'est-à-dire qu'il doit passer par toutes les positions (réalisations géométriques de la configuration) avec la même fréquence, je veux dire, selon leur mesure « naturelle ». Donc non seulement cela montrerait un peu toutes les réalisations de la configuration (pour peu qu'on attende assez longtemps), mais cela répondrait aussi, en un certain sens, au problème d'en tirer une « au hasard uniformément ».
Voilà, tout ça était une sorte de très long TODO, l'idée générale étant de :
- comprendre bien la physique sous-jacente au mouvement inertiel libre d'une configuration de points et de droites sur la sphère (avec des contraintes d'incidence) et le rapport avec le calcul de géodésiques (et notamment la manière de traiter les choix Ⓑ et Ⓒ, qui sont plus délicats, concernant l'inertie des droites),
- comprendre comment mener numériquement ce calcul (c'est-à-dire éviter les problèmes numériques qui peuvent se poser, notamment, lorsque la configuration passe par une position dégénérée où deux droites coïncident ou deux points coïncident ou une incidence inattendue se produit),
- décider comment rendre ça effectivement (générer des images avec POV-Ray ? m'arranger pour tout faire tourner dans un navigateur ?),
- choisir des configurations intéressantes auxquelles appliquer tout ce qui précède.
Rien ne dit, bien sûr, que je fasse quoi que ce soit de ça à part en parler (déjà, en parler m'a pris sans doute bien plus de temps que j'aurais eu à consacrer à ce truc — classique).
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Bon, tout ce que j'ai raconté ci-dessus était délibérément vague sur les aspects techniques, je peux essayer (notamment pour en prendre note pour moi-même) de donner des définitions mathématiquement plus précises.
Une configuration abstraite 𝒞 est la donnée de deux ensembles V (l'ensemble des points), L (l'ensemble des droites) et d'une relation I ⊆ V×L telle que si {x,y}×{u,v} ⊆ I alors x=y ou u=v (i.e., deux droites distinctes ne peuvent pas passer par deux points distincts). Une réalisation géométrique (stricte) X de cette configuration sur un corps k est la donnée d'applications injectives XV : V→ℙ²(k) (où ℙ²(k) est le plan projectif sur k) et XL : L→ℙ²∨(k) (où ℙ²∨ désigne le plan projectif dual, i.e., l'ensemble des droites de ℙ²) telles qu'on ait (x,u)∈I si et seulement si l'image XV(x) de x par la première application est située sur l'image XL(u) de u par la seconde. L'espace 𝐄(𝒞) des réalisations de la configuration, vu dans (ℙ²)#V × (ℙ²∨)#L est localement fermé au sens de Zariski, i.e., est un ouvert de Zariski d'un fermé de Zariski : le fermé 𝐅(𝒞) est donné par les équations demandant que la réalisation de x soit située sur la réalisation de u lorsque (x,u)∈I, et l'ouvert par les conditions que les XV,XL soient injectives, i.e., que la réalisation de x soit distincte de celle de y si x≠y et pareil pour les droites, et que la réalisation de x ne soit pas située sur la réalisation de u lorsque (x,u)∉I. L'adhérence de Zariski 𝐄⁺(𝒞) de cet espace des réalisations, i.e., toutes les façons de faire dégénérer une réalisation, sera appelé l'ensemble des réalisations larges de la configuration (cela impose donc que toutes les incidences soient satisfaites, 𝐄⁺(𝒞) ⊇ 𝐅(𝒞), mais cela peut imposer plus de choses, parce que certaines composantes irréductibles du fermé défini par les conditions d'incidence peuvent ne pas contenir de réalisation stricte, et sont donc exclues des réalisations larges ; mais je n'ai pas d'exemple ; et malheureusement, même 𝐄⁺(𝒞) contient les cas où tous les points coïncident et toutes les droites coïncident, parce qu'on peut toujours faire dégénérer ainsi une réalisation, donc il n'est toujours pas très intéressant : il faudrait sans doute chercher une résolution partielle des singulartiés pour écarter au moins ça ; bref, je ne suis pas très satisfait de ces définitions).
Sur les réels, plutôt que de considérer le plan projectif ℙ²(ℝ), il est plus opportun de considérer la sphère 𝕊², ce que je veux de toute façon faire pour la dynamique : on considère l'application 𝕊²→ℙ²(ℝ) envoyant (x₁,x₂,x₃) (tels que x₁²+x₂²+x₃²=1) sur (x₁:x₂:x₃) et 𝕊²→ℙ²∨(ℝ) envoyant (u₁,u₂,u₃) (tels que u₁²+u₂²+u₃²=1) sur la droite d'équation u₁x₁+u₂x₂+u₃x₃=0, et on transporte la notion de réalisation stricte ou large à 𝕊² lorsque l'image par ces applications donne une réalisation. Autrement dit, une réalisation de 𝒞 est maintenant la donnée d'applications XV : V→𝕊² et XL : L→𝕊² telles que la composée avec les applications que je viens de dire donnent une réalisation au sens précédent : ce sont donc maintenant des parties (localement fermée, et fermée respectivement) de (𝕊²)(#V)+(#L), la condition fermée essentielle étant que quand (x,u)∈I alors leurs réalisations XV(x) =: (x₁:x₂:x₃) et XL(u) =: (u₁:u₂:u₃) dans 𝕊² vérifient u₁x₁+u₂x₂+u₃x₃=0, ou, si on préfère le noter comme ça, XV(x)·XL(u) = 0 (avec le produit scalaire usuel sur ℝ³). L'espace tangent à une réalisation X (stricte, et peut-être bien large avec la bonne interprétation du terme) est alors l'espace vectoriel formé des applications ΞV : V→ℝ³ et ΞL : L→ℝ³ (qu'on peut considérer comme un élément de ℝ3×((#V)+(#L))) telles que (i) si x∈V alors ΞV(x) =: (ξ₁,ξ₂,ξ₃) vérifie x₁ξ₁+x₂ξ₂+x₃ξ₃=0 où (x₁:x₂:x₃) := XV(x) (autrement dit, XV(x)·ΞV(x) = 0, c'est la définition du plan tangent à 𝕊²), et idem pour ΞL(u) si u∈L (je veux dire : XL(u)·ΞL(u) = 0) ; et (ii) si (x,u)∈I, alors ΞV(x) =: (ξ₁,ξ₂,ξ₃) et ΞL(u) =: (λ₁,λ₂,λ₃) vérifient x₁λ₁+x₂λ₂+x₃λ₃ + u₁ξ₁+u₂ξ₂+u₃ξ₃ = 0 où (x₁:x₂:x₃) := XV(x) et (u₁:u₂:u₃) := XL(u) (c'est-à-dire XV(x)·ΞL(u) + XL(u)·ΞV(x) = 0).
Un mouvement inertiel libre (au sens Ⓐ) de réalisations de la configuration abstraite est une application t ↦ X(t) (de classe C²) de ℝ vers (𝕊²)(#V)+(#L) tel que X(t) soit une réalisation large pour tout t et stricte pour un ensemble dense de t (je soupçonne que c'est automatiquement tous sauf un nombre fini, mais méfions-nous) et telle que, si Ξ désigne sa dérivée (vitesse) et Φ sa dérivée seconde (accélération), alors, outre les conditions automatiques (i′) XV(x)·ΦV(x) + ΞV(x)·ΞV(x) = 0 si x∈V (et l'analogue pour u∈L) et (ii′) XV(x)·ΦL(u) + XL(u)·ΦV(x) + 2ΞV(x)·ΞL(u) = 0 si (x,u)∈I, qui s'obtiennent en dérivant (i) et (ii) ci-dessus, on a aussi la condition de géodicité que Φ vu comme un élément de ℝ3×((#V)+(#L))) soit normal aux contraintes, c'est-à-dire, appartienne à l'espace vectoriel engendré par (i) les z ↦ XV(x) si z=x et 0 sinon (pour x parcourant V), ainsi que les z ↦ XL(u) si z=u et 0 sinon (pour u parcourant L), et (ii) les z ↦ XL(u) si z=x et XV(x) si z=u et 0 sinon, pour (x,u)∈I (en termes physiques, ceci signifie que la force qui s'exerce sur chaque point du système est combinaison des forces (i) qui obligent chaque point à rester sur la sphère et (ii) qui obligent chaque contrainte d'incidence à rester valable, sans qu'il puisse y avoir des forces tangentielles aux contraintes).
Bon, j'ai l'impression que je n'ai fait que rendre les choses plus poétiques en disant tout ça. Ce que je veux dire, donc, c'est qu'un mouvement inertiel libre (au sens Ⓐ) de réalisations de 𝒞 est, au moins dans le cas général, une géodésique sur la sous-variété de ℝ3×((#V)+(#L)) qui demande que (i) les réalisations des points et des droites de la configuration soient des points sur la sphère, et (ii) lorsqu'un point et une droite sont censés être incidents d'après la configuration, alors leurs réalisations sont orthogonales, et une géodésique cela signifie une courbe sur cette sous-variété (notamment, sa vitesse doit être tangente à elle) dont l'accélération soit normale à cette sous-variété. Hum, pas clair que ce soit tellement plus clair, en fait. Toujours est-il que ce n'est pas spécialement problématique (juste pénible à programmer) dans la situation générale où les contraintes sont linéairement indépendantes, mais que ça pose certainement plein de problèmes numériques quand on s'approche des endroits où ce n'est plus le cas (d'un autre côté, dans ma vidéo avec des anneaux qui tournent les uns dans les autres, évoquée plus haut ci-dessus, je ne crois pas avoir rencontré de problème lorsque deux anneaux tombent en blocage de Cardan, et à vrai dire je ne comprends pas vraiment pourquoi…). Par ailleurs, les interprétations Ⓑ et Ⓒ sont plus délicates à calculer : le pôle d'un grand cercle massif en mouvement inertiel libre ne suit en général pas un grand cercle mais un petit cercle ; il y a une variable supplémentaire à introduire au niveau des vitesses (voire au niveau des positions, mais elle n'interviendra nulle part) correspondant à la rotation du cercle sur lui-même, et je ne suis pas sûr de savoir écrire les équations d'une manière qui ne soit pas pénible (si on veut les voir comme des géodésiques, on peut remplacer 𝕊² par SO₃ mais avec une métrique sur SO₃ qui n'est qu'invariante à gauche (disons) correspondant à la matrice d'inertie, qui heureusement, pour un cercle, a quand même la même valeur sur deux axes ; mais sinon, on doit pouvoir écrire les choses de façon plus simple).
Bon, bref, j'ai passé beaucoup trop de temps à décrire ce que j'ai envie de faire sans le faire, et je ne suis même pas sûr de m'être éclairci les idées dans tout ça, donc je crois que je vais publier cette entrée dans cet état.