Comments on Comment paie-t-on pour un taxi ?

"Le client a alors intérêt à ce que le taxi roule à cette vitesse critique ; le taxi, lui, a plutôt intérêt à s'en écarter" --> Je comprends donc pourquoi, lorsque l'on voit le feu passer au orange 150 mètres devant nous sur un boulevard, le chauffeur maintient une vive allure et freine au tout dernier moment pour s'arrêter au rouge. Ainsi il perçoit la double rémunération, distance et temps d'attente au feu.
S'il freinait dès le passage à l'orange, il parcourrait les 150 mètres uniquement en tarification 'temps' et non pas 'distance'. ça ne change rien pour l'heure d'arrivée au RDV, mais ça change manifestement le prix de la course !

Bon et sinon pour répondre au titre du post : Comment paie-t-on pour un taxi ? La réponse est : presque uniquement en cash, avec la monnaie s'il vous plait ! Et non pas en CB comme d'autres grandes capitales.

Pour le problème du taxi partagé, je procèderais comme suit : si O est l'origine, P_i sont les points d'arrivée de chacun, et |AB| le prix du trajet pour aller d'un point A à un point B, alors le i-ème participant devrait payer |OP_i| * T/S, où S = \sum_i |OP_i|, et T est le total de la course. Bref, on paye la fraction qu'on aurait payé si chacun était rentré chez lui dans son taxi.
J'y vois deux problèmes :
- On ne connait pas la valeur de |OP_i| puisqu'elle dépend de facteurs extérieurs (essentiellement le traffic et les feux tricolores) et que c'est un trajet fictif, qui ne sera pas réalisé. On pourrait approximer en ne prenant en compte que le kilométrage, mais le trajet le plus court n'est probablement pas le plus rapide, et donc pas celui qui aurait été choisi en pratique.
- Le même problème se pose pour la connaissance du coût total qui sera réellement payé, T, qui n'est connu qu'à la fin du parcours. Donc, à moins que le dernier paye tout et les autres remboursent par après, il faut à nouveau approximer… mais là il s'agit de l'argent réellement payé, et donc les approximations risquent d'être psychologiquement moins acceptables.

Prince Hugues, Fork → (bon, je vais essayer de faire vite cette fois !) à mon humble et naïf avis, le 1er problème (les n clients habitent tous sur la trajectoire du dernier) est très simple : le premier déposé paie le coût de sa partie / n, le second paie la même chose que le premier plus le coût du 2e morceau / (n-1), … , et ainsi de suite.
Après ça pose peut-être un souci : plus un client vient loin, plus il devra se farcir les arrêts des précédents qui gonflent la facture finale (à cause du paramètre durée totale, et ce quelque soit la méthode de facuration). Mais bon, on peut admettre que c'est plus ou moins négligeable notamment si la vitesse critique alpha/beta est grande, si c'est la 3e méthode qui est appliquée par exple.

Par-contre le 2e probleme est clairement plus pénible et se pose dans deux cadres à mon avis : un pb d'analyse de complexité, pour déterminer le chemin qui sera le plus court (et donc le moins coûteux apriori), et ça c'est plus ou moins le pb du voyageur de commerce (<URL: http://fr.wikipedia.org/wiki/Probl%C3%A8me_du_voyageur_de_commerce >), qui est en effet NP-complet (donc pas d'algo efficace (polynomial) pour le résoudre, à moins que P=NP mais bon…).
Mais en admettons qu'on ait la solution (après tout, le nb de clients ne va pas dépasser une petite dizaine, si c'est un mini-bus ! Et là même à la main, on peut encore trouver la solution en un temps raisonnable, les pb NP-difficiles sont pénibles lorsque la taille des données est conséquente), ce qui sera vraiment chiant, c'est la facturation des clients.

Et là, le protocole de partage des coût ne me paraît du tout évident : aucune raison d'adopter celui du 1er problème, même s'il n'ya qu'un seul taxi et que les clients sont obligés de le prendre, parce-que le client N° n n'aura aucune raison d'accepter de payer c1/n + c2/(n-1) + … + ck/(n-k+1), alors que s'il avait été seul, il n'aurait sans doute eu à payer q'un coût largement inférieur.
Et même à connaître (ou bien évaluer) le coût qu'il aurait payé si…, on a des gros pb d'équilibre, et de répartition, ça c'est un pb de théorie des jeux coopératifs, qui devrait s'apparenter à quelque-chose comme le minimum cost spanning tree game… Je crois que je vais y réfléchir aussi, même si ce type de pb n'est pas tout à fait ma spécialité…

En fait, il existe aussi toute une famille de méthodes généralisant les deux premières (qui, elles même à leur tour, pourront être étendues comme la 3e l'est à partir de la 2e, en utilisant la viesse instantanée). Ceci au moyen de l'intégrale (discrète) de Choquet (utilisée en décision multicritères, par exemple).

Il y a deux critères ici à prendre en compte : le temps (c1), et la distance (c2), et on définit alors une capacité (ou mesure floue) w à partir de ces critères (ici c'est vraiment très simple car l'ensemble des critères n'est que de deux), c'est à dire qu'on attribue un "degré d'importance" à chacune des parties de l'ensemble des critères (ici {c1,c2}), qui soit quand même monotone pour l'inclusion (w({c1,c2}) >= w({c1}), w({c2})) (on prend aussi w(vide)=0).

En fait l'intégrale de Choquet relativement à une capacité normalisée (w({tous les critères}) doit valoir 1) est bien pratique pour généraliser les moyennes pondérées : avec ça on obtient toute une classe de nouveaux opérateurs d'agrégation (voir <URL: http://en.wikipedia.org/wiki/Ordered_Weighted_Averaging_%28OWA%29_Aggregation_Operators >), les plus simples étant max, min, k-eme plus grande valeur, mais aussi les moyennes pondérées des f(ci) suivant l'ordre croissant des valeurs de f, ou moyennes olympiques (on ne prend pas en compte les pire et meilleure notes données par les juges), et encore toutes sortes d'évaluation.

Ici, par exple, pour la méthode 1, la capacité sera additive (on a donc affaire à une bête mesure sur un ensemble à 2 élts), w prend la valeur 1 sur {c1} et {c2}, et la valeur 2 sur {c1,c2}. Pour la méthode 2, ce n'est pas le cas, on aura cette fois w({c1,c2})=1 aussi.

Une fois fixée w (et donc la méthode de calcul du coût qui va venir), on donne la fonction d'évaluation f qui est définie sur l'ensemble des critères, et à partir de laquelle le coût sera déterminé. En gros ici, f(c1) serait le temps mis, et f(c2) la distance parcourue, sauf que bien sûr, on va être obligé d'avoir la même unité pour l'image de f. Et c'est là qu'interviennent les coûts horaire alpha et kilométrique beta de base, qui vont pouvoir permettre l'unification des valeurs de f. Et comme on veut un coût, on va donner f en euros : f(c1) = T x alpha et f(c2) = D x beta (cela dit, on pourrait tout aussi bien donner f en km ou en heures, à un coef. de proportionalité prêt, le résultat sera le même).

Alors le coût est donné par l'intégrale de Choquet de f relativement à la mesure floue w, c'est-à-dire à une intégrale de Riemann sur [0, +inf[ de la fonction x -> w({c | f(c) >= x }), ce qui dans le cas w fini (la 1e formule est valable même lorsque l'ensemble sur lequel est défini w n'est pas fini, bon il faut quand même des conditions de mesurabilité), donne, si l'ens. des critères est {c1,…,cn} :

Somme des (f([i])-f([i-1])) x w({[i],[i+1],…,[n]} pour i allant de 1 à n, et où les [i] sont les ci mais permutés de sorte que f([1]) <= f([2]) <= … <= f([n]) (et f([0]):=0).

Pour reprendre l'exple de David avec alpha=30 €/h, beta=1 €/km, T=21 min (0.35h), et D=20 km, on a f(c1)=0.35 x 30=10.5 et f(c2)=10 x 1=10. Là, [1]=c2 et [2]=c1, et donc coût = f(c2) x w({c1,c2}) + ( f(c1)-f(c2) ) x w({c1}), et on retouve bien 20.50€ pour la méthode 1 (w vaut 1,1, et 2 pour {c1,c2}) et 10.50€ pour la seconde (w vaut 1 partout sauf en vide).

Sur la méthode 1, comme le remarqua David, alpha et beta sont excessifs, ce qui se voit ici clairement : w({c1,c2}) = 2. En fait, pour comparer ce qui est comparable, il faut normaliser w, i.e., pour la méthode 1, il serait plus judicieux de prendre w({c1})=w({c2})=0.5 et w({c1,c2})=1.

Après, pour un w fixé, on peut sûrement encore utiliser la 3e méthode en intégrant la vitesse instantanée, et le coût sera donné par l'intégrale (classique) d'une intégrale de Choquet mais, là, je vois pas tout de suite comment bien écrire les choses, et j'ai pas trop le temps. Si personne ne met de réponse, j'y réfléchirai plus tard (bon, je suppose qu'il faudrait mettre f en fonction de t (en plus de ci), pour avoir des sortes de coûts instantanés et après euh…)

Un autre truc que je me demande, là, c'est si on considère la 3e méthode de David (qui serai celle utilisée d'après DH), c'est est-ce que pour une course donnée (donc une fonction t->v(t) donnée sur un temps donné), on ne pourrait pas associer une intégrale de Choquet (ou de manière équivalente une capacité normale) qui n'utiliserait QUE les temps et distance globaux, pour laquelle le coût obtenu serait le même. Du coup, on aurait une fonction qui attribuerait pour toute course, une sorte d'indices d'importance (ou plutôt de contribution dans le tarif) du temps mis et de la distance effectuée. Je ne sais pas si je suis clair (et si c'est vraiment intéressant :-/ ).

Prince Hugues → Je suis pas du tout calé en complexité, donc ce que je dis n'est absolument pas justifié, mais je trouve que ça a une belle tête de problème NP :)

((Si on pondère les arcs avec les couts des trajets, minimiser le cout global de la course revient à trouver le chemin le plus court qui passe par un ensemble de nœuds donnés, déjà ça je suis pas sûr que ce soit un problème facile (à chercher, c'est sans doute archi-classique). Par contre, est-ce que calculer ce chemin permet ensuite de minimiser le cout individuel, si on se met d'accord sur un algo de partage « raisonnable », je sais pas. C'est intéressant, je vais essayer d'y réfléchir.))

Pour vulgariser l'intégrale, le calcul de l'aire du cercle me semble mieux indiquée, ou n'ai-je pas compris qqch?

D'après le lien de Vicnent, "Chute de 0,10 euro tous les 140,85 mètres ou toutes les 14,56 secondes supplémentaires" n'est justement pas l'intégrale du max. les compteurs existent depuis pas mal de temps et sans doute déclenchaient bêtement une impuklsion à chaque fois que l'un des seuils était atteint, remattant alors les (sous-)compteurs à 0.

Je pensais que tu aborderais aussi la question de comment partager "équitablement" la facture quand plusieurs personnes partagent un même taxi
pour se faire déposer l'un après l'autre à diverses étapes du trajet.

Remarque : si on veut compliquer les choses, se pose alors aussi le problème que les endroits où veulent se faire déposer les participants ne se trouvent pas forcément tous "sur le même chemin", autrement dit, se mettre d'accord sur un trajet qui fera éventuellement des détours par rapport à celui qu'aurait pris le dernier à descendre s'il avait été seul (avec la difficulté supplémentaire que si on examine tous les trajets possibles, l'ordre dans lequel les participants descendront -- et en particulier "le dernier à descendre" -- ne sera pas toujours le même).

Peut-être y a-t-il une solution élégante qui règle ces deux problèmes -- de facturation et de choix du trajet -- simultanément et de façon optimale ?

(Dans certains cas on en déduira que les participants n'avaient pas intérêt à partager le taxi : c'est évident par exemple s'ils vont à des endroits diamétralement opposés ; sauf bien sûr si l'on suppose qu'ils sont dans un trou perdu à 4h du matin, que par miracle ils ont trouvé un taxi, mais qu'en aucun cas ils n'ont de chance d'en trouver un second…)

Autre cas pratique pour vulgariser un peu l'intégrale: consommation d'air comprimé par un plongeur (en négligeant les efforts musculaires, supposés constants). Le plongeur respire un volume constant par unité de temps, celui-ci lui étant fourni par le détendeur à pression ambiante. Combien de temps dure la bouteille? Cela dépend du profil de plongée (les moniteurs utilisent comme approximation, avec marge de sécurité, la profondeur maximale atteinte).

> une bonne raison de faire intervenir v²est que la consommation d'essence du
> taxi est (en gros)proportionnelle a son énergie cinétique. Mais il faudrait
> aussi surtaxer les obèses…

Ce serait effectivement vrai pour un vaisseau spatial (un engin propulsé dans le vide). À supposer en tout cas qu'il accélère une fois à sa vitesse de croisière, puis décélère à 0 à la fin.

Dans une voiture, on consomme beaucoup plus d'énergie que l'énergie cinétique. La majeure partie de l'essence est dépensée pour compenser les frottements. À noter que les 10 tonnes ne consomment pas 10 fois plus d'essence que les voitures (ce qui souligne que la dépense d'énergie n'est pas proportionnelle à la masse (contrairement à l'énergie cinétique), de même rouler à 130km/h ne consomme pas 6 fois plus d'essences que de rouler à 50km/h (ce qui souligne que ce n'est pas proportionnel au carré de la vitesse non plus).

Les frottements à considérés sont des frottements solides. En l'occurence à l'intérieur du moteur. Je serais bien en peine de les modéliser (ma physique est loin derrière moi, et déjà à l'époque…), mais a priori elle ne dépend que de la vitesse du moteur. Qui par le mécanisme de moto-réduction est plus ou moins constante quelque soit la vitesse (sauf à être à l'arrêt, en négligeant les phases d'accélération et de décélération brutales). Donc la dépense d'énergie du taxi en vitesse de croisière (que ce soit en ville ou en autoroute) est essentiellement proportionnelle au temps.

Pour conclure ma super dissertation de la mort. Je remarque que David a fait intervenir la racine carré du carré de la vitesse dans sa formules (ce qui n'est donc pas proportionnel à l'énergie cinétique quoiqu'on fasse). Et que je ne suis pas convaincu que la rémunération d'un chauffeur de taxi doive être indexée par l'essence qu'il dépense (elle pourrait ce serait sans doute plus facile à vérifier/contester puisque global, tout en gardant un caractère local. Cela dit, j'imagine que les taxis seraient alors tout à fait prêts à augmenter leur consommation d'essence pour augmenter leur rémunération, ce qui me paraît moyennement dans l'ambiance de l'époque).

Quelque soit le prix de la course, un GPS dans un taxi m'exaspère. Avant (à l'époque où je rentrais du centre pour 8 à 9€), je donnais mon adresse et quelques indications, et je pouvais penser à autre chose. Maintenant, les taxis prennent la première minute à taper l'adresse sur leur GPS et se laissent guider, du coup, sur un itinéraire qui ne tient absolument pas compte de leur avantage (voies bus/taxis en sens unique, par exemple).

Ce soir, je ne l'ai pas laissé perdre mon temps à taper l'adresse et lui ai donné les indications habituelles (vous passez par le pont Marie, gobelins, place d'italie, puis par là et par là. Mais le gars devait avoir débarqué à paris 3 jours avant, il ne savait pas aller au pont Marie depuis la rue Beaubourg sans que je lui indique "non!, là!, à gauche!" et lui continue le guidage jusqu'à ma porte.

Le tout pour 10€. Horripilant.

A/ bien lire l'énoncé avant de répondre : :-)

B/ En moselle, c'est indiqué comme ceci : <URL: http://www.moselle.pref.gouv.fr/frameset.htm?http://www.moselle.pref.gouv.fr/demarches_administratives/d_a_circ_tarif_taxis.htm>

C/ l'arrêté législatif qui dit que c'est au préfet de fixer le prix, quand et comment : <URL: http://www.legifrance.gouv.fr/affichTexte.do?dateTexte=&categorieLien=id&cidTexte=JORFTEXT000020016937 >

D/ l'arrêt "interpréfectoral" définissant précisément comment se calcule la note : <URL: http://www.prefecture-police-paris.interieur.gouv.fr/pp_documentation/arrete/arrete_2005_20333.htm >

mieux ?

Note pour moi même : Il y a "Il y a une application pour ça ?" ? :-)

la solution est toute simple : sous une certaine vitesse (~30 Km/h), c'est le mode tarif horaire. Au delà, c'est le tarif kilométrique.

Ce principe est toujours vrai, et est indépendamment de la classe de tarification A B ou C pour Paris, seuls le taux horaire et la vitesse minimale changent.

Il me semble que la vitesse limite est de ~20 km/h pour la classe C, et ~30 pour A et B. De même pour le tarif kilométrique, il varie en gros de 1 à 3€ en fonction de la classe (qui elle même varie en fonction de l'heure, du jour, (le jour, la nuit, le WE ou la semaine) et de la situation géographique : paris intra périph, proche banlieue, assez loin de Paris pour nécessiter le port du passeport [ :-) ]

Bref, les produits en croix doivent amener le fait qu'il doit y avoir des dizaines de tarifs possibles. Ces derniers devant tous être intégrés dans leur orditaxi et nécessitant parfois une action manuelle (passage du périph, passage en WE, passage de 19h etc…), je ne serais pas étonné d'apprendre qu'en tout, peut être 10 ou 40% des notes de taxi sont fausses.

Anecdotiquement, il parait que les taxis parisiens ne sont pas chers. C'est évidemment une légende urbaine… (prendre le taxi à Vienne, à Madrid, à Stockholm pour s'en convaincre…)

Euh dans ton deuxième cas, le client à juste intérêt à ce que le taxi dépasse la vitesse critique, pas qu'il y reste. A priori quand on prend un taxi, on connaît à l'avance la distance que l'on va parcourir.

Quand je m'étais renseigné auprès d'un chauffeur et après observation du compteur deprix, je penche en effet pour la 3ème solution (max de (tarif horaire,tarif kilométrique) sur des intervalles discrets dt < 1 min).

une bonne raison de faire intervenir v²est que la consommation d'essence du taxi est (en gros)proportionnelle a son énergie cinétique. Mais il faudrait aussi surtaxer les obèses…

@zEgg : Parce que tous les juristes ou presque ont oublié ce que c'était ? L'histoire nous apprend qu'il ne faut pas non plus parler de firewall (enfin, pare-feu) dans un texte juridique :)

@Ruxor : Ça me semble un chouia compliqué comme exemple, quand même. En tout cas dans l'état où il est.

Pourquoi n'aurait-on « pas le droit de parler d'intégrale dans un texte juridique ou un contrat » ?

Plutôt max(α,β·v(t)+γ)·dt non ? Je n'ai jamais regardé si c'était affine ou linéaire cela dit…