David Madore's WebLog: Field Arithmetic

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(mardi)

Field Arithmetic

J'ai encore fait une folie en achetant (à plus de 150€ — argh !) le volumineux Field Arithmetic[#] de Michael Fried et Moshe Jarden (2e édition). Une folie, certes, mais un rapide coup d'œil à la table des matières a suffi à me convaincre que je devais acheter ce livre, et après avoir examiné un peu plus longuement le contenu je suis conforté dans cette conclusion : je ne vais pas le regretter.

Quand j'étais petit, je pensais naïvement que la structure mathématique de corps était une structure si rigide qu'il n'y avait pas grand-chose à dire (ou que la théorie de Galois nous disait à peu près tout ce qu'il y avait à savoir, puisque les corps sont construits à partir des rationnels ou des corps finis en prenant des extensions algébriques — qui sont bien comprises — et des extensions transcendantes « sur lesquelles il ne doit pas y avoir grand-chose à dire »). Ha ! S'il y avait besoin de montrer que ce raisonnement était idiot, le fait que ce livre fasse plus de 700 pages, et densément peuplées, est significatif.

Ce qui est fascinant, c'est comme le sujet — l'arithmétique des corps — dresse un pont entre l'arithmétique, la géométrie algébrique, la théorie des groupes, et la logique (la théorie des modèles), en passant évidemment par la question centrale du problème de Galois inverse (j'en ai dit un mot récemment). Il y a là ce qui suscite mon intérêt mathématique le plus profond : et ce n'est pas une coïncidence ; d'ailleurs, un résultat récent de Kollár, dont j'ai déjà parlé ici (et que j'exposerai à la séance de juin du séminaire Variétés rationnelles), s'inscrit complètement dans ce cadre. Beaucoup des résultats énoncés dans ce livre me sont déjà familiers, bien sûr, mais parfois seulement comme « folklore », et ce qui est certainement remarquable c'est de les trouver aussi commodément rassemblés dans un seul tome.

(Il faut dire que j'ai un faible pour les livres d'exposition mathématique qui se veulent aussi complets et encyclopédiques que possible : qui tentent de faire le tour d'un sujet donné, et dont on apprend vite à savoir, quand on cherche un résultat sur ce sujet, qu'on l'y trouvera. Celui-ci a l'air de correspondre assez bien à cette idée.)

[#] Field Arithmetic ne signifiant pas — comme un ami me l'a suggéré en plaisantant — arithmétique de terrain. 😉

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