Je soupçonne qu'il s'agit là d'une question assez caractéristique de celles que les matheux se posent et réciproquement [que ceux qui se la posent sont matheux dans un certain sens]. Quand on prend un taxi, outre les frais de prise en charge et un prix minimum par course, il y a essentiellement deux tarifs : un tarif horaire (appelons-le α), qui garantit que le taxi est payé même s'il y a des embouteillages et qu'il passe beaucoup de temps à faire une courte distance, et un tarif kilométrique (appelons-le β) qui est le prix pour ainsi dire « normal ». Comment ces deux tarifs sont-ils combinés ? Je peux imaginer trois façons assez naturelles, que je peux décrire ainsi (avec beaucoup plus de détails qu'il n'en faut !) :
- La plus simple consiste à faire la somme des deux. Autrement dit, si je parcours en taxi pendant un temps T une distance L, je paie (outre les frais de prise en charge, et jamais moins que le prix minimum, bien sûr) α·T+βL (le premier terme correspondant au prix horaire, le second au prix kilométrique, dont on fait juste la somme). Ceci vaut encore (α+β·v)·T où v=L/T est la vitesse moyenne du taxi sur la course (là on voit que si le chauffeur est assuré d'avoir des clients en permanence, il a intérêt à rouler le plus vite possible), ou évidemment (α/v+β)·D (là on voit qu'à distance D donnée, on a intérêt à ce que le taxi roule le plus vite possible si on veut payer le moins possible, ce qui ne surprendra évidemment pas). On peut encore écrire le montant comme l'intégrale de (α+β·v(t))·dt, où v(t) est la vitesse instantanée.
- Une autre possibilité consiste à décider qu'au lieu que le client paye α·T pour le temps passé et β·v·T=β·D, il ne paie que le plus grand des deux. Autrement dit, il paie max(α,β·v)·T où v est toujours la vitesse moyenne : si le taxi a roulé moins vite que la vitesse critique α/β en moyenne sur la course, alors on le paie à l'heure (soit α·T), tandis que s'il a roulé plus vite, on le paie à la distance. (soit β·D). Le client a alors intérêt à ce que le taxi roule (en moyenne sur la course) à cette vitesse critique ; le taxi, lui, a plutôt intérêt à s'en écarter (mais de nouveau cela dépend de s'il a suffisamment de clients pour remplir son temps, donc c'est plus compliqué à analyser de son point de vue).
- Enfin, on peut imaginer d'appliquer la méthode précédente mais sur des intervalles infinitésimaux[#] du parcours, et de sommer sur tous ces intervalles. Autrement dit, le client paie l'intégrale de max(α,β·v(t))·dt, où v(t) est la vitesse instantanée. C'est-à-dire, concrètement, que dès que la vitesse instantanée v(t) passe en-deçà de la vitesse critique α/β (fût-ce pour peu de temps), le taxi est payé à l'heure, tandis que si elle passe au-dessus, il est payé au kilomètre. Le taxi n'est jamais payé moins de α·Δt pour un intervalle de temps Δt du parcours, ni moins que β·Δl pour un intervalle de distance Δl du parcours.
Si la différence n'est toujours pas assez claire, voici un exemple : si le tarif horaire est de α=30€/h et le tarif kilométrique de β=1€/km, et qu'un taxi parcourt L=10km en allant constamment à 20km/h sur la première moitié du trajet et à 50km/h sur la seconde moitié, soit au total T=21min (et une vitesse moyenne d'environ 28.6km/h), il sera payé 20.50€ avec le premier système (qui donne toujours le montant le plus élevé des trois, et pour lequel ces valeurs de α et β seraient plutôt excessives, en fait), 10.50€ avec le second (qui donne toujours le montant le plus faible des trois), et 12.50€ avec le troisième.
(Là, normalement, n'importe quel matheux est déjà endormi tellement ce que je dis est évident, et n'importe quel non-matheux a cessé de lire tellement ça ne l'intéresse pas, mais bon, j'ai l'habitude de parler tout seul.)
Que je sache, les taxis parisiens appliquent la troisième méthode de facturation (ou en tout cas une approximation de celle-ci : probablement l'intégrale est discrétisée sous forme d'une somme d'intervalles de longueur une minute ou quelque chose comme ça). Je n'en suis pas complètement sûr, parce que la façon dont c'est écrit dans les règlements officiels ou la présentation résumée d'iceux affichée dans les clients rend la chose complètement incompréhensible (on n'a pas le droit de parler d'intégrale dans un texte juridique ou un contrat, j'imagine, donc on est obligé de dire les choses très mal), et surtout je remarque que ces règles officielles donnent une vitesse critique qui diffère peu, mais néanmoins de façon sensible, de α/β, donc il doit y avoir une subtilité un peu gratuite. Mais bon, probablement c'est à peu près ça quand même.
L'inconvénient, c'est que c'est un peu difficile de contester la facture : même si on connaît la distance L parcourue et le temps T qu'on a mis à la parcourir, on ne peut pas en déduire la valeur du prix du trajet (on ne peut qu'en donner des encadrants qui sont justement les résultats des première et deuxième méthodes que j'ai exposées — le majorant étant obtenu quand le taxi reste immobile tout le temps puis va a une vitesse infinie à destination, et le minorant étant obtenu quand le taxi roule à vitesse constante égale à la vitesse moyenne). Néanmoins je pense que c'est une façon raisonnable de faire parce qu'à la différence de la seconde possibilité évoquée elle est locale (le prix est bien une intégrale sur le parcours, donc peut se calculer sur n'improte quel tronçon et se sommer) et le conducteur n'est pas « doublement » payé comme dans la première possibilité (cet argument est un peu faible, j'en suis conscient).
Je pense qu'un procédé de facturation qui semblerait plus naturel à un matheux — pour plein de raisons — serait d'intégrer non pas max(α,β·v(t))·dt mais √(α²+β²·v(t)²)·dt, c'est-à-dire, à un facteur √2 près, la moyenne quadratique entre α et β·v(t), qui peut aussi se voir comme proportionnelle à la longueur du parcours dans un espace-temps euclidien où la vitesse critique α/β serait utilisée pour unifier espace et temps.
Je me demande si cette question (décrire précisément comment on calcule le prix d'une course en taxi) ne pourrait pas être utilisée comme exemple pour introduire la notion d'intégrale à des débutants.
[#] En pratique, ils n'ont pas besoin d'être infinitésimaux : il suffit de séparer des intervalles (car, hors des contre-exemples pervers des matheux, ce sont bien des intervalles) où v(t) reste en-dessous de α/β et ceux où il est au-dessus.