David Madore's WebLog: Tétraèdres et miroirs (réponse au mystère)

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(lundi)

Tétraèdres et miroirs (réponse au mystère)

L'image de l'entrée d'avant-hier est la vue de l'intérieur d'un tétraèdre (régulier) dont les faces sont des miroirs (et, pour qu'on voie quand même quelque chose, ils sont aussi intrinsèquement lumineux : en rouge, vert, bleu et blanc pour les quatre faces). La caméra est positionnée en un sommet du tétraèdre et regarde la face opposée, ce qui explique que la figure soit aussi symétrique. Peut-être qu'elle devient plus claire si je rajoute une boule au centre du tétraèdre et que je décale légèrement la caméra (la réflectivité des miroirs a également été un peu augmentée) :

[Image de l'intérieur d'un tétraèdre]

J'ai également un petit film (format DivX;-)-dans-AVI, je crois — j'ai laissé l'encodeur prendre ses options par défaut —, une douzaine d'images, six-sept secondes) où la caméra se déplace un peu, ce qui aide à visualiser la géométrie de la chose. Personnellement, j'ai du mal, mais je vois intrinsèquement très mal en trois dimensions (ce n'est apparemment pas rédhibitoire pour passer une thèse en géométrie).

On peut imaginer que sur chaque face du tétraèdre initial on a posé un tétraèdre qui lui est identique (son image par le miroir, juste légèrement teinté), puis sur chaque face de chaque nouveau tétraèdre (exceptées celles qui reviennent au tétraèdre initial) encore un tétraèdre et ainsi de suite à l'infini. Mais les tétraèdres réguliers ne pavent pas l'espace — loin de là : les volumes vont se chevaucher bizarrement. Mais imaginons que (et c'est justement le propre des miroirs que de multiplier les tétraèdres, les boules et le nombre des hommes) l'espace ne se chevauche pas : on obtient cette étrange vue.

La propriété mathématique intéressante, c'est que les réflexions autour des quatre faces du tétraèdre sont en produit libre : autrement dit, si je pars du tétraèdre initial et que j'empile comme je veux des nouveaux tétraèdres sur les faces des précédents, je ne vais jamais revenir à un tétraèdre translaté du tétraèdre initial (sauf à être revenu à lui, justement, ce qui ne peut se faire qu'en parcourant exactement le chemin inverse de celui qu'on a pris). Hum, je ne sais pas si c'est très clair, malheureusement.

Quoi qu'il en soit, l'apparence de la figure m'a un peu surpris. Évidemment, les choses s'expliquent. Par exemple, on remarque facilement deux boules très proches mais pas tout à fait confondues. Cela vient du fait que l'angle diédral entre deux faces adjacentes d'un tétraèdre est 70°32′, très près, donc, de l'angle au centre d'un pentagone régulier (71°) : donc en alternant les symétries par rapport à deux faces jusqu'à en faire cinq au total, on revient presque au point de départ (notamment, et c'est ce qui se voit le mieux, la symétrique de la boule centrale par rapport aux faces bleue puis blanche puis bleue est très proche de celle par rapport aux faces blanche puis bleue). Si au lieu de prendre un espace plat j'avais rajouté un peu de courbure (isotrope positive), pour qu'on puisse mettre exactement cinq tétraèdres autour de chaque arète, en pentagone régulier, alors on obtiendrait un joli pavage, un des six polytopes réguliers en quatre dimension, le 600-cellules ou « hypericosaèdre », qui, comme son nom l'indique, a 600 hyperfaces qui sont des tétraèdres réguliers. (Si j'ai la patience, un des jours, je tenterai de faire une représentation du 600-cellules, et peut-être des autres polytopes réguliers en quatre dimensions, inscrits dans l'hypersphère vue comme un espace 3D courbe.)

Je ne suis pas sûr de bien comprendre, en revanche, les espèces de pentagones clairs qui sont clairement visibles sur ma figure initiale (et pas sur la nouvelle, donc ça dépend de la position de vue) autour des trois sommets visibles du tétraèdre. Ce que j'explique encore moins, c'est pourquoi, si on augmente considérablement la réflectivité des miroirs, on obtient quelque chose comme ceci :

[Kaléidoscope de couleurs]

Décidément psychédélique.

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