David Madore's WebLog: Naviguons dans des pavages de la 3-sphère

J'avais évoqué autrefois la question suivante : comment vaut-il mieux visualiser les solides réguliers en dimension 4 ? (Je rappelle qu'ils sont au nombre de 6, contre 5 en dimension 3 : le 4-simplexe ou pentachore, qui est l'analogue du tétraèdre et qui est son propre dual ; le tesseract ou hypercube, qui est l'analogue du cube ; le 16-cellule ou hyperoctaèdre ou 4-orthoplexe, qui est l'analogue de l'octaèdre et le dual du précédent ; le 24-cellule ou icosatétrachore, qui n'a pas d'analogue en dimension 3 et qui est son propre dual ; le 120-cellule ou hécatonicosachore, qui est l'analogue du dodécaèdre ; et le 600-cellule ou hexacosichore, qui est l'analogue de l'icosaèdre.) Comme les solides réguliers sont très populaires (même ma maman sait qu'il y en a cinq en dimension 3, parce que j'avais un mobile au-dessus de mon lit qui les représentait, quand j'étais petit — une œuvre de mon papa), il y a beaucoup de gens qui ont essayé de représenter ces 4-polytopes réguliers (voyez par exemple sur Google images) : les façons populaires d'essayer consistent par exemple à projeter orthogonalement (en faisant éventuellement tourner en même temps), à utiliser une projection stéréographique, à faire des patrons, ou encore à utiliser le temps comme 4^e dimension.

Mais il y a une autre façon de faire, que je n'ai encore jamais vue employée, et qui consiste à se rappeler qu'une autre façon de considérer les solides réguliers est de les voir comme des pavages de la sphère. Pour expliquer dans le cadre plus familier de la 2-sphère en dimension 3, le dodécaèdre, par exemple, peut être considéré comme un solide convexe en dimension 3, mais il peut aussi être considéré comme vivant sur la sphère (imaginez qu'au lieu d'inscrire votre dodécaèdre dans la sphère vous le gonfliez jusqu'à ce qu'il coïncide avec elle, mais en gardant le souvenir des limites des faces ; un peu comme un ballon de football traditionnel est cousu de pentagones et d'hexagones) : le dodécaèdre est alors une façon de paver la sphère avec 12 pentagones réguliers. Pour mémoire, les pentagones réguliers ne pavent pas le plan, et c'est bien le signe que la sphère a une courbure positive qu'on peut la paver avec des pentagones réguliers de sorte que trois se touchent à chaque sommet. De même, l'icosaèdre peut être vu comme une façon de paver la sphère avec 20 triangles équilatéraux (certes les triangles équilatéraux pavent déjà le plan, mais là on en met cinq autour de chaque sommet, alors que pour paver le plan on en met six : de nouveau, on voit que la courbure est positive), le cube comme une façon de paver la sphère avec six carrés, etc.

Exactement la même chose fonctionne une dimension au-dessus : chacun des six solides réguliers de la dimension 4 correspond à un pavage régulier de la 3-sphère. Pour le 120-cellule, par exemple, c'est avec 120 dodécaèdres réguliers : les dodécaèdres réguliers ne pavent pas l'espace euclidien, mais grâce à la courbure de la 3-sphère ils arrivent à la paver, elle. Vous allez me dire que ça n'aide pas vraiment à visualiser les choses, mais en fait si : la 3-sphère étant un espace de dimension 3, fût-il courbe, on peut espérer l'appréhender. L'idée, donc, est de représenter ce que verrait d'un 120-cellule (par exemple) quelqu'un qui vivrait sur (ou faut-il dire dans ?) une 3-sphère : un pavage régulier de tout son univers par 120 dodécaèdres réguliers.

Quand j'ai proposé ça, je me disais que ce serait vraiment fastidieux à calculer : aucun programme de raytracing n'est prévu pour faire des calculs dans des espaces courbes, après tout. Mais j'avais une idée confusément à l'arrière de la tête, qui a fini par ressortir quand un ami s'est proposé d'essayer de réaliser ces calculs : la projection gnomonique.

La projection gnomonique est une façon de projeter une sphère sur un plan (ou les objets analogues en dimension supérieure). Elle consiste à projeter depuis le centre de la sphère sur un plan tangent à elle en un point (qu'on appelle le centre de la projection) ; c'est donc quelque chose de très facile à calculer, mais elle est bizarrement beaucoup moins populaire et moins connue que la projection stéréographique (avec laquelle il ne faut pas confondre) qui, elle, projette depuis le point de la sphère opposé au centre de projection. Alors que la projection stéréographique conserve les angles (on dit qu'elle est conforme), la projection gnomonique conserve l'alignement : les grands cercles de la sphère (c'est-à-dire ses géodésique, ou « droites », ce que les navigateurs appellent des orthodromies) deviennent des droites dans la projection gnomonique (c'est assez évident sur la description géométrique). Autrement dit, le plus court chemin pour aller de A à B (au moins s'ils sont dans le même hémisphère que le centre de projection) s'obtient juste en traçant une droite sur la projection gnomonique. La plupart des gens (et même pas mal de mathématiciens) sont intimement persuadés que c'est impossible : comme la sphère est courbe, on ne peut pas envoyer les droites sur des droites entend-on parfois dire. Pourtant, la projection gnomonique fait bien ça (et c'est la seule), et elle mériterait d'être plus connue même si elle a des défauts qui la rendent peu utilisable en cartographie. Pour les géomètres : alors que la projection stéréographique identifie naturellement la sphère à la droite projective complexe (on parle de sphère de Riemann), la projection gnomonique, elle, identifie naturellement la sphère modulo antipodie au plan projectif réel.

Quel rapport avec mon problème ? Le point important est que la projection gnomonique fonctionne aussi bien de la 3-sphère vers l'espace euclidien de dimension 3, et ce que voit de la 3-sphère quelqu'un qui vit dessus est donné justement par la projection gnomonique centré au point où se trouve cet observateur. Voici la façon dont je justifiais ce fait dans un mail à un ami :

Le truc c'est le suivant : (1) pour quelqu'un qui vit dans S³ (en un point P, disons), les grands cercles de S³ apparaissent comme des droites, et (2) plus précisément, ce qu'il voit d'une configuration de droites (=grands cercles) de S³ est exactement la même chose que verrait quelqu'un dans ℝ³ qui verrait la projection gnomonique de ces droites à condition que cette projection gnomonique soit centrée en P.

La projection gnomonique d'une sphère centrée en un point P de celle-ci, c'est la projection centrale depuis le centre de la sphère (et pas depuis le point antipodal à P qui serait la projection stéréographique, bien plus connue) et sur l'hyperplan tangent à la sphère en P. En fait, c'est bêtement l'identification de la sphère quotientée par l'antipodie avec l'espace projectif de même dimension. L'intérêt, c'est que (a) la projection gnomonique préserve les droites (parce que les droites sont les intersections de la sphère avec des plans passant par l'origine). Par ailleurs, (b) au point P (mais seulement lui), la projection gnomonique préserve les angles (parce que c'est clair que la différentielle en ce point est l'identité, vu qu'on a justement pris le plan tangent). Ces deux propriétés (a) et (b) prouvent mon point (2) (puisque ce que voit un observateur en P sur S³ est déterminé par les angles des grands cercles passant par P et des points de la configuration de grands cercles proposée). Et mon point (2) implique notamment mon point (1).

Bon, je m'explique sans doute comme un pied, mais en tout cas la morale est que pour représenter ce que voit d'un solide régulier dans S³ un observateur P dans S³, on peut faire la chose suivante : déterminer l'image (dans ℝ³) par projection gnomonique centrée en P de tous les sommets et toutes les arêtes, et filer ça à un raytracer. L'avantage, c'est qu'on n'a pas à raytracer soi-même.

Sauf qu'il y a quand même un problème […] : pour les points qui sont dans l'hémisphère « cis » (celui qui contient P et qui est centré en P), tout se passe bien, mais pour les points qui sont dans l'hémisphère « trans », ils devraient apparaître au-delà de l'infini et on ne peut pas demander ça à un raytracer. (Concrètement, un mec qui vit dans ℝ³ et qui regarde une droite ne voit qu'une demi-droite qui se termine à un « point de fuite » ; alors qu'un mec qui vit dans S³ et qui regarde un grand cercle va vraiment voir le truc se prolonger tout à travers son champ de vision.)

J'ai quand même fait l'expérience de filer les choses à un raytracer (POVray), en me limitant aux points de l'hémisphère « cis » (et lorsqu'un segment relie les deux hémisphères, je le fais partir à l'infini) : pour les solides un peu remplis (le 120-cellule (« hécatonicosachore ») et le 600-cellule (« hexacosichore »)), c'est très joli. On voit qu'il manque l'hémisphère trans, mais le fait que les rayons partent à l'infini donne l'impression qu'il est noyé dans une brume noire impénétrable. Pour les autres solides réguliers, par contre, ça n'a aucun intérêt : ça donne juste un grand truc essentiellement vide.

Et pour faire une vidéo, je fais tourner la 3-sphère, ça n'apporte aucune difficulté supplémentaire.

Bref, j'ai réalisé des petites vidéos de tout ça : une visite du 120-cellule (qui pave la 3-sphère par 120 dodécaèdres réguliers, donc), et une visite du 600-cellule (qui la pave par 600 tétraèdres réguliers). Elles sont en basse qualité sur YouTube et téléchargeables en plus haute qualité ici (pour une fois elles sont assez petites pour que je ne m'embête pas à fabriquer des torrents pour le téléchargement). Si on regarde attentivement, on se rend bien compte que l'espace dans lequel on évolue est courbe : les polyèdres et polygones censés être réguliers ne le sont pas vraiment (ce qui est normal, vu que réguliers dans un espace plat ils ne peuvent pas paver), et les angles semblent se modifier subtilement quand la caméra se déplace. ~~Et comme je l'explique ci-dessus, je ne montre malheureusement que ce qui se passe dans l'hémisphère « cis » de la 3-sphère (l'hémisphère proche de l'observateur).~~ Mise à jour (2010-11-14) : je montre maintenant aussi l'hémisphère « trans » avec des lignes rouges, cf. l'entrée suivante.

Je fournirai prochainement ici le programme Perl qui a servi à générer (les fichiers POVray de) ces animations. Mise à jour : voir ici.

Par ailleurs, il serait intéressant de faire des animations semblables pour des pavages de l'espace hyperbolique : la géométrie hyperbolique est en quelque sorte le pendant à courbure négative de la géométrie sphérique, par exemple on peut y faire des pentagones réguliers à angles de 90° alors que les pentagones réguliers du 120-cellule ont des angles de 120° et en géométrie euclidienne bien sûr c'est 108°. (Par ailleurs, les « vrais » géomètres nous apprennent que la courbure négative est beaucoup plus intéressant que la courbure positive.) Il y a une image de ce genre ici, mais j'aimerais faire mieux. La projection gnomonique existe aussi pour l'espace projectif, donc la même approche fonctionne (avec la difficulté des deux hémisphères en moins, remplacée par la difficulté que les pavages sont infinis).