David Madore's WebLog: Points triples des frontières

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(jeudi)

Points triples des frontières

Parmi les choses qui me fascinent (oui, je suis fasciné par des toutes petites choses), il y a la question, éminemment cohomologique pour un matheux, de trouver dans l'Univers les exemples d'interactions entre trois choses (voire plus) qui ne sont pas expliquées par les interactions de ces trois choses deux à deux. Par exemple, je n'ai toujours pas eu de réponse à la question (mais je me répète) de trouver trois aliments qui soient bons séparéments, tels que deux quelconques parmi les trois se marient bien, mais que ce ne soit pas le cas des trois ensemble. Je pourrais aussi chercher à trouver trois personnes qui s'entendent bien deux à deux mais qui se disputent si on les met tous les trois ensemble (je n'ai pas d'exemple de ça non plus).

Dans le domaine des interactions triples, même si ça n'a pas vraiment de rapport avec ce qui précède, il y a les points triples des frontières, c'est-à-dire les points de la Terre où trois pays (disons) se rencontrent. J'y repense parce que mon poussinet, qui fait des voyages en train dans tous les sens, est allé hier à Bâle, qui est tout près de, si ce n'est exactement, le point triple entre la Suisse, l'Allemagne et la France. Je me suis alors demandé combien de tels points triples il y avait en Europe et dans le Monde, et si quelqu'un avait entrepris de les photographier systématiquement, et comme par la magie d'Internet on n'a plus à se fatiguer à entreprendre soi-même les choses idiotes il suffit de trouver quelqu'un qui a eu l'idée avant vous, voici quelqu'un qui a entrepris de photographier tous les points triples d'Europe (il en dénombre 48), et voici une liste, comme Wikipédia en a le secret, et qui se prétend exhaustive, des points triples du monde avec leurs coordonnées et quelques photos. Certains sont décevants, mais la plupart semblent au moins avoir un petit marqueur en pierre (ce qui pose d'ailleurs la question de savoir quel pays l'a installé et l'a payé 😉). Une question plus sérieuse, et que j'évoquais dans une entrée passée, est de savoir avec quelle précision ces points sont définis (au mètre près ? à 10cm ? 1cm ? 1mm ?). Ça doit évidemment dépendre des pays, et sans doute des phénomènes naturels en jeu, puisqu'il semble qu'il y ait peut-être un point quadruple en Afrique (entre la Namibie, le Botswana, la Zambie et le Zimbabwe), mais personne n'a l'air de savoir au juste.

Une mesure naturellement associée à un tel point triple de frontières serait l'ensemble des angles sous lesquels les trois pays sont vus depuis le point triple, en supposant que les frontières aient suffisamment de régularité pour posséder des demi-tangentes au point triple en question. Je soupçonne que dans beaucoup de cas un des pays occupe 180°, selon un schéma du style : la frontière entre A et BC est vaguement droite (c'est-à-dire, continûment différentiable) aux alentours du point triple, et la frontière entre B et C va buter contre elle à ce point, de sorte que le pays A a 180° et que B et C se partagent les 180° restants selon l'angle que fait la frontière B/C avec la frontière A/(BC) au point triple. Si Google maps dit vrai en ce qui concerne le point triple près de Bâle, il semblerait que ce soit le cas à cet endroit, avec 180° pour la France et apparemment 90° pour chacun de la Suisse et de l'Allemagne. Mais bon, je ne sais pas quelle autorité a Google maps. Au niveau du point triple Belgique-Allemagne-Pays-Bas, situé dans la banlieue d'Aix-la-Chapelle (et au sujet duquel je recommande de lire l'histoire rigolote du micro-État du Moresnet qui a existé de 1816 à 1920 et qui aurait eu l'esperanto comme langue officielle), les angles ont l'air clairement marqués si j'en crois les photos, et il semble que ce soit l'Allemagne qui ait 180° contre environ 65° pour les Pays-Bas et 115° pour la Belgique — toujours d'après une lecture rapide de Google maps. Bon, voilà au moins une idée idiote que j'aurai eue et pour laquelle le précédent ne semble pas exister sur le Web : trouver, pour chaque point triple d'Europe ou du monde, les angles occupés par les trois pays.

Une autre sorte de point triple qui peut exister, c'est si un des « pays » est la mer, c'est-à-dire l'endroit où une frontière entre pays se termine à la côte. Ce n'est pas super bien défini si la frontière suit une rivière qui, justement, se jette dans la mer, mais ça pourrait aussi être amusant à photographier.

Sinon, que peut-on imaginer comme sortes de points triples amusants, à part ceux de la physique et ceux des frontières ? Essentiellement n'importe quel domaine à deux dimensions dans lequel il existe des domaines précisément définis est susceptible de conduire à des points triples (ou, en dimension n, des points (n+1)-uples) intéressants, mais je n'ai pas trop de candidats en tête. (Idée naze : et si on regarde l'histoire de l'humanité en 2 dimensions d'espace + 1 dimension de temps = 3 au total, où on fait apparaître des frontières entre pays, peuples ou civilisations, y a-t-il des points quadruples amusants ?)

Ajout (2011-07-29) : Comme on me le fait remarquer dans les commentaires, j'ai oublié de parler des frontières des bassins hydrographiques (lignes de partage des eaux), qui sont des frontières naturelles et qui forment également des points triples. Notamment, il y a quelque part en Afrique un point triple qui sépare les eaux drainées par l'Atlantique, la Méditerranée et l'Océan indien, et ce qui est surprenant c'est que ce point est très au sud, apparemment en Tanzanie (parce que le Nil vient de très loin pour déboucher en Méditerranée). Je ne sais pas avec quelle précision on l'a localisé (je ne trouve pas d'information à son sujet sur le Web).

Ajout #2 (2011-07-29) : J'ai aussi oublié d'évoquer, à propos des interactions triples, les anneaux borroméens, qui sont pourtant le plus évident exemple d'un cas où il n'y a pas d'interaction deux à deux entre trois objets, mais où il y en a une entre les trois.

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