David Madore's WebLog: Un joli livre de géométrie

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(lundi)

Un joli livre de géométrie

Je mentionnais récemment que je n'écrivais pas beaucoup sur ce blog de critiques de livres. Il est encore plus vrai que je n'écris pas beaucoup de critiques de livres de maths : ce n'est pas que je n'aie pas de livres de maths préférés, bien au contraire, mais la difficulté extrême que je trouve à critiquer un tel livre est que je ne parviens généralement pas à séparer mon appréciation du sujet de celle de la forme (au moins dans le cas où les deux me plaisent). Par exemple, un de mes livres de maths préférés est Algorithms in Invariant Theory de Bernd Sturmfels, dont j'ai déjà parlé, mais en vérité il est difficile de savoir si je l'aime parce que la présentation est excellente ou simplement parce que les théorèmes sont très beaux (auquel cas l'auteur n'y est pas pour grand-chose : c'est juste que je trouve que la théorie des invariants est un petit bijou de mathématiques). Il y a bien sûr des cas où on sait distinguer : par exemple, pour tout livre écrit par Conway, on sait que le sujet va être magnifique mais que l'exposition va être insupportable parce qu'il s'adresse à des génies comme lui et pas à des êtres humains comme vous et moi, et qu'en plus il fait des espèces de jeux de mots insupportables dans sa façon de nommer tous les objets.

Bref, je ne parle normalement pas trop de livres de maths, mais je vais faire une exception pour signaler un livre récent de Jürgen Richter-Gebert, Perspectives on Projective Geometry (A guided tour through real and complex geometry) (Springer 2011, ISBN 978-3-642-17285-4), sur lequel je suis tombé un peu par hasard il y a quelques jours dans la librairie Eyrolles. D'abord parce qu'il ne s'agit pas d'un livre de recherche : il s'agit d'un livre pédagogique qui peut s'adresser à un lectorat extrêmement varié, et même si le mathématicien professionnel n'y apprendra probablement pas grand-chose (en tout cas celui qui se spécialise en géométrie), je pense que beaucoup de gens peuvent l'apprécier, entre un bon lycéen passionné de géométrie et un agrégatif de maths à la recherche de développements originaux.

Pour être clair, et pour m'adresser à mes lecteurs non mathémeticiens qui ont peut-être l'idée que quand je dis géométrie je parle de quelque chose de complètement abscons (du style donnée une variété algébrique projective de dimension n et une section hyperplane dont le complémentaire est lisse, le morphisme de restriction de l'une à l'autre, sur la cohomologie à coefficients entiers, est un isomorphisme jusqu'en dimension n−2 et injectif en dimension n−1), là il s'agit vraiment de géométrie au sens où les gens normaux l'entendent, avec des points, des droites et des triangles. Ceci étant, il s'agit quand même d'un point de vue projectif, algébrique et très élégant : donc de la géométrie plutôt façon Poncelet et Klein que façon Euclide et Apollonios[#]. Donc on a à la fois des choses vraiment élémentaires sur des angles et des distances, et des outils plus sophistiqués venus justement de la théorie des invariants (bracket algebras — comment dit-on ça en français ?).

En vérité, et c'est surtout la raison pour laquelle je le mentionne, il s'agit d'un livre que j'aurais voulu écrire, et qui présente exactement la manière dont je pense la géométrie élémentaire. En tout cas, c'est certainement selon ces lignes que j'aurais fait ma présentation de la géométrie sur ce blog si j'avais eu le courage de la mener à terme. Ce qu'on m'a plusieurs fois reproché de ne pas faire, donc, ceux qui m'ont dit ça, lisez le livre de Richter-Gebert !

Qui plus est, c'est un très joli livre, avec des illustrations bien faites (ce qui n'est jamais mal pour un livre de géométrie, même si le proverbe dit qu'il s'agit de l'art de raisonner juste sur une figure fausse), et imprimé en couleur. Donc même si vous en trouverez certainement un exemplaire électronique diffusé par rayons cosmiques, je conseille vivement d'en prendre une version bouts d'arbres morts, qui n'est pas très chère et qui fera belle figure sur la table basse du salon.

⁂ Un autre livre, sur un sujet vaguement apparenté, que j'ai aussi acquis récemment, et que je ne recommande pas, en revanche, c'est d'Ernest E. Shult, Points and Lines (Characterizing the classical geometries), qui porte sur la géométrie d'incidence. J'espérais y lire des choses qui m'éclairent un peu sur les immeubles et les quotients paraboliques des groupes algébriques réductifs vus comme des géométries, et le genre d'idées sur lesquelles je ne connais que le trop pléthorique et assez indigeste livre de Boris Rosenfeld, Geometry of Lie Groups. L'intention pédagogique de Shult est excellente en ce qu'il a fait un livre self-contained, mais le résultat est malheureusement un fouillis abscons de termes ultra-techniques qui me laisse exactement aussi peu Éclairé qu'au début et beaucoup plus embrouillé, et où il ne parle même pas de groupes de Lie ; et indépendamment du fond, beaucoup de termes sont utilisés avant d'être définis et ne figurent pas dans l'index, ce qui est à peu près rédhibitoire : par exemple, il dit tout un tas de choses sur les espaces métasymplectiques et leur caractérisation, et je n'ai pas réussi à trouver où il en a caché la définition ! C'est d'autant plus dommage que je pense qu'il y aurait eu le moyen de faire quelque chose d'excellent.

[#] Anecdote gratuite : j'ai un ami qui a fait un développement d'agreg sur les coniques sans jamais parler d'ellipse, parabole ou hyperbole. Rached Mneimné, qui était dans son jury, le lui reprochant, lui a dit : Je pense que votre leçon n'aurait pas plu à Archimède. Et il aurait répondu : Mais peut-être qu'elle aurait plu à Poncelet ? (enfin, non, en vérité, malheureusement, il n'a pas eu le culot de dire ça — mais il aurait voulu et eu raison de le faire, et du coup je raconte sans vergogne l'anecdote ainsi arrangée en espérant qu'elle devienne une jolie légende urbaine).

❄ Tiens, et pour ceux qui aiment la géométrie projective, voici une question à 0.02 zorkmids à laquelle je cherche toujours une solution simple et élégante : soient C et D deux coniques planes en position assez générale, p1,p2,p3,p4 leurs quatre points d'intersection, et 1,2,3,4 leurs quatre tangentes communes (c'est-à-dire les intersections des coniques duales C* et D*). Montrer que, quitte à réordonner les points, le birapport de p1,p2,p3,p4 sur C est égal au birapport de 1,2,3,4 sur D*. (Ce dernier étant le birapport sur D des quatre points de tangence de 1,2,3,4. On peut aussi éventuellement remarquer que le premier est aussi le birapport, dans le pinceau linéaire L de coniques engendré par C et D, de C,X,Y,ZX, Y et Z désignent les trois coniques dégénérées passant par p1,p2,p3,p4 ; et de même, le second birapport est aussi celui, dans le pinceau M de coniques simultanément tangentes à 1,2,3,4 de D,U,V,WU, V et W désignent les duales dégénérées qu'on devine. Mais peut-être que cette observation ne fait qu'embrouiller les choses.)

[Ajout () par rapport à la question précédente : cela revient plus ou moins à montrer qu'il existe une conique Γ telle que C et D soient polaires l'une de l'autre par rapport à Γ (car alors la polarité par Γ transforme p1,p2,p3,p4 en 1,2,3,4 à l'ordre près, ce qui implique ce qu'on veut sur le birapport) ; la conique Γ doit nécessairement admettre le triangle autopolaire commun à C et D comme on s'en persuade assez facilement ; on peut montrer son existence en considérant des coordonnés (x:y:z) pour lesquelles ce triangle autopolaire est donné par (1:0:0), (0:1:0) et (0:1:0), ce qui revient à diagonaliser simultanément les formes quadratiques définissant C et D : leurs équations deviennent, disons, cx·x² + cy·y² + cz·z² = 0 et dx·x² + dy·y² + dz·z² = 0, et Γ peut être définie par γx·x² + γy·y² + γz·z² = 0 où chaque γi vaut ±√(ci·di). Mais je voudrais quelque chose de purement géométrique.]

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