David Madore's WebLog: Comment faire une élection à la proportionnelle

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(mardi)

Comment faire une élection à la proportionnelle

Si on a N sièges d'une assemblée à répartir de façon proportionnelle entre r listes qui ont obtenu des proportions p1,…,pr des suffrages exprimées dans une élection, il y a plusieurs façons de procéder. (Je parle de sièges à répartir entre des listes dans une élection, mais c'est un problème tout à fait général : on peut vouloir attribuer n'importe quoi de non fractionnable entre n'importe quelle sorte d'entités de façon proportionnelle à n'importe quelles grandeurs pi.) Évidemment, lorsque N a le bon goût d'être un diviseur commun de p1,…,pr (c'est-à-dire que chaque N·pi soit un entier), les choses sont faciles : on attribue N·pi sièges à la liste i, et c'est tout (ensuite, il y a éventuellement la question de savoir quels sièges on attribue ou à qui sur la liste, mais je ne veux pas parler de ça ici : normalement les sièges sont interchangeables et on choisit juste les premiers de la liste). Évidemment, cette coïncidence numérique n'arrive jamais. On peut au moins commencer par attribuer à chaque liste la partie entière (c'est-à-dire, l'arrondi à l'inférieur, noté :) ⌊N·pi⌋, du nombre en question, mais il reste ensuite des sièges à répartir. Comment fait-on pour choisir à qui les donner ? Il y a différentes méthodes pour ça, qui ont des propriétés mathématiques et/ou politiques différentes, et qui sont employées dans divers contextes. (Je ne m'intéresse ici qu'aux situations où on répartit effectivement les sièges de façon proportionnelle : s'il y a, par exemple, une prime à la majorité, alors je parle des sièges en plus de cette prime — j'en avais déjà parlé dans le cas des municipales. De même, je fais abstraction des règles qui imposent une barrière minimale pour être représenté à la proportionnel : s'il y en a on suppose qu'on ne considère que les listes qui ont dépassé cette barrière.)

Méthodes de plus fort reste

La méthode la plus naïve est celle du plus fort reste (ou plus exactement, une de celles de ce type), parfois plus précisément appelée méthode de Hare-Niemeyer ou de Hamilton : une fois attribuées les parties entières ⌊N·pi⌋, on compare les parties fractionnaires N·pi−⌊N·pi⌋, c'est-à-dire en quelque sorte les surplus de voix (les restes) par rapport au nombre nécessaire pour avoir le nombre de sièges qu'on vient d'attribuer, et on attribue un siège supplémentaire (jamais plus) aux listes ayant le plus fort reste, jusqu'à avoir attribué tous les sièges restants. Cette méthode peut sembler intuitive, et c'est celle qu'on invente généralement quand on veut faire une répartition à la proportionnelle et qu'on n'est pas matheux ; mais elle souffre d'un grave défaut : elle n'est pas monotone — il se peut très bien qu'en augmentant le nombre N de sièges disponibles, à proportions pi constantes, on diminue le nombre de sièges obtenu par telle ou telle liste. C'est le fameux Alabama paradox, découvert en 1880 parce que les Américains utilisaient cette méthode pour attribuer le nombre de sièges à la chambre des Représentants entre les états de l'Union proportionnellement à la population de ces états : on s'est aperçu que si le nombre de représentants au total passait de 299 à 300, alors l'Alabama en obtenait un de moins. À cause de ce paradoxe, ou parce qu'elle a tendance à trop favoriser les petites listes, cette méthode du plus fort reste est assez peu utilisée en pratique (elle sert cependant en Russie, par exemple).

Voici un exemple de la méthode du plus fort reste et du paradoxe de l'Alabama : s'il y a 20 sièges à attribuer entre des listes (A à E) ayant obtenu 57.5%, 20.6%, 12.3%, 7.3% et 2.4% respectivement, on aurait envie de leur donner 11.50, 4.12, 2.46, 1.46 et 0.48 sièges, mais ce n'est évidemment pas possible ; on va d'abord leur donner les parties entières de leur proportion des 20 sièges soit 11, 4, 2, 1 et 0 sièges ; cela fait 18 sièges attribués : pour attribuer les 2 derniers, on va calculer les restes (ici 0.50, 0.12, 0.46, 0.46 et 0.48) et donner un siège à chacune des listes ayant obtenu le plus fort reste, donc A et E, ce qui donne finalement 12, 4, 2, 1 et 1 sièges respectivement. Si au lieu d'avoir 20 sièges à répartir on en a 21 (ce qui donne des proportions 12.08, 4.33, 2.58, 1.53 et 0.50), alors les parties entières sont 12, 4, 2, 1 et 0, il reste de nouveau 2 sièges à répartir, mais maintenant les parties fractionnaires sont 0.08, 0.33, 0.58, 0.53 et 0.50 donc ce sont les listes C et D qui obtiennent les sièges de reste, et on aboutit à 12, 4, 3, 2 et 0 sièges de répartition — la liste E a perdu son unique siège dans une augmentation de la taille de l'assemblée. En fait, même avec 22, 23 ou 24 sièges au total, la liste E n'obtient toujours pas un siège : elle en regagne un à partir de 25 sièges au total.

ListeVoixp/ 20p/ 21p/ 22p/ 23p/ 24p/ 25
A57.5%121213131414
B20.6%444555
C12.3%233333
D07.3%122222
E02.4%100001

Je devrais encore mentionner une variante, appelée méthode (du quota de) Droop ou de Hagenbach-Bischoff, et qui est toujours une méthode de plus fort reste, mais cette fois au lieu attribuer ⌊N·pi⌋ sièges à chaque liste pour commencer, on en attribue ⌊(N+1)·pi⌋ (ou plus exactement ⌊(N+1−ε)·pi⌋ avec ε une quantité infinitésimale positive), et ensuite on utilise pour restes les parties fractionnaires (N+1)·pi−⌊(N+1)·pi⌋. Autrement dit, on fait comme si on avait un siège de plus à attribuer dans l'assemblée, mais évidemment on ne l'attribue pas (on prend les plus forts restes jusqu'à avoir attribué N sièges). Dans mon exemple si le nombre N de sièges vaut 20 : dans la méthode de Hare-Niemeyer utilisée plus haut, on avait calculé que les N·pi valent 11.50, 4.12, 2.46, 1.46 et 0.58 ce qui donne 12, 4, 2, 1 et 1 sièges, alors que dans celle de Hagenbach-Bischoff les (N+1)·pi valent 12.08, 4.33, 2.58, 1.53 et 0.50 ce qui donne 12, 4, 3, 1 et 0 sièges. Entre 20 et 25 sièges, cette méthode de Hagenbach-Bischoff donne les résultats suivants :

ListeVoixp/ 20p/ 21p/ 22p/ 23p/ 24p/ 25
A57.5%121313141415
B20.6%445555
C12.3%333333
D07.3%111122
E02.4%000000

Même si dans cet exemple précis la méthode de Hagenbach-Bischoff élimine le paradoxe de l'Alabama, elle ne l'évite pas en général (d'ailleurs il réapparaît entre N=26 et N=27 sièges sur mon exemple).

Il faut noter que le N+1 utilisé assure, si on l'interprète comme N+1−ε avec ε infinitésimal (c'est parfois précisément ça qu'on appelle le quota de Droop, et parfois on utilise un ε qui vaut une voix exactement, ou quelque chose de ce genre), que la somme des parties entières ⌊(N+1)·pi⌋ avec lesquelles on commence, ne dépassera jamais N. On pourrait très bien décider d'utiliser N+2 (le quota dit d'Imperiali), mais dans ce cas le problème peut se poser que le nombre de sièges donné par les parties entières dépasse N (il faudrait alors, sans doute, retrancher un siège à la liste ayant le plus petit reste, ou prendre une autre mesure ad hoc).

Méthodes de plus forte moyenne

Les méthodes réellement utilisées dans la pratique entrent plutôt dans la catégorie des méthodes de la plus forte moyenne (ou du plus fort quotient). Je dis les méthodes, parce qu'il y en a un certain nombre qui sont courantes et qui rentrent dans cette catégorie, mais ce qu'on appelle normalement en France méthode de la plus forte moyenne est la méthode de D'Hondt. Toutes les méthodes de la plus forte moyenne ont la même procédure opératoire : on attribue les sièges un par un aux listes, et au point où on a attribué ni sièges à la liste i, on compare les quotients pi/f(ni) entre les différentes listes, où f est une certaine fonction spécifiée par la méthode (c'est simplement f(n)=n+1 dans le cas de D'Hondt, et en général elle doit vérifier différentes propriétés comme d'être croissante, asymptotiquement équivalente à n et sans doute plein d'autres choses), et celui qui a le plus fort quotient, ou la plus forte moyenne, emporte le siège en jeu (donc son ni est augmenté de 1) et on recommence pour le siège suivant.

Concrètement, pour la méthode de D'Hondt (qui est, je le répète, celle qu'on applique le plus souvent et qu'on appelle communément en France méthode de la plus forte moyenne sans autre précision), on commence par donner les parties entières ⌊N·pi⌋ à chaque liste (on peut montrer que c'est équivalent de commencer à attribuer les sièges dès le premier, mais c'est plus efficace de donner déjà ce minimum) puis, pour chaque siège restant, on calcule les quotients pi/(ni+1) pour chaque liste, c'est-à-dire qu'on attribue à chaque liste un siège fictif de plus que ce qu'elle a déjà reçu et on calcule le rapport de la proportion des voix (ou du nombre de voix, peu importe évidemment) sur ce nombre augmenté de sièges, et la liste qui a le plus fort quotient reçoit un siège de plus, et on recommence.

Je reprends mon exemple ci-dessus de 20 sièges à attribuer entre des listes (A à E) ayant obtenu 57.5%, 20.6%, 12.3%, 7.3% et 2.4% respectivement, avec la méthode de D'Hondt. On peut commencer comme précédemment à donner 11, 4, 2, 1 et 0 sièges aux cinq listes (il reste donc 2 sièges à distribuer). Les quotients des proportions par ce nombre de sièges augmenté de 1 valent 4.79%, 4.12%, 4.10%, 3.65% et 2.40% : la plus forte moyenne est celle (4.79%) de la liste A, qui récupère un 12e siège et son quotient passe alors à 57.5%/13 = 4.42%. Comme 4.42% est encore le plus fort quotient, la liste A reçoit de nouveau un siège, son 13e, ce qui amène la répartition des 20 sièges à 13, 4, 2, 1 et 0, et le quotient de la liste A passe à 57.5%/14 = 4.11%. On voit alors que si on crée un 21e siège, c'est la liste B qui l'obtiendra, son quotient passant alors de 4.12% à 3.43%. Les calculs peuvent être continués de la sorte à n'importe quel nombre de sièges : ce qui est intéressant avec les méthodes de plus forte moyenne, c'est qu'elle n'a pas besoin de connaître à l'avance le nombre de sièges de l'assemblée, on peut calculer les quotients successifs des pi par les entiers naturels non nuls et les ordonner en décroissant, et attribuer successivement les sièges aux listes réalisant ces quotients, ce qui donne une sorte de flux de sièges (dans mon exemple : AABAACABAADABACAABAABACAD…), dont il suffit de prendre les N premiers pour le N souhaité. En particulier, le paradoxe de l'Alabama est impossible avec cette méthode : chaque ajout d'un siège à une assemblée ajoute un siège à une liste et une seule. On pourrait d'ailleurs imaginer que le même mode de scrutin élise automatiquement les membres d'une assemblée, mais aussi le présidium de cette assemblée (les N′<N premiers sièges listés). Je récapitule par un tableau les valeurs choisies par la méthode de D'Hondt :

ListeVoixp/ 20p/ 21p/ 22p/ 23p/ 24p/ 25
A57.5%131314141515
B20.6%455555
C12.3%222333
D07.3%111112
E02.4%000000

Il faut souligner une chose : si je reprends mon exemple pour 20 sièges, la liste A en obtient 13 (sur les 20) alors qu'elle a eu 57.5% des voix. C'est un peu surprenant, puisque 57.5% de 20 fait, je l'ai écrit plus haut, 11.50 : on comprend que la liste obtienne 12 sièges comme arrondi de 11.50, mais il est étonnant qu'elle en obtienne 13 ! En fait, on se rend compte que ce n'est pas si étonnant si on imagine une situation où un petit nombre de listes obtiennent des gros scores et qu'un très grand nombre de listes obtiennent des scores minuscules mais dont le total est finalement assez important : la méthode de D'Hondt ne donnera pas un siège aux toutes petites listes, donc il faudra bien le donner à ce siège aux grosses listes, y compris jusqu'à dépasser l'arrondi supérieur de leur score. Ce phénomène est nécessaire en ce sens que tout système d'élections à la proportionnelle qui vérifie des conditions de monotonicité minimales (quand on augmente le score d'une liste, son nombre de sièges ne peut pas diminuer) et ne souffre pas du paradoxe de l'Alabama (quand on augmente le nombre total de sièges à scores constants, aucune liste ne peut voir son nombre de sièges diminuer) doit dans certaines circonstances donner à une liste un nombre de sièges qui n'est égal ni à la partie entière de sa proportion exacte de l'assemblée ni à l'entier supérieur — il s'agit d'un théorème de Michel Balinski et Hobart Peyton Young.

En particulier, il est incorrect de présenter la méthode de D'Hondt comme on le fait avec la méthode du plus fort reste, c'est-à-dire de prétendre qu'on commence par calculer les parties entières ⌊N·pi⌋ puis qu'on attribue un siège de plus aux listes ayant le plus grand quotient pi/(⌊N·pi⌋+1) jusqu'à compléter l'assemblée. C'est une erreur qu'on trouve par exemple faite ici chez Diner's room et dans mon exemple cela donnerait un résultat faux : on doit bien ajouter deux fois un siège à la liste A car elle a deux fois la plus forte moyenne — on ne peut pas se contenter de calculer une fois pour toutes les moyennes et prendre les plus grandes. (Cela donnerait un nouveau système électoral, dont j'ignore s'il a un nom, mais qui souffre nécessairement d'un problème de monotonicité.)

Une autre façon de présenter la méthode de D'Hondt, qui plaît souvent aux matheux, consiste à dire la chose suivante : on pave ℝ+r en (hyper)cubes de côté 1 dont les sommets sont les sommets sont les points de coordonnées entières, on considère la demi-droite Δ formée des multiples positifs de (p1,…,pr), c'est-à-dire celle qui passe par le point dont les coordonnées sont le nombre de votes obtenus, et parmi les cubes traversés par cette demi-droite Δ on considère celui dont les coordonnées du sommet le plus proche de l'origine ont pour somme N : ces coordonnées donnent la répartition des sièges entre les listes. Encore une autre façon de dire ça est qu'on attribue aux listes des nombres de sièges (n1,…,nr) lorsque la somme de ces nombres est N et qu'il existe un réel t positif tel que chacun des t·pi tombe entre ni et ni+1 (l'avantage de cette présentation est qu'elle permet facilement de tester qu'on a correctement réparti les sièges : il suffit de communiquer le t qui donne les bonnes inégalités). Bien sûr, la suite des côtés de cubes traversés par Δ définit, de façon assez évidente, la suite des sièges ajoutés aux différentes listes successivement quand on augmente N et dont j'ai parlé plus haut (je suppose que c'est une suite sturmienne — je n'ai pas trop réfléchi à ça).

Jusque là, ce que j'ai dit sur la méthode de D'Hondt vaut essentiellement pour les autres méthodes de plus forte moyenne. Mais la méthode de D'Hondt spécifiquement possède plusieurs propriétés mathématiques intéressantes. Il y en a une que je trouve très élégante, c'est celle qui affirme que si on ignore tout de la répartition des proportions de voix pi recueillies par les différentes listes (autrement dit, si (p1,…,pr) est une variable aléatoire uniformément répartie sur le simplexe de dimension r−1), alors on ignore également tout sur la répartition du nombre de sièges ni obtenu par elles (autrement dit, (n1,…,nr) est une variable aléatoire uniformément répartie entre les r-uplets d'entiers naturels de somme N). Autrement dit, en quelque sorte, elle est complètement non biaisée sur la répartition des sièges. (Une démonstration de ce fait se trouve par exemple ici.)

La méthode de D'Hondt est cependant assez sévère avec les petits partis à cause du diviseur f(n)=n+1 qui fait que l'obtention du premier siège exige, s'il n'y a que deux listes, d'avoir au moins 1/N des voix. Si on va à l'autre extrême, on peut mettre f(n)=n (en interprétant pi/0 comme supérieur à tout nombre réel, ce qui attribue d'emblée 1 siège à chaque liste si c'est possible) : cela revient (s'il y a assez de sièges) à attribuer 1 siège à chaque liste et à donner le reste suivant la méthode de D'Hondt. C'est généralement peu souhaitable (à moins de mettre une barrière d'élimination, ou à moins de vouloir forcément représenter tout le monde, on ne veut généralement pas que chaque liste ait forcément un siège !). Entre les deux, on peut trouver différentes fonctions qui réalisent une sorte de compromis.

La méthode de Sainte-Laguë prend f(n)=n+½ pour diviseurs dans le calcul des quotients (c'est-à-dire la moyenne arithmétique entre le nombre n de sièges déjà attribués à la liste et le nombre n+1 de sièges qu'on se propose d'attribuer ; dans la description que j'ai faite plus haut de la méthode de D'Hondt avec un pavage d'hypercubes, ici les hypercubes seraient centrés aux points à coordonnés entières, et rapportés aux coordonnées de leur centre). En reprenant mon exemple maintenant habituel (57.5%, 20.6%, 12.3%, 7.3% et 2.4%), pour N=20 sièges, une fois attribués 11, 4, 2, 1 et 0 sièges aux cinq listes pour commencer, les quotients (des proportions de voix par les nombres de sièges plus un demi) valent 5.00%, 4.58%, 4.92%, 4.87% et 4.80%. La liste A obtient donc le 19e siège (le 12e pour elle), et son quotient tombe à 57.5%/12.5 = 4.60%, donc contrairement à ce qui se passait avec la méthode de D'Hondt, elle n'obtient pas un 13e siège mais celui-ci va à la liste C, et finalement on donne 12, 4, 3, 1 et 0 sièges aux différentes listes. Voici le tableau des résultats pour la méthode de Sainte-Laguë :

ListeVoixp/ 20p/ 21p/ 22p/ 23p/ 24p/ 25
A57.5%121212131314
B20.6%444455
C12.3%333333
D07.3%122222
E02.4%001111

La méthode de Sainte-Laguë possède aussi une propriété de non-biais, analogue à celle de D'Hondt, mais pour une distribution différente de la distribution uniforme : il s'agit de la distribution donnée par la densité de la métrique de Fisher ; mais je m'abstiendrai d'en dire plus, parce que je ne comprends pas très bien tout ça.

Enfin, si au lieu de prendre pour diviseur f(n) la moyenne arithmétique n+½ entre n et n+1, on prend la moyenne géométrique √(n(n+1)), on obtient la méthode dite de Huntington-Hill. Elle est utilisée (depuis les années 1880, pour corriger le paradoxe de l'Alabama) par les Américains pour attribuer les sièges à la chambre des Représentants entre les états de l'Union proportionnellement à leur population. Puisque f(n) s'annule pour n=0, elle attribue d'emblée un siège à chaque liste (pour les États-Unis, ça tombe bien : la Constitution ordonne que chaque état ait au moins un représentant). Cette méthode a l'avantage de minimiser les biais de représentation : c'est-à-dire que les pi/ni qu'elle donne ne peuvent pas être améliorés en donnant un siège d'une liste à une autre liste. Dans le cas de mon exemple numérique, le tableau est le suivant :

ListeVoixp/ 20p/ 21p/ 22p/ 23p/ 24p/ 25
A57.5%111212131314
B20.6%444455
C12.3%223333
D07.3%222222
E02.4%111111

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