David Madore's WebLog: Réflexions décousues sur la vulgarisation mathématique

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(dimanche)

Réflexions décousues sur la vulgarisation mathématique

Bon, il faut peut-être que j'arrête d'intituler mes entrées quelques réflexions sur… ou réflexions décousues sur…, parce qu'à peu près tout ce que j'écris finit par rentrer dans cette forme. Mais j'aime bien me retrancher derrière cette sorte d'excuse quand je ne sais pas très bien à l'avance ce que je vais raconter et/ou que je n'ai pas envie d'essayer d'élaborer un plan. [Ajout : J'ai essayé de faire un plan a posteriori en insérant des intertitres à certains points dans cette entrée, peut-être que ça aide à la lire.]

☞ Vulgarisation à différents niveaux

La vulgarisation mathématique (et occasionnellement, physique) occupe une grande place dans ce blog. Enfin, déjà, il faut se demander ce que le terme vulgarisation recouvre au juste, vu que je parle rarement en faisant l'effort d'être compréhensible par un public complètement non-initié (i.e., Madame Michu — parce que ma maman en a marre d'être prise en exemple de la-personne-qui-ne-connaît-rien-aux-maths), mais je pense qu'il y a justement une place intéressante, et trop peu exploitée, pour toute forme de communication qui s'adresse à un public plus large que les spécialistes mais néanmoins plus étroit que le vulgum pecus, par exemple un scientifique d'un autre domaine, ou un enseignant du secondaire. (Le monde scientifique est tellement cloisonné[#] que les initiatives par lesquelles les biologistes et les informaticiens se tiendraient mutuellement au courant de leurs recherches, hors d'un cadre d'applications directes, sont extrêmement rares, et c'est même le cas entre algébristes et analystes ; et il en va semblablement entre enseignants-chercheurs dans le supérieur et enseignants du secondaire. Tout cela est vraiment triste.) Convenons d'appeler encore ça de la vulgarisation. Je ne sais pas si c'est exactement ça que j'essaie de faire, le niveau auquel je place mon exposition de tel ou tel concept mathématique dépend plus de mon inspiration du moment et de la difficulté du concept lui-même que de l'intention de viser tel ou tel public que je cerne, de toute façon, assez mal. Mais il est certain que j'écris des explications à ces niveaux assez variés[#2], et j'ose espérer qu'au moins une partie de ce que j'ai pu écrire au chapitre vulgarisation mathématique a été compréhensible par le très grand public et qu'au moins une partie a pu être intéressante pour d'autres matheux (et peut-être même que ces parties ont une intersection non-triviale, ce qui serait formidable). Bref.

[#] J'ai déjà plusieurs fois cité Giancarlo Rota à ce sujet : A leader in the theory of pseudo-parabolic partial differential equations in quasi-convex domains will not stoop to being understood by specialists in quasi-parabolic partial differential equations in pseudo-convex domains.

[#2] Enfin, j'ai toujours considéré ça comme évident, mais au moins une personne lisant mon blog (et que je ne dénoncerai pas) ne s'en était pas aperçu. Dès qu'il est question de maths, je ne comprends plus rien… — D'accord, mais est-ce que tu avais bien compris que parfois quand je parle de maths ce n'est pas censé être compréhensible par le grand public et parfois si ? — Hum… Là on peut vraiment considérer que c'est un échec.

☞ Mon intérêt pour la vulgarisation

Bref, je fais souvent de la vulgarisation mathématique, mais je n'ai jamais vraiment parlé de vulgarisation mathématique : pourquoi ça m'intéresse, pourquoi j'en lis, pourquoi j'en fais, etc.

Je suis tombé dans la marmite de la vulgarisation scientifique quand j'étais petit (avouons que mon papa m'a un peu poussé dans la marmite en question), par exemple à travers le livre Cosmos de Carl Sagan (tiré de la série du même nom), ou de One, Two, Three… Infinity de George Gamow (ça fait plus de trente ans que je ne l'ai pas lu, celui-là, je devrais sans doute y jeter à nouveau un œil pour voir ce qu'il contenait), ou encore The Emperor's New Mind de Penrose ainsi que (plus tard) Gödel, Escher, Bach de Hofstadter auquel le livre de Penrose est plus ou moins une réponse, ou enfin Les Trous noirs de Jean-Pierre Luminet.

Et je continue à apprécier la vulgarisation scientifique (en tout cas quand elle est bonne) à différents niveaux. Même quand je n'apprends rien sur le fond, ce qui est rarement le cas ne serait-ce que parce que les vulgarisateurs racontent de l'histoire des sciences en même temps que la science elle-même, j'apprends quelque chose de très important, qui est comment communiquer, justement, avec le grand public, ce qui est loin d'être évident, et d'autant moins évident qu'on parle d'un sujet abstrait comme la physique théorique ou les mathématiques. Une des difficultés de l'exercice est de trouver des analogies ou des images qui respectent le double impératif largement contradictoire d'être parlantes (c'est-à-dire compréhensibles mais aussi éclairantes) et correctes (c'est-à-dire qui évitent de simplifier tellement les choses que ça devient une bouillie de mots qui ne veulent plus rien dire) : c'est quelque chose de véritablement difficile, et j'essaie de retenir les bonnes analogies que je trouve pour pouvoir les resservir éventuellement. Et même quand il s'agit de quelque chose que je connais très bien, il y a toujours quelque chose à apprendre sur comment bien le résumer, comment souligner ce qui est le plus important, quoi mettre en lumière et quoi passer sous silence, etc. À titre d'exemple, le cosmologiste Sean Carroll est, à mon avis, un vulgarisateur extraordinaire, et cette petite série de cinq épisodes de trois ou quatre minutes chacun sur la direction du temps (s'adressant à des gens qui, quand même, ont une certaine culture scientifique générale) est un modèle à suivre de comment expliquer les choses clairement bien que rapidement (ou cet exposé, plus long et sans doute plus élémentaire, sur le même sujet).

Inversement, quand on écrit de la vulgarisation, on apprend toujours quelque chose sur ce sur quoi on écrit. Même quand on pense exposer quelque chose qu'on connaît parfaitement, et quel que soit le niveau auquel on se place, il y aura toujours quelque chose à apprendre, ou au moins à mieux comprendre, dans le processus d'explication. C'est une des raisons qui me pousse à me prêter à l'exercice (et plus généralement, à aimer enseigner), et je pense que cela devrait faire partie de n'importe quel travail de recherche.

☞ Pourquoi j'aime parler de trucs « vieux »

Il y a quand même une chose qui m'agace dans la vulgarisation, en tout cas comme certains la pratiquent, c'est la tendance à surreprésenter les progrès récents (dans le domaine scientifique considéré), voire, la recherche personnelle du vulgarisateur. Je comprends évidemment les raisons qui poussent à ça : il est gratifiant de parler de ce qu'on fait soi-même, et on a envie de montrer au grand public qu'on fait avancer la science, et ce qui se passe « sur le front ». Et inversement, le grand public a sans doute plus envie qu'on lui parle de la physique toute récente que de celle de Newton. L'ennui, c'est que pour bien faire comprendre la physique toute récente, il faut sans doute commencer par bien faire comprendre celle de Newton (puis celle de Maxwell, puis celle d'Einstein et celle de Schrödinger et Heisenberg… enfin, vous voyez l'idée). Forcément, dans le cadre de la vulgarisation, on va sauter des étapes, commettre des approximations, passer des choses sous silence, et peut-être ne faire qu'évoquer Newton pour dire directement des choses sur le boson de Higgs ou les ondes gravitationnelles ou la théorie des cordes ou que sais-je encore. C'est bien, et c'est normal. Mais il est quand même utile qu'il y ait aussi des gens qui vulgarisent Newton, et ce n'est pas forcément si évident que ça, et c'est vraiment utile parce que Newton est quand même bigrement pertinent dans la vie de tous les jours (certainement plus que les ondes gravitationnelles), et d'ailleurs ce serait sacrément utile dans le débat politique si le grand public connaissait un peu mieux la physique, disons, de Boltzmann (par exemple ce que j'en racontais ici). Mais je m'écarte un peu de la question de la vulgarisation pour m'aventurer dans celle de la culture générale scientifique (question sur laquelle j'aurais beaucoup à dire, mais je vais essayer de garder ça pour une autre fois).

Je ne suis pas spécialement tenté, moi, de vulgariser ma propre recherche[#3] (même en mettant de côté le fait que ma propre recherche papillonne dans tous les sens plutôt qu'elle ne progresse dans une direction bien définie). J'en ai déjà déçu plus d'un, comme ça, qui m'invitait à parler devant telle ou telle assistance (par exemple ici) et qui espérait plus ou moins que je parlerais de quelque chose d'un peu actuel : non, j'ai plutôt envie de parler d'objets ou de théories mathématiques qui sont bien connues depuis des dizaines et des dizaines d'années. Ne serait-ce que parce que plus c'est vieux, mieux c'est compris, et mieux on sait, entre autres, quelle est la bonne façon de voir et de présenter les choses. J'aime comparer les maths à un palais magnifique et incompréhensiblement gigantesque, à la structure à la fois labyrinthique et extraordinairement belle, — palais qu'on visite en étant totalement aveugle, si bien qu'on ne peut que tâtonner pour comprendre comment les salles sont agencées et quels bibelots précieux elles contiennent : si je dois emmener un groupe de touristes faire un tout petit tour du palais, je vais plutôt les emmener visiter les salles bien cartographiées que celles qu'on ne sait atteindre que par un chemin compliqué et qui sont peut-être encore en train d'être déterrées par les archéologues (hum, mes métaphores sont un peu mélangées, mais vous voyez l'idée).

[#3] Plus généralement, d'ailleurs, je constate empiriquement que les exposés scientifiques sont d'autant plus intéressants et agréables à écouter (à mon avis personnel à moi que j'ai) que l'orateur ne parle pas de ses propres travaux (c'est la règle au séminaire Bourbaki, mais j'aimerais que plus de séminaires adoptassent le même principe).

☞ Comment communiquer la beauté des mathématiques ?

C'est indiscutablement la beauté des mathématiques, et plus précisément la beauté de certains objets mathématiques, qui me motive à la fois pour faire des maths et pour communiquer autour des maths. La physique m'intéresse mais les maths font bien plus, elles m'émerveillent. J'ai déjà parlé ici et de deux de mes fascinations mathématiques les plus profondes (la symétrie et la « grandeur »), j'ai déjà plein de fois fait références à ces entrées, donc je ne vais pas revenir dessus. Mais étant moi-même envoûté par l'élégance de telle ou telle structure mathématique, j'ai envie de partager cette fascination, pas seulement à mes collègues mais aussi au grand public.

Et la frustration, quand on essaie de communiquer la beauté d'un objet mathématique, est à peu près celle qu'un musicien sourd aurait à essayer d'expliquer à un autre sourd (mais non musicien) la beauté d'une symphonie de Beethoven (compositeur lui-même sourd), qu'il aurait appris à « comprendre » en lisant la partition, mais que personne ne l'aurait jamais entendue jouée. Mes métaphores sont décidément pourries, mais vous voyez l'idée. Mes métaphores sont notamment pourries parce que je suis fermement dans le camp « platonicien » s'agissant des structures mathématique (au moins celles qui sont finitaires), c'est-à-dire convaincu que ces structures préexistent à leur découverte, existent indépendamment du monde matériel ou des lois de la physique (ou de la neurologie du cerveau du mathématicien), et notamment que leur beauté est telle qu'aucun humain n'aurait jamais pu la créer. (Je sais que tout cela peut sembler un tantinet religieux — et je vais revenir là-dessus au sujet d'un chauffeur de taxi. De nouveau, je m'écarte un peu de la question de la vulgarisation, cette fois vers celle de la philosophie des mathématiques, et de nouveau j'aurais beaucoup à dire mais je vais efforcer de garder ça pour une autre fois.) Bref, une meilleure comparaison serait peut-être d'essayer de décrire la beauté de la planète Jupiter dans un monde où tout le monde est aveugle.

Alors on peut faire quelques images. Je fais des choses comme ça sur YouTube et vous en avez vu passer d'autres sur ce blog (comme récemment ici) ou sur des pages web spécifiques (genre ici ou ). Ces images peuvent peut-être aider à commencer de convaincre qu'il y a une forme de beauté dans les mathématiques, mais pour l'essentiel, il ne s'agit que de pâles reflets des objets représentés. L'ensemble de Mandelbrot, on aura peut-être une toute petite idée de sa richesse en jouant à zoomer dessus de façon interactive, en prenant vraiment le temps d'explorer ses recoins, certainement pas en regardant une seule vidéo de zoom. S'agissant de E₈, cette vidéo est jolie et a eu un certain succès (49k vues, quand même !), mais on est littéralement dans la situation de l'allégorie de la caverne de Platon, on regarde la projection en deux dimensions d'un objet plus riche, sauf que cet objet est de dimension 8 (et encore, l'objet de dimension 8, ce n'est que le système de racines de E₈, qui n'est qu'une sorte d'empreinte à partir de laquelle le vrai E₈, le groupe algébrique, est fabriqué, et lui il est de dimension 248). S'agissant des ordinaux, je peux bien représenter ε₀ par des petits bâtons, mais on n'y voit franchement pas grand-chose, et ça ne donne aucune idée de comment « fonctionne » cet ordinal, sans parler d'ordinaux beaucoup plus grands. Pour ce qui est du groupe de Mathieu sur 24 objets, vous pouvez jouer à ce petit puzzle tant que vous voudrez (cf. ici pour les explications), je doute que ça permette de visualiser vraiment le groupe. Quant à ceci, c'est une représentation à peu près fidèle du graphe de Higman-Sims (si tant est qu'on arrive à distinguer les sommets, mais bon, j'ai mis sur Wikipédia les vues les plus importantes), mais ça ne montre pas vraiment ce qui le rend remarquable, on ne peut certainement pas voir le groupe de Higman-Sims là-dedans, et je ne vous parle pas du réseau de Leech dont il s'agit d'un bout vraiment minuscule. (S'il y a un objet mathématique que je donnerais mon âme pour pouvoir « voir » directement, c'est probablement le réseau de Leech. Ce truc est… C'est juste… Comment dire… Aaaah, mais pourquoi 24 ?) Et encore, le réseau de Leech, on peut au moins vaguement imaginer faire quelque chose pour des petits bouts (comme E₈ ou le graphe de Higman-Sims, justement), mais s'agissant de quelque chose comme le groupe monstre (voyez ici pour une tentative de vulgarisation par Numberphile de ce dont il s'agit), c'est peine perdue ; c'est cependant intéressant que Conway, dans la vidéo de Numberphile, compare les groupes simples en général, et le monstre en particulier, à une décoration de Noël et ensuite à une gemme, et semble aussi contrarié que moi de ne pas pouvoir le « voir ». (Il est aussi intéressant qu'il se plaigne de ne pas comprendre pourquoi le monstre existe, mais ça aussi c'est un problème philosophique dont je voudrais parler une autre fois.) Et je ne dis rien des objets fondamentalement infinis dont les mathématiques regorgent. Comment diable pourrait-on représenter βℕ, la Longue Droite ou un cardinal inaccessible ? Tout ça est, je répète, extrêmement frustrant.

Un des buts de la vulgarisation, comme je la comprends, est donc d'essayer de faire comprendre, même en l'absence d'images — ou en présence d'images qui ne sont que des ombres sur le mur de la caverne —, que les mathématiques en général, et certains objets mathématiques en particulier, sont beaux. Et je cherche encore à explorer les manières d'y arriver. Parfois on peut décrire l'objet assez précisément, mais ce n'est pas forcément la bonne façon de communiquer sa beauté (le réseau E₈ peut se décrire comme l'ensemble des octuplets de nombres, qui sont soit tous entiers soit tous entiers-et-demi, et dont la somme est paire, ce n'est vraiment pas compliqué à dire ni à comprendre ; le réseau de Leech a une description un chouïa plus compliquée, mais qu'on peut quand même rendre très terre-à-terre, avec 24 nombres : mais dans un cas comme dans l'autre, ça ne vous donne aucune idée de pourquoi c'est intéressant ou beau, ni pourquoi 8 et 24 sont si remarquables). Une autre approche possible est d'énumérer quelques propriétés remarquables[#4] (par exemple, je peux dire que si vous prenez des boules toutes de même taille en dimension 8 et que vous cherchez à en placer le plus grand nombre possible en contact d'une centrale, sans qu'elles se chevauchent, vous arriverez à en mettre 240 et pas plus, et la manière dont vous aurez placé 240 boules autour d'une centrale sera rigide et les centres formeront le système de racines de E₈ ; et en dimension 24, vous arriverez à en placer 196560 et la configuration sera à symétrie près celle des vecteurs de plus petite norme dans le réseau de Leech ; et je crois qu'il n'y a qu'en dimensions 1, 2, 8 et 24 qu'il y a une telle unicité, en tout cas, elle n'a pas lieu en d'autres dimensions ≤24). Encore une autre approche consiste à décrire les connexions entre différents objets mathématiques, même si on ne les décrit pas précisément (par exemple, si on raconte un peu l'histoire de la classification des groupes simples finis, qui est en quelque sorte l'histoire de la classification de toutes les sortes de symétries finies possibles, on va évoquer les groupes sporadiques, on peut expliquer qu'au sein même de ceux-ci, à part quelques « parias », forment une « famille heureuse » qui compte trois générations, les groupes de Mathieu qui sont essentiellement des symétries sur un ensemble de (12 ou) 24 objets, les groupes qu'on peut voir comme des symétries du réseau de Leech en 24 dimensions, et la troisième génération, dont le monstre, symétries d'un « module de Moonshine », mais ce n'est peut-être pas la bonne façon de voir les choses).

[#4] Reste à savoir dans quelle mesure beau, remarquable et exceptionnel sont synonymes en mathématiques (sans doute pas complètement, c'est sûr). J'avais essayé dans cette entrée de décrire précisément un objet remarquable pas trop compliqué (l'automorphisme exceptionnel du groupe symétrique sur six objets) et d'énoncer — sans démonstration — le fait, qui le rend remarquable, que ça n'est possible que pour six objets et pas un autre nombre (et aussi ses liens avec d'autres objets exceptionnels). Est-ce que ce fait est beau ? J'ai tendance à le trouver.

☞ L'« interaction » avec les objets mathématiques

J'ai tendance à penser que le mieux est que la vulgarisation s'accompagne d'une possibilité d'« interagir » avec l'objet (c'est-à-dire l'explorer de façon interactive, naviguer dedans, jouer avec, quelque chose comme ça). L'informatique ouvre un certain nombre de possibilités dans ce sens. C'est la raison pour laquelle j'ai essayé de faire des pages Web interactives comme mon labyrinthe hyperbolique pour visualiser le (ou plus exactement, un quotient fini du) plan hyperbolique, et — je les ai déjà mentionnés ci-dessus — ce puzzle basé sur le groupe de Mathieu sur 24 objets pour essayer de comprendre ce dernier ainsi que ce navigateur d'ordinaux qui permet de zoomer sur telle ou telle partie de l'ordinal ; et en-dehors des pages Web en JavaScript, j'ai aussi fait (et je suis le zillionième à avoir fait) un programme pour calculer l'ensemble de Mandelbrot qui permet de zoomer de façon interactive. Inspiré de jeux commerciaux tels que Set et Dobble, j'ai aussi fait imprimer des jeux de cartes (voir ici et pour des exemples, j'en ai encore un basé sur la combinatoire des 27 droites sur une surface cubique) autour de structures combinatoires finies, mais le jeu à faire avec ces cartes reste à trouver. Je reviendrai plus bas sur l'idée d'un musée des mathématiques. Mais ce qui est sûr, c'est que cette idée d'interactivité, si elle demande plus d'efforts (de programmation) à déployer, multiplie les possibilités de « représenter » un objet mathématique et de le faire comprendre, ou au moins d'en faire comprendre quelques facettes, par le grand public. Je pense qu'il y a vraiment un terrain de recherche, je veux dire de recherche en vulgarisation, à mener pour trouver toutes sortes de façons de rendre « interactifs » toutes sortes d'objets mathématiques, et qui n'a été que très peu exploré. (Je considère comme un problème ouvert, par exemple, la question de savoir si on peut trouver un puzzle dont le groupe des transformations soit le groupe de Mathieu sur 24 objets, et qui soit réellement jouable et intéressant — ce que ne sont pas mes différentes tentatives dans ce sens. Et je précise que j'ai beaucoup joué avec Gap pour trouver des systèmes de générateurs qui tentent de résoudre ce « problème ouvert ».)

Une autre possibilité d'interaction, d'ailleurs, serait d'utiliser les maths pour faire des tours de magie (de cartes, par exemple) ou des choses de ce genre. On peut dire que la stratégie gagnante du jeu de nim est une forme d'interaction avec les mathématiques, il y en aurait d'autres à chercher dans le domaine de la théorie des jeux (combinatoire ou classique). Ou dans le domaine des codes correcteur (du genre choisissez un nombre entre 0 et 4000 [en fait, 4095], je vais maintenant vous poser 24 questions auxquelles vous répondrez par oui ou non pour essayer de deviner ce nombre, mais pour me compliquer la tâche vous aurez le droit de mentir à jusqu'à trois questions et je devrai quand même retrouver votre nombre (ou même, vous pouvez mentir quatre fois, mais dans ce cas ma seule obligation est de détecter le fait que vous aurez menti quatre fois) ; l'astuce est d'utiliser un bon code correcteur ; les questions prendront toutes la forme de votre nombre est-il dans la liste des 2048 suivants ?, ce qui n'est pas très drôle, mais on peut facilement mettre ça dans un ordinateur).

Après, pour revenir à la question de la beauté, je ne sais pas si l'interactivité permet vraiment de faire passer ce concept : cela permet de mieux faire comprendre l'objet, sans doute, et certainement de mieux faire comprendre qu'il y a un objet à faire comprendre (si je gagne systématiquement au jeu de nim, cela démontre — au sens usuel et pas mathématique — que j'ai bien une forme de stratégie qui me permet d'y arriver), mais la beauté, je ne sais pas vraiment.

☞ Vulgarisation des objets, ou vulgarisation des histoires

Ma conception de la vulgarisation, qui se concentre sur les objets mathématiques, n'est pas forcément bien partagée, même par ceux qui essaient d'en faire. Il y a d'autres approches que d'essayer de décrire / présenter / visualiser / rendre interactifs des objets mathématiques : on peut vulgariser en racontant l'histoire des mathématiques ou en racontant des histoires des mathématiques (vu de haut, par exemple, quelles sont les principales branches des mathématiques et comment elles interagissent et interagissent avec d'autres sciences ou disciplines ; ou l'histoire de telle ou telle aventure mathématique, comme la classification des groupes simples finis[#5]). J'aime à croire qu'il faut mélanger les approches, mais que la présentation d'objets mathématiques précis est importante et qu'il ne faut pas trop céder à la facilité de « raconter des histoires ».

[#5] Dans le genre de la vidéo de Numberphile que j'ai déjà liée ci-dessus, ou, en plus sérieux, du livre Symmetry and the Monster de Mark Ronan, que je recommande (malgré sa façon un peu agaçante d'utiliser le terme atom of symmetry pour désigner les groupes simples finis parce qu'il pense que ce sera plus parlant pour le grand public — je comprends l'idée, la comparaison est bonne, mais utiliser ce terme dout du long est tout de même un peu abusif).

☞ Que pense l'homme de la rue des mathématiques ?

En un certain sens, il me semble que les maths sont très en retard sur d'autres sciences dans le domaine de la vulgarisation, et peut-être même simplement au niveau de la culture générale : les termes d'ADN ou de trou noir sont devenus familiers au grand public, je ne suis pas certain qu'on puisse trouver un concept mathématique de découverte à peu près aussi récente et qui soit à peu près aussi connu. La notion même de cryptographie (et ne serait-ce que le terme cryptographie), alors qu'elle a un impact concret dans la vie quotidienne de n'importe qui va sur Internet, n'a franchement pas l'air connu du grand public comme je m'en suis aperçu en en parlant à des gens comme mon coiffeur.

Il faut dire que l'exposition principale qu'a le grand public avec les mathématiques, c'est-à-dire ce qu'on lui en a enseigné à l'école, est incroyablement rébarbative. Donc j'imagine que beaucoup de gens pensent que les mathématiciens passent leur temps à faire de gros calculs : soit avec des nombres soit, pour ceux qui sont allés un peu plus loin dans l'enseignement secondaire, avec des formules symboliques (c'est un petit peu moins faux, et il y a assurément des mathématiciens qui manipulent des formules compliquées, peut-être même des nombres, mais c'est tout de même extraordinairement réducteur). La notion de raisonnement déductif étant, je crois, devenue presque obscène dans les programmes scolaires français jusqu'au bac, l'activité principale du mathématicien, la démonstration, devient complètement étrangère[#6] à ceux qui ont suivi cet enseignement. (Bon, là aussi, je me mets à digresser, et j'aurais sans doute beaucoup à dire sur le sujet de l'enseignement scolaire, mais pour ça je veux d'abord trouver le temps de lire le rapport Villani-Torossian.) Et en tout cas, sauf travail intensif de vulgarisation, je ne vois pas ce qui pourrait, a priori, donner la moindre idée au grand public que les mathématiques (ou des objets mathématiques particuliers) puissent être belles. Utile, il doit en avoir quelque idée, mais là aussi je veux m'interdire de trop digresser sur la question de comment on doit essayer de justifier, auprès du grand public et dans le débat politique, la science pure (non appliquée) et son financement.

[#6] J'ai essayé dans cette entrée de faire de la vulgarisation consistant à donner une démonstration complète, à un niveau complètement élémentaire, d'un énoncé mathématique non-trivial (et vaguement récent). Et à travers certaines des questions qu'on m'a posées dans les commentaires, j'ai pu me rendre compte qu'il y a beaucoup d'éléments du raisonnement mathématique (que ce soit des techniques de démonstration ou simplement des conventions sur la manière dont on les écrit en français) qui sont problématiques à expliquer.

Peut-être que je me trompe. Un jour il y a longtemps, j'ai pris un taxi pour une course assez longue, le chauffeur s'est mis à bavarder avec moi, il m'a demandé ce que je faisais, j'ai dit que j'étais mathématicien, je m'attendais à une des réactions habituelles comme oh j'ai toujours été nul en maths (ou au contraire j'étais plutôt bon en maths mais j'ai arrêté), mais il m'a dit quelque chose qui m'a beaucoup surpris, c'est qu'il était persuadé que faire des mathématiques était comme lire l'esprit de Dieu. (Il était musulman : peut-être cela joue que l'islam enseigne que la divinité est parfaite et ne peut être représentée que de façon symbolique — il y a plus d'un mathématicien « platonicien » qui pense ce genre de choses de l'univers mathématique ou de tel ou tel de ses habitants.) J'aurais dû lui demander ce qui lui avait donné une telle perspicacité, en tout cas je trouve que c'est une façon vraiment intéressante de penser les choses.

Comme prévu, je pars un peu dans tous les sens et tout ceci est assez décousu. Mais pour revenir à l'intérêt et à l'importance de la vulgarisation, il faut sans doute que je cite Hilbert :

Ein alter französischer Mathematiker hat gesagt: Eine mathematische Theorie ist nicht eher als vollkommen anzusehen, als bis du sie so klar gemacht hast, daß du sie dem ersten Manne erklären könntest, den du auf der Straße triffst.

(Un vieux mathématicien français a dit: Une théorie mathématique ne doit pas être considérée comme complète tant qu'on ne l'a pas rendue si claire qu'on puisse l'expliquer au premier homme qu'on croise dans la rue.)

— Mathematische Probleme (exposé au congrès international des mathématiciens, Paris 1900)

(Je n'ai pas réussi à retrouver qui est le mathématicien français en question, peut-être que Hilbert l'a plus ou moins inventé.)

☞ Sur les fascinations des « mathématiciens du dimanche »

Un autre point sur lequel je devrais dire un mot concerne la manière dont les mathématiciens amateurs se fascinent pour tel ou tel type de mathématiques. Les nombres premiers, par exemple, ou les décimales de π en base 10. Et s'évertuent à chercher de l'ordre dedans, ou quelque chose de ce genre. Je suis sûr (je préfère ne pas chercher, ce genre de choses m'énerve) qu'il y a plein de gens qui ont fait de la musique composée à partir des décimales de π (et que la plupart de ceux qui ont fait ça n'ont même pas, au minimum, écrit π en base 12 s'il s'agit de jouer sur la gamme tempérée dodécaphonique usuelle). C'est un peu ironique parce que (a) toutes les conjectures vont dans le sens que les décimales de π se comportent essentiellement comme du pur hasard, c'est-à-dire comme la chose la plus chiante et inintéressante à écouter en musique et dans laquelle on ne trouvera aucun ordre intéressant (s'agissant des nombres premiers, c'est un peu plus compliqué parce que leur proportion décroît — logarithmiquement — mais l'idée est vaguement la même), et (b) on ne sait d'ailleurs essentiellement rien prouver d'intéressant dans le sens de telles conjectures (ni même vraiment formaliser autre chose que des variantes très faibles comme conjecturer que toute suite finie de chiffres se trouvera dans les décimales de π en n'importe quelle base fixée avec la même fréquence asymptotique que dans une suite aléatoire de chiffres de cette base, ce qui est certainement vrai mais qu'on est à des années-lumières de savoir prouver). Bon, tant mieux pour eux si les mathématiciens du dimanche ont envie d'accumuler les questions du genre il existe une infinité de nombres premiers p tels que les nombres p−6 et (2p)−1 soient également premiers (conjecture de Tartempion Dugenou : je ne sais pas si quelqu'un a déjà sorti celle-là précisément, mais on peut facilement générer une infinité de telles conjectures sur lesquelles personne ne saura rien dire), mais j'ai l'impression qu'à se focaliser sur des bouts des maths qui sont faciles à comprendre mais sur lesquels il n'y ait finalement pas grand-chose à dire en tout cas dans cette ligne d'idée, ils passent à la fois à côté de la beauté plus profonde des mathématiques et à côté de domaines où ils (des amateurs) pourraient faire des contributions utiles. Un des buts de la vulgarisation devrait être, selon moi, de montrer aux passionnés de ce genre qu'ils peuvent se passionner pour quantité d'autres choses que les nombres premiers et les décimales de π.

☞ Sur un musée des mathématiques

J'ai entendu des rumeurs autour de la possibilité de créer à Paris un musée des mathématiques. Je sais que Cédric Villani était enthousiaste de cette idée, maintenant qu'il s'est lancé en politique j'ai peur qu'il y ait une équation de conservation qui fait que s'il a plus de pouvoir pour faire avancer les choses il a aussi moins de temps à y consacrer, donc je ne sais pas si ce projet verra vraiment le jour. (J'ai trouvé ceci, qui est récent et sans doute en rapport, donc je suis plutôt optimiste.) Cela sera peut-être l'occasion de réfléchir à comment rendre les mathématiques interactives (parce que l'interactivité est particulièrement importante dans le cadre d'un musée où, contrairement à un musée d'histoire ou d'histoire naturelle, on n'a pas de choses uniques à mettre dans des vitrines) ; la principale difficulté que je vois dans un musée est que le visiteur n'a sans doute pas envie de lire de longues explications, et que si on veut dépasser le stade ah, c'est joli, il est difficile de faire l'économie d'explications. Je ne sais pas ce que valent les quelques musées des maths qui existent déjà dans le monde (la seule fois où je suis allé à New York j'ai appris trop tard l'existence du MoMath), mais les quelques salles consacrées aux maths dans des musées de sciences que j'ai pu visiter m'ont souvent semblé assez décevantes (surtout par leur caractère hétéroclite et désorganisé : on rassemble au même endroit un tas de trucs qui n'ont guère de rapport entre eux, et on laisse le spectateur sans fil directeur, sans idée de quelles maths exposées sont vieilles ou récentes, faciles ou difficiles…).

Ajout () : Je suis tombé sur cette vidéo de vulgarisation mathématique ou peut-être, plutôt, de méta-vulgarisation, qui insiste sur l'importance du choix des bonnes analogies. Je ne suis pas forcément d'accord avec la qualité des analogies qu'il décrit, ou surtout, avec l'idée que l'une doit remplacer l'autre (elles doivent plutôt s'additionner), mais la vidéo est intéressante au moins dans le contexte de cette entrée.

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