David Madore's WebLog: Merci de ne pas faire dire n'importe quoi à Gödel !

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(mardi)

Merci de ne pas faire dire n'importe quoi à Gödel !

Je m'étonne de ne pas trouver d'endroit où je me serais déjà plaint à ce sujet sur ce blog. Peut-être que je sais mal chercher et qu'un petit gnome serviable va me déterrer ça, mais même si j'ai déjà ranté à ce sujet, ça ne fait pas de mal de me répéter, après tout, radoter est un de mes super-pouvoirs :

Le théorème d'incomplétude de Gödel est sans doute le théorème mathématique le plus abusé par les non-mathématiciens. Cela tient certainement au fait qu'on peut en donner des versions dangereusement approximatives et alléchamment sensationnelles comme on ne pourra jamais tout prouver à partir desquelles il est tentant de faire un pas vers la métaphysique pour tirer des conclusions encore plus fantabuleuses. Je crois avoir vu passer des tentatives d'invoquer ce théorème pour prouver :

  • l'inexistence de Dieu (sur l'air de Gödel assure qu'on ne peut jamais tout savoir, or Dieu est censé être omniscient, donc Dieu n'existe pas),
  • l'existence de Dieu (sur l'air de Gödel assure que la logique et le raisonnement humains ne peuvent pas arriver à toute vérité, donc la vérité est au-delà de l'humain, et c'est qu'elle est divine ; ça me fait penser à cet extrait du film Ridicule)[#],
  • la supériorité de l'humain sur la machine (sur l'air de Gödel montre qu'on ne peut pas mécaniquement arriver à la vérité, mais l'intuition humaine arrive à voir que l'énoncé de Gödel est vrai, c'est donc qu'elle est supérieure à la machine),
  • l'existence de la conscience (je ne sais plus les détails, mais ça devait recouper le raisonnement précédent),
  • l'inexistence de la conscience,
  • que la vérité est inaccessible au seul raisonnement, ou inaccessible tout court,
  • que la quête d'une théorie ultime de la physique est futile,
  • etc.

[#] Une ironie supplémentaire dans l'invocation du théorème d'incomplétude de Gödel pour argumenter pour l'existence de Dieu, c'est que Gödel lui-même a inventé une « preuve » de l'existence de Dieu (ou plus exactement, une formalisation en logique modale de l'argument ontologique de Saint Anselme). Cette preuve ressemble plus à une blague qu'à un argument sérieux, en fait (Gödel introduit une série d'axiomes plus hasardeux les uns que les autres, et dont on sait maintenant qu'ils sont, en fait, sinon contradictoires, au moins amenant des conclusions complètement délirantes, et il en déduit l'existence d'un truc vérifiant la définition de Dieu), et il n'est pas clair si Gödel lui-même la prenait au sérieux. Enfin, bref.

Tous ces raisonnements sont bien sûr du pur pipo. Plus généralement, toute tentative pour donner un sens philosophique (au-delà de la philosophie des mathématiques, bien sûr : métaphysique, théologique, ou même épistémologique si on s'éloigne des mathématiques) au théorème d'incomplétude de Gödel doit être considérée comme hautement suspecte.

Ce que dit le théorème précisément, je ne vais pas le rappeler ici, je l'ai expliqué notamment ici et , avec quel succès je ne sais pas, mais en tout cas ce n'est pas mon propos ici : mon propos est que ce théorème est un énoncé technique sur la logique du premier ordre, et que toute tentative pour le faire sortir de son cadre technique est certainement une arnaque.

Même si on ne comprend pas ce que ceci signifie, peu importe : le théorème d'incomplétude affirme que

  • tout système formel en logique du premier ordre
  • qui soit récursivement (= calculablement) axiomatisé
  • et qui contient (un fragment suffisant de) l'arithmétique

ne peut pas être à la fois consistant [← anglicisme pratique pour cohérent] et complet, i.e., s'il ne prouve jamais simultanément P et ¬P (:= la négation de P), alors il y a un P pour lequel il ne prouve aucun des deux.

Ce que je veux souligner là, c'est qu'il y a des hypothèses techniques (essentiellement trois, celles que je viens de lister), et que si on omet ces hypothèses, on est probablement en train de dire des bêtises.

Plus exactement, ce que j'ai cité est plutôt le théorème d'incomplétude de Gödel-Rosser. Le théorème d'incomplétude de Gödel, ce serait que tout système formel en logique du premier ordre qui soit récursivement axiomatisé et qui contient (un fragment suffisant de) l'arithmétique ne peut pas être à la fois ω-consistant et complet, mais l'ω-consistance est une hypothèse pénible à expliquer (autant supposer le système arithmétiquement vrai, à ce compte-là) et je ne veux pas chercher des noises à ceux qui ne feraient pas la différence entre Gödel et Gödel-Rosser. (Enfin, si on veut ergoter, le théorème d'incomplétude de Gödel, il dit : Zu jeder ω-widerspruchsfreien rekursiven Klasse ϰ von Formeln gibt es rekursive Klassenzeichen r, so daß weder v Gen r noch Neg (v Gen r) zu Flg(ϰ) gehört (wobei v die freie Variable aus r ist) — et j'avoue que j'ai beau connaître l'allemand, avoir lu l'article par le passé, et avoir une bonne idée de ce que c'est censé vouloir dire, ce n'est pas super clair pour autant pour moi. Mais je pense qu'il est raisonnable de qualifier l'énoncé ci-dessus de théorème d'incomplétude de Gödel.)

L'absence de mention de ces trois hypothèses doit être un drapeau rouge à double titre. D'abord, que le raisonnement est suspect (si on invoque un théorème sans vérifier ses hypothèses, alors que celles-ci sont indispensables, c'est sans doute que le raisonnement est incorrect — bien sûr il peut arriver qu'on ne le dise pas explicitement parce que la satisfaction de telle ou telle hypothèse est évidente et se passe de commentaire, mais dans le cas présent, j'ai du mal à imaginer que ce soit possible). Ensuite, que la personne qui tient le raisonnement ne comprend probablement pas bien le théorème qu'elle prétend appliquer si elle n'en connaît pas les hypothèses exact et le sens de celles-ci. Un autre signe à cet égard est d'ailleurs quand on parle du théorème de Gödel comme s'il n'y en avait qu'un (alors que, sans aller chercher loin, Gödel a aussi pondu un théorème de complétude qui très superficiellement et mal interprété pourrait avoir l'air de dire exactement le contraire du théorème d'incomplétude) ; ceci dit, il ne faut pas non plus accorder trop de valeur à ce signe parce que beaucoup de mathématiciens tout à fait sérieux sont susceptibles de parler du théorème de Gödel (ou d'autres auteurs : je parle régulièrement du théorème d'Euler — pour l'affirmation que aφ(m)≡1 (mod m) si a est premier à m — alors qu'Euler a démontré des milliers de théorèmes).

Bref, si on prétend appliquer le théorème d'incomplétude en philosophie, il va falloir donner un sens au fait qu'on est en logique du premier ordre, qu'on est en présence d'une axiomatisation récursive, et qu'on contient l'arithmétique. Autant dire que ce n'est pas gagné. (Voici un exemple de quelqu'un dont je trouve qu'il fait dire n'importe quoi à Gödel, et un bout de discussion avec l'auteur sur Twitter. Même si c'est lui le déclencheur de la présente entrée, je ne cherche pas à le pointer du doigt comme particulièrement pire que les autres, c'est un cas plutôt typique.)

Et il faut se rappeler que les énoncés indécidables dont Gödel garantit l'existence sont eux-mêmes des énoncés arithmétiques : là aussi, si on prétend en tirer des conséquences sur l'impossibilité de bien connaître, disons, le monde physique qui nous entoure, on est sans doute en train d'arnaquer le lecteur.

Mais peut-être une raison encore plus profonde de se méfier des invocations du théorème d'incomplétude en-dehors de son cadre technique, c'est que ce théorème est essentiellement un jeu de langage : sa preuve est quasiment triviale, il s'agit juste de construire l'énoncé cet énoncé n'est pas démontrable et d'en explorer les conséquences : le génie de Gödel est dans la réalisation technique du fait qu'on peut construire un tel énoncé en suivant les règles de la logique du premier ordre (qui ne permettent pas prima facie à un énoncé de faire référence à lui-même, ni de parler de démontrabilité), mais une fois cette construction admise, la démonstration est très simple ; du coup, si on cherche à appliquer le théorème de Gödel dans un autre contexte, on devrait pouvoir dérouler la démonstration, et quand on le fait, on devrait pouvoir voir s'il en sort un raisonnement qui tient debout ou pas. Ainsi, si quelqu'un prétend invoquer le théorème de Gödel dans un raisonnement en-dehors des mathématiques, essayez de vous rappeler que l'énoncé indécidable dont il affirme l'existence est simplement la phrase je ne suis pas prouvable et voyez si le raisonnement a l'air de se tenir : très souvent il apparaîtra comme simplement ridicule.

Il est probablement incorrect de voir le théorème d'incomplétude de Gödel comme une limitation sur le raisonnement : comme je le faisais remarquer ici (en reprenant une remarque d'un livre de Torkel Franzén que je vais citer de nouveau ci-dessous), le (second) théorème d'incomplétude n'interdit pas seulement à une théorie cohérente (en logique du premier ordre, récursivement axiomatisée et contenant l'arithmétique) de démontrer sa propre cohérence, mais elle lui interdit tout autant de postuler sa propre cohérence : et quand on regarde les choses sous cet angle, beaucoup de prétendus corollaires philosophiques de ce théorème deviennent simplement absurdes.

En fait, si je prends l'affirmation suivante (cf. ici) :

Douglas Hofstadter ne peut pas se convaincre de la vérité de cette phrase.

— elle a la propriété amusante que Douglas Hofstadter ne peut pas se convaincre de sa vérité alors que celle-ci est évidente pour toute autre personne au monde. Est-ce que ce petit jeu de langage nous révèle quelque chose de profond sur Douglas Hofstadter ? Non, certainement pas. Penser que le théorème de Gödel nous apprendra quelque chose de profond sur le monde qui nous entoure, ou sur la puissance de l'esprit, est à peu près du même acabit que de penser que la phrase ci-dessus nous révèle quelque chose de profond sur Douglas Hofstadter. (Ou qu'en remplaçant Douglas Hofstadter par Dieu on démontre l'inexistence de Dieu.) Le théorème de Gödel est subtil et intéressant, mais ce qui est subtil et intéressant, c'est qu'il arrive à faire marcher ce genre de petit jeu de langage dans un cadre extrêmement précis et rigoureux, et sous des hypothèses bien précises, et si on cherche à agiter les mains autour, on n'obtient que des sornettes.

Je mentionne Hofstadter parce que Hofstadter est l'auteur d'un célèbre livre de vulgarisation (que j'adore, auquel je dois une bonne partie de mon intérêt pour les mathématiques ou au moins la logique, et dans lequel j'ai d'ailleurs piqué l'idée de la phrase ci-dessus !) où le théorème de Gödel occupe une place centrale — ou en fait, surtout, l'idée de l'auto-référence dans les œuvres de Kurt Gödel, M. C. Escher et J. S. Bach. Hofstadter comprend très bien le théorème de Gödel, et l'explique sans pipoter, mais il passe son temps à s'approcher dangereusement près de la falaise où on tombe en disant des bêtises et à jouer avec (et des gens l'ont accusé d'être tombé). Je pense que ce qui retient Hofstadter du bon côté de la falaise, c'est qu'il ne cherche jamais vraiment à appliquer le théorème de Gödel mais à en chercher des analogies : voilà qui est beaucoup plus sensé et beaucoup plus légitime. Cela me fait penser à ce que j'écrivais ici sur le rôle des sciences pures (si je pense que chercher à appliquer le théorème de Gödel en-dehors des mathématiques sera presque sûrement une sottise, chercher à s'inspirer des idées de la preuve de ce théorème, notamment l'auto-référence et l'auto-reproduction, est possiblement fécond ; j'espère d'ailleurs que ma petite page sur les quines, où comment écrire des programmes qui s'impriment eux-mêmes, laquelle a acquis une petite célébrité, l'illustre assez bien, et que la comparaison très hofstadterienne que je fais avec les introns et exons du génome n'est pas trop abusée).

Je pense néanmoins que ce livre, que je tiens en très haute estime, peut être une influence dangereuse : parce que tout le monde n'a pas le talent de Hofstadter pour jongler avec les concepts, et ce n'est pas parce qu'on voit quelqu'un sur YouTube faire du monocycle sur le bord d'une falaise qu'il n'est pas dangereux de s'en inspirer (en tout cas pour en tirer des conclusions scientifiques — s'il s'agit de faire des œuvres d'art auto-référentes c'est sans doute moins risqué !). Hofstadter ne dit pas de bêtises, mais il peut inciter à en dire, tellement il fait sembler facile sa fugue métaphorique sur les esprits et les machines inspirée de Lewis Carroll.

Mais si on cherche un livre de vulgarisation sur le théorème d'incomplétude de Gödel qui ne part pas dans tous les sens et ne commence pas à multiplier les comparaisons avec la musique, les arts graphiques, l'informatique, la biologie moléculaire, les sciences cognitives, Zénon d'Élée, la récursion dans les Mille et Une Nuits et que sais-je encore, — si on cherche un livre différent, donc, — il y a celui de Torkel Franzén, Gödel's Theorem: An Incomplete Guide to Its Use and Abuse (2005), qui est tout à fait dans l'esprit de la présente entrée, il ne se contente pas d'expliquer ce que le théorème dit, il passe aussi beaucoup de temps à dénoncer les abus de ce théorème, bref, à expliquer ce qu'il ne dit pas.

Maintenant, si on veut absolument tirer des conséquences extra-mathématiques de Gödel, je pense que la version par Turing est moins dangereuse (voir cette entrée pour une explication technique d'une variante forte de cette version). Je ne suis pas spécialiste d'histoire des sciences, mais il me semble que c'était largement la motivation de Turing en développant la notion de machine de Turing et le concept de calculabilité et du problème de l'arrêt, que de rendre plus explicite la preuve du théorème de Gödel. Le fait qu'aucun procédé mécanique (finitiste, i.e., algorithmique ; ou même, si on croit une forme de la thèse de Church-Turing « physique », aucun procédé physiquement réalisable dans cet Univers) ne permette de résoudre de façon certaine en temps fini certains problèmes arithmétiquement bien définis, et notamment celui de décider la vérité des énoncés arithmétiques ou même seulement leur démontrabilité, ou encore quantité d'autres, est peut-être quelque chose dont on peut tirer des conséquences métaphysiques sensées : en tout cas, ça me semble plus plausible s'agissant de procédés de calculs que de logique du premier ordre (où on butera inévitablement sur l'application de cette notion technique).

Si je me permets de mettre un peu mon chapeau de crackpot fasciné par les ordinaux, il y a peut-être aussi quelque chose à tirer, au-delà des mathématiques, de la notion d'ordinaux de preuve. Disons en gros la chose suivante : partons d'un système T, disons l'arithmétique de Peano (PA), dont on pense qu'elle est vraie (décrit correctement les entiers naturels) et, en particulier, cohérente : Gödel assure que bien que T soit cohérente, elle ne peut pas prouver l'énoncé arithmétique Consis(T) qui affirme justement qu'elle est cohérente ; ceci nous donne une nouvelle théorie T₁ := T + Consis(T) qui ajoute à T l'affirmation (indémontrable dans T elle-même, mais néanmoins vraie) qu'elle est cohérente : on pense toujours que cette théorie est vraie, et en particulier cohérente, donc le même raisonnement s'applique et fournit une théorie T₂ := T₁ + Consis(T₁) = T + Consis(T+Consis(T)) dont on pense encore qu'elle est vraie, « et ainsi de suite ». Cette idée est parfois invoquée pour « justifier » que l'intuition humaine est plus puissante que la logique formelle parce qu'elle est capable de produire une longue succession d'axiomes, dont elle conçoit la vérité, et de systèmes formels associés, alors que chacun de ces systèmes est limité par le théorème d'incomplétude : franchement, cette idée est bidon, c'est essentiellement quelle est la théorie T la plus puissante que tu peux imaginer et qui dit vrai ? moi je fais mieux que toi en imaginant T + Consis(T), qui revient à quel est l'ordinal α le plus grand que tu peux décrire ? moi je fais mieux que toi en décrivant α+1, ça ne dit absolument rien sur la puissance de raisonnement de celui qui tient ce discours. Mais justement quel est le rapport avec les ordinaux ? Quand j'ai écrit et ainsi de suite ci-dessus, on a naturellement envie de dérouler la construction de Tα sur les ordinaux (par exemple, Tω serait obtenue en ajoutant à T tous les axiomes Consis(Tn) pour n∈ℕ, qu'on a séparément reconnus comme vrais, puis Tω+1 := Tω + Consis(Tω), etc.). En fait, il y a des subtilités : Tα ne dépend pas que de α mais de la manière dont α est décrit ; mais si on me permet de cacher de la poussière sous le tapis (beaucoup beaucoup de poussière, en fait) et de dire des choses qui ne sont que très grossièrement vraies voire pas franchement vraies du tout, le problème de produire des théories puissantes et dont on pense qu'elles sont arithmétiquement vraies est celui, en fait, de produire des grands ordinaux α jusqu'auxquels itérer le procédé, ces ordinaux étant essentiellement (modulo beaucoup de poussière) les ordinaux de preuve des théories en question : si on itère jusqu'à un machin appelé l'ordinal de preuve de ZFC, on obtient une théorie qui a les mêmes conséquences arithmétiques que ZFC, et croire que ZFC est arithmétiquement vraie (i.e., que les théorèmes sur les entiers naturels qui découlent des axiomes de ZFC sont effectivement vérifiés des entiers naturels) revient à croire que ce machin est bien un ordinal. À mon avis (seulement demi-crackpotesque, j'espère) il y a plus à tirer en philosophie, certainement en philosophie des mathématiques mais peut-être plus largement, à réfléchir autour de ces questions d'itération transfinie (jusqu'où accepte-t-on cette itération ? jusqu'où croit-on que les ordinaux qu'on fabrique sont bien définis, ou jusqu'où arrive-t-on à en définir et qu'est-ce qui nous fait croire que ce sont bien des ordinaux ? cf. ce que j'avais raconté ici à ce sujet avec quelques constructions explicites de grands ordinaux calculables).

Pour ceux qui veulent en savoir plus dans la ligne du paragraphe précédent, je recommande un autre livre du même Torkel Franzén : Inexhaustibility: A Non-Exhaustive Treatment (2004). C'est un peu moins de la vulgarisation (même si ça se veut et reste très abordable), et même s'il ne rentre pas vraiment dans la théorie de la démonstration, il explique un peu la nature de la poussière que j'ai glissée sous le tapis au paragraphe précédent ; et explore les conséquences d'ajouter à une théorie T des (schémas d')axiomes comme toutes les conséquences arithmétiques de T sont vraies et variantes (y compris en itérant transfiniment ces constructions). (Il y aurait aussi toutes sortes de choses intéressantes à dire autour de la force d'ajout à ZFC de schémas d'axiomes comme toutes les conséquences ensemblistes de ZFC sont vraies et leur comparaison à des grands cardinaux, mais je n'ai pas de référence.) À noter que Franzén utilise le symbole ‘⊃’ (au lieu de, disons, ‘⇒’) pour l'implication, ce qui mérite un Blâme, mais pas autant que les gens qui font dire n'importe quoi à ce pauvre Gödel.

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