David Madore's WebLog: Sur la magie du nombre six (l'automorphisme exceptionnel de¬†ūĚĒĖ‚āÜ)

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(lundi)

Sur la magie du nombre six (l'automorphisme exceptionnel de¬†ūĚĒĖ‚āÜ)

J'ai posté dans une entrée récente le dessin suivant, avec la devinette d'essayer de trouver ce qu'il représente et ce qu'il nous apprend :

Les r√©ponses dans les commentaires ont √©t√© int√©ressantes (et j'ai bien fait de proposer cette devinette), parce que plusieurs personnes ont remarqu√© des aspects diff√©rents du dessin, et ont fait des observations justes et pertinentes. La r√©ponse math√©matique que je vais tenter d'expliquer tourne autour du fait que les matheux √©noncent classiquement en disant que le groupe des permutations sur six objets (et uniquement sur six objets) poss√®de un ¬ę¬†automorphisme ext√©rieur non-trivial¬†¬Ľ¬†; mais cette formulation n'a aucun sens pour les non matheux, et m√™me pour les matheux je trouve qu'elle ne fait pas vraiment ressortir pourquoi ce fait est remarquable et exceptionnel. Donc le mieux est peut-√™tre de formuler le fait remarquable sous la forme suivante (qui est certes un peu de l'agitage de mains, mais qu'on peut rendre rigoureux, et que je trouve en tout cas plus parlant), et c'est √ßa que je vais essayer d'expliquer¬†:

√Ä partir de six objets, il est possible de construire, de fa√ßon syst√©matique, de nouvelles ¬ę¬†choses¬†¬Ľ, √©galement au nombre de six, tout aussi interchangeables que les objets de d√©part, mais qui ne peuvent pas √™tre mis en correspondance syst√©matique avec eux.

De plus, ceci n'est possible pour aucun autre nombre que six.

Pour les math√©maticiens qui aiment la th√©orie des cat√©gories, ce qui pr√©c√®de est cens√© signifier la chose suivante¬†: le groupo√Įde form√© des ensembles de cardinal¬†6 avec les bijections pour morphismes admet un endofoncteur fid√®le (donc automatiquement une auto√©quivalence) mais qui n'est pas naturellement isomorphe √† l'identit√©¬†; et ce n'est vrai pour aucun autre entier naturel que¬†6.

C'est un exemple d'un de ces ph√©nom√®nes exceptionnels en math√©matiques, comme on nomme des structures int√©ressantes qui apparaissent uniquement dans un petit nombre de cas¬†: en l'occurrence, cet ¬ę¬†automorphisme exceptionnel de¬†ūĚĒĖ‚āܬ†¬Ľ fait partie d'une sorte de chemin magique d'objets exceptionnels, qui le relie aussi aux groupes de Mathieu ou au syst√®me de racines de¬†E‚āÜ et aux vingt-sept droites sur la surface cubique. Mais celui-ci a l'int√©r√™t d'√™tre raisonnablement facile √† expliquer, surtout avec mon (j'esp√®re) zouli dessin (cens√© repr√©senter ces six ¬ę¬†choses¬†¬Ľ qui, plus bas, s'appellent des pentades).

Au passage¬†: voir aussi cette entr√©e ant√©rieure et cette vid√©o YouTube pour une description anim√©e des diff√©rents sous-groupes transitifs de¬†ūĚĒĖ‚āÜ (c'est-√†-dire, toutes les fa√ßons de permuter six objets qui sont capables de placer n'importe quel objet √† n'importe quel endroit).

Apr√®s, je dois avertir que, si je suis parti pour expliquer √ßa, mon enthousiasme s'est un peu att√©nu√© en chemin, et la fin de cette entr√©e est sans doute un peu b√Ęcl√©e (j'avoue que j'ai pass√© tellement de temps √† trouver le bon chemin pour expliquer proprement la combinatoire des synth√®mes et pentades ci-dessous qu'√† la fin j'en avais marre, et j'ai plut√īt tra√ģn√© des pieds pour la finir). Je la publie telle quelle en esp√©rant qu'elle ait un certain int√©r√™t, m√™me si je me rends compte qu'elle est bancale et un peu d√©cousue. (Par ailleurs, si on n'est pas int√©ress√© par les d√©tails, ne pas h√©siter √† sauter les d√©monstrations, qui ne sont pas franchement indispensables pour la compr√©hension de l'ensemble.)

‚Āā

Partons, donc de six objets. On pourra imaginer si on veut qu'ils sont plac√©s aux six sommets d'un hexagone, comme dans chacun des hexagrammes ci-dessus¬†; ou bien qu'ils sont num√©rot√©s 0,1,2,3,4,5¬†: √ßa n'a aucune importance (et je vais t√Ęcher de pr√©ciser cette absence d'importance plus loin). Je vais introduire quatre termes d√©signant des structures de complexit√© croissante fabriqu√©s sur ces six objets¬†: outre les 6 objets eux-m√™mes, je vais d√©finir les 15 doublets, les 15 synth√®mes et les 6 pentades (ces derni√®res √©tant, essentiellement, ce que j'ai repr√©sent√© ci-dessus). Pr√©cis√©ment¬†:

Pour r√©sumer tout ce qui pr√©c√®de, les 6 objets d√©finissent 15 doublets (chacun form√© de 2 objets distincts)¬†; on a aussi d√©fini 15 synth√®mes (chacun form√© de 3 doublets distincts mutuellement non enlac√©s), et enfin des pentades (au nombre de 6 mais on ne le sait pas encore, chacune form√©e de 5 synth√®mes distincts mutuellement enlac√©s). Mon but est d'expliquer qu'il y a une forme de ¬ę¬†sym√©trie¬†¬Ľ qui √©change objets et pentades en m√™me temps qu'elle √©change doublets et synth√®mes.

‚Āā

Mais pour commencer, il faut que j'√©voque ce qui, en termes savants, pourrait s'appeler la fonctorialit√© de ces diff√©rentes constructions, mais je vais juste parler de principe de correspondance. C'est quelque chose de tr√®s simple (tellement simple, m√™me, qu'on risque facilement de ne pas comprendre qu'il y a quelque chose √† dire) mais de fondamental. ‚ÄĘ J'ai d√©fini les doublets, synth√®mes et pentades sur un lot de six objets. Imaginons maintenant que j'aie un deuxi√®me lot de six objets¬†: je peux donc d√©finir les doublets, les synth√®mes et les pentades sur ce deuxi√®me lot de six objets¬†; maintenant, si je choisis une correspondance entre les deux lots de six objets (de mani√®re √† ce que chaque objet d'un lot soit en correspondance avec un et un seul de l'autre¬†: les math√©maticiens appellent √ßa une bijection), j'obtiens aussi une correspondance entre doublets d'un lot et doublets de l'autre, entre synth√®mes d'un lot et synth√®mes de l'autre, et entre pentades d'un lot et pentades de l'autre. Je r√©p√®te que c'est totalement √©vident, mais √ßa m√©rite d'√™tre montr√© du doigt. ‚ÄĘ C'est ce principe ¬ę¬†de correspondance¬†¬Ľ qui permet de dire que le nombre de doublets, de synth√®mes ou de pentades sur six objets ne d√©pend pas des six objets consid√©r√©s (oui, c'est √©vident¬†!). C'est aussi ce principe qui permet de proc√©der √† des num√©rotations des objets¬†: en effet, si un lot d'objet est form√© des nombres 0, 1, 2, 3, 4, 5, une correspondance entre ce lot et un deuxi√®me est une fa√ßon de num√©roter les objets du deuxi√®me lot¬†; et une fois que c'est fait, le doublet 01, ou bien le synth√®me 01/23/45, qui sont un doublet et un synth√®me sur le lot {0,1,2,3,4,5}, donnent par correspondance un doublet ou un synth√®me sur le deuxi√®me lot. Le m√™me principe permet aussi, bien s√Ľr, si on met les objets d'un lot en correspondance avec les sommets d'un hexagone r√©gulier, d'obtenir une correspondance entre les dessins faits ci-dessus et les doublets/synth√®mes/pentades sur le lot d'objets en question.

En fait, pour √™tre tout √† fait pr√©cis, le vrai principe de fonctorialit√© des correspondances, c'est surtout que si on a trois lots de chacun six objets, disons A, B, C, et qu'on met en correspondance (bijective) les objets de A avec ceux de B et ceux de B avec ceux de C, ce qui donne par composition une correspondance entre objets de A et objets de C, alors de m√™me, la correspondance entre doublets de A et de C, ou entre synth√®mes idem, ou entre pentades idem, sera la m√™me que l'on passe par l'interm√©diaire de B ou directement de A √† C. C'est aussi totalement √©vident, et je ne veux pas m'√©tendre inutilement l√†-dessus. (Mais pour faire chic, on peut dire qu'on a affaire √† un foncteur ¬ę¬†doublet¬†¬Ľ qui va de la cat√©gorie ‚ÄĒ cat√©gorie qui est d'ailleurs un groupo√Įde ‚ÄĒ des ensembles √† 6 √©l√©ments avec les bijections pour morphismes vers celle des ensembles √† 15 √©l√©ments idem, un foncteur ¬ę¬†synth√®me¬†¬Ľ pareil, et un foncteur ¬ę¬†pentade¬†¬Ľ qui est un endofoncteur de la cat√©gorie des ensembles √† 6 √©l√©ments vers elle-m√™me.)

Un cas important, et possiblement source de confusion, du principe de correspondance √©vident √©voqu√© ci-dessus, est le cas o√Ļ les deux lots de six objets consid√©r√©s sont en fait le m√™me. Ce cas signifie qu'on permute les six objets, c'est-√†-dire qu'on ¬ę¬†transforme¬†¬Ľ chacun d'entre eux en un autre (ou peut-√™tre en lui-m√™me), de fa√ßon que deux objets distincts se transforment en deux objets distincts¬†: alors le principe de correspondance fait qu'on transforme de m√™me les doublets en doublets, les synth√®mes en synth√®mes et les pentades en pentades. √Ä titre d'exemple, si j'effectue la permutation {0‚ܶ0, 1‚ܶ3, 2‚ܶ1, 3‚ܶ4, 4‚ܶ2, 5‚ܶ5} sur les six objets {0,1,2,3,4,5} (lire¬†: l'objet 0 reste 0, l'objet 1 devient 3, l'objet 2 devient 1, etc.), alors le doublet 23 devient 14 (ou 41, mais on l'√©crit plut√īt 14, je rappelle que c'est le m√™me doublet), et le synth√®me 01/23/45 devient 03/14/25.

On peut par exemple s'exercer √† regarder ce que deviennent les diff√©rentes pentades dessin√©es au d√©but de cette entr√©e (et qui sont toutes les pentades possibles, mais on ne le ¬ę¬†sait¬†¬Ľ pas encore) lorsqu'on effectue la permutation qui fait faire √† l'hexagone une rotation de 60¬į dans le sens contraire des aiguilles d'une montre (=sens trigonom√©trique)¬†: on devrait pouvoir v√©rifier que la pentade entour√©e de gris ne change pas, que la pentade entour√©e de noir devient celle entour√©e de blanc et vice versa, et que les trois pentades entour√©es de couleur se transforment dans le sens rouge ‚ܶ vert ‚ܶ bleu ‚ܶ rouge. (Il faut se rappeler que l'identit√© des couleur utilis√©es pour repr√©senter une pentade n'a aucune importance¬†: une pentade est d√©finie uniquement par le fait que certains segments aient ou n'aient pas la m√™me couleur¬†; en l'occurrence, mon choix des couleurs a √©t√© fait de fa√ßon plus logique que √ßa, mais pour l'instant, ignorons-le.) ‚ÄĘ Si on est plus courageux, on peut aussi essayer de voir ce que deviennent les pentades dessin√©es lorsqu'on √©change, disons, l'objet situ√© tout √† droite et celui situ√© en haut √† droite¬†: on devrait trouver que cela √©change les pentades grise et noire d'une part, blanche et rouge d'autre part, et verte et bleue enfin.

C'est cette op√©ration, qui transforme une permutation des objets en une permutation des pentades, qui donne ce qu'on appelle l'automorphisme ext√©rieur/exceptionnel de¬†ūĚĒĖ‚āÜ, mais je vais y revenir. Pour l'instant, il n'est pas clair, par exemple, que n'importe quelle permutation des pentades est r√©alisable √† partir d'une permutation des objets, ni que la permutation des pentades permet de retrouver la permutation des objets¬†: on sait juste qu'une permutation des objets donne naissance √† une permutation des pentades, pas encore qu'on peut aller dans le sens inverse (et le fait qu'on ne sache pas encore combien de pentades il y a n'aide pas, √©videmment).

‚Āā

Je veux maintenant démontrer les faits suivants qui serviront à démêler la combinatoire des synthèmes et pentades :

Lemme A : Donné un synthème et un doublet n'appartenant pas à ce synthème, il existe exactement deux synthèmes contenant le doublet donné et qui soient enlacés (c'est-à-dire sans doublet en commun) avec le synthème donné.

Lemme B : Donnés deux synthèmes distincts enlacés (c'est-à-dire, n'ayant aucun doublet en commun), il existe toujours une et une seule pentade qui contient ces deux synthèmes.

Lemme C : Donnés trois synthèmes distincts mutuellement non enlacés (c'est-à-dire, ayant deux à deux un doublet commun), il existe un unique doublet commun aux trois.

Lemme D : Quatre (ou plus) doublets distincts mutuellement enlacés (c'est-à-dire, tels que deux quelconques aient un objet commun) ont collectivement un objet commun, évidemment unique.

Le lecteur qui veut me croire sur parole peut bien s√Ľr sauter les d√©monstrations qui suivent, mais elle ont un certain int√©r√™t en elles-m√™mes. L'id√©e √† chaque fois est de raisonner en donnant des noms aux objets pour raisonner dessus (je les prendrai toujours dans les entiers de 0 √† 5), ce qui utilise implicitement, si on veut, ce que j'ai appel√© ci-dessus le principe de correspondance √©vident. La remarque vraiment √©vidente mais qui sert tout le temps dans les d√©monstrations ci-dessous est que pour donner un nom √† un objet il s'agit qu'il n'en ait pas d√©j√† re√ßu un (ceci sert √† chaque fois que je fais une phrase du genre l'objet <‚Ķ> n'est ni 0 ni 1 ni 2¬†: je peux donc l'appeler¬†3).

‚ĚĄ¬†D√©monstration du lemme¬†A¬†:

Appelons őĪ le synth√®me, et őĺ le doublet qu'on s'est donn√©s. Appelons 0 et 1 les deux objets reli√©s dans őĺ. L'objet appari√© √†¬†0 par őĪ ne peut pas √™tre¬†1 puisque őĺ n'est pas dans őĪ¬†: on peut donc l'appeler¬†2. De m√™me, l'objet appari√© √†¬†1 par őĪ ne peut pas √™tre¬†0 puisque őĺ n'est pas dans őĪ, et il ne peut pas non plus √™tre 0 ni 2 car ceux-ci sont d√©j√† appari√©s l'un √† l'autre¬†: on peut donc l'appeler¬†3. Appelons enfin 4¬†et¬†5 les deux objets restants. √Ä ce point-l√†, őĪ est 02/13/45 (et őĺ est 01). Pour construire un synth√®me ő≤ contenant őĺ (c'est-√†-dire, qui apparie 0¬†avec¬†1) mais enlac√© avec őĪ, il s'agit de d√©cider avec quel objet apparier avec¬†2 (le dernier doublet sera alors uniquement d√©termin√© comme appariant les deux objets restants)¬†: on ne peut pas apparier 2 avec 0 ni 1 (ils sont d√©j√† appari√©s ensemble par őĺ donc dans¬†ő≤), ni avec 3 (car on serait alors oblig√© d'apparier dans¬†ő≤ les deux derniers objets, 4 avec 5, or le doublet 45 est dans őĪ donc n'a pas le droit d'√™tre dans¬†ő≤)¬†; en revanche on peut apparier 2 avec 4 ou 5, ce qui donne pour ő≤ les synth√®mes 01/24/35 et 01/25/34 respectivement, qui sont bien enlac√©s avec le synth√®me donn√© 02/13/45.

‚ĚĄ¬†D√©monstration du lemme¬†B¬†:

Appelons őĪ et ő≤ les deux synth√®mes qu'on s'est donn√©s. Appelons 0 l'un quelconque des objets. Appelons 1 l'objet qui est appari√© avec lui dans le synth√®me őĪ. L'objet appari√© avec 1 dans le synth√®me ő≤ ne peut pas √™tre¬†0 puisque les synth√®mes sont suppos√©s sans doublet commun¬†: on peut donc l'appeler¬†2. L'objet appari√© avec¬†2 dans le synth√®me őĪ n'est ni 1 (de nouveau puisque les synth√®mes sont sans doublet commun), ni 0 (puisqu'on sait d√©j√† que 0 est appari√© avec 1 dans¬†őĪ)¬†: on peut donc l'appeler¬†3. L'objet appari√© avec¬†3 dans le synth√®me ő≤ n'est ni 2 (toujours puisque les synth√®mes sont sans doublet commun), ni 1 (qui est d√©j√† appari√© avec¬†2)¬†; mais ce n'est pas non plus 0 (car si c'√©tait 0, on aurait dans ő≤ les deux doublets 03 et 12, donc les deux derniers objets seraient forc√©ment appari√©s ensemble, or pour la m√™me raison ces deux objets restants sont aussi appari√©s dans őĪ qui contient les deux doublets 01 et 23, et ceci contredit le fait que őĪ et ő≤ sont sans doublet commun)¬†; bref, on peut appeler 4 l'objet appari√© avec¬†3 dans le synth√®me ő≤. L'objet appari√© avec¬†4 dans le synth√®me őĪ est forc√©ment le dernier objet, qu'on va appeler¬†5, puisqu'on a d√©j√† dans őĪ les doublets 01 et 23¬†; et l'objet appari√© avec¬†5 dans le synth√®me ő≤ est forc√©ment 0 puisqu'on a d√©j√† dans ő≤ les doublets 12 et 34. Finalement, on a num√©rot√© les objets de mani√®re √† pouvoir √©crire őĪ=01/23/45 et ő≤=12/34/50.

Pour visualiser cette situation, on peut placer les objets 0 √† 5 cycliquement selon un hexagone (pour fixer les id√©es¬†: en partant de la droite et en tournant dans le sens contraire des aiguilles d'une montre), tracer le syth√®me őĪ en noir et ő≤ en blanc¬†:

0 1 2 3 4 5 0 1 2 3 4 5

Maintenant, une pentade contenant les synth√®mes őĪ et ő≤ doit aussi contenir un synth√®me ő≥ contenant le doublet 03 (car chaque doublet appartient √† un synth√®me de la pentade). Comme ő≥ apparie 0¬†avec¬†3, il doit faire l'un des appariements suivants de 1, 2, 4 et 5¬†: soit 12/45, mais ceci est exclu car 12 est d√©j√† dans le synth√®me ő≤, soit 14/25 (en gris sur la figure de gauche ci-dessus), soit 15/24 (en vert sur la figure de droite ci-dessus).

Mais le cas 14/25 est facile √† exclure en remarquant qu'il n'y a pas moyen d'ajouter quoi que ce soit aux trois synth√®mes d√©j√† obtenus¬†: en effet, si őī √©tait un synth√®me enlac√© √† la fois avec őĪ=01/23/45 et ő≤=12/34/50 et ő≥=03/14/25, contenant disons le doublet 02, il devrait aussi contenir l'un de 13 ou 15 (car il doit apparier l'objet 1 avec l'un des objets avec lesquels il n'a pas encore √©t√© appari√© dans un synth√®me), mais si c'est 13, le troisi√®me doublet de őī est 45, qui appartient d√©j√† √†¬†őĪ, et de m√™me si c'est 15, le trois√®me doublet de őī est 34, qui appartient d√©j√† √†¬†ő≤. Bref, la figure de gauche ci-dessus n'est pas compl√©table en une pentade (il n'existe aucun synth√®me enlac√© simultan√©ment avec les trois synth√®mes trac√©s).

Il reste donc uniquement le cas o√Ļ ő≥=03/15/24¬†: c'est-√†-dire que toute pentade contenant őĪ et ő≤ doit contenir le synth√®me qui vient d'√™tre dit (en vert ci-dessus). Mais en effectuant la permutation {0‚ܶ2, 1‚ܶ3, 2‚ܶ4, 3‚ܶ5, 4‚ܶ0, 5‚ܶ1} (rotation de 120¬į de l'hexagone), qui ne change pas les synth√®mes őĪ ni ő≤, ou bien en refaisant trois fois le m√™me raisonnement, on arrive √† la conclusion que la m√™me pentade doit aussi contenir les synth√®mes 25/31/40 (en rouge) et 41/53/02 (en bleu). Donc elle doit √™tre la pentade repr√©sent√©e ci-dessus √† droite (et qui est aussi la pentade entour√©e de gris dans mon dessin initial). Et comme celle-ci est bien une pentade, on a montr√© l'existence et l'unicit√© de la pentade contenant les deux synth√®mes non enlac√©s őĪ et ő≤ donn√©s.

(En fait, dans cette histoire, on a prouv√© un peu plus¬†: on a montr√© que n'importe quelle pentade peut √™tre transform√©e en la pentade ¬ę¬†grise¬†¬Ľ ‚ÄĒ et donc en n'importe quelle autre pentade ‚ÄĒ quitte √† permuter ses objets. Mais de toute fa√ßon, ce fait d√©coulera d'autres choses que je vais d√©montrer plus loin en utilisant ce lemme, donc ce n'est pas indispensable de le remarquer d√®s maintenant.)

‚ĚĄ¬†D√©monstration du lemme¬†C¬†:

L'unicité est claire (si deux synthèmes ont deux doublets distincts en commun, ils sont forcément égaux puisqu'il ne reste que deux objets à apparier). C'est l'existence qu'on veut prouver, autrement dit, on veut voir que trois synthèmes ayant deux à deux un doublet commun ont forcément un doublet collectivement en commun.

Soient őĪ, ő≤ et ő≥ les trois synth√®mes qu'on s'est donn√©s¬†: deux quelconques ont un doublet en commun par hypoth√®se. Appelons 0 et 1 les deux objets du doublet commun √† őĪ et ő≤ (on se r√©serve encore le droit de les √©changer)¬†: on va montrer qu'ils sont aussi appari√©s dans¬†ő≥. Pour cela, on suppose par l'absurde que ő≥ ne contient pas le doublet 01¬†: comme il contient n√©anmoins un doublet commun avec¬†őĪ, on peut appeler 2 et 3 les objets de ce doublet (appari√©s dans őĪ et ő≥, donc). L'objet auquel 2 est appari√© dans¬†ő≤ ne peut pas √™tre 3 (sinon, őĪ¬†et¬†ő≤ auraient en commun les deux doublets 01 et 23 et ne pourraient donc qu'apparier ensemble les deux objets restants, ce qui fait qu'ils seraient √©gaux)¬†: on peut donc l'appeler¬†4. En appelant 5 le dernier objet, les synth√®mes őĪ et ő≤ sont donc 01/23/45 et 01/24/35, tandis que ő≥ contient le doublet 23. L'objet auquel 4 est appari√© dans¬†ő≥ ne peut pas √™tre 5 (sinon, őĪ¬†et¬†ő≥ auraient en commun les deux doublets 23 et 45 et ne pourraient donc qu'apparier ensemble 0¬†et¬†1, ce qui fait qu'ils seraient √©gaux)¬†: ce ne peut donc √™tre que 0¬†ou¬†1, et quitte √† √©changer leurs noms (on n'a jamais eu besoin de d√©cider lequel √©tait 0 et lequel √©tait¬†1), on peut supposer que c'est 0. Alors ő≥ est 04/15/23, et il n'a pas de doublet en commun avec¬†ő≤, une contradiction.

‚ĚĄ¬†D√©monstration du lemme¬†D¬†:

Appelons 0 l'objet commun √† deux des doublets (diff√©rents) donn√©s, disons őĺ et ő∑, et soit 1 l'objet que őĺ relie √†¬†0, et 2 l'objet que ő∑ relie √†¬†0 (forc√©ment diff√©rent puisque les doublets sont diff√©rents). Supposons maintenant par l'absurde qu'il y ait parmi les doublets donn√©s un doublet ő∂ qui ne contienne pas l'objet¬†0¬†: comme il a n√©anmoins un objet en commun avec chacun d'eux doit contenir l'un des objets 0¬†et¬†1 (donc¬†1), et l'un des objets 0¬†et¬†2 (donc¬†2)¬†: c'est n√©cessairement le doublet 12. Mais il n'existe aucun doublet ayant un objet en commun simultan√©ment avec őĺ=01, ő∑=02 et ő∂=12 (car un doublet doit omettre au moins l'un des objets parmi {0,1,2}, et alors il n'est pas enlac√© avec 12,02,01 respectivement), ce qui contredit l'hypoth√®se qu'on s'est donn√© au moins quatre doublets. Bref, par l'absurde, on a montr√© que tout doublet parmi ceux donn√© doit contenir l'objet 0, comme annonc√©.

L'unicité est claire car deux doublets ne peuvent pas avoir deux objets en commun (sinon ils seraient égaux).

Ces faits étant acquis, je vais en montrer un certain nombre d'autres. Pour souligner le parallélisme dont j'ai parlé ci-dessus, les affirmations ci-dessous viennent par paires (je rappelle que deux doublets distincts sont dits enlacés quand ils ont un objet commun, tandis que deux synthèmes distincts sont dits enlacés quand ils n'ont pas de doublet commun) :

Chaque doublet est enlacé avec exactement huit autres.

En effet, un doublet enlacé avec le doublet donné s'obtient en choisissant l'un des 2 objets du doublet donné et l'un des 4 objets qui n'y sont pas, pour les relier ensemble : ceci fait 2×4=8 possibilités.

Chaque synthème est enlacé avec exactement huit autres.

Consid√©rons le synth√®me őĪ donn√©¬†: il contient 3 doublets sur les 15 au total, ce qui laisse 12 doublets. Pour fabriquer un synth√®me enlac√© avec őĪ, on choisit un quelconque des 12 doublets en question, et √† chaque fois le lemme¬†A nous assure qu'il y a exactement 2 synth√®mes qui compl√®tent le doublet choisi et qui sont enlac√©s avec őĪ. Mais chaque synth√®me enlac√© avec őĪ a √©t√© compt√© 3 fois dans cette op√©ration, puisqu'il a pu √™tre obtenu une fois en choisissant chacun de ses trois doublets. Il y a donc 12√ó2√∑3=8 synth√®mes enlac√©s avec¬†őĪ.

Chaque doublet contient exactement deux objets.

(Cela fait trivialement partie de la définition d'un doublet.)

Chaque synthème appartient à exactement deux pentades.

Le synth√®me őĪ donn√© est enlac√© avec 8 autres (cf.¬†ci-dessus)¬†; d'apr√®s le lemme¬†B, chacun d√©termine avec őĪ une unique pentade¬†: mais chaque pentade s'obtient ainsi de 4 fa√ßons diff√©rentes (une fois pour chaque synth√®me qu'elle contient en plus de¬†őĪ). Il y a donc finalement 8√∑4=2 pentades contenant¬†őĪ.

Il y a six objets.

(Cela fait trivialement partie des données de départ.)

Il y a six pentades.

On sait qu'il y a 15 synthèmes, et que chacun est enlacé avec 8 autres (cf. ci-dessus), ce qui fait 15×8÷2=60 paires de synthèmes enlacés ; d'après le lemme B, chaque paire détermine une unique pentade : mais chaque pentade s'obtient ainsi de 5×4÷2=10 façons différentes (une fois pour chaque paire de synthèmes qu'elle contient). Il y a donc finalement 60÷10=6 pentades.

Deux doublets distincts non enlacés appartiennent à un unique synthème.

En effet, deux doublets non enlacés (c'est-à-dire sans objet commun) déterminent quatre objets appariés deux à deux, il en reste deux, forcément appariés entre eux dans un synthème comme recherché, et le fait de les apparier donne effectivement un synthème.

Deux synthèmes distincts non enlacés ont un unique doublet en commun.

Ils ont un doublet en commun par la définition même d'être non enlacés. Et ce doublet est unique car s'il y en avait deux en commun, ils seraient forcément non enlacés, or on a vu que deux doublets non enlacés appartiennent à un unique synthème.

N'importe quel synthème donné contient exactement trois doublets ; de plus, ils sont mutuellement non enlacés.

(Cela fait trivialement partie de la définition d'un synthème.)

N'importe quel doublet donné appartient à exactement trois synthèmes ; de plus, ils sont mutuellement non enlacés.

En effet, √† part les deux objets du doublet őĺ donn√©, il y en a quatre autres¬†: n'importe lequel des 4√ó3√∑2=6 doublets entre eux d√©termine un synth√®me contenant őĺ (puisqu'on a vu ci-dessus que deux doublets non enlac√©s appartiennent √† un unique synth√®me)¬†; mais chaque synth√®me ainsi obtenu a √©t√© compt√© deux fois, une fois pour chacun des deux doublet qu'il contient en plus de¬†őĺ. Il y a donc finalement 6√∑2=3 synth√®mes contenant¬†őĺ. Enfin, ces synth√®mes sont trivialement non enlac√©s puisqu'ils ont justement le doublet őĺ en commun.

N'importe quel objet donné appartient à exactement cinq doublets ; de plus, ils sont mutuellement enlacés.

Il y a cinq objets auxquels on peut relier l'objet donné, et chacun détermine précisément un doublet. Enfin, ces doublets sont trivialement enlacés puisqu'ils ont justement l'objet donné en commun.

N'importe quelle pentade donnée contient exactement cinq synthèmes ; de plus, ils sont mutuellement enlacés.

(Cela fait trivialement partie de la définition d'une pentade.)

Deux doublets distincts donnés ont exactement un objet en commun s'ils sont enlacés, zéro s'ils ne le sont pas.

(Cela fait trivialement partie de la définition d'un doublet et du mot enlacé.)

Deux synthèmes distincts donnés appartiennent à exactement une pentade en commun s'ils sont enlacés, zéro s'ils ne le sont pas.

La première partie est exactement le contenu du lemme B, la seconde est triviale (les synthèmes d'une pentade sont mutuellement enlacés par définition).

Deux objets distincts donnés appartiennent à un unique doublet.

(Cela fait trivialement partie de la définition d'un doublet.)

Deux pentades distinctes données ont un unique synthème en commun.

Une paire de pentades ne peut pas avoir deux synthèmes distincts en commun, car on a vu ci-dessus que deux synthèmes distincts appartiennent à zéro ou une pentade en commun.

On a aussi vu ci-dessus que chaque synthème appartient à exactement deux pentades, c'est-à-dire à une paire. Mais il y a 15 synthèmes et 6×5÷2=15 paires de pentades. Comme chaque paire de pentades a au plus un synthème en commun, chacune doit en avoir exactement un sinon on n'obtiendrait pas le compte de 15 au total.

Trois doublets mutuellement non enlacés appartiennent à un unique synthème.

(Cela fait trivialement partie de la définition d'un synthème.)

Trois synthèmes mutuellement non enlacés contiennent un unique doublet en commun.

C'est exactement l'énoncé du lemme C.

M√©ta¬†: J'ai essay√© d'√™tre relativement efficace et dans mes d√©monstrations, et notamment de ne pas red√©montrer plusieurs fois le m√™me fait ni m√™me de r√©p√©ter le m√™me bout de raisonnement, mais je n'ai pas vraiment r√©ussi (par exemple, je r√©p√®te souvent l'argument que si on a d√©fini deux des trois doublets d'un synth√®me, on d√©fini le troisi√®me car il relie forc√©ment les deux objets restants). J'ai aussi essay√© (ce qui entrait parfois en conflit avec le but pr√©c√©dent) de regrouper sous le nom de lemmes ci-dessus les affirmations pour lesquelles j'avais besoin, dans la d√©monstration, de num√©roter les objets, et dans les affirmations ci-dessous toutes celles o√Ļ la d√©monstration √©tait triviale ou bien essentiellement du d√©nombrement. Je ne suis pas totalement convaincu du r√©sultat (au sens o√Ļ l'esth√©tique de l'ensemble laisse un peu √† d√©sirer, j'aurais peut-√™tre d√Ľ rassembler des r√©sultats que j'ai √©clat√©s ou vice versa), mais je pense, au moins, ne pas avoir commis d'arnaque. (Je suis surpris que le lemme¬†D ne serve que ci-dessous, mais je ne crois pas en avoir eu besoin jusqu'√† pr√©sent.)

Voici une tentative pour récapituler la combinatoire sous forme de tableau (la symétrie qui nous intéresse consiste à inverser à la fois l'ordre des lignes et celui des colonnes) :

ObjetsDoubletsSynthèmesPentades
Objets Il y a 6 objets Chaque objet appartient à 5 doublets (mutuellement enlacés)
Doublets Chaque doublet contient 2 objets Il y a 15 doublets Chaque doublet appartient à 3 synthèmes (mutuellement non enlacés)
Synthèmes Chaque synthème contient 3 doublets (mutuellement non enlacés) Il y a 15 synthèmes Chaque synthème appartient à 2 pentades
Pentades Chaque pentade contient 5 synthèmes (mutuellement enlacés) Il y a 6 pentades

‚Āā

Maintenant je veux pousser la symétrie jusqu'au bout. Pour cela, je vais provisoirement introduire des nouveaux concepts, et montrer qu'ils se ramènent, en fait, aux concepts déjà introduits, en les éclairant.

Comme on sait maintenant qu'il y a six pentades, on peut les considérer comme de nouveaux objets, que je vais provisoirement appeler néo-objets : un néo-objet est donc exactement la même chose qu'une pentade (sur les objets de départ). Fort logiquement, un néo-doublet sera un doublet sur les néo-objets, c'est-à-dire une paire de pentades ; un néo-synthème sera un synthème sur les néo-objets, c'est-à-dire la donnée de trois néo-doublets mutuellement non enlacés ; et une néo-pentade sera une pentade sur les néo-objets (une pentade de pentades), c'est-à-dire un quintuplet de néo-synthèmes tous enlacés les uns avec les autres (i.e., sans néo-doublet commun).

Ces d√©finitions peuvent para√ģtre assez effrayantes de complexit√© (une n√©o-pentade est un ensemble d'ensembles d'ensembles d'ensembles d'ensembles d'ensembles d'objets)¬†; mais je vais maintenant expliquer pourquoi elles se ram√®nent tous √† des concepts d√©j√† d√©finis¬†: plus exactement, que les n√©o-doublets sont essentiellement les synth√®mes, que les n√©o-synth√®mes sont essentiellement les doublets, et que les n√©o-pentades sont essentiellement les objets de d√©part.

La symétrie est donc maintenant complètement réalisée et expliquée : elle est donnée par le préfixe néo dans les définitions ci-dessus : néo-objet=pentade, néo-doublet=synthème, néo-synthème=doublet, et néo-pentade=objet.

Et il r√©sulte de ce que je viens d'expliquer que toute permutation des pentades est r√©alisable par une permutation des objets¬†: en effet, la permutation des pentades=n√©o-objets donne une permutation des n√©o-pentades (par le principe de correspondance qui fait qu'une permutation des objets donne une permutation des pentades), c'est-√†-dire une permutation des objets, et l'identification faite assure justement que cette permutation des objets donne la permutation des pentades qu'on s'est donn√©e¬†; et bien, s√Ľr, pour la m√™me raison, la permutation des pentades d√©termine compl√®tement la permutation des objets.

‚Āā

C'est cette op√©ration, qui √† une permutation de six objets associe une autre permutation de six objets, qui s'appelle l'automorphisme ext√©rieur/exceptionnel de¬†ūĚĒĖ‚āÜ (la notation ūĚĒĖ‚āÜ d√©signe l'ensemble ‚ÄĒ en fait, le groupe ‚ÄĒ des permutations sur un ensemble √† 6 √©l√©ments fix√©s). En fait, pour √™tre tout √† fait pr√©cis, il y a deux choses qu'on ne devrait pas m√©langer¬†: primo, toute permutation de six objets d√©termine une permutation de six choses diff√©rentes, √† savoir les six pentades sur ces objets (=¬ę¬†n√©o-objets¬†¬Ľ ci-dessus)¬†; cette association-l√† est ¬ę¬†canonique¬†¬Ľ, c'est-√†-dire qu'elle ne d√©pend d'aucun choix, mais ce n'est pas un automorphisme car on transforme une permutation de six objets en une permutation de six autres choses. En revanche, secundo, si on fixe (arbitrairement¬†!) une correspondance entre les six objets et les six pentades, on obtient une fa√ßon de transformer une permutation de six objets en une permutation des six m√™mes objets (en envoyant la permutation des pentades sur la permutation des objets donn√©e par la correspondance choisie)¬†: cette fois, ce n'est plus canonique (on a d√Ľ choisir arbitrairement une fa√ßon de mettre les objets en correspondance avec les pentades), mais c'est bien un automorphisme des permutations¬†: toute permutation d√©termine une autre permutation des m√™mes objets, et cette op√©ration est compatible avec la composition (c'est ce que signifie le terme morphisme).

Une chose qui n'est pas √©vidente et pour laquelle je ne vois pas de raison conceptuelle est qu'il est possible de faire le choix de la correspondance objets‚ÜĒpentades de sorte que si on applique deux fois tout le proc√©d√© (on part d'une permutation sur les objets, on obtient ‚ÄĒ canoniquement ‚ÄĒ une permutation des pentades, qu'on voit comme une permutation des objets par la correspondance choisie, et on recommence le tout avec cette nouvelle permutation) on retombe sur la permutation de d√©part. Autrement dit, en langage matheux, il existe un automorphisme ext√©rieur de¬†ūĚĒĖ‚āÜ qui soit involutif. ‚ÄĘ En voici un explicite¬†: 0 1 2 3 4 5 si je mets en correspondance les six objets de mon dessin, lus en partant de la droite et en tournant dans le sens contraire des aiguilles d'une montre (i.e., 0,1,2,3,4,5 dans la num√©rotation d√©j√† utilis√©e), avec les pentades respectivement grise, noire, bleue, verte, rouge, blanche (cf.¬†la figure ci-contre), alors on obtient bien un tel automorphisme involutif. Par exemple, la permutation cyclique {0‚ܶ1, 1‚ܶ2, 2‚ܶ3, 3‚ܶ4, 4‚ܶ5, 5‚ܶ0} donne la permutation des pentades {grise‚ܶgrise, noire‚ܶblanche, blanche‚ܶnoire, rouge‚ܶverte, verte‚ܶbleue, bleue‚ܶrouge}, que la correspondance choisie transforme en {0‚ܶ0, 1‚ܶ5, 2‚ܶ4, 3‚ܶ2, 4‚ܶ3, 5‚ܶ1}, et cette permutation-l√† donne la permutation des pentades {grise‚ܶnoire, noire‚ܶbleue, blanche‚ܶgrise, rouge‚ܶblanche, verte‚ܶrouge, bleue‚ܶverte} que la correspondance choisie transforme en la permutation cyclique initiale.

‚Āā

Je peux maintenant expliciter les diff√©rentes consid√©rations qui ont pr√©sid√© √† l'organisation de mon dessin initial. Je voulais figurer les six pentades sur six objets. J'ai arrang√© mes six objets selon un hexagone r√©gulier (notons que ce n'√©tait pas un choix si √©vident que √ßa¬†: peut-√™tre que la figure aurait √©t√© finalement plus claire et plus sym√©trique si j'avais choisi un pentagone r√©gulier plus son centre). Je leur ai donn√© mentalement des √©tiquettes de 0 √† 5 (en partant de la droite et en tournant dans le sens contraire des aiguilles d'une montre¬†: c'est la convention habituelle en trigonom√©trie). Ceci sugg√®re que j'ai donn√© une importance particuli√®re √† la permutation cyclique qui envoie chaque objet sur le suivant, soit {0‚ܶ1, 1‚ܶ2, 2‚ܶ3, 3‚ܶ4, 4‚ܶ5, 5‚ܶ0}. Sur les pentades, cette permutation fixe une pentade, en √©change deux autres, et en permute trois cycliquement. J'ai donc choisi les couleurs de la fa√ßon suivante¬†: les trois pentades permut√©es cycliquement se sont vu attribuer les couleurs rouge, verte et bleue (j'ai d√©j√† parl√© de la mystique de ces trois couleurs), les deux qui sont √©chang√©es sont naturellement devenues la blanche et la noire, et enfin celle qui est laiss√©e fixe a re√ßu la couleur grise. J'ai aussi choisi une disposition qui sugg√©rait vaguement ces relations (je ne pr√©tends pas qu'elle soit id√©ale, mais bon, on ne peut pas r√©aliser toutes les sym√©tries dans une disposition, il faut accepter de faire quelques choix). Enfin, j'ai colori√© chaque synth√®me, dont on a vu ci-dessus qu'il est toujours commun √† exactement deux pentades (et peut s'appeler ¬ę¬†n√©o-doublet¬†¬Ľ) dans chaque pentade selon la couleur de l'autre pentade qu'il partage avec elle¬†: si bien que chaque pentade est d√©crite par les cinq couleurs autres que celle qui lui a √©t√© attribu√©e.

Enfin, pour aller jusqu'au bout des consid√©rations de sym√©trie¬†: je voulais placer la pentade verte de fa√ßon centrale par rapport √† la rouge et la bleue (et imiter la disposition que j'aime pour les anneaux borrom√©ens, cf.¬†l'entr√©e li√©e ci-dessus)¬†; or la sym√©trie de l'hexagone autour d'un axe vertical, c'est-√†-dire {0‚ܶ3, 1‚ܶ2, 2‚ܶ1, 3‚ܶ0, 4‚ܶ5, 5‚ܶ4}, √©change deux des pentades auxquelles je devais attribuer les couleurs rouge, verte et bleue, donc j'ai pris la rouge et la bleue pour elles, ce qui d√©termine quelle est la pentade verte. Pour choisir laquelle serait la blanche et laquelle la noire et comment les disposer autour de la grise, en revanche, j'avoue ne pas avoir eu de syst√®me particulier, j'ai choisi au pif. ‚ÄĘ Remarquez au passage que les pentades rouge, verte et bleue sont plac√©es cycliquement dans le sens des aiguilles d'une montre alors que ce cycle correspond au cycle de l'hexagone dans le sens contraire¬†: √ßa peut sembler invers√©, mais je pense au contraire que c'est ce qu'il y a de plus sym√©trique¬†: par exemple, deux grandes diagonales de chacune de ces trois pentades color√©es pointent vers la pentade de la couleur en question, ce qui n'aurait pas √©t√© le cas si j'avais invers√© les pentades rouge et bleue sur mon dessin.

‚Āā

Cette entrée est déjà bien trop longue, donc je ne vais pas m'appesantir sur les différentes manières dont cette histoire est remarquable. Mais voici quelques indications (je vais faire moins d'efforts de vulgarisation parce que je commence à fatiguer, là, et ce qui suit est un peu un brouillon) :

Ce n'est possible que pour n=6. Je ne veux pas seulement dire que ce n'est que pour n=6 que la construction pr√©cise que j'ai utilis√©e fonctionne (quelque chose comme¬†: d√©finir les synth√®mes comme des ensembles maximaux de doublets mutuellement sans objet commun, puis consid√©rer les ensembles maximaux de synth√®mes sans doublet commun). Ce que je veux dire est qu'il n'y a pas moyen, pour n‚Ȇ6, √† partir de n objets, de d√©finir n nouveaux ¬ę¬†trucs¬†¬Ľ, qui soient interchangeables (histoire d'interdire que les ¬ę¬†trucs¬†¬Ľ soient juste, disons, les entiers de 0 √† n‚ąí1 en ignorant les objets initiaux, ou quelque chose comme √ßa), et qui ne soient pas en correspondance avec les objets de d√©part. Cette phrase est formul√©e de fa√ßon alambiqu√©e et n'est pas tr√®s pr√©cise, j'en suis conscient, mais les affirmations math√©matiques pr√©cises (qu'on parle du fait que tous les automorphismes de ūĚĒĖn soient int√©rieurs pour n‚Ȇ6 ou d'auto-√©quivalences de cat√©gorie du groupo√Įde des ensembles de cardinal n avec les bijections pour morphismes) sont moins intuitives. On peut, bien s√Ľr, fabriquer des ensembles √† m objets plus ou moins permutables pour diff√©rentes valeurs de m (par exemple, les doublets sur un ensemble √† n √©l√©ments sont au nombre de m=¬Ĺn(n‚ąí1)), mais on ne peut pas retomber non-trivialement sur m=n sauf lorsque n=6.

Il y a des liens avec d'autres objets exceptionnels.

L'un de ces liens est avec le groupe de Mathieu sur douze objets¬†: l'id√©e est que maintenant on rassemble les six objets ¬ę¬†primitifs¬†¬Ľ et les six pentades et qu'on les voit comme 12 (nouveaux) objets. On dispose d√©j√† de 720 permutations sur ces 12 objets, √† savoir toutes celles qui proviennent d'une permutation des six objets primitifs et qui r√©alisent celle qui en d√©coule sur les pentades. Le groupe de Mathieu est une fa√ßon d'√©largir ces permutations √† 95040 permutations sur les douze objets totaux, qui peuvent cette fois m√©langer objets primitifs et pentades. Plus explicitement¬†: j'appelle hexades les 132 ensembles de six objets (parmi douze au total) suivants¬†: (A)¬†les six objets primitifs (ceci fait une hexade), (A‚Ä≤)¬†les six pentades (une autre hexade), (B)¬†un choix quelconque de deux pentades plus les quatre objets primitifs qui ne font pas partie d'un des doublets [choisi] du synth√®me d√©fini par ces deux pentades (ceci d√©finit 45 hexades), (B‚Ä≤)¬†un choix quelconque de deux objets primitifs plus les quatre pentades qui ne contiennent pas l'un des synth√®mes [choisi] contenant le doublet d√©fini par ces deux objets (encore 45 hexades), (C)¬†trois objets primitifs plus trois pentades de sorte que la permutation cyclique de ces trois objets (dans un sens quelconque) √©change permute cycliquement ces trois pentades ainsi que les trois autres (ceci d√©finit 40 hexades)¬†; il y a au total 132 hexades, et il se trouve que 5 quelconques parmi les 12 objets (=les six objets primitifs + les six pentades dessus) appartiennent toujours √† exactement une hexade¬†; les permutations des 12 objets en question qui envoient une hexade sur une hexade sont le groupe de Mathieu sur 12 objets. On peut aussi le voir comme fabriqu√© en composant de toutes les mani√®res possibles des permutations de notre ensemble de 720 permutations initiales (celles d√©finies par une permutation des six objets primitifs et de la permutation correspondante des pentades) et une permutation qui pourrait √™tre, disons, {1‚ÜĒrouge, 3‚ÜĒvert, 5‚ÜĒbleue, 2‚ÜĒ4} (fixant les objets 0, 2, 4 et les pentades grise, noire et blanche).

On peut aller plus loin et fabriquer le groupe de Mathieu sur 24 objets, mais je ne vais pas pousser plus loin la description, ce serait trop p√©nible de la mani√®re o√Ļ je suis parti. Il est cependant int√©ressant de noter que c'est presque ¬ę¬†la m√™me chose¬†¬Ľ¬†: le groupe de Mathieu sur 12 objets se construit √† partir d'un automorphisme ext√©rieur exceptionnel du groupe sym√©trique sur 6 objets, et le groupe de Mathieu sur 24 objets se construit √† partir d'un automorphisme ext√©rieur exceptionnel du groupe de Mathieu sur 12 objets (√ßa s'arr√™te l√†¬†: le groupe de Mathieu sur 24 objets n'a pas d'automorphisme ext√©rieur).

Un autre objet exceptionnel avec lequel on peut faire un lien est le syst√®me des racines de¬†E‚āÜ ou l'ensemble des 27 droites sur une surface cubique lisse. Je ne vais pas d√©tailler ce lien, mais je vais signaler la configuration de Cremona Richmond de 15 points et 15 droits dans le plan de sorte que chaque droite contienne 3 points et chaque point passe par 3 droites¬†: cette configuration se retrouve parmi les 27 droites sur la surface cubique (comme le compl√©mentaire d'un ¬ę¬†double six¬†¬Ľ de droites), et les 15 points et 15 droites peuvent naturellement s'√©tiqueter comme les doublets et synth√®mes de mon histoire¬†: un point est sur une droite lorsque le doublet qui √©tiquette le point appartient au synth√®me qui √©tiquette la droite. Il y a aussi un rapport avec la combinatoire de l'Hexagrammum Mysticum de Pascal ‚ÄĒ c'est-√†-dire, donn√©s 6 points sur une conique, les 60 fa√ßons de les consid√©rer comme un hexagone (qui sont naturellement en bijection avec les 60 fa√ßons de partitionner les pentades en 1+2+3) et qui d√©terminent autant de droites de Pascal qu'on peut regrouper en toutes sortes de figures d'incidence, et qu'on peut aussi consid√©rer comme des projections de diff√©rentes figures trac√©es sur une surface cubique nodale.

Enfin, un troisi√®me type de lien qu'on peut faire est le suivant¬†: les six pentades sur six objets sont naturellement en correspondance avec les six mani√®res de voir ces six objets comme une droite projective sur le corps ūĚĒĹ‚āÖ √† cinq √©l√©ments¬†; ceci permet de voir l'ensemble des permutations fixant une pentade comme le groupe PGL‚āā(ūĚĒĹ‚āÖ) des transformations projectives de cette droite, et son action sur les cinq autres pentades montre que PGL‚āā(ūĚĒĹ‚āÖ) op√®re (fid√®lement et transitivement) sur cinq objets. Or il existe quatre valeurs de p pour lesquelles PSL‚āā(ūĚĒĹp) op√®re fid√®lement et transitivement sur p objets (ou en fait, non-trivialement sur <p+1 objets¬†: l'action √©vidente sur la droite projective sur ūĚĒĹp se fait sur p+1 objets)¬†: ce sont les valeurs 3,5,7,11 (le fait que ce soit impossible pour p>11 est une des remarques importantes de la derni√®re lettre √©crite par Galois, la veille de son duel fatal). Ces valeurs sont toutes int√©ressantes¬†: pour p=3, il s'agit de l'isomorphisme entre PGL‚āā(ūĚĒĹ‚āÉ) et ūĚĒĖ‚āĄ combin√© √† l'action de ūĚĒĖ‚āĄ sur trois objets qu'on peut voir comme les trois fa√ßons de relier quatre points en un quadrilat√®re¬†; pour p=5, je viens d'expliquer que c'est l'isomorphisme entre PGL‚āā(ūĚĒĹ‚āÖ) et le stabilisateur d'une pentade sur six objets¬†; pour p=7, il s'agit d'un isomorphisme entre le groupe PSL‚āā(ūĚĒĹ‚āÖ) et PGL‚āÉ(ūĚĒĹ‚āā)¬†; et enfin, le cas p=11 est de nouveau li√© au groupe de Mathieu sur 11 et 12 objets. (Pour ceux qui veulent en savoir plus sur ce que je viens de raconter tr√®s mal, je renvoie √† l'excellent article de Conway, Three Lectures on Exceptional Groups, in¬†: John Conway & Neil Sloane, Sphere Packings, Lattices and Groups, Springer 1999.)

Je termine par du code pour Gap qui permet de vérifier certaines des affirmations que j'ai faites ou de jouer avec les différents objets introduits :

## Le groupe symétrique sur 6 objets:
g0 := SymmetricGroup(6);
## La permutation cyclique des 6 objets (pour fixer une pentade):
c6 := (1,2,3,4,5,6);
## Permutation définissant une permutation cyclique des pentades (pour numéroter celles-ci):
coc6 := (1,5)(2,4,3);
## Stabilisateur de la pentade contenant le cycle c6:
hPent := ListX(ConjugacyClassesMaximalSubgroups(g0),cl->Order(Representative(cl))=120 and IsTransitive(Representative(cl),[1..6]),cl->Filtered(cl,h->c6 in h))[1][1];
## Liste des stabilisateurs des différents objets:
tmpA := List([1..6], i->Stabilizer(g0,i,OnPoints));
## Liste des stabilisateurs des différentes pentades (dans l'ordre donné par coc6):
tmpB := List([1..6], i -> hPent ^ (coc6^i));
## Ensemble des objets plus pentades muni de l'action de g0:
ext := ExternalSet(g0, Concatenation(tmpA, tmpB));
## Morphisme d'action de g0 sur objets+pentades:
phi := ActionHomomorphism(ext);
## Le groupe S_6 opérant sur objets+pentades (donc 12 objets):
g := Image(phi);
## Le groupe S_6 plus ses automorphismes extérieurs:
gPlus := Normalizer(SymmetricGroup(12),g);
## Liste des automorphismes extérieurs involutifs:
ListX(Difference(gPlus, g), x->Order(x)=2, x->x);
## Un exemple d'automorphisme extérieur involutif (coc6 a été choisi pour avoir ça):
flip := (1,7)(2,8)(3,9)(4,10)(5,11)(6,12);

## Liste des hexades contenant trois pentades et trois objets (primitifs):
lst3 := Union(Orbit(gPlus,[1,3,5,7,11,12],OnSets),Orbit(gPlus,[1,3,5,8,9,10],OnSets));
## Liste des hexades contenant deux pentades et quatre objets ou vice versa:
lst2 := Set(Orbit(gPlus,[1,2,4,5,7,11],OnSets));
## Liste des hexades (doit être de cardinal 132):
stsyst := Union(lst2,lst3,[[1,2,3,4,5,6],[7,8,9,10,11,12]]);
## Le groupe de Mathieu sur 12 objets (doit être d'ordre 95040):
mgroup := Stabilizer(SymmetricGroup(12),stsyst,OnSetsSets);

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