David Madore's WebLog: Pourrait-on appliquer la logique linéaire aux produits financiers ?

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(samedi)

Pourrait-on appliquer la logique linéaire aux produits financiers ?

Il faut que je me dépêche de parler de produits financiers, parce qu'il paraît que lundi le monde va s'écrouler parce qu'un truc est passé de AAAAA à AAAA++ ou quelque chose de ce genre.

Je n'ai jamais eu la patience (ou le temps à perdre) pour dépasser les quelques premiers chapitres du classique livre de Hull, Options, Futures, and Other Derivative Securities, et je n'ai pas énormément d'intérêt[#] en général pour la finance ou pour les maths financières, mais j'avoue qu'il y a dans la structure des produits dérivés quelque chose que je trouve intellectuellement intéressant. Pas tellement le détail des produits en question, mais l'idée sous-jacente qu'un produit dérivé, qui est un contrat visant une certaine transaction (par exemple, s'agissant d'un future, s'engageant à vendre ou à acheter quelque chose dans l'avenir à un taux déterminé dans le contrat), puisse lui-même être acheté ou vendu, donc faire l'objet d'autres transactions, y compris dans des contrats constituant d'autres produits dérivés.

Ces produits dérivés sont étudiés mathématiquement sous l'angle des probabilités (par exemple, des équations différentielles stochastiques s'il s'agit de modéliser comment pourrait évoluer le cours d'une action ou d'une commodité afin de pricer un future ou une option sur sa vente ou son achat). Mais je n'ai pas l'impression que qui que ce soit se soit vraiment penché sur la question plus basique (et peut-être pas du tout intéressante, c'est vrai) de la structure, algébrique si j'ose dire, des contrats qui peuvent être passés.

Pour donner une idée de ce dont je veux parler, mettons que je note €⊸¤ un contrat qui m'oblige et me permet à la fois, dès maintenant, d'acheter 1 zormid au prix de un 1 euro, et □2012-12-21(€⊸¤) un contrat (un future — ou peut-être un forward peu importe) qui m'oblige et me permet d'acheter au 21 décembre 2012, 1 zorkmid au prix de 1 euro. L'option qui consisterait à m'autoriser (sans que ce soit obligatoire ; les financiers diraient que je suis long sur l'option d'achat d'un zorkmid) à échanger 1€ contre 1¤ le 21 décembre 2012 s'appellerait □2012-12-21(1&(€⊸¤)), où le 1 (qui devrait sans doute être un 𝟏, en fait) signifie rien du tout (pour des raisons qui deviendront claires plus tard — ou pas — je choisis une notation multiplicative, dont c'est un 1 qui désigne le rien, et dans le même genre, 5 euros devraient normalement se noter €⊗5) et le & signifie que j'ai le choix entre les deux parties proposées. En revanche, si je suis le cocontractant (c'est-à-dire court) pour une option qui autorise quelqu'un à me vendre 1 zorkmid pour le prix de 1 euro et que je serais obligé d'accepter, je noterais ça □2012-12-21(1⊕(€⊸¤)), le signe signifiant cette fois que ce n'est pas moi qui choisis. L'action consistant à vendre pour 1 dollar cette dernière option (celle par laquelle je m'engage à accepter d'acheter 1 zorkmid pour le prix de 1 euro le 12 décembre 2012) se noterait (□2012-12-21(1⊕(€⊸¤)))⊸$, et ainsi de suite.

Mes notations sont un peu barbares, mais le lecteur qui aurait lu le titre ou qui les aurait reconnues comprendra qu'il s'agit de celles de la logique linéaire de Girard, avec l'interprétation intuitive classique des connecteurs de celle-ci : AB désigne un contrat qui oblige et permet de transformer A en B, tandis que A&B désigne un contrat qui garantit de pouvoir disposer au choix de A ou de B (au choix de celui du point de vue duquel on se place) alors que AB désigne un contrat qui garantit qu'on disposera soit de A soit de B sans garantir lequel des deux. Et AB indique qu'on a à la fois A et B (s'agissant de beaucoup de choses, comme des euros, je suppose[#2] que AB, pour beaucoup de valeurs de A et de B, par exemple des sommes en euros, serait en fait égal à AB). Reste que ma sémantique n'est pas aussi claire que je voudrais le faire croire, et surtout que le rapport avec le temps qui passe, que j'ai arbitrairement noté □ (comme une sorte de modalisateur) n'est pas évident : il faudrait une logique linéaire temporelle…

⚠ Là, le Club Contexte est très fier de lui : il existe un truc qui s'appelle la logique temporelle linéaire, et qui n'a rien à voir avec la logique linéaire ou avec la logique linéaire temporelle que je voudrais.

C'est peut-être une idée très fumeuse, mais la symétrie entre les positions longue et courte sur une option et les opérations & et ⊕ de la logique linéaire me semble assez frappante, et j'ai l'impression que beaucoup de clauses de contrats peuvent effectivement se formuler dans ce langage. En tout cas, bizarrement, je ne trouve aucun indice que quelqu'un ait eu cette idée avant moi (et il y a quelques années j'avais évoqué la question avec un ami qui a fait de la logique linéaire quand il était plus jeune puis, après un petit passage par les topoï, est devenu trader, et il a reconnu qu'il n'avait jamais fait le lien).

Il y a un peu plus d'un an, quelqu'un avait sorti un canular selon lequel l'analyse ordinale (un sujet qui m'intéresse beaucoup — et je suis le principal auteur de cet article de Wikipédia) aurait trouvé des applciations en finance. Ce n'était pas crédible, mais pas complètement absurde non plus : quiconque a lu les très étranges livres de Conway, On Numbers and Games et Winning Ways sait que de la théorie (combinatoire) des jeux aux ordinaux il n'y a pas très loin, et de la théorie (fût-elle combinatoire) des jeux à la finance, il n'y a pas très loin non plus. En tout cas, le canular était rigolo et bien trouvé (mais je n'ai jamais eu d'explication au juste sur qui l'avait lancé et pourquoi). Moi je propose la logique linéaire (quelque chose qui est aussi notoirement considéré dans le contexte de la théorie des jeux) à la place des ordinaux. Enfin, bien sûr, si je devais écrire un projet ANR, je n'hésiterais pas à expliquer que je vais mettre tout ça ensemble, la logique linéaire, les ordinaux, les équations différentielles stochastiques, la théorie des jeux, peut-être même les topoï, pour attaquer les marchés financiers, et gagner ‹ordinal de Bachmann-Howard› euros (mais qui ne vaudront plus rien parce que l'euro se sera écroulé et ce sera la fin du monde).

[#] Tout, bien sûr, est relatif. Par rapport au foot ou aux frasques des célébrités du show-biz, je trouve la finance fascinante (et cette comparaison n'est pas gratuite : dans mon club de muscu on nous distribue des journaux gratuitement, les plus fréquents étant La Tribune, un journal « people » dont je ne me rappelle pas bien le titre, et évidemment L'Équipe — dans ce contexte, clairement, La Tribune est ce qui m'intéresse le plus). Ceci étant, je crois que je préférerais le bulletin de la société slovène de philologie.

[#2] C'est toujours le ⅋ (par) qui est embêtant, quand on essaie de donner une sémantique, formelle ou intuitive, à la logique linéaire. Mais pour quelque chose de dénombrable et de fractionnable comme des euros, des dollars, des zorkmids ou des onces d'or, il est assez clair que AB et AB sont égaux ; une façon de s'en convaincre est de se dire que dans ce contexte, AA′ a manifestement la valeur somme de A et A′ (par exemple, si A et A′ sont un certain nombre de zorkmids, AA′ est la somme de ces nombres), et AB a la valeur de B moins celle de A (puisqu'on donne A pour recevoir B), or il se trouve que (AB)⅋(A′⊸B′) est exactement équivalent, en logique linéaire, à (AA′)⊸(BB′). En raisonnant sur cette base, on peut arguër que ⊥ (l'unité pour ⅋) ou AA pour tout A (dans le domaine considéré de choses dénombrables et fractionnables) représente la même chose que 1 (l'unité pour ⊗), à savoir une valeur nulle ; et du coup que AB et AB valent la même chose.

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