David Madore's WebLog: Encore une curiosité mathématique

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(mardi)

Encore une curiosité mathématique

Comme je l'ai signalé à bien des reprises, mes goûts mathématiques sont assez portés vers les objets élégants et insolites qui pourraient figurer dans un musée des curiosités du paradis platonique. Parmi mes préférés, vu mon domaine de recherche, figure évidemment le( graphe de)s vingt-sept droites sur la surface cubique : c'est en effet quelque chose d'assez frappant que, même si les surfaces cubiques ne sont pas toutes identiques, toutes (enfin, toutes celles qui sont lisses) ont 27 droites géométriques tracées dessus et que la relation d'incidence sur ces droites (c'est-à-dire lesquelles coupent lesquelles) et toujours la même ; elles définissent donc une structure combinatoire (un graphe à 27 sommets, chacun étant relié à 10 autres) unique et remarquable[#]. Mais j'ai appris qu'il existe un polyèdre (le polyèdre 221 de Schoute) qui code de façon extrêmement élégante la structure de ces 27 droites : il s'agit d'un polyèdre (convexe) à faces carrées, ayant 27 sommets, correspondant aux 27 droites sur la surface cubique, de sorte que deux sommets sont à distance 1 si les droites correspondantes ne se coupent pas, et √2 si elles se coupent, et que les 45 triangles équilatéraux de côté √2 définis par trois droites deux à deux sécantes ont tous le même centre ; je ne peux malheureusement pas le tracer puisqu'il vit dans un espace euclidien de dimension 6. Il est toutefois très facile de donner les coordonnées de ses sommets : en représentant des points de l'espace euclidien de dimension 6 comme des triplets de nombres complexes, ce sont les (0,ωa,−ωb), les (−ωb,0,ωa) et les (ωa,−ωb,0), où a et b varient entre 1 et 3 et où ω est une racine cubique primitive de l'unité.

[#] Rien que son groupe d'automorphismes, le groupe de Weyl d'un système de racines de type E6, à 51840 éléments, est un objet remarquable en lui-même, et qui apparaît à des endroits inattendus des mathématiques.

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