David Madore's WebLog: Cousins, cousines

Ce Noël, mon poussinet a pu faire connaissance de ma famille plus éloignée que mes parents, c'est-à-dire, de mes tantes et de quelques uns de mes cousins et petit-cousins.

Comme j'ai grandi sans frère ou sœur, mes cousins germains sont ceux que j'ai de plus proches dans ma génération. Du côté de mon père, qui a une sœur et un frère, j'ai un cousin (le fils de ma tante) et une cousine (la fille de mon oncle), qui habitent au Canada (et, s'agissant de ma cousine, pas à l'endroit le plus accessible, à 7835km de chez moi), tous deux plus âgés que moi, et que je n'ai pas vus depuis respectivement quinze et vingt-cinq ans environ. Du côté de ma mère, qui a un frère (décédé avant ma naissance) et deux sœurs, qui ont eu respectivement un fils, deux filles, et une fille et un fils, si bien que j'ai deux cousins et trois cousines, là aussi tous plus âgés que moi (mon cousin aîné a dix-huit ans de plus que moi). Ceci sans compter trois cousines par alliance (c'est-à-dire des demi-sœurs de mes cousins ou cousines). Nous, c'est-à-dire cinq des six petits-enfants de ma grand-mère (et de mon grand-père, mais celui-ci est mort avant la naissance d'aucun de nous) nous retrouvions à Noël et en d'autres occasions, et comme j'étais le plus jeune j'étais aussi le plus gâté. Maintenant, comme les gens suivent généralement la politique de passer un Noël sur deux dans leur famille et un Noël sur deux dans celle de leur conjoint, je vois certains de mes cousins plutôt un an sur deux (et d'autres carrément moins souvent).

Ensuite, mes cousins ont commencé à avoir des enfants, et là l'arbre généalogique (ou plutôt, la liste des prénoms) est devenu trop compliqué pour ma petite mémoire. Si je ne me trompe pas, j'ai deux petits-cousins du côté de mon père, qui ont sept et treize ans, et onze ou douze petits-cousins ou petites-cousines du côté de ma mère, qui ont entre cinq et vingt ans. J'écris petit-cousin pour le lien familial entre un individu et l'enfant de son cousin germain, mais je crois que le français n'est pas très systématique là-dessus : certains parlent de neveu à la mode de Bretagne, et d'autres de cousin issu de germain (i.e., fils ou fille du cousin germain), mais ce terme est parfois utilisé pour désigner des cousins ayant des arrière-grands-parents communs, donc c'est ambigu ; par ailleurs, je ne sais pas comment on devrait désigner les petits-enfants d'un cousin germain (la logique voudrait dire les arrière-petits-cousins, mais ça sonne bizarrement parce que ça laisse penser qu'il y aurait trois générations d'écart). L'anglais est beaucoup plus logique : deux cousins sont désignés comme first cousin, second cousin, third cousin, etc., selon le nombre de générations qu'il faut remonter (pour le plus proche des deux cousins) pour retrouver un ancêtre commun : s'il s'agit d'un ou d'un couple de grands-parents on parle de first cousins (des cousins germains, donc), pour des arrière-grands-parents de second cousin, etc. (et bien sûr, s'il s'agit d'un ou d'un couple de parents on parle de siblings) ; quant au nombre de générations d'écart, il est indiqué par once removed, twice removed, etc. Mes petits-cousins sont donc mes first cousins once removed, et le terme est symétrique en anglais, donc je suis aussi leur first cousins once removed (grand-cousin) ; des enfants qu'ils auraient seraient mes first cousins twice removed ; quant à mes différents petits-cousins, quand ils ne sont pas plus près, ils sont second cousins les uns par rapport aux autres (en français, des cousins issus de germains, ou issus de deux germains, le terme n'est pas clair), et moi-même je crois que j'ai, au Canada, un nombre assez important de second cousins dont j'ignore absolument tout.

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L'arbre généalogique fournit une structure combinatoire sur laquelle beaucoup de lexicologie ou de protomathématiques ont pu être faites ; à commencer par définir des termes pour toutes sortes de liens familiaux. Deux individus partageant un seul parent s'appellent demi-frères ou demi-sœurs : lorsque le parent partagé est le père, on parle de demi-frères ou demi-sœurs consanguins (de l'idée traditionnellement sexiste que le sang vient du père), lorsque c'est la mère, utérins ; je ne sais pas si on doit parler de demi-cousins pour les enfants de demi-frères et demi-sœurs. S'agissant de cousins germains, on peut distinguer ceux qui sont croisés (enfants d'un frère et d'une sœur) et ceux qui sont parallèles (enfants de deux frères, auquel cas on peut les qualifier [parallèles] consanguins/patrilinéaires, ou de deux sœurs, auquel cas on peut les dire [parallèles] utérins/matrilinéaires). Pour ma part, parmi mes sept cousin(e)s germains, j'ai deux cousins croisés, un cousin parallèle (matrilinéaire) et quatre cousines parallèles (trois matrilinéaires et une patrilinéaire). Certains liens familiaux n'existent que de façon rare : par exemple, des cousins doubles, c'est-à-dire doublement parallèles (lorsque les deux pères sont frères et les deux mères sont sœurs), ou doublement croisés (lorsque le père de chacun est frère de la mère de l'autre). Plus tordu : si le père de X est aussi le grand-père paternel de Y et que la mère de Y est aussi la grand-mère maternelle de X (notez qu'il n'y a aucun inceste dans l'histoire, au sens où personne n'a eu d'enfant avec quelqu'un de visiblement apparenté, même s'il y a un très bizarre recouvrement entre générations), cela fait que X et Y peuvent être chacun le demi-oncle (ou la demi-tante) de l'autre : j'imagine que ce cas de figure a bien dû se produire au moins une fois dans l'histoire de l'humanité.

Cela ressemble à un petit jeu amusant, mais les anthropologues nous apprennent il y a des cultures qui prennent cela très au sérieux, pour ce qui est de définir les tabous sur l'inceste et autres règles sur le mariage : voyez ce site-ci, par exemple (que j'avais déjà signalé en parlant de sujets vaguement semblables). Un règle qui revient assez souvent, cependant, est que le mariage entre cousin et cousine est tabou s'il s'agit de cousins parallèles et encouragé s'il s'agit de cousins croisés (mais bon, il y aussi d'autres cultures où le mariage entre cousins parallèles est, au contraire, encouragé). C'est assez surprenant pour nous qui n'avons pas l'habitude de faire la différence ; mais même en latin, une langue pas trop éloignée de nous, on distingue l'oncle paternel (patruus) de l'oncle maternel (avunculus), la tante paternelle (amita) de la tante maternelle (matertera), et les différents sortes de cousins (les enfants du patruus, donc les cousins parallèles patrilinéaires, sont les patrueles ; les enfants de l'avunculus, donc les cousins croisés du côté de la mère, sont les consobrini ; les enfants de l'amita, donc les cousins croisés du côté de la mère, sont les amitini ; et les enfants de la matertera, donc les cousins parallèles matrilinéaires, sont les matrueles).

Puis-je définir mathématiquement une notion de degré de consanguinité ? Ce n'est pas évident si on veut que ça marche même si l'arbre généalogique contient des choses vraiment bizarres comme de l'inceste ou des chevauchements de générations (cf. mon exemple antérieur). Voici une tentative pour formaliser quelque chose qui marche absolument dans tous les cas :

On suppose que X et Y sont deux individus à comparer. Chacun est à l'origine d'un arbre binaire (de ses ancêtres) dont les arêtes sont étiquetées par ♂ (père) et ♀ (mère) : si s est une chaîne formée de ces deux symboles, et Z un individu, je note s(Z) l'ancêtre correspondant de Z, défini par le fait que ♂(Z) est le père de Z, ♀(Z) est sa mère, et pour l'ordre de lecture s₁(s₂(Z)) = s₁s₂(Z) (par exemple, ♂♀♀(Z) désigne l'arrière-grand-père qui est le père de la grand-mère maternelle). Je désignerai aussi par ℓ(s) la longueur de s, c'est-à-dire le nombre de générations désignées. La chaîne de longueur vide existe (et renvoie à l'individu lui-même).

Je définis alors la consanguinité absolue entre X et Y comme la moitié de la somme sur tous les couples de chaînes binaires (s,s′) telles que s(X)=s′(Y) de la quantité 2^{−(ℓ(s)+ℓ(s′))}. Remarquer que cette quantité peut très bien être supérieure à 1. Je définis l'autoconsanguinité de Z comme étant la consanguinité absolue entre Z et lui-même : comme la somme ci-dessus comporte au moins les couples (s,s′) avec s=s′, elle vaut au moins 1 ; et si l'arbre généalogique de Z ne comporte pas de surprise (ce qui est forcément faux si on va assez loin, mais on aura souvent envie de faire semblant), alors l'autoconsanguinité vaut 1. Enfin, la consanguinité (normalisée) de X et Y sera le rapport de leur consanguinité absolue sur la moyenne géométrique de leurs deux autoconsanguinités ; et le degré de séparation consanguine entre X et Y sera l'opposé du log base 2 de cette consanguinité normalisée.

Lorsque des informations manquent sur l'arbre généalogique, on fera l'hypothèse qu'il est sans surprise (c'est-à-dire, libre : les seules relations entre les s(Z) sont celles qui sont connues). On pourra vérifier, pour aider à simplifier les calculs, que dès lors qu'on a trouvé un (s,s′) tel que s(X)=s′(Y), alors ½ fois la somme des 2^{−(ℓ(ts)+ℓ(ts′))}=2^{−(ℓ(s)+ℓ(s′)+2ℓ(t))} pour tous les t (de longueur ≥0) possibles vaut justement 2^{−(ℓ(s)+ℓ(s′))} (i.e., le facteur ½ a disparu). Donc, dans les cas simples, pour calculer la consanguinité on peut se contenter de sommer les 2^{−(ℓ(s)+ℓ(s′))} sur les couples (s,s′) « minimaux » tels que s(X)=s′(Y).

Exemples :

• Si X et Y sont frères/sœurs (germains, quoi) et qu'il n'y a pas d'autoconsanguinité, la consanguinité entre eux vaut ½ fois la somme des 4^−ℓ(s) sur tous les s tels que ℓ(s)>0, car seuls existent les termes où s=s′ (c'est l'hypothèse d'absence d'autoconsanguinité) ; comme le nombre de s à valeur de ℓ(s) donnée est 2^ℓ, on trouve ½ fois la somme des 2^−ℓ pour tous les ℓ>0, autrement dit la consanguinité vaut ½, donc le degré de séparation est 1.
• De même : entre un parent et son enfant, la consanguinité vaut ½ (le degré de séparation est 1). Entre un grand-parent et son petit-enfant, la consanguinité vaut ¼ (le degré de séparation vaut 2). Entre oncle et neveu, on a également ¼ donc un degré 2. Entre demi-frères, la consanguinité vaut toujours ¼ (dans la formule de calcul simplifié, on a un unique couple (s,s′) « minimal » tel que s(X)=s′(Y), avec 2^{−(ℓ(s)+ℓ(s′))}=¼). Entre cousins germains, le degré est 3 : ce serait 4 pour des demi-cousins germains, 2 pour des doubles cousins germains, et 4−log₂(3)≅2.42 pour des cousins germains-et-demi. Le grand-cousin et le petit-cousin (first cousins once removed) sont à un degré 4 l'un de l'autre. Des cousins issus de [deux] germains (second cousins) sont à un degré 5. ((Notons que la terminologie française est généralement de les dire aux sixième degré, la différence provient du fait que la terminologie française ignore le fait qu'ils ont deux arrière-grands-parents en commun, alors que mon calcul tient compte de ce fait : des demi-cousins issus de germains sont au degré 6 avec ma définition.))
• Avec un peu d'inceste, les calculs se compliquent. L'enfant d'un frère et d'une sœur a une autoconsanguinité de 5/4 ; deux enfants différents de cette même union incestueuse ont une consanguinité absolue de 3/4, donc normalisée de 3/5, ce qui diminue leur degré de séparation à ∼0.74 ; si ces deux enfants ont eux-mêmes des enfants (avec des individus sans autre parenté), chacun d'entre eux aura une autoconsanguinité de 17/16, et deux tels cousins l'un par rapport à l'autre une consanguinité absolue de 5/32, donc normalisée de 5/34, et leur degré de séparation est donc de ∼2.77. L'enfant de deux cousins germains a une autoconsanguinité de 9/8, deux tels enfants ont l'un par rapport à l'autre une consanguinité de 5/8, donc normalisée de 5/9, ce qui crée entre eux un degré de séparation de ∼0.85.
• Dans l'exemple que j'ai donné plus haut de deux personnes X et Y qui seraient chacun l'oncle de l'autre (mais sans inceste), la consanguinité entre eux vaut ½, c'est-à-dire qu'ils sont à degré 1 (comme le sont deux germains, ou un parent de son enfant, alors qu'ils ne sont rien de tout ça).
• Ajouté (2011-01-16) : Un voyageur dans le temps qui arrive à être son propre père a une autoconsanguinité de 3. S'il est seulement son propre grand-père, il a une autoconsanguinité de 5/3.

Je devrais étudier d'un peu plus près les propriétés mathématiques de ce bazar, mais je clos ma digression.

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La photo ci-dessus a été prise il y a trente-quatre ans. C'est apparemment la durée d'une génération dans ma famille, puisque ma mère n'est pas loin d'avoir l'âge de ma grand-mère sur cette photo (et ma tante a un peu plus), et plusieurs de mes cousin(e)s ont des enfants qui ont à peu près le même âge qu'ils/elles avaient en 1976. Ce qui est étonnant, aussi, c'est de voir à quel point certaines personnes changent et d'autres non. On a retrouvé une vidéo prise du Noël 1983 dans ma famille (les couleurs sont épouvantables mais le son est assez bon) : j'ai été frappé de constater que vingt-sept ans plus tard, une de mes tantes (celle qui n'est pas sur la photo ci-dessus) et deux de mes cousines n'avaient quasiment pas changé (même si, certes, on voit que ces dernières n'ont plus quinze ans).