Je croule sous les choses à faire, et en plus j'ai justement besoin de dormir, donc ce billet sera forcément un peu bref, mais c'est peut-être une bonne chose.
J'ai fait une longue insomnie il y a quelques nuits, au cours de
laquelle je me suis mis à penser à des questions de
maths[#], ce qui n'est
généralement pas un bon signe pour le fait de se rendormir, et j'ai
repensé à ce billet où je parlais
de pensées somnifuges
(qui éloignent le sommeil)
et somnipètes
(qui le procurent), et je classifiais à cette
occasion les maths comme particulièrement somnifuges. Je pense
toujours que c'est effectivement vrai, mais je me dis qu'il y aussi
une causalité dans l'autre sens.
[#] Si vous voulez savoir à quel sujet : j'ai trouvé la preuve des propositions que j'expose dans cette question MathOverflow à 5h30 du matin (et ça m'obsédait depuis quelques jours).
Et je veux dire par là quelque chose d'un peu différent de quand
je suis fatigué, je n'arrive pas à penser à des maths
. En fait,
j'arrive assez bien à penser à des maths même quand je suis fatigué
mais debout : c'est plus laborieux et ça marche moins bien (le
problème est surtout que je perds sans arrêt le fil de mes pensées),
mais il n'y a pas d'obstacle fondamental à y penser.
Alors que je me suis rendu compte que quand je suis dans un certain mode d'endormissement (en gros quand je viens de me coucher et que je vais m'endormir prochainement sans trop de mal), c'est plus que ça : je ne peux pas penser aux maths. Ça ne marche tout simplement pas. J'ai l'impression qu'il y a un bout de mon cerveau qui s'est déjà déconnecté. (Si je fais un gros effort, ou si je me lève, je peux le réveiller, mais ça compromet alors ma capacité à m'endormir.) Et ce n'est pas comme si j'étais incapable de penser tout court : je peux me raconter des histoires, ça ça marche très bien ; je suis même aussi capable, dans cette phase d'endormissement, ou plutôt, de pré-endormissement, de visualiser des images avec beaucoup plus de facilité que quand je suis debout et bien éveillé (où j'ai une légère tendance à l'aphantasie).
Quand je dis que je ne peux pas penser à des maths, je veux dire
que c'est la partie formelle des maths qui me devient assez
inaccessible, pas vraiment l'intuition derrière les concepts
mathématiques : si on me dit le compactifié de Stone-Čech de ℕ
,
j'ai une sorte d'image mentale intuitive associée
(compliquée[#2], d'ailleurs),
et cette image sera toujours présente, donc ce n'est pas comme si je
perdais toute notion des concepts mathématiques, mais si j'essaie de
me demander, par exemple, si ℕ est ouvert dedans, c'est quelque chose
que je sais très bien faire quand je suis debout, mais qui me devient
complètement impénétrable dans cette phase de pré-endormissement.
[#2] Je prends cet exemple parce que c'est justement un objet dont il est très compliqué de donner une représentation intuitive sous forme graphique (j'avais fait une tentative merdique il y a longtemps), mais dont j'ai quand même une certaine image mentale intuitive, difficile à communiquer, mais qui ne se limite pas à une définition formelle (je renvoie à ce passage de ce billet pour une discussion générale). Et qui est susceptible d'apparaître dans un rêve (bon, je ne sais plus si j'ai rêvé de βℕ, mais je suis sûr d'avoir rêvé de ω₁ et ω₂, par exemple).
Et c'est exactement ce qui se passe dans les rêves, aussi : je fais parfois des rêves impliquant des concepts mathématiques, de manière pas complètement absurde, parfois même avec des idées pas idiotes, mais comme si la rigueur mathématique avait complètement disparu et que les maths étaient plutôt une sorte d'activité artistique pure.
Et c'est aussi à rapprocher du fait que, et là pour le coup j'imagine qu'il n'y a pas besoin d'être mathématicien pour s'en rendre compte, le calcul mental dans les rêves ne marche pas du tout. Pour moi, en tout cas, si des nombres apparaissent dans un rêve, ce sont généralement des nombres auxquels j'ai pensé récemment à l'état d'éveil, et si je tente de faire une opération en rêve, le résultat sera complètement fantaisiste, probablement un autre nombre tiré au pif de ma mémoire récente. Ou alors je vais me rendre compte dans le rêve lui-même que je n'arrive pas à faire le calcul.
Spontanément j'aurais dit que les nombres (au sens du calcul mental) et les mathématiques (au sens du raisonnement formel et rigoureux) n'ont que peu de rapport, mais en fait c'est sans doute mon orgueil de mathématicien pas très doué pour le calcul mental qui veut croire ça, et les neurosciences ne sont pas forcément d'accord.
D'ailleurs, si j'en crois cette vidéo (version texte ici — dont je dois cependant préciser que je n'ai pas vérifié les sources et je ne sais pas bien le niveau de sérieux), il y a bien des régions du cerveau spécifiquement impliquées dans le raisonnement mathématique, et ces régions servent effectivement au calcul mental même chez les non-mathématiciens, mais aussi au raisonnement mathématique complexe chez les mathématiciens. Peut-être que ces régions s'endorment (ou en tout cas deviennent moins actives, ou différemment actives) avant les autres. Tandis que les régions impliquées dans l'intuition mathématique, elles, sont tout à fait différentes et restent actives pendant certaines phases du sommeil (dont les rêves).
En tout cas, la conclusion que j'en tire provisoirement est que ce n'est pas tant, ou en tout cas pas seulement, le fait de penser à des maths qui m'empêche de m'endormir, mais aussi que le fait d'arriver à penser à des maths est le signe que je ne suis pas dans une phase qui va me permettre de m'endormir.