Ceci n'est pas censé être un blog mathématique, mais je veux quand même prendre la peine de signaler ce résultat récent (annoncé il y a un mois) de János Kollár : tout corps pseudo-algébriquement clos de caractéristique zéro est C1 (et même C′1).
On dit qu'un corps K est pseudo-algébriquement clos lorsque, pour tout polynôme f à deux varibles sur K qui est irréductible sur la clôture algébrique de K, il existe une infinité de (x,y)∈K² pour lesquels f(x,y)=0. (En termes plus sophistiqués : toute variété algébrique géométriquement intègre sur K a un K-point ; et il suffit, comme je viens de le faire, de le postuler pour une courbe.)
Par ailleurs, un corps K est dit
C1 lorsque tout polynôme f homogène
de degré n en >n variables possède un zéro
non trivial (non trivial
signifiant autre que
(0,…,0)
). (Quant à la condition C′1, elle
énonce le même fait pour une famille de polynômes homogènes dont la
somme des degrés est n. On conjecture que c'est
équivalent, mais on ne sait pas le prouver.)
Ce résultat était conjecturé depuis longtemps (moralement, si j'ose dire, la propriété C1 est beaucoup plus faible que celle d'être pseudo-algébriquement clos). Néanmoins, arriver le démontrer, surtout de façon aussi courte, est un tour de force de Kollár, qui fait beaucoup avancer notre compréhension de ces propriétés importantes, à la définition simple, mais sur lesquelles on sait encore, somme toute, très peu (et le fait qu'on ne sache toujours pas prouver C1⇔C′1 est assez symptomatique).
Le principe est extrêmement joli : Kollár démontre que sur un corps K de caractéristique zéro si X dans Pn est une hypersurface de degré ≤n, ou plus généralement une intersection (schématique) d'hypersurfaces de somme des degrés ≤n, alors X contient une sous-variété Y définie sur K et qui est géométriquement irréductible. Cela se fait en écrivant (trivialement) X comme fibre d'un morphisme dont la fibre générale est une variété de Fano lisse et en étudiant (c'est là tout le travail) la dégénérescence des variétés de Fano. Je n'ai pas encore regardé les détails de la démonstration, mais c'est assez court et ça a l'air plutôt simple (et bien rédigé).